2020年新编第十五届全国小学奥数华杯赛决赛试题答案名师精品资料
第十五届华赛杯小学组决赛1试题及答案
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学组）一、填空题（每小题 10分，共80分）1. 在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.2. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格.3. 汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中A 与B 相遇20分钟后再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km.4. 将21, 31, 41, 51, 61, 71和这6个分数的平均值从小到大排列, 则这个平均值排在第 位.5. 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 .6. 图Q-8所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 的表面积为 .7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是卡片“3”.8. 若将算式201020091200820071871651431211⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯-⨯ 的值化为小数，则小数点后第1个数字是 .二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9. 图Q-9中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图Q-9中4×5的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能,请简述理由. 10. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11. 足球队A ，B ，C ，D ，E 进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分. 若A ，B ，C ，D 队总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？12. 华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成=⨯19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由.三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13．图Q-10中，六边形ABCDEF 的面积是2010平方厘米. 已知△ABC ，△BCD ，△CDE ，△DEF ，△EFA ，△FAB 的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米. 求六边形111111A B C D E F 的面积.14．已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 解答（小学组）一、填空题1. 要在10个盒子中放乒乓球, 球的个数彼此不同, 不能少于11, 不能是13, 也不能是5的倍数, 那么至少需要 个乒乓球.【答案】173.【解答】至少需要17323222119181716141211=+++++++++(个).2. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒, 一个礼品配一个包装盒, 共有 种不同价格.【答案】19.【解答】任意的搭配共有25种, 其中有价格重复的情况.由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和2的等差数列, 故当礼品和包装盒的价格分别差6时, 会出现价格重复的情况, 共有3×2=6种, 所以不同价格的礼品共有19625=-种.3. 汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中A 与B 相遇20分钟后再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km.【答案】425.【解答】设A 与B 出发t 小时后相遇, 两地距离为s , 则s t =+)8090(, s t =++)31)(9060(. 解之得 4255.2170=⨯=s .4. 将21, 31, 41, 51, 61, 71和这6个分数的平均值从小到大排列, 则这个平均数排在第 位.【答案】 5.【解答】先从小到大排列这6个分数: 2131********<<<<<, 因为前三个分数之和比后三个分数之和小, 因此这6个分数的平均值不可能排在它们的中间. 因为416716151413121⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++417151-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==020171>-, 且⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⨯7161514131213160715143>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 所以这6个分数的平均值大于14,小于13. 即这6个分数的平均值排在第5位.5. 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作, 经连续若干次操作后可以变为6的数称为“好数”, 那么不超过2012的“好数”的个数为_______, 这些“好数”的最大公约数是 _______.【答案】223, 3.【解答】 易知, 从1开始, 连续递增的自然数, 经过上述操作最后得到的一位数是从1 到9循环地变化的. 因此, 最后变为6的数一共有2012[2239=个. 因为经过若干次操作后得到的数是6, 故这些数都是3的倍数. 又因为6和15都是这种数, 而（6, 15）= 3, 所以这些数的最大公约数是3.6. 图A-10所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 .【答案】32.【解答】从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别为 5, 5, 5, 5, 6, 6, 总和为 32 .7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是卡片“3”.【答案】3.【解答】假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际的和33相差9，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1. 为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”或卡片“4”换卡片“3”，现在1249+⨯=，因此可用4张卡片“5”和1张卡片“4”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于33. 所以最多可能有3张是卡片“3”.8. 若将算式201020091200820071871651431211⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯-⨯ 的值化为小数, 则小数点后第1个数字是 .【答案】4.【解答】因为)201020091200820071()651431(211⨯-⨯--⨯-⨯-⨯ )651431(21⨯-⨯-<209=45.0=, 且201020091)200820071200620051(871651()431211(⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 12543121=⨯->41.0>, 所以小数点后的第1个数字是4.二、解答下列各题9. 图A-11中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-11中4×5的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.【答案】不能.【解答】 假设能拼成4×5的长方形, 如图A-12小方格黑白相间染色. 其中黑格、白格各10个.将五块纸板编号, 如图A-13所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格, 而④盖住3个黑格或一个黑格. 这样一来, 由4个1×1的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板, 只能盖住9或11个黑格, 与10个黑格不符.10. 长度为L 的一条木棍, 分别用红、蓝、黑线将它等分为8, 12和18段, 在各划分线处将木棍锯开, 问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【答案】28, 72L . 