【2013年全国高分类解析】理科11：概率与统计 (1)
2013全国高考理科数学分类汇编11：概率和统计
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 【答案】D5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π 【答案】A6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B8 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
2013高考(理数)分类解析(概率统计-函数导数)word版
2013年全国各省（市）高考数学试题分类汇编(概率统计)1.（2013XX 卷.理16题）（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．2．（本小题满分12分）(XX 卷.文)某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。
为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：))50,60,60,70,⎡⎡⎣⎣)70,80,⎡⎣))80,90,90,100⎡⎡⎣⎣分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（I ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（II ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？（注：此公式也可以写成22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++）解：（I ）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人）， 故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（II ）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得22()P x k ≥ 0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.8282112212211212()n n n n n x n n n n ****-=附：1 7 92 0 1 53 0 第17题图×2列联表如下：生产能手非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 3070100所以可得==≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．3.（2013广东卷.理17题）．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工 人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有 名优秀工人的概率. 【解析】 (Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则() P A=1148212C CC1633=.4．（本小题满分13分）(2013广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450；（2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P==.5.（2013全国新课标二卷.理18题）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】11：概率与统计 Word版含答
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】11概率与统计1．（2013届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
【答案】30由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。
2．（2013届东城区一模理科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．【答案】84 2甲的测试成绩的平均数是180(434710)845+-++++=，乙的测试成绩的平均数是180(12811)845+-+++=，乙的测试成绩的中位数为82，所以乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是84822-=。
专题：概率 一、选择题1.（2013届北京石景山区一模理科）3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q共线的概率为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D由题意可得,基本事件（m ，n ）（m ，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36． 若,p q 共线，则630m n -=，得到2n m =．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量,p q 共线的概率313612P ==,选D. 2．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ） A ．14 B ．34 C ．3π24π+ D ．π24π-【答案】C要使方程有实根，则判别式44()a b ∆=-+>，即10a b +-<，,如图，阴影部分。
2013~2018年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析
教学参谋1考卷解析2018年8月2013〜2018年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析®内江师范学院数学与信息科学学院余小芬蒲葭露刘成龙多数高考试题立意深刻、构思巧妙、设计新颖，直接 体现了高考命题理念、命题原则、命题思路.研究高考试 题，对把握试题特点、知识考点、难易程度有益;对把握 高考命题动态、领会命题精神有利;对提高复习的针对 性、减少复习盲目性有效.本文以2013~2018年高考数学 全国卷中“概率与统计”试题为研究对象，从试题特点、考查要点、教学建议进行分析，以飨读者.—、2013~2018年全国卷“概率与统计”试题特点1.命题背景概率与统计是高考数学中考查实际应用能力和数 学建模能力的一个重要载体，也是考查必然与或然数学 思想的重要内容.全国卷概率与统计命题取材贴近生产、生活，比如，概率部分常以抽签选号、比赛得分、电路 流通、质量抽检等角度命题，考查各类随机事件的概率；统计部分常从成本控制、利润获取、方案决策、数据预测 等角度命题，考查利用样本数据估计总体特征，利用均 值、方差等对实际问题作出评价或判断.特别指出，2018 年高考重视数学文化考查，比如2018年全国I卷理科第 10题以古希腊数学家希波克拉底研究的直角三角形外 接半圆图形为载体考查几何概型，2018年全国n卷理科 第8题以哥德巴赫猜想为背景考查古典概型等等.2知识考查近年全国卷中概率与统计部分主要考查抽样方法 (以分层抽样为主)、统计图(表)的应用(识图、作图、用 图)、系数的相关性（独立性检验思想、回归思想的运 用)、随机事件(互斥事件、独立事件、独立重复试验、等 可能事件)的概率、离散型随机变量的分布列、期望、方 差、正态分布.概率与统计命题中呈现一定的交汇性.首先，概率 与统计知识交织紧密，尤其以统计图(表)为载体，结合 图(表)中数据，运用频率估计概率思想，考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率乘法公式 等.其次，在分析生产、销售中的成本、利润问题时，概率统计与分段函数、函数最值相结合是历年考查的热点.3. 