2018合肥二模理数试卷和答案

e
x
x2 1 对 x x
0 恒成立.
x2 1 ，则 g x x
x 1 ex x
2
x 1
.
设h( x) ex x 1, 则h '( x) ex 1. x 0,
即e x
h '( x) 0,
h( x)在(0,
)上单调递增，
上单调递增，
h( x) h(0) 0,
x 1 ，∴ g x 在 0，1 单调递减，在 1， g 1 e 2 ，∴ a e 2.
x1 1 x1
0
1
x1 103 19.3
0.46 ，即
x1 103 19.3
0.54 .
由 (0.7054) 0.54 得，
x1 103 0.7054 x1 116.6 117 ， 19.3 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 117 分. 107 103 ② P x 107 1 1 0.2072 1 0.5832 0.4168 ， 19.3 故理科数学成绩为 107 分，大约排在 10000 0.4168 4168 名.
2
∴ k PM
Байду номын сангаас
k PN
y1 x1 2 2k x1 x1
y2 x2
1 k x2 x2
2 2
1
x1 2 2k
2k
1 x1 2 x2
1 2
x1 x2 4 x1 x2 2 x1 x2
4
4
2k
16k 8k 4k 2 3
16k 2 16k 8 16k 2 8k 2 4k 2 3 4k 2 3
2k 3 2k 4
3.
13
3 3
1
2n 1 3 ，
∴ 2Tn ∴ Tn
1 2 3
2
2 3
n 1
2n 1 3n
n 1 3n 1 .
……………12 分
(18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为: 65 0.05 75 0.08 85 0.12 95 0.15 105 0.24 115 0.18 125 0.1 135 0.05 145 0.03 0 ………………5 分 103.2 103 . (Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 x1 ， 根据题意得， P x
2 2
PM
PN ，即 t1 t2
2
t1t2 ，
4t1t2
t1t2 ，即 (4 3a ) 2
40a
0 ，解得 a
5 ,满足 a 6
2 . 3
a
5 . ……10 分 6
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 9 m 0 ① (Ⅰ)由题意得 ，解①得 m≥-9. 3x m 9 m ②
9 2m x 3. 3 9 2m 1， ∵不等式 f x 9 的解集为 1，3 ，∴ 3 解得 m 3 ，满足 m≥-9. ∴ m=-3. 3x m 2 x 1 . (II)依题意得， g x
当a
上单
综上所述，当 a 0 时， f x 有 1 个极值点；当 a 0且a
1 时， f x 没有极值点. 2 (Ⅱ)由 f x e x x 3 x 得 xe x x 3
1 时， f x 有 2 个极值点； 2
当a
…………………6 分
ax 2 x
0.
当 x 0 时， e x 设g x
ex
x2
ax 1 0 ，即 a
0 ，∴ h x 在
若 a 1 ，则 h x 若 a 1 ，∵ h 0
， 0 上单调递增，∴ h x
1 a
0 ，∴ x0
0 ,使得 x h 0
x0，0 时， h x 0 ，舍去.
0，
即 h x 在 x0，0 上单调递减，∴ h x
∴a 1.
综上可得，a 的取值范围是 ………………12 分 （ ，e-2]. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 2 (Ⅰ)∵ 2a sin cos 2 0 ，∴ 2a sin cos 2 0 ，即 x 2 2ay ( a 0 ). …………5 分 1 ( 4 3a) 2 4 8a 0 ① x t 2 代入 x 2 2ay ，得 t 2 4 3at 8a 0 ，得 t1 t2 4 3a . (Ⅱ)将 3 y 1 t t1t2 8a 2 2 ∵ a 0, 解①得a . 3 ∵ PM ，MN ，PN 成等比数列，∴ MN ∴ t1 t2
②可化为 9 m 3x m 9 m ，∴
…………5 分
x m 2
x m 3
m ， 3 x 1 ， x 1.