【解答】（1）易知红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(=-；红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(=-=-；蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(=-；红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(=-=-.由红线7条, 蓝线11条, 黑线17条确定的位置的个数是271)513(17117=+++-++.① ②③④ ⑤图A-13图A-12因此, 依不同位置的线条锯开一共得到28127=+（段）.（2）最小公倍数72362]9,3,4[2]18,12,8[=⨯=⨯=.因此, 将木棍等分成72段时, 至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间, 并且再短（段数更多）时就做不到了. 所以锯得的木棍最短的一段的长度是72L . 11. 足球队A ，B ，C ，D ，E 进行单循环赛（每两队赛一场）, 每场比赛胜队得3分, 负队得0分, 平局两队各得1分. 若A ，B ，C ，D 总分分别是1, 4, 7, 8, 请问：E 队至多得几分？最少得几分？【答案】7, 5.【解答】 设A ，B ，C ，D ，E 五队的总分分别是a , b , c , d , e , 五队的总分为S , 则e e d c b a S +=++++=20.五队单循环共比赛10场, 则30≤S . 如果有一场踢平, 则总分S 减少1分. 因为00011+++==a ,001311114+++=+++==b ,01337+++==c ,11338+++==d ,所以比赛至少有3场平局, 至多有5场平局. 于是730530-≤≤-S , 即272025≤+≤e .故75≤≤e .事实上, E 胜A, B, 负于C, 与D 踢平时, 7=e ；E 胜A, 负于C, 但与B 、D 踢平时, 5=e .所以E 队至少得5分, 至多得7分.12. 华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成=⨯19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由.【答案】1163是质数.【解答】1163是质数, 理由如下:（1）显然16424是大于2的偶数, 是合数.（2）如果1163是合数, 但不是完全平方数, 则至少有2个不同的质因数, 因为31113311163=>, 所以, 如果1163有3个以上不同的质因数, 必有一个小于11. 但是显然2, 3, 5, 7都不能整除1163, 11也不能整除1163, 因此1163仅有2个不同的大于11的质因数. 大于11的质数有:13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, … 既然237116337311147<<⨯=, 1163的两个不同的质因数一定有一个小于37, 另一个大于31. 计算10113131211639239113⨯=<<=⨯；79171343116310035917⨯=<<=⨯；6719127311638934719⨯=<<=⨯；6123140311639434123⨯=<<=⨯；47291363116310733729⨯=<<=⨯.所以1163是质数.三、解答下列各题13. 图A-14中，六边形ABCDEF 的面积是2010平方厘米. 已知△ABC , △BCD , △CDE , △DEF , △EFA , △FAB 的面积都等于335平方厘米, 6个阴影三角形面积之和为670平方厘米. 则六边形111111A B C D E F 的面积是 平方厘米.【答案】670.【解答】 如图A-15, 已知△ABC , △BCD , △CDE , △DEF , △EFA , △FAB 的面积都等于335平方厘米, 它们面积之和为33562010⨯=平方厘米=六边形ABCDEF 的面积.因此,未被盖住的六边形111111A B C D E F 的面积= 重叠部分的面积= (1)(3)(5)(7)(9)(11)S S S S S S +++++.另一方面,在△ABC 中, (1)(3)(2)335S S S +=-,在△BCD 中, (3)(5)(4)335S S S +=-在△CDE 中, (5)(7)(6)335S S S +=-在△DEF 中, (7)(9)(8)335S S S +=-在△EFA 中, (9)(11)(10)335S S S +=-在△FAB 中, (11)(1)(12)335S S S +=-上述6个式子相加, 得()()(1)(3)(5)(7)(9)(11)(2)(4)(6)(8)(10)(12)23355S S S S S S S S S S S S +++++=⨯-+++++ 即()(1)(3)(5)(7)(9)(11)233566701340.S S S S S S +++++=⨯-=所以(1)(3)(5)(7)(9)(11)1340670.2S S S S S S +++++== 因此,六边形111111A B C D E F 的面积=(1)(3)(5)(7)(9)(11)S S S S S S +++++=670 (平方厘米).14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除, 求出“虎威”代表的两位数.【答案】11, 12, 15, 24, 36.【解答】两位自然数共有90个, 一个一个地去试算检验它是不是满足条件, 工作量太大, 显然需要开动脑筋, 缩小试算范围.设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a , b . 因为10ab a b =+, 10a b +能被ab 整除意味着10a b +能被a 整除且10a b +能被b 整除. 如果10a b +能被a 整除, 说明b 能被a 整除；如果10a b +能被b 整除, 说明10a 能被b 整除. 这就是说, 数字a , b 同时要满足两个条件：（1）a 整除b , （2）b 整除10a .对满足这两个条件的a , b , 进行试算, 可以缩小试算的范围.若a ＝1, 则10能被b 整除, b 的可能值为1, 2, 5, 这时ab ＝11, 12, 15, 它们符合条件；若a ＝2, 则b 是偶数, 且20能被b 整除, b 的可能值是2, 4. 经检验后知只有ab ＝24满足条件；若a ＝3, 则b 是3的倍数, 且30能被b 整除, b 的可能值是3, 6. 经检验后知只有ab＝36合于要求；若a＝4, 则b是4的倍数, 且40能被b整除, b的可能值是4, 8. 经检验后它们都不合题意.若a＝5, 6, 7, 8, 9, 经过同样的检验后知, 没有符合题意的值.综上所述知：“虎威”代表的两位数11, 12, 15, 24, 36.。
第十五届“华杯赛”总决赛团体赛(口试)试题答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛团体赛(口试)试题解答上半场题1（开场共答1）15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数上面的算式中, 不同的汉字代表1~9中的不同数字, 当三位数“华杯赛”取得最大值时, 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】97515284613=⨯++⨯ 或97515.164328=⨯++⨯ 【解答】由15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数可知, 华杯赛被15整除. 要求三位数“华杯赛”取得最大值, 我们从最大的被15整除的3位数进行筛选:990, 975, 960, 945, 930, 915, ……最大的合要求的是975, 而975 ÷ 15 = 65, 也就是++⨯⨯少俊金坛论数=65.容易由1, 2, 3, 4, 6, 8试凑得: 2×8+46+1×3=65. 于是得出合于题目要求的如下填数法,97515284613=⨯++⨯.或试凑1×6+43+2×8=65, 得97515.164328=⨯++⨯图A-57图A-56【解答】 因为正六边形的一个内角为120, 是一个周角的1.3所以, 以正六边形的顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧, 等于1厘米. 阴影部分周长可以拼接为2个圆周, 所以是6厘米.题3（必答A1）班级小书架共有12本科普读物.据统计, 数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 问：这个数学小组共有多少人？ 【答案】18人.【解答】 因为小书架共有12本科普读物, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 所以共被借阅12336⨯=（人次）. 设数学小组共有x 名成员, 由于每个成员恰借阅过其中的两本科普读物, 所以共被借阅2x 人次.因此 236x =,18x =.题4（必答A2）如图A-57, 有一个圆和三个正方形. 中间正方形的顶点在圆上, 圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点. 最大正方形的面积是12平方厘米, 问: 最小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】3平方厘米.