第五章 参数样条曲线曲面
样条曲线的使用方法
5.5创建高级曲线曲线作为构建三维模型的基础，在三维建模过程中有着不可替代的作用，尤其是在创建高级曲面时，使用基本曲线构造远远达不到设计要求，不能构建出高质量、高难度的三维模型，此时就要利用UG NX中提供的高级曲线来作为建模基础，具体包括样条曲线、双曲线、抛物线、螺旋线等。
5.5.1样条曲线样条曲线是指通过多项式曲线和所设定的点来拟台曲线，其形状由这些点来控制。
样条曲线采用的是近似的创建方法，很好地满足了设计的需求，是一种用途广泛的曲线。
它不仅能够创建自由曲线和曲面，而且还能精确表达圆锥曲面在内的各种几何体的统表达式。
在UG NX 中，样条曲线包括般样条曲线和艺术样条曲线两种类型。
1．创建一般样条曲线一般样条曲线是建立自由形状曲面（或片体）的基础。
它拟合逼真、彤状控制方便，能够满足很人一部分产品设计的要求。
一般样条曲线主要用来创建高级曲面，广泛应用于汽车、航空以及船舶等制造业。
在“曲线”工具栏中单击“样条”按钮～，打开“样条”对话框，如图5-30所示。
在该对话框中提供了以下4种生成一般样条曲线的方式。
■根据极点该选项是利用极点建立样条曲线，即用选定点建立的控制多边形来控制样条的形状，建立的样条只通过两个端点，不通过中问的控制点。
选择“根据极点”选项，在打开的对话框中选择生成曲线的类型为“多段”，并在“曲线阶次”文本框中输入曲线的阶次，然后根据“点”对话框在绘图区指定点使其生成样条曲线，最后单击“确定”按钮，生成的样条曲线如图5-31所示。
■通过点该选项是通过设置样条曲线的备定义点，生成一条通过各点的样条曲线，它与根据极点生成曲线的最大区别在于生成的样条曲线通过各个控制点。
利用通过点创建曲线和根据极点创建曲线的操作方法类似，其中需要选择样条控制点的成链方式，创建方法如图5-32所示。
■拟合该选项是利用曲线拟合的力式确定样条曲线的各中间点，只精确地通过曲线的端点，对于其他点则在给定的误差范围内尽量逼近。
样条曲线的使用方法完整版
样条曲线的使用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】创建高级曲线曲线作为构建三维模型的基础，在三维建模过程中有着不可替代的作用，尤其是在创建高级曲面时，使用基本曲线构造远远达不到设计要求，不能构建出高质量、高难度的三维模型，此时就要利用UG NX中提供的高级曲线来作为建模基础，具体包括样条曲线、双曲线、抛物线、螺旋线等。
样条曲线是指通过多项式曲线和所设定的点来拟台曲线，其形状由这些点来控制。
样条曲线采用的是近似的创建方法，很好地满足了设计的需求，是一种用途广泛的曲线。
它不仅能够创建自由曲线和曲面，而且还能精确表达圆锥曲面在内的各种几何体的统表达式。
在UG NX中，样条曲线包括般样条曲线和艺术样条曲线两种类型。
1．创建一般样条曲线一般样条曲线是建立自由形状曲面（或片体）的基础。
它拟合逼真、彤状控制方便，能够满足很人一部分产品设计的要求。
一般样条曲线主要用来创建高级曲面，广泛应用于汽车、航空以及船舶等制造业。
在“曲线”工具栏中单击“样条”按钮～，打开“样条”对话框，如图5-30所示。
在该对话框中提供了以下4种生成一般样条曲线的方式。
■根据极点该选项是利用极点建立样条曲线，即用选定点建立的控制多边形来控制样条的形状，建立的样条只通过两个端点，不通过中问的控制点。
选择“根据极点”选项，在打开的对话框中选择生成曲线的类型为“多段”，并在“曲线阶次”文本框中输入曲线的阶次，然后根据“点”对话框在绘图区指定点使其生成样条曲线，最后单击“确定”按钮，生成的样条曲线如图5-31所示。
■通过点该选项是通过设置样条曲线的备定义点，生成一条通过各点的样条曲线，它与根据极点生成曲线的最大区别在于生成的样条曲线通过各个控制点。
利用通过点创建曲线和根据极点创建曲线的操作方法类似，其中需要选择样条控制点的成链方式，创建方法如图5-32所示。
■拟合该选项是利用曲线拟合的力式确定样条曲线的各中间点，只精确地通过曲线的端点，对于其他点则在给定的误差范围内尽量逼近。
参数样条曲线和曲面
yi′′( x) = −2mi −1
代入样条函数二阶导数表达式，整理 得： ⎡ hi+1 yi − yi −1 hi hi+1
hi + hi+1 hi
hi +1 ⎧ ⎪λi = h + h i i +1 ⎪ ⎪μ i = 1 − λi 令⎨ ⎡ ⎤ ⎪Ci = 3⎢λi yi − yi −1 + μ i yi +1 − yi ⎥ ⎪ hi hi +1 ⎦ ⎣ ⎪i = 1,2,L, n − 1 ⎩
⎧ yi ( xi −1 ) = ai + bi xi −1 + ci xi2−1 + d i xi3−1 = yi −1 ⎪ yi ( xi ) = ai + bi xi + ci xi2 + d i xi3 = yi ⎪ ⎨ yi′( xi −1 ) = bi + 2ci xi −1 + 3d i xi2−1 = mi −1 ⎪ ⎪ yi′( xi ) = bi + 2ci xi + 3d i xi2 = mi ⎩
i = 1,2,L, n