能力考查《普通高中数学课程标准（2017年版)》(下文简称 《标准》)指出数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推 理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，数 据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数 据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素 养.概率与统计部分教学的主要目的是使学生体会统计 与概率的基本思想，处理数据、制定决策,培养学生“用 数据说话”的理性思维.全国卷概率与统计部分对学生 能力的考查呈现6大特点：淡化解题技巧，重视通性通 法;减少运算速度要求，强调运算思路本身;重视形成科 学正确的随机观念认识随机现象;重视培养对信息的阅 读、筛选、分析能力;重视培养解决实际问题中的估算、判断、决策能力;重视必然与或然、分类与整合、化归与 转化等数学思想在解题中的运用■4. 命题规律⑴客观题的命题规律2013~2014年全国卷客观题主要考查概率知识，尤 其古典概型在历年试题中均有涉及.从2015年开始，客 观题重视考查统计知识，以对统计图的认识为主要考査 形式.同时，几何概型成为概率部分的“新兴”考点，尤其 在2016、2017、2018年考查题数最多，主要涉及线段、面 积模型.此外，抽样方法、样本数据特征、二项分布、正态 分布等知识点隔年交替考查，主要考查基本概念、公式 等规则的运用•⑵解答题的命题规律2010年前，全国卷考查核心为随机事件的概率，重 视逻辑推理，强调排列组合问题解答的技巧性,但在合 情推理和应用意识方面考查较少.从2011年开始，增加 考查频率分布表、频率分布直方图的应用，通过利用图 (表冲数据，利用频率估计概率的思想解决问题.2013~ 2016年，又增加对茎叶图、散点图、折线图的应用考查，增加考查绘制(或完善)茎叶图、频率分布直方图，增加 回归分析统计案例，重视结合实际生活经验对问题进行42十7龙*?高中2018年8月考卷解析教学参谋判断、评价、预测处理.2017年独立性检验在停考7年后 “重登舞台”,并且2018年依然“隆重登场”;正态分布在 停考3后,2017年“再现身影尤其是正态分布试题具有鲜明的特点:从以往考查“已知规则、简单套用”过渡到 考查“理解原理、回归运算”.(裴光亚语)总的来看，尽管 解答题焕然一新，但对中位数、均值、标准差等数据的计 算仍为考查重点，频率估计概率、样本估计总体仍是问 题解决的核心思想.二、2010~2018年全国卷"概率与统计”试题分类评析为进一步把握命题方向，下面对近八年全国卷概率 与统狀题分类评析•1.统计部分(1) 抽样方法在统计的教学中，应引导学生根据实际问题的需 求，选择不同的抽样方法获取数据，理解数据蕴含的信 息.常见抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 近年全国卷中，抽样方法主要涉及分层抽样.例如2018 年全国I卷文科第18题、2018年全国H I卷文科第14题、2013年全国I卷理科第3题.(2) 统计图表的应用统计图表具有直观、实用的特性.《标准》指出:根据 数据分析的需求，选择适当的统计图表描述和表达数 据，并从样本数据中提取需要的数字特征，估计总体的 统计规律，解决相应的实际问题.高考对统计的考查也 常以统计图表为信息载体，从多角度、多层次命制试题, 充分考查学生识图、作图、用图的能九(i )简单识图应用近年，全国卷立足生产、生活热点，设计出很多可读 性强、图文新颖、贴近生活的统计图.比如2016年全国m 卷理科第4题介绍一年中各月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图、2017年全国m卷理科第3题考查了以“旅 游”为背景的折线统计图、2018年全国I卷理科第3题呈 现了关于新农村建设的农村经济收入变化饼状图.(i i)用样本的数字特征估计总体特征“以数据进行推断的思考方式已成为现代社会普遍 应用的思维模式，以样本估计总体是统计学最核心的思 想方法历年全国卷中，不乏用样本估计总体的试题，这类题考查学生画(或完善)频率分布直方图、茎叶图 等，并从样本中提取或计算重要数据，如“三数”、标准差 等，进而要求对总体进行合理的解释或评价的能九例如2018年全国I卷文科第19题，该题坚持了高考 “立德树人”的基本导向，通过对比某家庭使用节水龙头 前后的用水量，让学生树立保护水资源的可持续发展意识，培养节约用水的良好品行.第1问考查频数分布表、频率分布直方图，强调学生的作图能力;第2问考查利用 样本数据特征估计总体特征、古典概型等基本知识，考 查学生的估算意识以及计算能力；第3问涉及对节水前 后用水量的对比，考查学生对频数分布表的理解和应 甩近年全国卷同类型考题还有:2017年全国I卷文科 第2题;2015年全国I I卷文(理)科第18题等.可见，样本 估计总体是历年全国卷文科数学的高频考点.(i i i)统计图(表)的综合应用在工农业生产与经济生活中，质量控制、成本控制、风险控制以及产品库存等问题是经常要面对并需解决 的问题，而这些问题中普遍受到随机因素或不确定性变 量的影响，自然地需要建立随机模型，需要搜集、整理和 处理数据，需要应用统计或概率的知识和方法并最终作 出决策.高考命题常以上述实际问题为背景，以统计图 (表)为载体，考查频率与概率、随机变量分布列、期望的 计算及应用等知识，考查学生的建模、数据处理等综合 能九例如2016年全国I卷理科第19题，该题以实际生产 中成本控制为命题背景，考查柱状图的应用.第1问根据 柱状图及频率估计概率的基本思想，考查分布列的求 解.在计算;r所对应的各个概率时，涉及分类讨论思想，将问题转化为互斥事件的和以及独立事件的积进行处 理;第2问在第1问分布列的基础上，考查互斥事件的概 率加法公式；第3问以费用期望值的最小化为决策依据 确定购买量.事实上，为确定最优购买量，应逐一计算n= 16,17,…,22时所对应的期望值，通过比较得出最小期 望值所对应的41即为最优购买量.但为降低运算量，减 少重复表示，命题者只要求考生计算并对比n=19与n=20 所对应的期望值，这也体现了试题设问方式和能力考查 方向的新变化.近年全国卷同类型考题还有:2017年全 国HI卷文(理)科第18题;201碑全国I卷文科第1顿等.(3)变量的相关性2017年《考试大纲》对“变量的相关性”和“统计案 例”的要求是:两个“会”一会作两个有关联变量的数 据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.三 个“了解”—了解最小二乘法的思想，了解独立性检验 (只要求2x2列联表)的基本思想、了解回归分析的基本 思想.两个“能”—能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程;能应用一些常见的统计方法解决 一些实际问题.特别指出，在教学中，不要求学生记忆线 性回归方程、独立性检验中的相关公式或取值，能利用 已知公式代值计算、并利用所得结果对问题进行判断或 预测即可.重点考查统计思想的运用.高中十龙*? 43(i ) 独立性检验思想的应用独立性检验可谓是逐步登上高考舞台的新生花且. 独立性检验试题首次出现在2009年辽宁省卷中，由此拉 开了对独立性检验考查的序幕.近年全国卷独立性检验 的试题有:2018年全国H I 卷文(理)科第19题,2017年全 国n 卷文(理)科第19题.鉴于独立性检验在实际问题中 的应用广泛，其极有可能成为新的热门考点，复习备考 中应引起重视.以2018年全国m 卷文(理)科第19题为例,该题第2 问考查学生对独立性检验思想的应甩首先根据中位数m 完善两种生产方式下工人完成工作情况的列联表，进而 利用公式得出随机变量於的观测值，最后与临界值比较 得出结论.(i i ) 回归思想的应用回归思想是统计学的重要思想.高考试题对回归思 想的应用往往从画散点图，理解相关系数的意义，利用 最小二乘法求回归方程,预测等角度设置问题以2018年全国n 卷文(理)科第18题为例，该题考查 折线图，变量间的相关关系.第1问直接利用题中所给两 模型的回归方程，不难得出该地区2018年的环境基础设 施投资额的预测值;该题考查了对利用回归方程进行数 据计算、模型拟合的回归思想的应用.