【解答】如图A-58, 绕中心O 旋转圆面, 使得点P 重合于E , 于是点Q 重合于F , 点S 重合于G , 点T 重合于H .成右图. 容易看出,图A-59图A-601111112322244IJKL PQST ABCD ABCD S S S S ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭（平方厘米）. 题5（必答A3）国家规定年满18周岁不超过70周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证.小学六年级的学生李明说:“我老爸有汽车驾照, 他的年龄数与生辰月、日数的乘积为2975”, 请问李明的父亲多少岁? 【答案】35.【解答】17535177252975⨯⨯=⨯⨯=, 由于月份数取1~12的自然数, 日期数取1~31的自然数, 所以, 李明父亲要么是25岁, 7月17日生, 要么是35岁, 5月17日生.由于李明已经小学六年级, 他老爸不可能25岁, 所以李明父亲的年龄是35岁.题6（必答A4）如图A-59, D 是BC 边上一点, 且2,BD DC = DP//CA . 三角形APD 的面积为14cm 2, 问三角形ABC 的面积是多少cm 2.【答案】63cm 2.【解答】连结PC , 见图A-60. 因为 DP//CA , 所以14PCD APD S S ∆∆==.又因为2,BD DC = 所以21428PBD S ∆=⨯=( cm 2). 所以281442ABD PBD APD S S S ∆∆∆=+=+=( cm 2).因此,33426322ABC ABD S S ∆∆=⨯=⨯= ( cm 2).题7（必答A5）如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和, 就称为一个“好数”. 请找出2007, 2008, 2009, 2010, 2011图A-62图A-61中的“好数”. 【答案】2007.【解答】 易知：一个数为“好数”, 当且仅当它是一个奇数且能被3整除. 因此, 2007是“好数”, 而2008, 2010不是“好数”, 因为它们不是奇数, 2009, 2011也不是“好数”, 因为它们不能被3整除．事实上, 2007=1003+1004=668+669+670, 符合“好数”的定义. 题8（必答A6）如图A-61, 大正六边形的面积是1平方厘米, 问绿色正六边形的面积是多少平方厘米?【答案】31平方厘米.【解答】由正六边形的性质, 图A-62中阴影跳棋盘部分被分成12个边长相等的正三角形. 而图中未着色的6个三角形都是等腰三角形, 其中一个角为120, 两个底角为30. 腰长等于小正三角形的边长. 因此未着色的三角形的面积等于小正三角形的面积. 正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是正六边形ABCDEF 的31186=. 故正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是31平方厘米. 题9（必答A7）袋里的红球占袋中总球数的167；再往袋里放入40个红球后, 红球占总数的43. 问最后袋里共有多少个球？ 【答案】72个.【解答】设最后袋里共有球x 个, 则根据题设, 有4340167)40(⨯=+⨯-x x , 即图A-63图A-64图A-657(40)16401272.x x x ⨯-+⨯==，题10（必答A8）图A-63中所标出的10个角的度数总和是多少?【答案】1080︒.【解答】图A-64中, 阴影四边形的内角和是360, 这样四边形有5个, 度数和是1800；其中围绕中间的五边形 ABCDE 顶点的10个角度数的和恰是这个五边形外角和360的2倍, 故图中所求的10个内角和是180023601080-⨯=.题11（群答2）将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片, 选出其中三张, 字面朝下依次摆在桌子上.甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字, 猜的情况如下：第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙赛华好结果是一人全对, 一人全错, 另外一人只对一个. 请指出全猜错的是谁. 【答案】丙.【解答】全对的只能是甲(或乙), 只对一个的是乙（或甲）（因为甲、乙两人第一张猜到同样的结果）, 因此, 全错是丙.题12（群答3）如图A-65, A 是邮局, B , C , D , E , F 是5户人家. 相邻两家的路程如图所标示. 邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信）, 要求最后把信送到D 户. 问：邮递员走的最短路程是多少米？图A-66图A-68【答案】500米.【解答】100100100100100.A B C F E D −−→−−→−−→−−→−−→题13（共答2）在3×3×3的正方体玻璃支架上有27 个单位立方体空格.每个单位立方体空格中至多放有一个彩球. 要使主视图、俯视图、左视图都如图A-66中所示. 问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来. 【答案】9个. 一种放法如图A-67.题14（必答B1）如图A-68, 在正方形ABCD 中, 正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米. 问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【答案】60.5平方厘米.【解答】因为正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 所以对角线AO = 4厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米, 所以对角线OC =7厘米. 因此正方形ABCD 的对角线等于 4 + 7 = 11厘米.所以正方形ABCD 的面积=5.6011212=⨯平方厘米.图A-67图A-69图A-70题15 （必答B2）在两个□中分别填入整数, 使得 7⨯□5+⨯□11111= 成立, 请你回答, 两个□中填入的整数之和能等于偶数吗? 试说明理由. 【答案】不能.【解答】设两个□中填入的整数分别为,x y , 若x y +等于偶数, 则,x y 奇偶性相同. 若,x y 同为奇数, 则7,5x y 都为奇数, 75x y +为偶数, 不能等于11111；若,x y 同为偶数, 则7,5x y 都为偶数, 75x y +也为偶数, 也不能等于11111. 综上可知, 两个□中填入的整数之和不能等于偶数.题16（必答B3） 如图A-69, MN 是面积为76平方厘米的梯形ABCD 的中位线. P 是下底BC 上一点. 问:三角形MNP 的面积是多少平方厘米? 【答案】19平方厘米.【解答】设梯形的高为h , 则 1111()()22242M N P h S A D B C A D B C h ∆=⨯+⨯=⨯+1761944ABCD S ===(平方厘米). 题17 （必答B4）一种电子表在10点28分6秒时, 显示的时间如图A-70所示. 那么从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间共有多少秒？【答案】 90秒.【解答】在10点至10点半这段时间内, 要使电子表上六个数字都不相同, 前三个数字显然是1, 0, 2.设时间为10:2a :bc , 其中b 可在3, 4, 5中选择, a , c 可在3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中选择.先确定b , 有3种选法；然后确定a , 有6种选法；最后确定c , 有5种选法. 所以, 从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间一共有3 × 6 × 5 = 90（个）, 也就是图A-72电子表上六个数字都不相同的时间共有90秒.题18（必答B5）如图A-71, E , F , G , H 分别是四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点. BH 与DE 的交点为M , BG 与 DF 的交点为N . 问?BMDNABCDS S = 【答案】13BMDN ABCD S S =. 【解答】如图A-72, 连接BD , CN , 填入面积,x y , 则由三角形CDF 与BGD 比较可知,13BDN BCD S x y S ∆∆=+=.同理可得,13BDM ABD S S ∆∆=.相加即得13BMDN ABCD S S =. 题19（必答B6）如图A-73, 五行五列共亮着的25个灯.共有5个行开关和5个列开关, 每个开关只同时控制一行或一列的5个灯泡. 规定每次操作都要从中选一列改变状态, 再从中选一行改变状态. 问能否通过有限次操作使得25盏灯都熄灭？【答案】不能.【解答】依题意, 每次操作都对一行、一列进行操作, 则一次操作改变状态灯泡的为10个灯次, 设k 次操作能使得25盏灯都熄灭, 则k 次操作共改变灯泡状态为10k 个灯次, 是个偶数；而若要使得一盏灯由亮到熄灭, 必须改变奇数次状态, 25盏灯都熄灭时改变状态的灯次总数为25个奇数之和, 等于奇数个灯次, 但奇数个灯次不等于偶数个灯图A-74图A-76图A-75次, 所以不能通过有限次操作使得25盏灯都熄灭.