令hi = xi − xi −1，解方程组得： ⎧ (mi xi −1 + mi −1 xi ) xi xi −1 yi xi2−1 (3xi − xi −1 ) + yi −1 xi2 ( xi − 3xi −1 ) + ⎪ai = − 2 hi hi3 ⎪ ⎪b = mi −1 xi ( xi + 2 xi −1 ) + mi xi −1 (2 xi + xi −1 ) − 6( yi − yi −1 ) xi xi −1 ⎪ i ⎪ hi2 hi3 ⎨ ⎪ci = − mi ( xi + 2 xi −1 ) + mi −1 (2 xi + xi −1 ) + 3( yi − yi −1 )( xi + xi −1 ) ⎪ hi2 hi3 ⎪ m +m 2( yi − yi −1 ) d i = i 2 i −1 − ⎪ ⎪ hi hi3 ⎩
第五章Bezier曲面与B样条曲面
西安工程大学数学系
5
5.3 曲面的参数表示
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
v
u
图 曲面片
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u, v)]
2020年5月18日星期一
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6
5.3 曲面的参数表示
r(u, v) [x(u, v), y(u,v), z(u, v)]
(0 u, v 1)
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1(u)
柱面
r(u, v )
2020年5月18日星期一
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11
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
西安工程大学数学系
7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
2020年5月18日星期一
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
第五章Bezier曲面与B样条曲面
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
11 01
v
00 u
10
图 曲面片
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
5.3 曲面的参数表示
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
r ( u ,v ) [ x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( , u ,v )]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui ,vj ) ，即：
r ( u i,v j) [ x ( u i,v j)y ( ,u i,v j)z ( , u i,v j)]
5.3 曲面的参数表示
❖ 例如：如下图的平面片方程为：
r ( u ,v ) r 0 a b uv ( 0 u ,v 1 )
❖ 上式中矢量 r0为平面上
一点的位置矢量，a和 b
为常矢量，且a不平行
b r(1 , 1)
于b ，该平面片是由矢
v
32
量a和 b张成的四边形。
r(u, v)
Z r0
ua
O
Y
X
平面片
eg: 当u=1/3,v=1/2时对应平 面片中一点：
u
线 r(u,v j )，即一条u线。
图-参数曲面
即参数v为定值的曲面 上的线。
5.3 曲面的参数表示
r(ui ,v)
v
r(u, v j )
r(ui ,vj )
rr(u,v)
u
图-参数曲面
❖ 上述两条参数曲线 r(ui ,v) 和 r(u,v j )的交点则是r(ui ,vj )。事 实上，用uui,vvj 代入式子
样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1) 特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2) 不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
E样条曲线的数学表达式为：nR,n(U)R* N k』(U)k^0在上式中，0 w u w 1 ; i= 0, 1,2, …,m所以可以看出：E样条曲线是分段定义的。
如果给定m+n+1个顶点Pi ( i=0, 1,2, …,m+n)，则可定义m+1段n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N,n(u)为n次B样条基函数，也称E样条分段混合函数。
其表达式为：1 n _kN k,n (u^-Z (—1)j C n j+ (u + n—k—j)nn! T式中：0 w u w 1k = 0, 1,2, …,n1 .均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点(i = 0, 1,…，n)定义n段一次(k = 0,1, n=1)均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i(u),其定义表达为：-..r . 1 ,_1 11 |Pi4 I .. -,,.R(u) = u 1II I i=1,..., n; 0 兰u 兰1]1 0」P i」=(1 - u) P i—1+ u R=N°, 1 (u) P i-1 + N1, 1 (u) P i第i段曲线端点位置矢量：Pi(0) = P s P (1) = P i，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量(i=0, 1,…，n)定义n-1段二次(k= 0,1,2, n=2)均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i (u ) (i=1 ,…，n —1),其定义表达为:匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i (u ) (i=1 ,。
