电场强度与梯度

p Ep = −eV = − 4π ε 0 r 2
e = 1.60 ×10−19 C
e
o
H H
r p A
1.60 ×10−19 6.2 ×10−30 = 3.57 ×10−20 J Ep = 4π × 8.85 ×10−12 (5 ×10−10 ) 2
与气体分子热运动能量比较
Ep 3.57 ×10−20 = K = 2.59 ×103 K T= k 1.38 × 10−23
y q 解 QV = 4πε 0 ( x 2 + R 2 )1 2 r R q E = −∇V o ∂V ∴ E = Ex = − z ∂x ∂ 1 q =− 2 2 12 ∂x 4πε 0 ( x + R )
r
θ
P
x
x
qx = 4πε 0 ( x 2 + R 2 )3 2
1
的电势和电场强度。 例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。 解 V = +
Q r0 << r ∴ r− − r+ ≈ r0 cos θ
q 4π ε 0 r+ 1 q V− = − 4π ε 0 r− V = V+ + V− q r− − r+ = 4π ε 0 r+ r− 1
y
r−
θ
A
r+ r
−q o r +q x
θ=
π
2
r0
V =0
写成： 用A点的坐标x,y写成：
x V= 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )3 / 2
p
y
r−
θ
A
∂V p y2 − 2x2 Ex = − =− ∂x 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )5 / 2
r+ r
∂V p 3xy Ey = − = ∂y 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )5 / 2
b
r r q0 ≠ 0 E ≠ 0 dl ≠ 0
r r ∴ E ⊥dl
等势面密集的地方电场强度大， ② 等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电 场强度小。 场强度小。 2 几种电荷分布的电场线 与等势面 ⑴ 点电荷的电场线与等势面
+q
⑵ 一对等量异号点电荷的电场线和等势面
−q
+q
⑶ 两平行带电平板的电场线和等势面
r e
r e
高 电 势
沿
向
dV Et = − dlt
Q dV = 0
∴ Et = 0
dV ⑵ 沿法向 En = − V rt dln n dV dl A Q < 0 时E > 0 V +∆V θ r dln dln r r ∴ E 的方向总是由高电 高 低 r E 电 电 势指向低电势，即 E 与 r r 势 r 向 势 dV e En = − en d ln n r dV e 电势 电的电势 ， n d ln r dV e grad V = d ln n
电子在分子电偶极子电场中所受的力为
p F = eE = 4π ε 0 x 3 2 ×1.60 ×10−19 6.2 ×10−30 = = 1.43 ×10−10 N 4π × 8.85 ×10−12 (5 ×10−10 )3 2e
F 1.43 × 10−10 a= = m ⋅ s −2 = 1.57 × 1020 m ⋅ s −2 −31 m 9.11× 10
△l→0时有 →0时有
r B ∆l r
A
V
∆V dV El = − lim =− ∆l →0 ∆l dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量， 电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量， 等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变 化率的负值。 化率的负值。 rt 电场强度的单位也用V/m。 V dl A n 2 电势梯度 V +∆V θ r 显然电势沿不同方向 dln r 不同的， 的单位长度 量 不同的， 低 E 电 方向上的 势 向。 向 向。
r+ r
−q o r +q x
r0
r− r+ ≈ r
2
q r− − r+ q r0 cos θ ≈ V= 4π ε 0 r 2 4π ε 0 r+ r− 1 p cos θ = 4π ε 0 r 2
y
r−
θ
A
p cosθ 即V≈ 4πε0 r2 1
p θ =0 V ≈ 4π ε 0 r 2 1 p θ =π V ≈ − 4π ε 0 r 2 1
⑵ 直角坐标系中
∂V ∂V ∂V Ex = − Ey = − Ez = − ∂x ∂y ∂z r ∂V r ∂V r ∂V r E=− （ i+ j+ k ) = −gradV ∂x ∂y ∂z
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电场强度与电势梯度关系的物理意义 ① 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内 电势V的空间变化率。 电势V的空间变化率。 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。 ② 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。
r−
r
θ
r+
x=0
−q o r +q x
r0
如图所示， 例3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩 p=6.2×10-30C·m 的电偶极子。有一电子放在电 m 的电偶极子。 偶极矩的延长线、距电偶极矩中心O 偶极矩的延长线、距电偶极矩中心O为5×10-10m 的点A 的点A上。求电子的势能和作用在电子上的力。 求电子的势能和作用在电子上的力。 解 电子在A点的电势能为 电子在A
+ + + + + + + + + + + + + + + +
二 电场强度与电势梯度 1 电势沿任意方向的增加率
r r El θ U AB = − VB − VA） E ⋅ ∆l （ = r = E ∆l cos θ E Q E cos θ = El ∆V = VB − VA V +∆V ∆V ∴ − ∆V = El ∆l 即 El = − ∆l
r e
r e
3 电场强度与电势梯度的关系
r r dV r r r r Q E = En + Et Et = 0 ∴ E = En − en dln
可见：电场强度大小等于电势梯度的负值， 可见：电场强度大小等于电势梯度的负值， 方向由高电势指向第电势处。 方向由高电势指向第电势处。
dV 电场强度沿任意方向的分量： ⑴ 电场强度沿任意方向的分量：El = − r r dl El = E cos( E , l ) = E cos θ = −( gradV )l = − dV cos θ dln Qdl > dln ∴ En > El
8-8 一
电场强度与电势梯度
等势面(电势图示法) 等势面(电势图示法) 电场中由电势相等的点组成的面叫等势面。 电场中由电势相等的点组成的面叫等势面。 为了描述空间电势的分布， 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等 势面间的电势差相等。 则等势面越密的地方， 势面间的电势差相等。 则等势面越密的地方， 电场强度越大。 电场强度越大。
−q o r +q x
r0
p (4 x 2 + y 2 )1/ 2 ∴ E = Ex2 + E y2 = 4π ε 0 ( x 2 + y 2 ) 2
A点在电偶极矩的延长线上时： 点在电偶极矩的延长线上时：
y
A
y=0
2p 1 E= 4π ε 0 x 3 1 E= 4π ε 0 y 3 p
A点在电偶极矩的中垂线上时： 点在电偶极矩的中垂线上时：
讨论 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？ ⑴ 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
r r 相等的地方， 一定相等吗？ ⑶ E 相等的地方，V一定相等吗？等势面上 E一定
相等吗？ 相等吗？
r =0地方 地方， ⑵ V=0地方， E = 0 吗？
求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。 例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。
1 等势面基本性质 在静电场中，电场强度与等势面处出正交， ① 在静电场中，电场强度与等势面处出正交，且 指向电势降落的方向。 指向电势降落的方向。
静电场中电荷沿等势面移动时， 静电场中电荷沿等势面移动时，电场力作功
r r W ab = q 0 (Va −Vb ) = ∫a q 0 E ⋅d l = 0
v = at = 1.57 ×1020 ×10−14 m ⋅ s-1 = 1.57 × 106 m ⋅ s-1