题20（必答B7）如图A-74, P 为正六边形ABCDEF 的AB 边上一点. PM//CD 交EF 于M , PN//BC 交CD 于N .红、蓝两个小精灵从N 点同时出发分别沿五边形NPMED 周界和六边形CBAFED 周界匀速行走, 各绕一周后同时回到N 点. 问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍?【答案】1.2倍.【解答】 如图A-75, 设正六边形边长为a , 则蓝精灵走一周的路程为6a , 红精灵走一周的路程为5a , 所以蓝精灵速度:是红精灵速度的61.25=倍. 题21（必答B8）将33写成n 个连续自然数之和. 当n 取最大值时, 将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后, 其乘积等于多少? 【答案】20160.【解答】因为12345672833,++++++=<23456783533.++++++=>所以33不能写成7个或多于7个的连续自然数之和. 因此 6.n ≤而33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, 所以n 得最大值为 6. 又n =6时,87654333+++++=, 从而有20160876543=⨯⨯⨯⨯⨯.下半场题22 （共答3） 将长方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转90, 边CD 扫过的面积如图A-76中阴影所示. 请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆, 使它的面积等于图中阴影部分的面积.图A-78图A-77【答案】作法如图A-78所示.【解答】如图A-77, 连接AC , AC 1, 则阴影部分面积S 2222()444AC AD AC AD πππ=-=-2242CD CD ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.阴影部分面积等于以CD 为直径的圆面积. 因此, 得如下作图法：延长C 1B 1交BC 于E , 连接BB 1与AE 交于M , 连接AC 1与D 1B 1交于N , 连接MN 交AB 1于O . 以O 为圆心AO 为半径画圆, 该圆的面积即等于图中阴影部分面积.题23（群答4）1+++=++++振兴中华两岸四地同心在上面的算式中, 不同的汉字代表 0 - 9 中的不同的数字. 若已知“同心=10”, 问：振 + 兴 + 中 + 华 = ？【答案】 27. 【解答】由于1+++=++++振兴中华两岸四地同心,易知振+兴+中+华=两+岸+四+地+10,即（振+兴+中+华）-（两+岸+四+地）=10. ①但振+兴+中+华+两+岸+四+地+1+0=45,所以+（振+兴+中+华）（两+岸+四+地）=44. ② 因此, 由① + ②得振+兴+中+华=10445427.22+== 题24（群答5）给出字谜算式:()()+++2010⨯=华老百年华诞三年-(金坛+翻+番),其中不同的汉字代表0~9中的不同数字, 相同的汉字代表相同数字, 使得等式成立. 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】 ()(291028)50(3746)2010.++⨯-+++=【解答】()20106730(291028)50(3746).=⨯=++⨯-+++【注】常州日报2010年8月1日消息, 金坛市推出“3年翻番计划”, 将规划建设“二城一都”; 华罗庚科技新城和环钱资荡滨湖城, 同时, 全力打造“光伏之都”. 经济总量计划三年翻番.题25（抢答1）现在有11个齿轮如图A-79啮合在一起. 问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由.图A-79【答案】 不能.【解答】 齿轮要么逆时针转动, 要么顺时针转动. 一个齿轮不可能同时既逆时针转动又顺时针转动.如图A-80, 将齿轮依次编号, 假设1号轮为主动轮是逆时针转动, 那么2号轮则顺时针转动, 3号轮则逆时针转动, 4号轮则顺时针转动, 依次下去, 奇数号的轮逆时针转动, 偶数号的轮顺时针转动, 所以第11号轮应逆时针转动. 但第11号轮又将传动第1号轮, 于是第1号轮（相当于第12号轮）应顺时针转动. 这样, 第1号轮同时既要逆时针转动, 又要顺时针转动, 这是不可能的！ 所以图A-79中所示的11个齿轮的传动系统是不可能转动起来的！题26（抢答2）将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加, 得到和为376. 问这位同学的生日是几月几号.【答案】4月21日.【解答】设这个同学的生日为x 月y 日, 其中,x y 都是正整数, 112,x ≤≤131.y ≤≤ 且满足关系式3112376x y +=.由于376与12都被4整除, 所以31x 被4整除, 由于31与4互质, 所以x 被4整除, 因此x 只能取4或8或12. 376被3除余1, 12y 被3整除, 所以31x 被3除余1, 而31被3除余1, 所以只能x 被3除余1. 因此 4.x =图A-80而 12376314376124252,y =-⨯=-=所以25221.12y == 即这个同学的生日是 4月21日.题27（抢答3）将半径分别为1cm, 3cm, 5cm 的三个半圆形量角器的圆心重合于O , 直径也重合在一条直线上, 如图A-81所示. 记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S S S 甲乙丙，，, 求 ::S S S 甲乙丙.【答案】::48:40:1S S S =甲乙丙【解答】因为211.22S ππ=⨯=丙21143.3223S πππ⎡⎤=⨯-=⎢⎥⎣⎦乙22111853.5225S πππ⎡⎤=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦甲所以84::::48:40:15.532S S S πππ==甲乙丙 题28（抢答4）某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I 、O 不可用）且最后一位必须为数字. 问：满足规定的编码共有多少个?图A-81图A-82图A-83【答案】3456000个.【解答】根据网上选号规则, 可供挑选的英文字母有26-2=24（个）, 且只能在第一至第四位上的两个位置出现, 而其余两个位置以及第五位则出现数字.两个字母为前4位中占2位, 共6种方法. 每个字母有24种选法, 其余3个位置是数码, 每个数码有10种选法. 所以满足规定的编码共有624241010103456000⨯⨯⨯⨯⨯=（个）.题29（抢答5）机器人在长为16米宽为8米的长方形场地上, 沿图A-82所示的小路按箭头的指向表演行走. 问当机器人从A 处走到B 处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是1米 (B 点与竖直路段最近的距离也是1米). 【答案】152米.【解答】将横、竖各段路程长度加起来就会得到结果：16 + 8 + 16 + 7 + 15 + 6 + 14 + 5 + 13 + 4 + 12 + 3 + 11 + 2 + 10 + 1 + 9(116)161616178161361522+⨯=+=+⨯=+=（米）. 另法: 如图A-83所示, 将16×8的长方形各边都向外扩充0.5米, 成为一个17×9的长方形. 这样黑粗线成为了宽为1米的平行线的正中平行线, 其中只少了A , B 处两个白色的面积为0.5×1=0.5的小矩形. 所以设想的拖地板的服务员, 拖的地板面积比总面积少拖1平方米, 因此, 机器人走的总路程=17×9-1=152（米）.题30（抢答题6）图A-84为金坛市政区图, 现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色. 如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同, 则共有多少种涂色方法？图A-84【答案】18种.【解答】分两种情况:（1）直溪镇与指前镇同色.给直溪镇与指前镇染色: 有3种情况; 给朱林镇染色: 2种情况;给薛埠镇染色: 2 种情况. 共计3×2×2=12种.（2）直溪镇与指前镇异色.给直溪镇与指前镇染色: 有6种情况; 给朱林镇染色: 1种情况;给薛埠镇染色: 1 种情况. 共计6×1×1=6种.总计：共有12+6=18种染色方法.题31（抢答7）由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000的自然数, 按照从小到大排列, 2010排在第几个？【答案】第30个.图A-85图A-86【解答】 由数字0、1、2生成的最高位为1的4位数共有3×3×3=27个, 其中大于1000的共有27-1=26个. 由0, 1, 2生成的最高位为2而不大于2010的自然数从小到大只有2000, 2001, 2002, 2010四个. 因此, 由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000且不超过2010的自然数, 总计有26 + 4=30个, 2010是其中最大的, 因此按照从小到大排列, 排在第30个.题32（抢答8）如图A-85, P 为正方形ABCD 内一点, 并且∠APB ＝90°, AC 、BD 交于O ．已知AP =3cm 、BP =5cm.求三角形OBP 的面积． 【答案】2.5 cm 2.【解答】连DP , 并将三角形ADP 绕A 点顺时针旋转90, 到三角形ABM 的位置, 见图A-86. 