Bezier曲线B样条曲线
是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u， 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点，
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3）三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线，此时P(t)为三
次多项式，有四个控制点，由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线，则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值，表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述，
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
第五章UGNX曲面造型教学资料
5.1 曲面概述
（2）利用曲线构造曲面：根据曲线构建曲面，如直纹面、通 过曲线、过曲线网格、扫掠、截面线等构造方法，此类曲面 是全参数化特征，曲面与曲线之间具有关联性，工程上大多 采用这种方法。
（3）利用曲面构造曲面：根据曲面为基础构建新的曲面，如 桥接、N-边曲面、延伸、按规律延伸、放大、曲面偏置、粗 略偏置、扩大、偏置、大致偏置、曲面合成、全局形状、裁 剪曲面、过渡曲面等构造方法。
（8）设计薄壳零件时，尽可能采用修剪实体，再用抽壳方法 进行创建。
（9）面之间的圆角过渡尽可能在实体上进行操作。 （10）内圆角半径应略大于标准刀具半径，以方便加工。
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5.2 由点构造曲面
由点构造曲面的方法是根据导入的点数据构建曲线、曲面， 能方便地生成通过指定点的曲面。由点构造曲面特征主要有 以下几种方法。
【直纹面】选项，弹出“直纹”对话框，如图5.3-1所示。
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5.3 由曲线构造曲面
（2）选择第一条曲线作为截面线串1，在第一条曲线上，会 出现一个方向箭头。
（3）单击鼠标中键完成截面线串1的选择或单击截面线串2选 择按钮 ，选择第二条曲线作为截面线串2，在第二条曲线 上，也会出现一个方向箭头，如图5.3-2所示。
按照曲面的类型不同，构造曲面的方法可大致分为以下3类。 （1）利用点构造曲面：它根据导入的点数据构建曲线、曲面。
如通过点、从极点、从点云等构造方法，该功能所构建的曲 面与点数据之间不存在关联性，是非参数化的，即当构造点 编辑后，曲面不会产生关联变化。由于这类曲面的可修改性 较差，建议尽量少用。
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5.1 曲面概述
（2）栅格线：在线框显示模式下，控制曲面内部是否以线条 显示，以区别是曲面还是曲线，曲面内部曲线的条数可分别 由U、V方向的显示条数控制；如图5.1-6（a）所示的线框， 不能看出是一个曲面还是4条曲线；而在图5.1-6（b）中，用 户立即看出这是曲面。如果在“建模首选项”中没有设定， 可以在曲面构造完成后，单击菜单【编辑】/【对象显示】选 项，选择需编辑的曲面，单击【确定】按钮，在如图5.1-7所 示的对话框中设置 “U”和“V”数值。
第五章 参数样条曲线曲面
第五章参数样条曲线曲面第一节 C 1 分段三次Hermite插值2009- 08- 29 2一、参数连续性1、参数连续性与曲线光滑度对于显式函数表示的曲线，函数的可微性与曲 线的光滑度是紧密联系的。
例如：y ax b=+ 一次函数表示的直线2=++ 二次曲线y ax bx c32=+++ 三次曲线y ax bx cx d对于显示曲线，函数的C 0 ，C 1 和C 2 连续分别表 示函数的图形、切线方向、以及曲率连续。
2009- 08- 29 32009- 08- 29 4 一、参数连续性但是对于CAGD中大量涉及到的参数曲线，参数 方程的可微性与曲线的光滑性却没有必然的联系。
例如：如图的两条首尾相连的n次Bezier曲线：(1)(1)(2) 10n n b b b - == r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 1 连续的，但显然该点是个尖点，切线方向是不连续的。