近年全国卷同类 型考题还有:2016年全国ID 卷文(理)科第18题,2015年 全国I 卷文(理)科第19题等.2•概率部分(1)随机事件的概率例1 (2013年大纲卷•文20)甲、乙、丙三人进行羽 毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结 束时，负的一方在下一局当裁判,设各局双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.(I )求第4局甲当裁判的概率；(n )求前4局中乙恰好当1次裁判的概率_评析:本例考查相互独立事件、互斥事件、对立事件 概率的求法.（I )问考查学生的逻辑推理能力.由于第1 局甲当裁判，所以“第4局甲当裁判”必推出“第2局比赛 结果为甲胜”(这样甲才能进入第三局比赛)且“第三局 比赛结果为甲负进而利用相互独立事件同时发生的 概率乘法公式解决问题.（n )问考查分类讨论、化归与 转化的数学思想.解题关键是分析出“前4局中乙恰好当 1次裁判”的三种具体赛况：（乙负，乙裁，乙胜，乙赛）, (乙胜，乙胜，乙负，乙裁）,（乙胜，乙负，乙裁，乙赛).近 年全国卷同类型考题还有:2014年大纲卷文科第20题.特别指出，在随机事件的概率部分，除了事件的关 系和运算是考查的重点，古典概型、几何概型、条件概率参谋J 考卷醜f ____________________________________2018年8月也是近年考查的热点.例如古典概型的考题有:2018年 全国n 卷文科第5题、理科第8题,2017年全国n 卷文科 第11题等;几何概型的考题有:2018年全国I 卷文科第9 题、理科第10题，2017年全国I 卷文科第4题、理科第2 题等;条件概率的考题有:2018年全国m 卷文科第5题、2016年全国n卷文(理)科第18题（n )问等.⑵离散型随机变量的分布列、均值与方差均值和方差(或标准差)是统计学的重要概念.均值 反映了随机变量取值的平均水平，方差(或标准差)刻画 随机变量的分散程度，它们都是解决实际问题的重要理 论依据.高考对离散型随机变量的分布列、均值、方差的 常见考查方式有两种:一是利用随机事件的概率性质或 公式求解分布列，再求期望、方差.这是2014年前大纲卷 理科数学解答题的高频考点.二是结合统计图（表)考 查，利用分布列、均值、方差等对实际问题作出判断、决 策等，这是历年新课标卷解答题的考查重点、热点.例2 (2018年全国I 卷•理20)某工厂的某种产品 成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对 产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验 时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果 决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合 格品的概率都为;),且各件产品是否为不合格品 相互独立.(I )记20#产品中恰有2件不合格品的概率为办),求/t p )的最大值点P 。
学生版2013年全国高考理科数学考试试题分类汇编11：概率与统计
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．602 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11B ．12C ．13D ．143 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π- B ．12π-C ．22π-D ．4π6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）A ．14B ．12C ．34 D ．787 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ）A ．588B ．480C ．450D ．1208 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)11：概率与统计 含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数)11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）)某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( ）A ．45B ．50C ．55D ．60B第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
选B 。
2 ．(2013年高考陕西卷（理)）某单位有840名职工， 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查， 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中， 编号落入区间[481， 720]的人数为 （ )A ．11B ．12C ．13D ．14B【KS5U 解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人,接着从编号481~720共240人中抽取12人。
故选B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94，88，92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88，93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数C对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。
对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。
对C选项，男生方差为40，女生方差为30。
所以C选项正确。
对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。
2013年、2012年、2011年高考题分类汇编之概率与统计
1 1 1 3 + × = . 2 2 2 4
解析:∵p1=1-(
99 10 98 5 C2 5 ) ,p2=1-( 299 ) =1-( ), 100 100 C100
∴p1<p2.故选 B. 答案:B 4.(2012 年江苏卷,6)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随 机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 3) ,(-3) ,(-3) ,(-3) ,(-3) , 所以它小于 8 的概率等于 答案:
C +C 3 = . 2 5 C5
2 3 2 2
3 5
(结果用最简分数表示).
7.(2010 年上海卷,理 9)从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得红桃 K”,事件 B 为 “抽得为黑桃”,则概率 P(A∪B)= 解析:52 张中抽一张的基本事件为 52 种,事件 A 为 1 种,事件 B 为 13 种,并且 A 与 B 互斥, 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= 答案:
.
解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可 能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军 的概率为 答案:
3 1 19 + = . 7 4 28
19 28
第二节
古典概型与几何概型
高考试题
考点一
2 . 9
1 . 12
1 12
4.(2012 安庆质检)在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择 3 个点,则刚好构成直角三角形的概率为 解析:∵直角三角形的斜边是圆的直径, 而圆周上的 10 个等分点能组成 5 条直径, ∴直角三角形的个数为 5 C1 8 =40 个.