则AMBP 是直角梯形. 其面积等于(5+3)×3÷2=12, 即凹四边形ABPD 的面积是12. 又正方形ABCD 的面积为 2223534AB =+=. 从而三角形ABD 的面积为17.所以, 三角形PBD =（17－12）=5. 因此, 三角形OBP 的面积 = 2.5 cm 2.题33（共答4）如图A-87, 房间里有一只老鼠, 门外有一只小猫, 立在北墙跟第3块地板砖的右上角点. 整个地面由80块大小相同的正方形地砖铺成, 那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少?（小猫和老鼠分别看作两个点, 墙的厚度忽略不计）【答案】66.875%.【解答】设地板正方形边长为1, 则这个房间面积为80. 如图A-88,图A-88阴影部分区域为老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围. 这个范围的总面积为(27)52422S +⨯⨯=+= 26.5. 所以小猫能监控到的面积为8026.553.5.-=占房间总面积的53.50.6687566.875%.80== 题34（群众共答）在每个人心里都默记住两个不等于0的数. 算出这两个数和的平方, 其结果记做“共”; 算出这两个数差的平方, 其结果记做“迎”; 再算出这两个数的乘积, 记做“接”. 请用你的“共”, “迎”, “接”来计算式子2?-⎛⎫= ⎪⎝⎭共迎接 请大家一起同声回答！图A-87【答案】16.【解答】设想的两个非0数为,.a b 则222222()()4416.a b a b ab ab ab ⎛⎫-+--⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共迎接。
第十五届“华杯赛”一组总决赛二试题答案
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3a a 当 1时, 20 100 a 3a 3a a a 3 3 , a 300 . , 100 20 20 100 100 3a a 当 1时, 20 100 a 3a 3a a a 3 2 , a 200 . 1, 100 20 20 100 100
当 x 1时, 原式化为 x 2 ( x 1) 2 或 3 2 . 可见, 当 x 1 时, 原式 恒成立. 于是, x 应满足条件是 1.5 x 0.5 . 解答 2：当 x 2 时, 原不等式化为 | x 2 (1 x) | 2 ,
76 21 个取值在 1～12 的差. 这些差中 2
（1）不可能出现 am an ak an ; （2）若有 am an an al , 即 2an am al , (m n l ) , 则不能有
m1 m, l1 l ( m1 n l1 ), 使得 2an am1 al1 , 否则存在 2 对牌, 其中一对牌的
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在将 1、3 和 5 反面后, 仍放在原来位置. 将整摞纸片从任一张纸片分成两摞, 将 上一摞整摞反转后再放在下一摞上, 或者把 5 张纸片整摞反转, 算是一次“反转 ” . 若要使上述摆放的五张纸片都转变成正面向上的状态, 则至少要进行 “反转 ”. （有数字的面为正面） 【答案】5. 【解答】若把整摞纸片看成为, 每一部分都是同方向的“子摞”而成. 因此 原来的整摞纸片有 5 摞纸片组成. 一次“反转”只能从一张纸片开始, 把上部分最上面的纸片与下部分的上面 第一张纸片相邻 . 注意到上部分反转时 , 中间次序没有发生变化 , 一次反正后 “子摞”数只会出现三种情况：增加 1, 不变, 减少 1. 并且整摞反转时, “子摞” 数目, 不会发生变化. 按照要求, 要把 5 变成正面向上, 一定有一次要 5 张纸片一次“反转”. 而 整摞的数码保持不变. 要把 5 个“子摞”变成一个子摞, 至少“反转”4 次. 因此, 至少反转 5 次. 下面说明 5 次可以保证 5 张纸片都是正面向上的状态： 即将 1 先 “反转” , 再 将 1 和 2 同时反转, 依次再反转 2、1、3；再反转 3、1、2、4. 最后反转 4、2、 1、3、5 就全都正面向上了. 共 5 次. （此种反转为其中一种） 3. [a] 表示不大于 a 的最大整数, 已知 次
华杯赛试题及答案
华杯赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是华杯赛的全称？A. 中国数学奥林匹克竞赛B. 中国数学华罗庚杯竞赛C. 中国数学华杯赛D. 全国青少年数学华罗庚杯竞赛答案：D2. 华杯赛的举办周期是多久？A. 每年一次B. 每两年一次C. 每三年一次D. 每四年一次答案：A3. 华杯赛的参赛对象是？A. 小学生B. 初中生C. 高中生D. 大学生答案：B4. 华杯赛的试题难度级别是？A. 初级B. 中级C. 高级D. 专家级答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 华杯赛的全称是________。
答案：全国青少年数学华罗庚杯竞赛2. 华杯赛的举办周期是________。
答案：每年一次3. 华杯赛的参赛对象是________。
答案：初中生4. 华杯赛的试题难度级别是________。
答案：高级三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的第10项。
答案：该等差数列的公差为3，所以第10项为2 + 3 * (10 - 1) = 31。
2. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。
答案：圆的面积公式为πr²，所以面积为π * 5² = 25π。
3. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边长度为√(3² + 4²) = 5。
四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：如果一个三角形的两边相等，则这个三角形是等腰三角形。
答案：设三角形ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的定义，如果一个三角形有两边相等，则这个三角形是等腰三角形，所以三角形ABC是等腰三角形。
2. 证明：如果一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形。
答案：设四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直平分，根据菱形的定义，如果一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形，所以四边形ABCD是菱形。
第十五届“华杯赛”一组总决赛二试题答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题解答 少年一组二试一、填空题1. 不满足不等式2|1||2|>--+x x 的x 应满足的条件是 .【答案】5.05.1≤≤-x .【解答】解答1：当2-≤x 时, 原不等式化为 2|)1(2|>----x x 或 23>. 可见, 当2-≤x 时, 原不等式恒成立.当12≤<-x 时, 原不等式化为 2)1(2>--+x x 或 212>+x , 即 212>+x 或212-<+x . 解得 5.0>x , 此时 15.0≤<x ; 或 5.1-<x , 此时5.12-<<-x .当 1>x 时, 原式化为 2)1(2>--+x x 或 23>. 可见, 当1>x 时, 原式恒成立.于是, x 应满足条件是 5.05.1≤≤-x .解答2：当 2-≤x 时, 原不等式化为 2|)1(2|>----x x ,2|)1(2|≤----x x 恒不成立.当12≤<-x 时, 原不等式化为2)1(2≤--+x x , 212≤+x , 即2122≤+≤-x . 解得5.05.1≤≤-x .当 1>x 时, 原式化为2)1(2≤--+x x , 23≤, 恒不成立.故当5.05.1≤≤-x 时, 原不等式不成立.2. 分别写有1、2、3、4、5的五张纸片, 从小到大正面向上, 摞成一摞. 现在将1、3和5反面后, 仍放在原来位置. 将整摞纸片从任一张纸片分成两摞, 将上一摞整摞反转后再放在下一摞上, 或者把5张纸片整摞反转, 算是一次“反转” . 若要使上述摆放的五张纸片都转变成正面向上的状态, 则至少要进行 次“反转”. （有数字的面为正面）【答案】5.【解答】若把整摞纸片看成为, 每一部分都是同方向的“子摞”而成. 因此原来的整摞纸片有5摞纸片组成.一次“反转”只能从一张纸片开始, 把上部分最上面的纸片与下部分的上面第一张纸片相邻. 注意到上部分反转时, 中间次序没有发生变化, 一次反正后“子摞”数只会出现三种情况：增加1, 不变, 减少1. 并且整摞反转时, “子摞”数目, 不会发生变化.按照要求, 要把5变成正面向上, 一定有一次要5张纸片一次“反转”. 而整摞的数码保持不变. 要把5个“子摞”变成一个子摞, 至少“反转”4次. 因此, 至少反转5次.下面说明5次可以保证5张纸片都是正面向上的状态：即将1先“反转”, 再将1和2同时反转, 依次再反转2、1、3；再反转3、1、2、4. 最后反转4、2、1、3、5就全都正面向上了. 共5次. （此种反转为其中一种）3. ][a 表示不大于a 的最大整数, 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡17173172171k 被13除的余数是7, 则不超过48的最大的正整数k ＝ .