2009- 08- 29 5一、参数连续性同理，如果让首尾相连的两条n次Bezier曲线的最 后三个控制顶点和最前面三个控制顶点重合，即：(1)(1)(1)(2)(2)(2) 21012n n n b b b b b b -- ===== r r r r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 2 连续的，但显然在该点处曲率是不连续的。
一、参数连续性上两个例子说明，曲线的参数连续性并不 能保证曲线的光滑性。
反过来，曲线的光滑性 也不一定需要相应的参数连续性。
例如曲线的 二阶几何连续可以保证曲线的曲率是连续的， 但这时曲线甚是连C 1 连续也不一定满足。
另外，参数曲线的参数连续性也是与曲线 的参数化有关的，同一条曲线采用不同的参 数，参数的连续性情况可能不同。
2009- 08- 29 6一、参数连续性2、组合（composite）曲线与组合曲面1）C k 连续组合曲线：分段（piecewise）连续曲 线段若在公共连接点处达到k阶参数连续，则称 该曲线具有k阶参数连续性（k－order piecewis e continuity）。
计算机图形学的曲面参数化表示
计算机图形学的曲面参数化表示计算机图形学是研究计算机生成、处理和呈现图形的学科，其中曲面参数化表示是图形学中的重要内容之一。
曲面参数化表示是指将一个曲面映射到参数空间中，并通过参数方程对曲面进行表示和计算。
本文将介绍曲面参数化表示的基本概念、应用和计算方法。
1. 概述曲面参数化表示是图形学中的重要内容，它在计算机动画、游戏开发和计算机辅助设计等领域得到广泛应用。
曲面参数化表示是将一个曲面映射到参数空间中，通过参数方程对曲面进行表示和计算。
通过参数化表示，可以对曲面进行变形、纹理映射等操作，实现更加精确和自然的图形效果。
2. 曲面参数化的基本概念曲面参数化表示中，曲面可以用一个或多个参数方程进行描述。
常见的曲面参数化表示方法有参数增量法、双三次插值、贝塞尔曲线等。
参数增量法是将一个参数空间分割成若干个小块，每个小块中都有一个对应的曲面点，通过计算小块的顶点坐标和法向量，实现对曲面的表示。
3. 曲面参数化的应用曲面参数化表示在计算机图形学中有着广泛的应用。
在计算机动画中，可以通过曲面参数化表示实现对角色模型的形变和运动控制。
在游戏开发中，曲面参数化可以用来绘制场景中的地形和水面效果。
在计算机辅助设计中，曲面参数化可以用来表示和编辑三维模型，实现更加精确和自由的设计。
4. 曲面参数化的计算方法曲面参数化的计算方法主要有网格参数化和样条曲面参数化。
网格参数化是将曲面离散成网格的形式，在每个网格点处计算并存储曲面的位置和法向量信息。
样条曲面参数化是通过插值或逼近方法对曲线进行参数化表示。
在计算方法中，需要考虑曲面的拓扑和连续性等问题，以保证参数化结果的准确性和稳定性。
5. 结论曲面参数化表示是计算机图形学中的重要内容，通过将曲面映射到参数空间中，可以实现对曲面的精确表示和计算。
曲面参数化表示在计算机动画、游戏开发和计算机辅助设计等领域具有广泛的应用。
在实际应用中，需要选择合适的参数化方法，并考虑曲面的特性和要求，以实现更加逼真和自然的图形效果。
第五章 曲线曲面(NURBS)的操作概要
七、 边框建模的方法
（1）、创建新的场景，命名为Boundary。 （2）、应用CV工具在Top视图中创建一条曲线。 （3）、在Front视图中创建两条直线，同时复制一条曲线。 （4）、 选择 所有线，使用Surface——Boundary选项，点 击图标调出设置窗口。Curve Ordering部分的Automatic 的作用是自动根据边框创建曲面 （5）、 点击Boundary即可创建边界曲面。
四、旋转（Revolve）
（1）、创建一个场景。 （2）、应用CV工具在Front视图中创建一条曲线。 （3）、选择该曲面，使用Surface——Revolve选项，点击 属性图标调出设置窗口。Axis Preset定义曲线旋转 轴；Start Sweep Angle和End Sweep Angle定义开始 和结束的角度。
五、倒角（Bevel）
（1）、新建场景命名为Bevel。 （2）、创建字体。使用Create→Text命令，在场景中创建 文字。 （3）、选择一个字母，使用Surface→Bevel Plus选项，点 击图标调出设置窗口。 （4）、点击Apply按钮，创建一个倒角字母。 （5）、依次选择其他字母进行倒角，完成倒角创建模型的 操作。
一、切割曲面（Trim Surfaces）与布尔运算 （Booleans）
• 1、切割曲面的方法（以圆柱体为例） • （1）、创建一个场景，命名为Trim。 • （2）、在场景中创建一个NURBS圆柱体，并同时创建 一个Curve的圆。 • （3）、使用缩放工具放大该圆，同时进行旋转。 • （4）、选择圆柱和曲线，使用Edit NUEBS—— Project Curve on Surface命令，点击图标调出设置 窗口。完成参数设置，圆环按照法线的方向投射在圆 柱上。 • （5）、选择圆柱，使用Edit NUEBS——Trim Tool命 令，点击图标调出设置窗口。Keep的作用是保留分割 点所在的曲面；Fitting Tolerance定义切割的精确度， 值越小越精确。 • （6）、点击鼠标左键，在保留的曲面上画一个点，也 可以画多个点，回车键结束运行。 • （7）、通过移动切割边界，可以修改切割位置，移动 圆环还可以调整切割形状。
曲线曲面从参数表示的基础知识
曲线曲面从参数表示的基础知识
