第五章 参数样条曲线曲面

第五章

参数样条曲线曲面

第一节 C 1 分段三次Hermite插值2009- 08- 29 2

一、参数连续性

1、参数连续性与曲线光滑度

对于显式函数表示的曲线，函数的可微性与曲 线的光滑度是紧密联系的。例如：

y ax b

=+ 一次函数表示的直线

2

=++ 二次曲线

y ax bx c

32

=+++ 三次曲线

y ax bx cx d

对于显示曲线，函数的C 0 ，C 1 和C 2 连续分别表 示函数的图形、切线方向、以及曲率连续。

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2009- 08- 29 4 一、参数连续性

但是对于CAGD中大量涉及到的参数曲线，参数 方程的可微性与曲线的光滑性却没有必然的联系。 例如：如图的两条首尾相连的n次Bezier曲线：

(1)(1)(2) 10

n n b b b - == r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲

线在连接点是C 1 连续的，但显然该点是个尖点，切线

方向是不连续的。

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一、参数连续性

同理，如果让首尾相连的两条n次Bezier曲线的最 后三个控制顶点和最前面三个控制顶点重合，即：

(1)(1)(1)(2)(2)(2) 21012

n n n b b b b b b -- ===== r r r r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲

线在连接点是C 2 连续的，但显然在该点处曲率是不连

续的。

一、参数连续性

上两个例子说明，曲线的参数连续性并不 能保证曲线的光滑性。反过来，曲线的光滑性 也不一定需要相应的参数连续性。例如曲线的 二阶几何连续可以保证曲线的曲率是连续的， 但这时曲线甚是连C 1 连续也不一定满足。

另外，参数曲线的参数连续性也是与曲线 的参数化有关的，同一条曲线采用不同的参 数，参数的连续性情况可能不同。

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一、参数连续性

2、组合（composite）曲线与组合曲面

1）C k 连续组合曲线：分段（piecewise）连续曲 线段若在公共连接点处达到k阶参数连续，则称 该曲线具有k阶参数连续性（k－order piecewis e continuity）。

2）C k 连续组合曲面：分片（piecewise）连续曲 面片（patch）若沿曲面片的公共边界上关于一 个参数跨界达到k阶参数连续，则称该曲面线沿 该参数方向具有k阶参数连续性（k－order piec ewise continuity）。

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一、参数连续性

3、C k

连续组合曲线的含义

1）C 0 连续：位置连续

2）C 1 连续：位置连续及切矢连

续。

3）C 2 连续：从位置连续直到二阶

切矢连续。

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二、C 1 分段三次Hermite插值

1、问题：

,0,1,, ,0,1,,C Herm ite i i

p i n p i n = = r L r & L 1 给定数据点 以及相应的切矢

，构造一条 分段三次 插值曲线，插值上述数值点及相应切矢。 解决方法：

首先，要根据某种参数化方法对数据点进行 参数化，确定每一个数据对应的参数，这 样，插值条件就成为：

(),()0,1,, i i i i p u p p u p i n ¢ === r r r r & L

2009- 08- 29 10 二、C 1 分段三次Hermite插值

[ ] 1

1 ,Hermite i i+ i i

p p u u + r r 然后，在每两个数据点 和 之间构造参 数域 上的三次 插值曲线如下： [ ] 1 01011 1 1 ()()()()() , i i i i i i i i i i i i i

p p p u F t F t G t G t u u u p p

u ­u u u t = + + + + éù êú êú =D D ££ êú êú ëû D =- D r r r r & r & 其中： 上式即为C 1 分段三次Hermite插值曲

线。

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11

二、C 1 分段三次Hermite插值

2、C 1 参数化

在上述构造C 1 分段三次Hermite插值曲线的

过程中，需要提供每个数据点的位置及切矢。但 在很多情况下，都只给出数据点的坐标，切矢需

要用户提供，如何给出切矢的过程，就称为C 1 参

数化。

1）方法1（FMILL方

法）： 11 11

i

i

i i i i i p t

p p t p p +- +- - = - r r r r

r r

r 设 处的单位切矢为 ，取

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二、C 1 分段三次Hermite插值

按照上式的取法，有：

111

i i i i i i i t t p u u -+- =

= D +D - r r r & 将上式代入到C 1 分段三次Hermite插值曲线的表

达式中，得到的样条曲线称为Catmull-Rom样 条。