【答案】45.【解答】设)70(,7<≤+=l l n k , n 是整数, 则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡17173172171k =l n )1(321777+⨯⨯⨯⨯ ,)13(mod 1183222347≡⨯≡⨯=,)13(mod 33113333337≡⨯⨯≡⨯⨯=,)13(mod 444467≡⨯=,)13(mod 881555347≡⨯≡⨯=,)13(mod 767≡,其中式子)(mod m a N ≡表示整数N 和a 被整数m 除有相同的余数. 故)13(mod 8784311163217777≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯ .而)13(mod 45678≡=⨯, )13(mod 22874≡=⨯,)13(mod 172≡⨯, )13(mod 771≡⨯,则最大的正整数k 是45.二、解答题4. 扑克牌中的J, Q, K 分别看成11, 12, 13点. 从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌, 使得没有2对牌, 其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【答案】6.【解答】解法 1. 设最多可以挑出来n 张. 而 }13,8,5,3,2,1{满足要求, 所以6≥n . 设挑出来n 张牌为 n a a a a <<<< 321, 如果其中j k a a a a l k j i ≠,,,,, 满足条件：l k j i a a a a -=- （1）则挑出来的牌不满足要求.若7≥n , 则1727374757,,,,a a a a a a a a a a -----, 5个差值是各不相同的;1626364656,,,,a a a a a a a a a a -----, 5个差值是各不相同的;15253545,,,a a a a a a a a ----, 4个差值是各不相同的.如果j i a a a a -=-67, j i a a a a -=-57, j i a a a a -=-56, j i a a ≠, 则不满足要求. 以上14个差值取值在1到12. 因此, 只有下列情况时不满足条件（1）:i a a a a -=-557, j a a a a -=-556.所以j i a a a a a +=+=6752, 挑出的7个数不满足要求.所以6=n .解法2. 设至多挑出n 张牌, 但是}13,8,5,3,2,1{中没有2对牌, 其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和, 所以6≥n .若7=n , 所取的7张牌, 从小到大排列为：{721,,,a a a }, 任取2个m a 和n a , 无妨设n m a a >, 则共有21267=⨯个取值在1～12的差. 这些差中 （1）不可能出现n k n m a a a a -=-;（2）若有l n n m a a a a -=-, 即)(,2l n m a a a l m n >>+=, 则不能有l l m m ≠≠11,(11l n m >>), 使得,211l m n a a a +=否则存在2对牌, 其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和. 即对于同一个n , 出现l n n m a a a a -=-或)(2l n m a a a l m n >>+=具有唯一性.出现)(2l n m a a a l m n >>+=至多有5组, 相当于从21组中取出这5组, 尚有16组, 16个取值在1～12的差, 必有两个相同.5. 汽车队去往受灾群众安置点运送物资, 每辆汽车载重量为10吨, 若每个帐篷分配1.5吨物资, 则余下不足一车物资；若每个帐篷分配1.6吨物资, 则尚差2车多的物资. 问: 这个安置点最少有多少顶帐篷?【答案】213.【解答】解法1. 设车队有b 辆车, 安置点有a 个帐篷. 为了方便设每车有100份物质, 则)3(10016)2(10010015)1(100+<<+<<<-b a b b a b .所以2]16.0[,1]15.0[+=-=b a b a , 3]15.0[]16.0[+=a a .现在求满足上式的a 的最小值.340.16{0.16}0.15{0.15} 3. {}{} 3.1002025a a a a a a a -=-++=+由高斯记号的定义, 对于任意大于0的数y x ,有⎩⎨⎧>++<++=+.1}{}{ 1,-}{}{;1}{}{ },{}{}{时当时当y x y x y x y x y x 注意到 1001203254+=有, ⎝⎛≥++<+++=+ 1.}100{}203{ ,1-}100{}203{1;}100{}203{ },100{}203{3}203{100a a a a a a a a a a 当当当1100203<⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧a a 时, 3100,1002033203100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a a a a a , 300≥a . 当1100203≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧a a 时, 2100,11002033203100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a a a a a , 200≥a . 当207200200<+=≤r a 时, 60≤≤r ,11009710016100203100203<<=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧r r r a a , 不满足要求.当214200207<+=≤r a 时, 137≤≤r , 100100)7(15715100203100203r r r r a a +⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<=>=-=+-⨯+=.13,1,13,110010016100100)7(155r r r r r 所以, 满足条件的最小整数a = 213.解法2. 设车队有b 辆车, 安置点有a 个帐篷. 有)3(106.1)2(10,105.1)1(10+<<+<<-b a b b a b ,)3(10016)2(100,10015)1(100+<<+<<-b a b b a b .解不等式组1001510015, , 100(2)16100(2)16a b a b b a b a ⎧<⎪<⎧⎪⎨⎨+<+⎩⎪<⎪⎩可得30>b .取31=b , 代入)3(10016)2(100,10015)1(100+<<+<<-b a b b a b , 得 212207,206200,3400163300,3100153000≤≤≤<<<<<a a a a .a 无解.取32=b , 代入)3(10016)2(100,10015)1(100+<<+<<-b a b b a b , 得 218213,213207,3500163400,3200153100≤≤≤≤<<<<a a a a .因此, a ＝213.6. （1）如图A-46中的大正方形被分成了4个小长方形. 已知黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等. 证明, 一定能将这两个黑色小长方形完整地对接拼成为一个大长方形.（2）如果图A-47所示的大正方形中黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等. 还能将这些黑色小长方形完整地对接拼在一起成为一个大长方形吗？【解答】（1）在图A-48中, 只要能证明MK=NK 或PK=QK , 就可以将这两块黑色长方形拼在一起成为一个大长方形.依题意, MKQD NKPB KNCQ APKM S S S S 长方形长方形长方形长方形+=+,所以MK QK NK PK NK QK MK PK ⨯+⨯=⨯+⨯.于是NK QK MK QK NK PK MK PK ⨯-⨯=⨯-⨯,即)()(NK MK QK NK MK PK -=-, 0))((=--QK PK NK MK .因此, 要么NK MK NK MK ==-,0, 要么QK PK QK PK ==-,0.若MK=NK , 此时KNC Q MKQD S S 长方形长方形=, 将长方形KNCQ 上移与长方形MKQD 重合, 则黑色部分拼成了一个大长方形. 若PK=QK , 此时N K P B KNCQ S S 长方形长方形=, 将矩形KNCQ 左移与矩形NKPB 重合, 则黑色部分拼成了一个大长方形.综上可得, 总能将这些黑色小长方形形拼在一起成为一个大长方形.（2）经过适当的平移可将图A-47变为图A-46, 根据（1）, 可知图A-47中这些黑色小长方形拼在一起也能成为一个大长方形.。
历年华杯赛试题及答案小学
历年华杯赛试题及答案小学华杯赛，全称“全国青少年数学华罗庚金杯赛”，是中国最具影响力的青少年数学竞赛之一，旨在激发青少年对数学的兴趣，培养他们的数学思维能力。
以下是一些历年华杯赛小学组的试题及答案，供参考。
试题一：小明有3个红球和2个蓝球，他随机从袋子里摸出一个球，然后放回。
接着，他又随机摸出一个球。