连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。
曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。
另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。
曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。
下面我们来讨论两条曲线的
若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：
P(1)=Q(0) ()
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：
当a=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：
代入()得：
这个关系式为：
图两条曲线的连续性
我们已经看到，C1连续保证G2连续，C1连续能保证G2连续，但反过来不行。
也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。
Solidworks曲线曲面设计
第5章曲线曲面设计随着现代制造业对外观、功能、实用设计等角度的要求的提高，曲线曲面造型越来越被广大工业领域的产品设计所引用，这些行业主要包括电子产品外形设计行业、航空航天领域以及汽车零部件业等等。
在本章中以介绍曲线、曲面的基本功能为主，其中曲线部分主要介绍常用的几种曲线的生成方法。
在SolidWorks2006中，可以使用以下方法来生成3D曲线：投影曲线、组合曲线、螺旋线和涡状线、分割线、通过模型点的样条曲线、通过 XYZ 点的曲线等。
曲面是一种可用来生成实体特征的几何体。
本章主要介绍在曲面工具栏上常用到的曲面工具，以及对曲面的修改方法，如延伸曲面、剪裁、解除剪裁曲面、圆角曲面、填充曲面、移动/复制缝合曲面等。
在学习曲线造型之前，需要先掌握三维草图绘制的方法，它是生成曲线、曲面造型的基础。
5.1 三维草图概述SolidWorks2006中可以直接绘制三维草图，绘制的三维草图可以作为扫描路径、扫描引线、放样路径或放样的中心线等。
所有的2D绘图工具都可以用来生成2D草图，不同的是，有些工具如曲面上的样条曲线只有在3D中可用。
在绘制三维草图时，建立自定义坐标系是不可或缺的，下面先来介绍自定义坐标系的生成方法，然后介绍三位草图的生成步骤。
5.1.1自定义坐标系除了系统默认的坐标系外，SolidWorks2006还允许用户自定义坐标系。
此坐标系将同测量、质量特性等工具一起使用。
要建立自定义的坐标系，可以采用下面的操作步骤：（1）单击“参考几何体”工具栏上的（坐标系）按钮，或选择菜单栏中的“插入”|“参考几何体”|“坐标系”命令，会出现如图5-1所示的“坐标系”PropertyManager设计树。
（2）在“坐标系”PropertyManager设计树中，单击图标右侧的“原点”显示框，然后在零件或装配体中选择一个点或系统默认的原点，实体的名称便会显示在“原点”显示框中。
（3）在X、Y、Z轴的显示框中单击按钮，然后选定以下实体作为所选轴的方向，此时所选的项目将显示在对应的方框中。
参数多项式与样条曲线
数据点的参数化（5）
向心参数化法
t0 = 0
1
ti = ti−1 + ∆Pi−1 2 ,i = 1,2,⋅⋅⋅,n
向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与 曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比， 加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法 尤其适用于非均匀型值点分布。
数据点的参数化（6）
修正弦长参数化法
t0 = 0 ti = ti−1 + Ki ∆Pi−1 ,i = 1,2,⋅⋅⋅,n
Ki
=
1
+
3 2
∆Pi−2 θi−1
∆Pi−2 + ∆Pi−1
+
∆Pi θi
∆Pi−1 + ∆Pi
Hale Waihona Puke θi= minπ−
∠Pi
−1Pi
Pi
+1
,π
2
,
∆P−1
=
∆Pn
=0
弦长修正系数Ki>=1。从公式可知，与前后邻
弦长及相比，若越小，且与前后邻弦边夹角的
数据点的参数化（4）
积累弦长参数化（简称弦长参数化）
t0 = 0 ti = ti−1 + ∆Pi−1 ,i = 1,2,⋅⋅⋅,n
∆Pi = Pi+1 − Pi
这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情 况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况 下采用均匀参数化所出现的问题。 被认为是最佳的参数化方法。
= 1,
其中每个参数值称为节点(knot)。
数据点的参数化（2）
对于给的的n+1个数据点 P0, P1,L, Pn ，赋予相
应的参数值t ，使其形成一个严格递增的序列
(完整word)样条曲线
(完整word)样条曲线第1章 样 条 曲 线【目的】本章将学习构建样条曲线的技巧和工具。
【目标】完成本章学习后，对一般样条曲线的概念将会有更新的理解： ● 样条曲线的术语。
● 理解样条曲线的数据。
● 掌握构建样条曲线的工具。
1。