又∵ m 0 ，∴ g x
5x m 2 x m 2
g x 的 图 象 与 x 轴 围 成 的 ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 为 A
m 2，0 ， B
2 m ，0 ， 5
C
2m m 2 ， ， 3 3
……………12 分
(21) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ f x xe x 2ax x e x 2a . 当 a 0 时， f x 在 当0 a 在 0， ， 0 上单调递减， 上单调递增， ∴ f x 有 1 个极值点； 上
1 时， f x 在 ， ln 2a 上单调递增，在 ln 2a， 0 上单调递减，在 0， 2 单调递增，∴ f x 有 2 个极值点； 1 时， f x 在 R 上单调递增，此时 f x 没有极值点； 2 1 当a 时， f x 在 ， 0 上单调递增，在 0， ln 2a 上单调递减，在 ln 2a， 2 调递增，∴ f x 有 2 个极值点；
3Tn
3S 4
S6 ，得 S6
S5
n 1
3S5 3S 4 ，即 a6
3a5 ，∴ q
3，
……………3 分 ……………5 分 ……………6 分
9 3 13
n 3
3 3 3
n 1
. ，
(2n 1) 3
2n 3 3
n 1
2 n 1 an
0
1
2n 1 3
1
2
5 3
2 3
2
n 1
，
n
……………8 分
2 2 2n 3n ，
y 1 k x 2 由 x2 y 2 得 4k 2 3 x 2 1 4 3
16k 2 8k x 16k 2 16k 8
0.
高三数学试题（理科）答案
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设 M x1，y1 ，N x2，y2
16k 2 8k 4k 2 3 16k 2 16k 8 ，则 x1 x2 ， 4k 2 3 1 0 k 2 x1 x2 k x1 2 2 x2 4 2 x2 2
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∴g x
当 x 0 时，不等式恒成立， a R ；
高三数学试题（理科）答案
当 x 0 时， e x x 2 ax 1 0 . 设 h x e x x 2 ax 1 ，则 h x 设
x e
x
ex
2x a .
2 x a ，则
x
e
x
2
0， h 0 1 a.
h 0
0.
∴h x 在
， 0 上单调递减，∴ h x
ABC
∴S
1 AB yC 2
4 m 3 15
2
60 ，解得 m 12 .
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………………10 分
高三数学试题（理科）答案
n1 n2 n1 n2
3 105
105 . …………12 分 35
(20)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)如图，设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C ，取 A (-1，0). 依题意，圆 C 内切于圆 O .设切点为 D ，则 O，C，D 三点共线. ∵ O 为 AA 的中点， C 为 AB 中点，∴ A B 2OC . ∴ BA BA 2OC 2 AC 2OC 2CD 2OD 4 AA 2 . 依椭圆的定义可知，动点 B 的轨迹为椭圆，其中： BA BA 2a 4， AA 2c 2 ，
………………8 分
………………12 分
(19)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由条件可知， Rt ADC ≌ Rt BAO ，∴ DAC ABO ， AOB ABO AOB 90 ，∴ AC BO . ∴ DAC
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
∵ PA PD ，且 O 为 AD 中点，∴ PO AD . 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD ∵ ，∴ PO 平面ABCD . PO AD PO 平面PAD 又∵ AC 平面ABCD ，∴ AC PO . 又∵ BO PO O ，∴ AC 平面POB . ∴平面 POB 平面 PAC . …………5 分 ∵ AC 平面PAC ， (Ⅱ)以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 P (0，0，2)， A (1，0，0)， D (-1，0，0)， C (-1，1，0)， PA 1，0， 2 ， AC 2，， 1 0 ， PD 1，0， 2 ，
a2 c2 3 ， x2 y 2 ∴动点 B 的轨迹方程为 1. 4 3
.
………………5 分
∴a
2，c 1 ，∴ b 2
(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x
2 ，此时直线 l 与椭圆
x2 4
y2 3
1 相切，与题
意不符. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 .
合肥市 2018 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B 11 C 12 B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 1 (13) (14)10 (15)4 (16)2 或 7 2 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设数列 an 的公比为 q . 由 4 S5 ∴ an (Ⅱ) bn ∴ Tn
CD
0， 1，0 .
设 n1
z y 1 x 2 . 2x
x，y，z 为 平 面 PAC 的 一 个 法 向 量 ， 由
n1 PA 0 n1 AC 0
得
x 2z 2x y
0 0
，解得
令x
2 ，则 n1
2，4，1 .
2，0， 1 ，
同理可得，平面 PDC 的一个法向量 n2
∴二面角 A PC D 的平面角 的余弦值 cos