2013年全国高考理科数学概率与统计试题汇编
2013年全国高考理科数学概率与统计试题汇编3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设袋子中装有个红球, 个黄球, 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分. (1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若 ,求【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ,此时 ;所以的分布列是: 2 3 4 5 6 P (Ⅱ)由已知得到: 有三种取值即1,2,3,所以的分布列是: 1 2 3 P 所以: ,所以 . 4．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 t该产品获利润元,未售出的产品,每 t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 t该农产品,以 (单位:t, )表示下一个销售季度内的市场需求量, (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将表示为的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 ,则取 ,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的数学期望.【答案】 5．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从 (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 .若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求的分布列和数学期望.【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种, 时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为 . (2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形; 时,有10种情形.所以的分布列为: . 6．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故 , , 所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是, , ; (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 , , , 故的分布列为 0 1 2 3 所以 7．（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 . (I)求的值;(参考数据:若 ,有 , , .) (II)某客运公司用 . 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次, . 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车. 型车各多少辆?【答案】解:(I) (II)设配备型车辆, 型车辆,运营成本为元,由已知条件得 ,而作出可行域,得到最优解 . 所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小. 8．（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = (Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = , ∴X的分布列为X 400 500 800 P EX=400× +500× +800× =506.25 9．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分) 运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数的分布列及数学期望. 【答案】解: .变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故 ; 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故 ; 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下: 输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3)随机变量可能饿取值为0,1,2,3. 故的分布列为所以即的数学期望为1 2．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加( 和都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使取得最大值的整数 .【答案】解: (Ⅰ) .。
2013高考(理数)分类解析(概率统计-函数导数)word版
2013高考(理数)分类解析(概率统计-函数导数)word版D1 7 92 0 1 5 3第17题图3.（2013广东卷.理17题）．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工 人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀 工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有 名优秀工人的概率. 【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.4．（本小题满分13分）(2013广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.4；50（2）重量在[)85,80的有54=1⋅个；5+15（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)95分段的为2、3、4，,100从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)95中各有1个的事件为A，则事件A包含有,100（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31P==.(A)625.（2013全国新课标二卷.理18题）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。
2013年北京高三(二模)数学(理)分类汇编系列三解析版11概率与统计
【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。
3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。
4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11—圆锥曲线(解答题部分)(T)
2013年全国各省（市）高考数学（理）分类汇编-11(解析几何)解答题部分1. (2013年天津卷18题)(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值. 解(1)设(,0)F c -,由3c a a =⇒=,过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-.代入椭圆方程得2222()1c y y a b -+=⇒=,b =⇒=又2221b a c a c =-⇒=.所以椭圆的方程为22132x y += (2)设点1122(,),(,)C x y D x y ,由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+.由222222(1)(32)6360132y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩,22121222636,3232k k x x x x k k -∴+=-=++,因为(A B ,所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=⋅-+⋅-212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x --=--++2222121222126(22)2()2632k k x x k x x k k +=-+-+-=++由已知得222126832k k k ++=⇒=+2.（2013年重庆卷21题）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点，4AA '=。
（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P '，过,P P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外。
备战2014年高考之2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题(大部分详解)分类汇编11概率与统计
备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（ ）A ．()1P ξ=B ．()1P ξ≤C ．()1P ξ≥D ．()2P ξ≤【答案】B 【解析】()1P ξ==1457512C C C ,57512C (0)C P ξ==,所以514757551212C C C (0)(1)C C P P ξξ=+==+，选 B ． 2 ．（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））已知随机变量130,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则随机变量ξ的方差()D ξ= （ ）A ．56B ．5C ．256D ．25【答案】随机变量ξ服从二项分布,所以方差1125()(1)301666D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-=⎪⎝⎭.故选 C ． 3 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）设随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）A ．5B ．3C ．35D ．37 【答案】D 【解析】因为ξ服从正态分布)4,3(N ，所以随机变量ξ关于直线3x =对称，因为)2()32(+>=-<a P a P ξξ，所以23,2x a x a =-=+关于3x =对称，所以23232a a -++=，即37a =，解得73a =，选 D ．4 ．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 （ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =>C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =<【答案】D 【解析】由样本中数据可知115x =，215x =，由茎叶图得12s s <，所以选D ．5 ．（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word 版含答案）在边长为3的正方形ABCD内任取一点P,则P 到正方形四边的距离均不小于l 的概率为 （ ）A ．19B ．13C ．49 D ．89【答案】A ．6 ．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是A ．12 B ．16 C ．112 D ．136【答案】B 【解析】投掷该骰子两次共有66=36⨯中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是611=666⨯⨯，选 B ．7 ．（云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试数学理）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病倒数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频次散布直方图如图, 数据的分组一次为20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．60【答案】B2 ．（ 2013 年高考陕西卷（理））某单位有840 名员工 ,现采纳系统抽样方法,抽取42人做问卷检查 ,将840人按1, 2, , 840随机编,则抽取的42 人中 ,编落入区间[481,720]的人数为（）A． 11B． 12C． 13D． 14【答案】B50 名学3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有生, 此中有 30 名男生和 20 名女生 , 随机咨询了该班五名男生和五名女生在某次数学测试中的成绩, 五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.以下说法必定正确的选项是（）A．这类抽样方法是一种分层抽样B．这类抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的均匀数小于该班女生成绩的均匀数【答案】 C4．（ 2013 年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名 . 为认识男女学生在学习兴趣与业余喜好方面能否存在明显差别, 拟从全体学生中抽取100 名学生进行检查 , 则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】 D5．（ 2013 年高考陕西卷（理））如图,在矩形地区的 ,两点处各有一个通讯基站,假ABCD A C设其信覆盖范围分别是扇形地区ADE和扇形地区 CBF(该矩形地区内无其余信根源,基站工作正常 ).若在该矩形地区内随机地选一地址, 则该地址无．信的概率是DF C1EA2B（）A ． 1B ．1C ． 2D ．4224【答案】 A6 ．（ 2013 年高考四川卷（理） ） 日里某家前的 上挂了两串彩灯 , 两串彩灯的第一次亮相互独立 , 若接通 后的 4 秒内任一 刻等可能 生 , 而后每串彩灯在内 4 秒 隔亮, 那么 两串彩灯同 通 后 , 它 第一次 亮的 刻相差不超2 秒的概率是（）A ．1B ．1C ．3D ．7424 8【答案】 C7 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）） 某校从高一年学生中随机抽取部分学生, 将他 的模 成 分 6 :[40,50), [50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100) 加以 , 获取如 所示的 率散布直方 , 已知高一年 共有学生600 名 , 据此估 , 模 成 许多于 60 分的学生人数 （）A ． 588B ． 480C ． 450D ． 120【答案】 B8 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 体有 01,02, ⋯,19,20的 20 个个体 成。
2013年高考数学试题分析概率
2. 2013山东
1 3
（1）(理）在区间上[-3，3]随机取一个数X,使得｜x+1｜-｜x-2≥1 成立的概率为______. 【答案】1/3 (2)． (理）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随 即结束,除第五局甲队获胜的概率是1/2之外,其余每局比赛甲队获胜的概率 都是2/3,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2, 则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望. (3)(文）将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平 均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认, 在图中以x表示:
陕西、安徽
福建、大纲、辽宁、山东
概率分布
分布列、期望、方差
广东、湖北、江苏、辽宁、上海、北京、 天津、大纲、福建、陕西、湖南、重庆 浙江、江西、山东、四川、安徽
正态分布
湖北
三、知识点分布-文科
考点 知识点 随机抽样 统计与统计 案例 用样本估计总体 独立性检验 回归分析 古典概型 几何概型 概率 互斥事件概率 相互独立事件同时发生的概率（理科） n次独立重复试验（理科） 条件概率（理科） 分布列、期望与方差（理科）
4.2013年新课标：
1.(理）为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取 部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的 视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中, 最合理的抽样方法是 （ ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 【答案】 C． 2. .(理）从n个正整数1,2,3……n中任意取出两个不同的数,若取出的两数 之和等于5的概率为1/14, 则n=________. 【答案】8 3.(文）从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的 概率是 （ ） A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．1/6 【答案】B （4）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的 概率是________. 【答案】1/5
2013年高考试题分类汇编(统计与概率)
3.841
6.635
10.828
A． B． C． D．
4.（2013·山东卷·理科）在区间 上随机取一个数 ，使得 成立的概率为.