1 样条曲线的术语每一条样条曲线都使用阶数（曲线参数方程的次方数）和段数来定义。
样条曲线的极点数量与它的阶数和段数有关。
样条曲线的阶数一般比定义样条段时所用到点的数量少1。
极点数量 — 阶数 = 段数由于这个缘故，不能建立一个点的数量少于它的阶数的样条曲线。
如果创建一条单段的样条曲线，那么曲线的阶数会比定义的点的数量少1。
对于所有的样条曲线来说，定义它所需要的最少的点的数量就是比样条曲线的阶数多1,如图1—1所示.阶数1（2个极点） 阶数2（3个极点）阶数3（4个极点）阶数5（6个极点）图1-1 阶数与极点关系(完整word)样条曲线1。
1。
1 低阶样条曲线建议尽可能地使用3次方的样条曲线(阶数为3）,如图1—2所示。
图1-2 三阶样条曲线为什么建议使用三阶样条曲线？●更容易弯曲变形.●曲线更接近它们的极点.●在后续的操作中执行效率更高（如加工、显示等）.●很多系统只支持3次方的曲线，因此，使用三阶样条曲线更容易将数据完全转换到其他系统。
1.1。
2 高阶样条曲线如图1—3所示为高阶样条曲线.图1-3 高阶样条曲线高阶样条曲线的特征是什么？●高阶样条曲线感觉上较“僵硬”，难弯曲（必须将极点移动较长的距离才可以看到曲线的明显变化）。
●高阶样条曲线可能会产生多余的摆动。
●高阶样条曲线降低了将数据转换到其他或许不支持高阶曲线系统的可能性。
●高阶样条曲线在后续的操作中执行效率低。
1。
2 样条曲线数据样条曲线包含下列数据：●曲线的阶数。
●曲线的一组极点（顶点）。
●定义曲线段数的参数值。
(完整word)样条曲线●定义点（如果是通过定义点方式创建的样条)。
●拟合权重（如果是通过拟合权重方式创建的样条).NX建立的样条曲线是非均匀有理B样条，或者NURBS.NURBS也可以被看作是自由形状曲线。
参数曲线曲面基础演示文稿
i0 j0
第8页，共51页。
8.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性:由给定的有限信息决定唯一的形状。
2.几何不变性:由给定的有限信息所确定的形状，不随所取 得坐标系不同而改变。 3.易于定界：几何形状数学描述易于定界. 4.统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况.
5.易于实现光滑连接:在表达复杂形状时，经常需要将曲线段进行 连接，或曲面片进行连接。
6. 曲面上点的类型划分
§1.8* 曲面的曲率
峰 脊
阱 谷
三角网格模型
鞍形脊
鞍形谷
平面
极小曲面
Besl通过高斯曲率K和平均曲率M 的组合，将点附近的曲面形状分为 八种基本特征类型
曲率类型标识
区域分割
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§1.8* 曲面的曲率
手动工具的平均曲率图
悬链面的高斯曲率
第27页，共51页。
设已知曲线的矢量方程为：
p p(t) [x(t), y(t), z(t)] 根据弧长微分公式： ds 2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
第15页，共51页。
§1.3 曲线的自然参数方程
ds
(dx)2 (dy)2 (dz)2
( x'(t ))2 ( y'(t ))2 (z'(t ))2
u 以n为轴转动平面PL，则相应的法曲率随之变化 。
第23页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
2.主曲率、高斯曲率、平均曲率
法曲率的极值k1、 k2
主曲率
K 1 2
高斯曲率
M
1 2
(
1
2
)
平均曲率
第24页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
参数样条曲线
参数样条曲线
在数学和计算科学中，参数样条曲线（Parameterized Spline Curve）是一种常用的曲线拟合方法。
它是一种插值技术，可以生成连续且平滑的曲线，根据给定的数据点集合，通过参数的变化来控制曲线的形状。
参数样条曲线的定义通常涉及一组控制点，这些控制点定义了曲线的形状和位置。
通过调整这些控制点的参数，我们可以得到不同的曲线形状。
这些参数通常是非线性的，这使得曲线具有更大的灵活性和适应性。
在计算机图形学中，参数样条曲线被广泛用于创建平滑的动画曲线，如运动路径、光影效果等。
由于其连续性和平滑性，参数样条曲线在动画制作中具有许多优点。
它们可以很容易地实现自然流畅的运动效果，同时还可以通过调整控制点参数实现复杂的形状变化。
除了计算机图形学，参数样条曲线还在计算机科学的其他领域中得到广泛应用。
例如，在计算机视觉中，参数样条曲线被用于拟合图像中的轮廓线；在机器学习中，参数样条曲线被用于拟合复杂的函数模型。
总之，参数样条曲线是一种强大的数学工具，可以用于生成连续且平滑的曲线。
通过调整控制点参数，我们可以得到各种复杂形状的曲线，并将其应用于计算机科学中的许多领域。
样条曲线参数方程
样条曲线参数方程
样条曲线参数方程是一种数学表达方式，它使用参数方程来表示样条曲线。
在计算机图形学、数据可视化等领域中，样条曲线常常被用来拟合一组数据点，或者在两个维度之间创建平滑的转换。
样条曲线参数方程的一般形式是：
x(t) = a + b*t + c*t^2 + d*t^3 + ...
y(t) = e + f*t + g*t^2 + h*t^3 + ...