请问小明两次都摸到红球的概率是多少？答案：小明第一次摸到红球的概率是3/5，放回后，第二次摸到红球的概率仍然是3/5。
因此，两次都摸到红球的概率是(3/5) * (3/5) = 9/25。
试题二：有一个数字序列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 这个序列的特点是每一项都是前两项的和。
请问这个序列的第10项是多少？答案：这是一个斐波那契数列。
根据题目给出的数列，第10项是第9项（21）和第8项（13）的和，即21 + 13 = 34。
试题三：一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，那么选择到男生的概率是多少？答案：班级中有20名男生，总共40名学生，所以选择到男生的概率是20/40 = 1/2。
试题四：一个圆形的直径是14厘米，求这个圆的面积。
答案：圆的面积公式是A = πr²，其中r是圆的半径。
直径是14厘米，所以半径是14/2 = 7厘米。
代入公式得到面积A = π * 7² = 49π ≈ 153.94平方厘米。
试题五：小华有5个苹果，他决定将这些苹果平均分给3个朋友。
如果每个朋友分得的苹果数必须是整数，小华应该如何分配？答案：小华可以将5个苹果分成1, 2, 2的组合，这样每个朋友得到的苹果数都是整数。
试题六：一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米。
求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积公式是V = 长 * 宽 * 高。
代入数值得到V = 8 * 6 * 5 = 240立方厘米。
试题七：如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数是什么？答案：这个数是0或1，因为0² = 0，1² = 1。
华杯赛数学试题及答案
华杯赛数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A、B3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度x满足的条件是？A. 1 < x < 7B. 1 < x < 5C. 3 < x < 7D. 2 < x < 6答案：C4. 一个圆的半径是2，那么它的周长是多少？A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π答案：C5. 下列哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：无正确选项，因为所有选项都可以化简。
6. 如果一个数列的前三项是2, 4, 6，那么第四项是多少？A. 8B. 10C. 12D. 14答案：A7. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，那么它的体积是多少？A. 60cm³B. 120cm³C. 180cm³D. 240cm³答案：A8. 一个等差数列的前三项是2, 5, 8，那么第六项是多少？A. 14B. 15C. 16D. 17答案：B9. 一个等比数列的前三项是2, 6, 18，那么第四项是多少？A. 54B. 42C. 24D. 12答案：A10. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 如果一个数的绝对值是4，那么这个数可能是________或________。
答案：4或-413. 一个圆的直径是10，那么它的面积是________。
答案：25π14. 如果一个三角形的内角和是180度，其中一个角是90度，另外两个角的度数之和是________。
第十五届“华杯赛”全国总决赛集训题 (几何)
第十五届“华杯赛”全国总决赛赛前集训题（几何）一、基本概念；直线、射线、线段；任意四边形、任意三角形；梯形、平行四边形、长方形、正方形、三角形、任意三角形；圆、直径、半径、圆周率、扇形。
二、基本定理及公式：三角形、四边形内角和；周长公式、面积公式。
漏斗定理鸟头定理对角面积相乘互等定理三、常用求面积方法：1、直接计算法：已知大正方形的边长是4厘米，阴暗部分面积是14平方厘米，求小正方形的边长是多少？如图，长方形被分成面积相等的4部分。
X=（）厘米。
2、排除法：已知在平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，F是CD边的中点，求阴影部分面积是平行四边形面积的几分之几？正方形ABCD的边长为6厘米，AC=3AE，BC=3CF，求阴影部分的面积。
3、分割法：如左下图，求阴影部分面积？如右上图，图中的每个小正方形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是____平方厘米。
4、中介法：已知，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积.如右上图，已知三角形ABE的面积是3，BEC的面积是5，求阴影面积。
5、拼补法：如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角 B 和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.如右上图，正方形ABCD的各个顶点都落在直角三角形AEF的各边上，已知正方形ABCD 的面积是36，DE的长是4，则线段BF的长是。
6、推磨法：如图4，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是______。
如右上图所示，一个长方形恰好可以分成7个大小不同的小正方形，其中正方形A和正方形B的边长分别为4厘米和7厘米，长方形的面积是多少？7、特殊性质法：两个等腰直角三角形ABC和DBF的直角边的长分别是8厘米和6厘米，DE与AB垂直，阴影部分的面积是多少？右上图是一块正方形的地板砖示意图，各部分相互对称，红色小正方形的面积是4，四块绿色小三角形的面积总和是18，求大正方形ABCD的面积。
小学组华杯赛试题及答案
小学组华杯赛试题及答案华杯赛是一个知名的小学生数学竞赛，每年都吸引着众多小学生的参与。
为了让小学生更好地备战华杯赛，组委会发布了一套试题及答案供参赛选手进行练习。
以下是小学组华杯赛试题及答案的详细内容。
第一部分：选择题（共20题，每题2分，共40分）1. 下面哪个数是42的因数？A) 7 B) 12 C) 5 D) 32. 请计算下列各数的和：25 + 17 + 9 = ?A) 31 B) 51 C) 61 D) 413. 小明有12个苹果，他想分给3个朋友，每个朋友可以得几个苹果？A) 3 B) 4 C) 1 D) 24. 下面哪个是一个乘法算式的结果？A) 10 - 3 B) 5 + 8 C) 6 × 4 D) 7 ÷ 25. 如果一个矩形的长是8厘米，宽是4厘米，那么它的周长是多少？A) 8厘米 B) 12厘米 C) 32厘米 D) 16厘米6. 请找出下列各数中最大的数：A) 25 B) 13 C) 9 D) 167. 用两个相同的正方形可以拼成一个什么形状？A) 长方形 B) 圆形 C) 三角形 D) 正方形8. 下面哪个数是一个奇数？A) 10 B) 12 C) 9 D) 89. 请填写下面数列中的空格：1, 3, 5, __, 9A) 6 B) 7 C) 8 D) 410. 请计算下列各数的差：17 - 9 = ?A) 7 B) 10 C) 8 D) 611. 如果一个正方形的面积是36平方厘米，那么它的边长是多少？A) 9厘米 B) 6厘米 C) 12厘米 D) 18厘米12. 小明的年龄是7岁，小红的年龄是小明的2倍，小红的年龄是多少？A) 9岁 B) 5岁 C) 14岁 D) 12岁13. 下面哪个数是一个负数？A) 5 B) -2 C) 10 D) 314. 小明在常温下用一个透明的玻璃杯装满了热水，过了一段时间后，杯子外面出现了水珠。
这是因为什么原因？A) 杯子漏水了 B) 杯子外面很湿 C) 热水变成了水珠 D) 杯子里的水蒸发了15. 下面哪个图形是一个正方形？A) B) C) D)16. 小明在一个商店里买了一本书，价格是28元，他给了收银员50元，需要找回多少钱给小明？A) 22元 B) 28元 C) 32元 D) 50元17. 请计算下列各数的积：5 × 3 = ?A) 15 B) 8 C) 12 D) 2418. 一个三角形有几个顶点？A) 1 B) 2 C) 3 D) 419. 请找出下列各数中最小的数：A) 15 B) 27 C) 9 D) 1820. 在数字7的左边填入一个数，使得这个数比7大，并且和7的差是9。
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题及答案解析
第十五屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A 參考答案參考答案（（小學組小學組））一、 填空題（每小題 10分，共120分）二、解答下列各題 (每題10分，共40分, 要求寫出簡要過程)13.13. 答案答案：：不能！理由如下理由如下：：假設能拼成4×5的長方形，如圖A 小方格黑白相間染色。
其中黑格、白格各10個。
將五塊紙板編號，如圖B 所示，除紙板④之外，其餘4張硬紙板每一張都蓋住2個黑格，而④蓋住3個黑格或一個黑格。