5.（2013·重庆卷·理科）从 名骨科、 名脑外科和 名内科医生中选派 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 人的选派方法种数是（用数字作答）．
考点2统计
1.（2013·福建卷·理科）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 组： ， ， ， ， ， ，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 分的学生人数为
A. B. C. D.
2.（2013·辽宁卷·文理科）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 ， ， ， ，若低于 分的人数是 人，则该班的学生人数是
A. B. C. D.
3.（2013·陕西卷·文科）对一批产品的长度(单位： )进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间 上的为一等品，在区间 和区间 上的为二等品，在区间 和 上的为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为
（Ⅰ）求家庭的月储蓄 对月收入 的线性回归方程 ；
（Ⅱ）判断变量 与 之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程 中， ， ，其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 ．
考点5独立性检验
1.（2013·福建卷·文科）某工厂有 周岁以上（含 周岁）工人 名， 周岁以下工人 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“ 周岁以上（含 周岁）”和“ 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 组： ， ， ， ， ，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
2013年理科全国各省市高考真题——概率与排列组合(带答案)
2013年全国各省市理科数学—概率与排列组合1、2013新课标I理T3.为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A）简单的随机抽样（B）按性别分层抽样（C）按学段分层抽样（D）系统抽样2、2013辽宁理T5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，20,40,40,60,60,80,820,100.数据的分组一次为[)[)[)[)若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）45（B）50（C）55（D）603、2013重庆理T4.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y的值分别为（）A、2,5B、5,5C、5,8D、8,84、2013福建理T4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.1205、2013安徽理T5.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6、2013陕西理T4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、2013湖南理T2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法8、2013江西理T4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计Word版含答案-(5460)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．60【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（）A ．14B ．12C ．22D ．4【答案】A6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A ．588B ．480C ．450D ．120【答案】B8 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
概率与统计2013高考题大题(理)
1.（2013广东卷（理））某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日 加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值;(Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;(Ⅲ)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.2.（2013年北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指 数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)1 7 92 0 1 53 03.（2013年福建卷（理））某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙,中将可以获得2分;方案乙的中奖两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,率为25每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y,求3X 的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?4.（2013年天津卷（理））一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.5.（2013大纲版卷（理））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁2判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.6.（2013年高考陕西卷（理））在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.7．（2013湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与期望值.8．（2013浙江卷（理））设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规 定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ,求.::c b a9．（2013重庆卷（理））某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在 一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个 球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:奖级摸出红.蓝球个数 获奖金额 一等奖3红1蓝 200元 二等奖3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .10．（2013辽宁卷（理））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.11．（2013新课标Ⅱ卷（理））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,150100≤≤X)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X∈,则取105X=,且105X=的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T的数学期望.12．（2013山东卷（理））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.13．（2013江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X 的分布列和数学期望.14．（2013湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .(1)求0p 的值;(参考数据:若()2,X N μσ ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)(2)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?15．（2013新课标I卷（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.16．（2013安徽卷（理））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(Ⅱ)求使()取得最大值的整数m.P X m17.（2013四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲乙当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.答案1.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率. 解:(1)由题意可知,样本均值171920212530226x +++++== (2) 样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,∴可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:21246⨯= (3) 从该车间12名工人中,任取2人有21266C =种方法, 而恰有1名优秀工人有1110220C C = ∴所求的概率为:1110221220106633C C P C === 2.（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.1 7 92 0 1 53 0第1题图(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”( i =1,2,,13).根据题意, 1()13i P A =,且()i j A A i j =∅≠ . (I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A = , 所以58582()()()()13P B P A A P A P A ==+= . (II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)=413, P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 413, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 513, 所以X 的分布列为:012544131313XP故X 的期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.3.（2013年福建数学（理）试题）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯= P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)> E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.4.（2013年天津数学（理）试题）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.5.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.6.（2013年高考陕西卷（理））在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙未选中3号歌手的概率为53-1. 所以P(A) = 15453-132=⋅）（. 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为154 (Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙选中3号歌手的概率为53. 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) =754)531()321(2=-⋅-. 当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) =75207566853)531(321()531(53321()531(322=++=⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅））. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) =7533751291253)531(325353321()531(5332=++=⋅-⋅+⋅⋅-+-⋅⋅）. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = 7518)53(322=⋅. X 的分布列如下表:1575753752751750==⋅+⋅+⋅+⋅=εE 所以,数学期望1528=EX7.（2013年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率;(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点. 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”. 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率923128=⋅=P(Ⅱ)三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).154)51(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).154)48(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,).156)45(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).153)42(==Y P 所以 如下表所示:4615151542154515481551)(===⋅+⋅+⋅+⋅=Y E46)(=∴Y E .8. （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ,求.::c b a解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时2ξ=,此时331(2)664P ξ⨯===⨯;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时4ξ=,此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时3ξ=,此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时5ξ=,此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯;当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=,此时111(6)6636P ξ⨯===⨯;所以ξ的分布列是: ξ23456P141351819136(Ⅱ)由已知得到:η有三种取值即1,2,3,所以η的分布列是:η1 2 3Pa ab c++b a b c++ c a b c++所以:2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩,所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.9.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:获奖金额奖级摸出红.蓝球个数一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;.