其中，t是参数，a、b、c、d、e、f、g、h等是系数，它们可以根据实际情况进行设定。
在具体应用中，根据需要拟合的数据点和给定的参数，可以通过最小二乘法、梯度下降法等优化算法来求解这些系数，从而得到最佳拟合的样条曲线。
需要注意的是，不同的样条曲线类型（如线性样条、二次样条、三次样条等）会有不同的参数方程形式。
此外，在实际应用中，还需要考虑数据点的离散程度、噪声干扰等因素，以便更好地选择和应用样条曲线参数方程。
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第五章参数样条曲线曲面第一节 C 1 分段三次Hermite插值2009- 08- 29 2一、参数连续性1、参数连续性与曲线光滑度对于显式函数表示的曲线，函数的可微性与曲 线的光滑度是紧密联系的。
例如：y ax b=+ 一次函数表示的直线2=++ 二次曲线y ax bx c32=+++ 三次曲线y ax bx cx d对于显示曲线，函数的C 0 ，C 1 和C 2 连续分别表 示函数的图形、切线方向、以及曲率连续。
2009- 08- 29 32009- 08- 29 4 一、参数连续性但是对于CAGD中大量涉及到的参数曲线，参数 方程的可微性与曲线的光滑性却没有必然的联系。
例如：如图的两条首尾相连的n次Bezier曲线：(1)(1)(2) 10n n b b b - == r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 1 连续的，但显然该点是个尖点，切线方向是不连续的。
2009- 08- 29 5一、参数连续性同理，如果让首尾相连的两条n次Bezier曲线的最 后三个控制顶点和最前面三个控制顶点重合，即：(1)(1)(1)(2)(2)(2) 21012n n n b b b b b b -- ===== r r r r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 2 连续的，但显然在该点处曲率是不连续的。
一、参数连续性上两个例子说明，曲线的参数连续性并不 能保证曲线的光滑性。
反过来，曲线的光滑性 也不一定需要相应的参数连续性。
例如曲线的 二阶几何连续可以保证曲线的曲率是连续的， 但这时曲线甚是连C 1 连续也不一定满足。
另外，参数曲线的参数连续性也是与曲线 的参数化有关的，同一条曲线采用不同的参 数，参数的连续性情况可能不同。
2009- 08- 29 6一、参数连续性2、组合（composite）曲线与组合曲面1）C k 连续组合曲线：分段（piecewise）连续曲 线段若在公共连接点处达到k阶参数连续，则称 该曲线具有k阶参数连续性（k－order piecewis e continuity）。
2）C k 连续组合曲面：分片（piecewise）连续曲 面片（patch）若沿曲面片的公共边界上关于一 个参数跨界达到k阶参数连续，则称该曲面线沿 该参数方向具有k阶参数连续性（k－order piec ewise continuity）。
2009- 08- 29 72009- 08- 29 8一、参数连续性3、C k连续组合曲线的含义1）C 0 连续：位置连续2）C 1 连续：位置连续及切矢连续。
3）C 2 连续：从位置连续直到二阶切矢连续。
2009- 08- 29 9二、C 1 分段三次Hermite插值1、问题：,0,1,, ,0,1,,C Herm ite i ip i n p i n = = r L r & L 1 给定数据点 以及相应的切矢，构造一条 分段三次 插值曲线，插值上述数值点及相应切矢。
解决方法：首先，要根据某种参数化方法对数据点进行 参数化，确定每一个数据对应的参数，这 样，插值条件就成为：(),()0,1,, i i i i p u p p u p i n ¢ === r r r r & L2009- 08- 29 10 二、C 1 分段三次Hermite插值[ ] 11 ,Hermite i i+ i ip p u u + r r 然后，在每两个数据点 和 之间构造参 数域 上的三次 插值曲线如下： [ ] 1 01011 1 1 ()()()()() , i i i i i i i i i i i i ip p p u F t F t G t G t u u u p pu u u u t = + + + + éù êú êú =D D ££ êú êú ëû D =- D r r r r & r & 其中： 上式即为C 1 分段三次Hermite插值曲线。
2009- 08- 2911二、C 1 分段三次Hermite插值2、C 1 参数化在上述构造C 1 分段三次Hermite插值曲线的过程中，需要提供每个数据点的位置及切矢。
但 在很多情况下，都只给出数据点的坐标，切矢需要用户提供，如何给出切矢的过程，就称为C 1 参数化。
1）方法1（FMILL方法）： 11 11iii i i i i p tp p t p p +- +- - = - r r r rr rr 设 处的单位切矢为 ，取2009- 08- 29 12二、C 1 分段三次Hermite插值按照上式的取法，有：111i i i i i i i t t p u u -+- == D +D - r r r & 将上式代入到C 1 分段三次Hermite插值曲线的表达式中，得到的样条曲线称为Catmull-Rom样 条。
2009- 08- 2913二、C 1 分段三次Hermite插值在这种方法中首末两点的切矢如何给出，并没有严格的规定，可以利用向前及向后差商作为 首末点的切矢，即：101 0 01 n n n n p p p p p p - - -- == D D r r r r r r && 2）方法2（Bessel方法）： 11 111 i i i ii i i i i i ip p p -- --- D D D D =×+× D +D D D +D D rrr &2009- 08- 29 14二、C 1 分段三次Hermite插值11 111 i i i i i i i i i i ip p p -- --- D D D D =×+× D +D D D +D D r r r & 在上式中，切矢是前后两点差商的重心组合。
实际上，上式是得出是首先过相邻的三点11 , i i i p p p -+ r r r 和 作一条抛物线，对应的参数分别为 11 ,, i i i u u u -+ 和 i i p p r r & 为该抛物线在 处的切矢。
01 011 01 2,2, n n n n p p p p p p - - - D D =-=- D D r r r r r r && 在端点处：2009- 08- 2915二、C 1 分段三次Hermite插值3）方法3（秋间方法）：1 1 1) i i i i i i ip p p a a -- D D =×+× D D r rr & （－ 其中：2 22 2 i i i i i i ip p pa -- -- D D =D D + D D r r r 这种方法与四个点的坐标与参数值有关。
二、C 1 分段三次Hermite插值总结：1）C 1 分段三次Hermite插值曲线实际上是一种样条曲 线，它具有局部修改性。
如果移动一个数据点，一般 只影响该点前后相邻的两段曲线形状。
2）利用C 1 分段三次Hermite插值曲线，可以在不需要 提高次数的情况下方便地实现对大量数据的插值，无 需解方程组，但是因为在连接点只能达到C 1 连续，连 续阶数不够高，还不能保证曲线足够光滑。
3）如果利用这种方法对一条曲线进行重构，随着采 样点增多，重构出的样条曲线将收敛到原曲线。
2009- 08- 29 162009- 08- 2917三、C 2 分段三次Hermite插值1、问题： ,0,1,,Hermite, 0,1,,C i ip i n pi n = = rL r & L 2给定数据点 构造一条分段三次 插值曲线，插值上述数值点。
如何给出相应的切矢 ，使得曲线段与段之间达到 连续。
2、解决方 法： 设分段三次Hermite插值曲线为：01101111 ()()()()() ,0,1,1 i i i i i i i i i ii i iip u p F t p F t G t p G t p u u u u u t u u i n +++ + =++D +D ££ - =D =-=- D r r r r r && L 其中：2009- 08- 2918三、C 2 分段三次Hermite插值在上式中 1i i p p + r r && 和 为未知量。
ip r 要求第i －1段曲线和第i 段曲线在 点达到C 2 连续 即： 1 ()() i i i p u p u u u - = r r 对 和 求二阶导，并令 得：()()i i p u p u -+ ¢¢¢¢ = r r 111111 1 2() 3[]1,2,1i i i i i i i i i i ii ip p p p p i n ---+ -- - D +D +D +D D D =+=- D D r r r &&& r r && L 三切矢连续性方程2009- 08- 2919三、C 2 分段三次Hermite插值1111 11 1 2() 3[]1,2,1i i i i i i i i i i ii i p p p p p i n ---+ -- - D +D +D +D D D =+=- D D r r r &&& r r && L 在上述三切矢连续性方程中共有n－1个方程，n＋1个未知量，还需要补充两个边界条件才能求解。
为表示方便，将上式简记为：11 1,2,1i i i i i i i a p b p c p d i n -+ ++==- r r r r &&& L2009- 08- 2920三、C 2 分段三次Hermite插值3、边界条件在处理具体问题时，常根据几何意义或物理意义设置不同形式的边界条件，常见的主要有以 下几种：1）周期条件（用于封闭曲 线）这时最后一个插值点与第一个插值点完全重 合，即：()()0 ()(),0,1,2k k n p u p u k ++ == r r2009- 08- 29 21三、C 2 分段三次Hermite插值将上式和三切矢连续方程联立，即得如下方 程： 1 111 1222 2 2 111 1 n n n n n n n d b c a p a b c p d a b c c a b p d --- éù éù éù êú êú êú êú êú êúêú êú êú = êúêú êú êúêú êú êú êú êú ëûëû êú ëûrr & r r & O O OM M M M r r & ,, i i ia b c r r r 根据 的表达式可知，上述矩阵是一个主对角占优的矩阵。