(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()E X10.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.11.（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X(单位:t,150100≤≤X)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内销售该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望.12.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”为事件3A ,由题意,各局比赛结果相互独立,故3128()()327P A ==,22232228()()(1)33327P A C =-⨯=,122342214()()(1)33227P A C =-⨯=所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是827,827,427; (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以122442214()(1)()(1)33227P A C =-⨯-=由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+1627=, 34(1)()27P X P A ===, 44(2)()27P X P A ===,(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=327=故X 的分布列为X 0123P1627427427327所以16443012327272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯79=13. （2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从1234567,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X 的分布列和数学期望.解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2828C =种,0χ=时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P χ===. (2)两向量数量积χ的所有可能取值为2,1,0,1,2χ--=时,有两种情形;1χ=时,有8种情形;1χ=-时,有10种情形.所以χ的分布列为:(2)+(1)0114147714E χ=-⨯-⨯+⨯+⨯=-.14.（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (I)求p 的值;(参考数据:若()2,X N μσ ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆? 解:(I)010.50.95440.97722p =+⨯=(II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得2136609007,x y x y y x x y N +≤⎧⎪+≥⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩,而16002400z x y =+作出可行域,得到最优解5,12x y ==.所以配备A 型车5辆,B 型车12辆可使运营成本最小.15.（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X 的分布列及数学期望.设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3244111()()222C ⨯⨯+411()22⨯=364(Ⅱ)X 的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-3344111()()222C ⨯-=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=33411()22C ⨯=14,∴X 的分布列为400500800111611614EX=400×1116+500×116+800×14=506.2516.（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯D 版））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使()P X m =取得最大值的整数m . 解:(Ⅰ)n kA P n k A P A -1)()(==，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件.)()(),()(A P B P A P B P B ==师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件.师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件C .则22)(2)1(1)B P()A P(-1=P(C)nkn k nk-=--=⋅. 所以,2)(2nkn k -老师的通知信息为学生甲收到李老师或张.17.（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i=;(1,2,3)i(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为(1,2,3)i i=的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲 乙当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.。
2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编11：概率
2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编11：概率一、选择题1 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）如图,设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x =>图象下方的区域 (阴影部分),从D 内随机取一个点M ,则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C 【解析】:将1y x =与2y =图象交点记为A ,则1(,2)2A ,∴阴影部分E 的面积1121121ln 22S dx x=+⨯=+⎰,而D 的面积为122⨯=,∴所求概率1ln 22P +=.故选 C ．2 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为 （ ）A ．31B ．21 c.32 D ．61 【答案】A 【解析】由()4n A =知,函数2|3|yx ax =++和1y =的图像有四个交点,所以23y x ax =++的最小值21214a -<-,解得4(4)a a ><-舍去,所以a 的取值是5,6.又因为a 的取值可能是6种,故概率是2163=,故选 （ ）A ．3 ．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π【答案】答案:A考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,4 ．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023P ξ>=,则(22)P ξ-=≤≤ （ ）A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C 【解析】由随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称,而(2)0.023P ξ>=,则(2)0.023P ξ<-=,故(22)1(2)(2)0.954P P p ξξξ-=->-<-=≤≤,故选C5 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ,A 是曲线2x y =与21xy =围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．31 B ．41 C ．81 D ．121 【答案】D 区域A面积为)31231200211|333x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ 11/4312P ==第8题图二、填空题6 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.8P ξ<=,则(02)P ξ<<等于_____________.【答案】0.3【解析】(4)0.8P ξ<=,则2.0)4(=>ξP ,又分布图像关于直线2=x 对称,2.0)4()0(=>=<ξξP P ,则6.0)40(=<<ξP ,3.0)20(=<<ξP7 ．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x y m n+=1表示双曲线的概率为________.【答案】5128 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是_______________.【答案】463【解析】将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数则有123456777777722126C C C C C C +++++=-=种,因为123456728++++++=,所以要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为14.则有7615432++=+++;7526431++=+++;7436521++=+++;7421653+++=++;5432761+++=++;6431752+++=++;6521743+++=++;6537421++=+++共8种,所以两组中各数之和相等的概率是8412663=9 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是________【答案】925【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D 在线段BC 上时,点D 到直线+2=0y 的距离等于2,所以要使点D 到直线的距离大于2,则点D 应在三角形BCF 中.各点的坐标为(20)(40)(62)(42)(43)B C D E F ----，，，，，，，，，,所以105DE EF ==，，6BC =，3CF =,根据几何概型可知所求概率为163921251052BCFDEFS P S ∆∆⨯⨯===⨯⨯.三、解答题10．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路 人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性 女性 合计反感 10不反感 8 合计 30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 【答案】由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X X 的数学期望为:012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=11．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =5 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 北京市高考压轴卷理科数学）本小题共14分 12．（2013届加2012年全省高中篮球比赛,某中学决定从四为了参个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表:(II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中来自高三(7)班的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .【答案】解:(I)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件A ,则2222423321213()66C C C C P A C +++== 6' (II)ξ的所有可能取值为0,1,2 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C CC C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为:10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= 14' 13．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. (I)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(II)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(III)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记X Yξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【答案】解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为13,去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件i A ,(0,1,2,3,4)i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(Ⅰ)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率22224128()()()3327P A C ==(Ⅱ)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ,34B A A =⋃, 故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19(III)ξ的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27P P A ξ===,1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是14881E ξ=14．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q ≤80时,为酒后驾车;当Q >80时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2012年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q <140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和数学期望. 【答案】解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人.(Ⅱ) 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人;所以x 的所有可能取值为0,1,2;P(x =0)=3836C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=382216C C C =283X 的分布列为432832281511450)(=⨯+⨯+⨯=X E . 15．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）我省某示范性高中为推进新课程改革,满足不同层次学生的要求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座).统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; 各辅导讲座满座的科目数为ξ,(2)设周三量ξ的分布列和数学期望.求随机变【答案】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ,则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.4121(0)(1)(1)2348P ξ==-⋅-=; 1344112121(1)(1)(1)(1)223238P C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅=;22213441121127(2)()(1)(1)()(1)22322324P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=; 33222441121121(3)()(1)(1)()(1)2232233P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=;.4334121123(4)()(1)()(1)2322316P C ξ==⋅-+⋅⋅-⋅=;4121(5)()2324P ξ==⋅=. 所以,随机变量ξ的分布列如下:故117131801234548824316243E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 16．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）生产A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B 为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元 .在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率.【答案】【答案】(Ⅰ)解:元件A 为正品的概率约为4032841005++=元件B 为正品的概率约为4029631004++=(Ⅱ)解:(ⅰ)随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-433(90)545P X ==⨯=; 133(45)5420P X ==⨯=; 411(30)545P X ==⨯=; 111(15)5420P X =-=⨯=所以,随机变量X 的分布列为:3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=(ⅱ)设生产的5件元件B 中正品有n 件,则次品有5n -件.依题意,得 5010(5)140n n --≥, 解得 196n ≥.所以 4n =,或5n =设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ,则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=17．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者.(Ⅰ)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率【答案】解:(I)ξ得可能取值为 0,1,2;由题意P(ξ=0)=343615C C =, P(ξ=1)=21423635C C C =, P(ξ=2)=12423615C C C = ∴ξ的分布列、期望分别为:E ξ=0×15+1×35+2 ×15=1 (II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C男生甲被选中的种数为2510C =,男生甲被选中,女生乙也被选中的 种数为144C =∴P(C)=142542105C C ==在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为2518．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球,1号球有1个,2号球有m 个,3号球有n 个.从袋中依次摸出2个球,已知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率是13. (Ⅰ)求m 、n 的值;(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,记得到小球的编号数之和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.【答案】解:(1)记“第一次摸出3号球”为事件A ,“第二次摸出2号球”为事件B ,则31110)/(=-=m A B P , 解得6,3==n m ;(2)随机变量ξ的取值为6,5,4,3,ξ的分布列为所以,数学期望5=ξE 19．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.【答案】解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到i 个新球(即i =ξ)”为事件i A (=i 0,1,2).因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以51)0()(26230====C C P A P ξ, 53)1()(2613131====C C C P A P ξ,51)2()(26232====C C P A P ξ.所以ξ的分布列为(注:不列表,不扣分)ξ3 4 5 6P151 51 52 31ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE .(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++. 而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥,所以,)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++. 由条件概率公式,得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）.所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P . 20．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）(本小题满分13分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19,110,111,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率;(Ⅱ)获赔金额ξ的分布列与期望.【答案】解:设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故,123k=，，.由题意知1A ,2A ,3A 独立, 且11()9P A =,21()10P A =,31()11P A =. (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=,123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==, 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==, 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=. 综上知,ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法: 解法一:由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯299002718.1811=≈(元). 解法二:设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额,123k =，，, 则1ξ有分布列故11900010009E ξ=⨯=. 同理得21900090010E ξ=⨯=,319000818.1811E ξ=⨯≈.综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=(元).21．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球.现在前后一共掷了4次骰子,设x 、y 分别表示甲、乙盒子中球的个数. (Ⅰ)求13y x ≤-≤的概率;【答案】解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为12,.33(Ⅰ)若13,y x ≤-≤则只能有1,3,x y ==即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次在乙盒中放球,因此所求概率3141232.3381P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭(Ⅱ)由于,x y ξ=-所以ξ的可能取值有0,2,4()222412240,3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33134********,333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()44444111743381P C C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量ξ的分布列为:故随机变量ξ的数学期望为244017148024.81818181E ξ=⨯+⨯+⨯= 22．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F,从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为X(三点共线时,规定X=0)(1)求1()2P X ≥;(2)求E(X)CB【答案】【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件,事件“12X ≥”所含基本事件有2317⨯+=,从而17()220P X =≥. ⑵X 的分布列为:X 014 12 P3201020620120则311016113()01204202202040E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 答:17()220P X =≥,13()40E X =. 23．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）( 本小题满分12分)某次体能测试中,规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为7.0(假定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2) 求运动员甲参加测试的次数 的分布列及数学期望(精确到0.1).【答案】⑴因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7运动员甲参加两次测试的概率是0.7×0.3=0.21所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 ⑵ξ的可能取值是1,2,3,4 P(ξ=1)=0.7;P(ξ=2)=0.21; P(ξ=3)=0.063; P(ξ=4)=0.027;24．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）选聘高校毕业生到村任职,是党中央作出的一项重大决策,这对培养社会主义新农村建设带头人,引导高校毕业生面向基层就业创业具有重大意义.为响应国家号召,某大学决定从符合条件的6名(其中男生4名,女生2名)报名大学生中选择3人到某村参加村主任应聘考核.(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.【答案】【解析】(Ⅰ):ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意得:3436C 1(0)C 5P ξ===,214236C C 3(1)C 5P ξ===,124236C C 1(2)C 5P ξ===. ∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ):设“男生甲被选中”为事件A ,“女生乙被选中”为事件B ,则()2536C 1C 2P A ==, ()1436C 1C 5P AB ==,∴()()()25P AB P B A P A ==.故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25. 25．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=,乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取2个球, 从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ,求当P 取得最大值时,x y 的值; (Ⅱ)当2x =时,求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.【答案】【解析】(I)由题意知203)2(60160.211=+≤=⋅=γx xy Cx C C P L r , 当且仅当y x =时等号成立,所以,当P 取得最大值时3==y x .(II)当2=x 时,即甲箱中有2个红球与4个白球,所以ξ的所有可能取值为3,2,1,0则51)0(14261124===C C C C P ξ,157)1(14261224121412=+==C C C C C C C P ξ,103)2(14261214121222=+==C C C C C C C p ξ, 301)3(142612===C C C P ξ,所以红球个数ξ的分布列为于是67=ξE . 26．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）,获得如下数据:试销结束后(假设商品的日销售量的分布规律不变),在试销期间,每天开始营业时商品有5件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于3件,则当天进货补充到5件,否则不进货. (1)求超市进货的概率(2)记ξ为第二天开始营业时该商品的件数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】【解析】(1)10642()(3)(4)(5)3030303P P P P =++=++=进货销售件销售件销售件 (2)ξ的取值是345.，， 61317(3)(4)(5)305301010P P P ξξξ========，，，即分布列是: 所以数学期望是345 4.551010E ξ=⨯+⨯+⨯=。
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2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生, 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【答案】D5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 （ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π【答案】A6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A．14B．12C．34D．78【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【答案】B8 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选）A．08 B．07 C．02 D．01【答案】D9 ．（2013年高考新课标1（理））为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【答案】C．10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次（）A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8【答案】C11．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知离散型随机变量X的分布列为X23P 35310110则X的数学期望EX （）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】A12．（2013年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X = （ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75【答案】B 二、填空题13．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6, 7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)【答案】1318. 14．（2013年高考湖北卷（理））从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.(I)直方图中x 的值为___________;(II)在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为_____________.【答案】0.0044;7015．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________. 【答案】216．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间“310a ->”发生的概率为________【答案】2317．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________. 【答案】818．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________. 【答案】1019．（2013年高考上海卷（理））设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ,则方差_______D ξ=【答案】|D d ξ=.20．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））在区间[]3,3-上随机取一个数x ,使得121x x +--≥成立的概率为______.21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.【答案】2063.三、解答题22．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率.【答案】解:(1)由题意可知,样本均值171920212530226x +++++==(2)样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,∴可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:21246⨯= (3)从该车间12名工人中,任取2人有21266C =种方法,而恰有1名优秀工人有1110220C C =1 7 92 0 1 53 0第17题图∴所求的概率为:1110221220106633C C P C === 23．（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】解:设i A 表示事件“此人于3月日到达该市”(=1,2,,13). 根据题意, 1()13i P A =,且()i j A A i j =∅≠.(I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A =,所以58582()()()()13P B P A A P A P A ==+=. (II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413, P(X=2) =P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 413,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 513,所以X 的分布列为:012544131313XP故X 的期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯=P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115.(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.25．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张,编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】26．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立,第局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.【答案】27．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望. 【答案】1．（2013年高考陕西卷（理））在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.【答案】解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手. 观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙未选中3号歌手的概率为53-1. 所以P(A) = 15453-132=⋅）（. 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为154 (Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙选中3号歌手的概率为53. 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = 754)531()321(2=-⋅-.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) =75207566853)531(321()531(53321()531(322=++=⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅））. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) =7533751291253)531(325353321()531(5332=++=⋅-⋅+⋅⋅-+-⋅⋅）. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = 7518)53(322=⋅.X 的分布列如下表:2752017540+⋅+⋅=εE所以,数学期望1528=EX 1．（2013年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年与它的“相近”作物株数这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”.所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率923128=⋅=P (Ⅱ)三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).154)51(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).154)48(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).156)45(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).153)42(==Y P 所以 如下表所示:1544815251)(⋅+⋅=Y E46)(=∴Y E .2．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有个蓝球与2个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .【答案】概率P3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等) 1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ,求.::c b a【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时2ξ=,此时331(2)664P ξ⨯===⨯;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时4ξ=,此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时3ξ=,此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时5ξ=,此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯;当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=,此时111(6)6636P ξ⨯===⨯;所以ξ的分布列是: ξ 2 3 4 5 6P14 13 518 19 136(Ⅱ)由已知得到:η有三种取值即1,2,3,所以η的分布列是:η 1 2 3Pa abc ++ b a b c ++ c a b c++所以:2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩,所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.4．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.(Ⅰ)将T 表示为X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望.【答案】5．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X 的分布列和数学期望.【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2828C =种,0χ=时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P χ===. (2)两向量数量积χ的所有可能取值为2,1,0,1,2χ--=时,有两种情形;1χ=时, 有8种情形;1χ=-时,有10种情形.所以χ的分布列为:(2)+(1)0114147714E χ=-⨯-⨯+⨯+⨯=-.6．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”为事件3A ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故3128()()327P A ==, 22232228()()(1)33327P A C =-⨯=,122342214()()(1)33227P A C =-⨯=所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是827,827,427; (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以122442214()(1)()(1)33227P A C =-⨯-=由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+1627=, 34(1)()27P X P A ===, 44(2)()27P X P A ===,(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=327=故X 的分布列为X0 123P1627 427427 327所以16443012327272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯79=7．（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (I)求p 的值;(参考数据:若()2,XN μσ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?【答案】解:(I)010.50.95440.97722p =+⨯= (II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得 2136609007,x y x y y x x y N +≤⎧⎪+≥⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩,而16002400z x y =+作出可行域,得到最优解5,12x y ==.所以配备A 型车5辆,B 型车12辆可使运营成本最小.8．（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品, 则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X 的分布列及数学期望.【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3244111()()222C ⨯⨯+411()22⨯=364(Ⅱ)X 的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-3344111()()222C ⨯-=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=33411()22C ⨯=14, ∴X 的分布列为X400 500800P111611614EX=400×1116+500×116+800×14=506.259．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为的概率(1,2,3)i P i =;(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)的值的频数当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.【答案】解:()I .变量x 是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故112p =; 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故213p =; 当x 从6, 12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故316p =()II 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下:比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3)随机变量ξ可能饿取值为0,1,2,3.0303128(0)3327p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1213124(1)339p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123122(2)339p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3033121(3)3327p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ的分布列为所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 即ξ的数学期望为12．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使()P X m =取得最大值的整数m .【答案】解:(Ⅰ) nk A P n k A P A -1)()(==，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件. )()(),()(A P B P A P B P B ==师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件. 师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件C .则22)(2)1(1)B P()A P(-1=P(C)nkn k n k -=--=⋅.所以,2)(2nkn k -老师的通知信息为学生甲收到李老师或张.。