這樣一來，由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的5個硬紙板，只能蓋住9或11個黑格，與10個黑格不符！ 14. 答案答案：：28，72L解：（1）易知 紅線與藍線重合的條數是 31)12,8(=−；紅線與黑線重合的條數是 1121)18,8(=−=−； 藍線與黑線重合的條數是 51)18,12(=−；紅線、藍線、黑線都重合的條數是 1121)18,12,8(=−=−； 由紅線7條，藍線11條，黑線17條確定的位置的個數是（圖A ）①②③④ ⑤（圖B ）271)513(17117=+++−++. 因此，依不同位置的線條鋸開一共得到 28127=+（段）.（2）最小公倍數 72362]9,3,4[2]18,12,8[=×=×=.因此，將木棍等分成72段時，至少有一段是在上述紅、藍、黑線的某兩條之間，並且再短（段數更多）時就做不到了.所以鋸得的木棍最短的一段的長度是72L . 15. 答案答案：：5，7.解：設A ，B ，C ，D ，E 五隊的總分分別是a ，b ，c ，d ，e ，五隊的總分為S ，則e e d c b a S +=++++=20.五隊單迴圈共比賽10場，則30≤S . 如果有一場踢平，則總分S 減少1分. 因為00011+++==a ，001311114+++=+++==b ， 01337+++==c ， 11338+++==d ，所以比賽至少有3場平局，至多有5場平局. 所以330530−≤≤−S ，即272025≤+≤e . 故75≤≤e .事實上，E 隊勝A ，B ，負於C 隊，與D 踢平時，7=e ； E 隊勝A ，負於C ，但與B 、D 踢平時，5=e .所以E 隊至少得5分，至多得7分. 16. 答案：1163是質數.解：1163是質數,理由如下:（1）顯然16424是大於2的偶數,是合數.（2）如果1163是合數,但不是完全平方數,則至少有2個不同的質因數,因為31113311163=>,所以,如果1163有3個以上不同的質因數,必有一個小於11.但是顯然2,3,5,7都不能整除1163,11也不能整除1163,因此1163僅有2個不同的大於11的質因數.大於11的質數是:13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101. 既然237116337311147<<×=,1163的兩個不同的質因數一定有一個小於37,另一個大於11.計算97131261116311578913×=<<=×； 73171241116311566817×=<<=×； 67191273116311596119×=<<=×； 53231219116310814723×=<<=×； 41291189116310733729×=<<=×.所以1163是質數. 三、解答下列各題 （每小題 15分，共30分，要求寫出詳細過程）17. 答案：670.解：如圖，已知△ABC ，△BCD ，△CDE ，△DEF ，△EF A ，△F AB 的面積都等於335平方釐米，它們面積之和為33562010×=平方釐米=六邊形ABCDEF 的面積。
第十五届华杯赛初赛试卷及答案
第十五届华杯赛初赛试卷参考答案1、A【解析】每个空白正六边形能分成六个相同的正三角形，所以空白部分总共包含12个这样的正三角形；而整个大平行四边形能分成24个这样的正三角形，所以空白部分占整个平行四边形的一半，那么阴影部分也占整个平行四边形的一半。
所以选A。
2、B【解析】设剪下的长度为x厘米则可以列出不等式：23-x≥2（15-x），整理得x≥7所以剪下的长度至少是7厘米。
3、B【解析】此题出的不严谨，本题原意为两人捞第二个水池内的金鱼，亮亮与红红捞到得金鱼数之比为3：4，共捞了7份；这样，第一个水池内涝完后水池内的，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是5：3，共捞了8份；由于两个水池内的鱼的量是相等的，则找[]7,856=。
两个水池内的总份数，均统一为56份，则在捞第一个水池时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目之比为：3：4=24：32；捞第二个水池时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目之比为：5：3=35：21。
亮亮第一次捞了24份，第二次捞了35份，差了11份，为33条，则1份为3条。
所以原来每隔水池内的金鱼为：3×56=168。
4、D【解析】1119453461260111201512473456060111115524612601115225660++==++++==++==++=本题不是计算最大，而是计算哪个与67接近，再找分母的最小公倍数比较大小，[]7,60420=， 则以上分式分别可以写成：305420，329420，385420，364420，67可以写成360420，显然364420最接近。
5、B【解析】20=20=2×10=4×5=2×2×5四种情况下的最小自然数分别为：192、923⨯、4323⨯、4235⨯⨯，其中最小的是最后一个，为240。
（第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛）6、C【解析】先找一个能够面积为3的点，比如A 点，然后根据等积变换，底相等，高相等，即面积相等。
2020年华杯赛试题解析
③ b c 2a 3，n 9 ；
④ b c 2a 9，n 3 ；
丙分到 6 个苹果，且抽到的数字和是 18，则18 na 6 ，那么 na 12 ；
n 是 12 的因数，只能取 1 或 3，分类讨论；
当 n 1 时， a 12 ，这样丙得到的苹果数是 a a 0 ，矛盾，舍去；
B 同学将 A 同学告诉他的数除以 2020 再加 1，将结果微信传给 C 同学；
C 同学将 B 同学告诉他的数乘以 2020 再加 1，将结果微信传给 D 同学；
D 同学将 C 同学告诉他的数除以 2020 再加 1，将结果微信传给 E 同学；
E 同学将 D 同学告诉他的数乘以 2020 再加 1，将结果微信传给 F 同学；
2020
G 同学得到的数可以表示为： (2020 x 4043) 2020 1 x 3 3 ；
2020
H 同学得到的数可以表示为： ( x 3 3 ) 2020 1 2020 x 3 2020 4 ；
2020
…… 令 2020 x n 2020 (n 1) 58604 ，n 1 个位数字是 4，考虑 n 13、23、33、43、53… 尝试发现当 n 23 时， x 6 ，那么 A 同学最初所想的数是 6，总共有 47 名同学. 3. 甲、乙、丙三人分苹果，分法如下：先在三张卡片上写上自然数 a、b、c ，其中 a b c ， 每一轮分苹果时，每人抽一张卡片，然后把卡片上的数减去 a ，得数就是他这一轮分 得的苹果数.经过若干轮这种分法后，甲总共分得 12 个苹果，乙分得 9 个苹果，丙分 得 6 个苹果，又知丙在各轮中抽到的卡片上写的数字的和是 18，问：a、b、c 是哪三个 数？为什么？ 【答案】 a 4，b 7，c 10
第15届华杯赛决赛试卷及答案与学而思奥数体系的关联
第15届华杯赛决赛小学组试题分析及其在学而思奥数体系中的对应一、题目分布注：1、有些题目属于多个不同模块。
2、学而思奥数体系中，趣味数学模块的题目也归入组合问题。
（一）按模块分布（二）按难度分布由此可见，华杯决赛中中低档的题目占总分值的三分之二左右，若将基础题和中档题全部做对，即可得一等奖，所以基础至关重要！二、考察特点分析1、15届华杯赛决赛题目基础与能力并重，几乎每道题都能找到它的原型，在学而思奥数体系中都有体现；2、与过去的华杯赛决赛和总决赛一样，突出了对数论、组合、最值、几何的考察，解答题中特别重视代数方法的考察；3、解答题比重比较大，特别是有两道15分的需要写详解的题目。
这对教学方向是一个有力的引导，强调了解数学题必须概念清晰、过程清楚、答案明确三个要求并重，强调了逻辑分析与解答的严密性的重要性。
以第三大题第1题那道几何题为例，这次阅卷中如果只有一个得数，只能得5分；如果是用特殊化的方法，将任意六边形特殊化为正六边形来做的，无过程分。
这次考试结束后，又不少学生反映得分应该挺高，但成绩出来后却相去甚远，其原因就在于此。
三、结合学而思十二级新奥数体系的题目分析（以原题顺序为序）（一）填空题1、【题目】在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。
【解析】考虑极端情况：11121416171819212223173+++++++++=【体系说明】组合问题、最值问题。
考察极端思想与数据筛选的能力。
详见四年级（八级下）《最值问题》2、【题目】有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。
一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格。
【解析】有序枚举，枚举与筛选： 2581114111113691215+，，，，，，，，，，，， 25811143333358111417+，，，，，，，，，，，， 258111455555710131619+，，，，，，，，，，，， 258111477777912151821+，，，，，，，，，，，， 2581114999991114172023+，，，，，，，，，，，，删去重复数字，共19种【体系说明】组合问题，枚举法。
最新小学华杯赛试题及答案
最新小学华杯赛试题及答案以下是最新小学华杯赛的试题及答案。
请同学们认真阅读题目并选择最合适的答案。
答案将在试题结束后公布。
第一节：选择题1. 下面哪个是地球的大洲？A. 北极洲B. 夏威夷C. 亚马逊河D. 太阳系2. 以下哪个国家是世界上最大的国家？A. 美国B. 中国C. 加拿大D. 日本3. 铁是哪种物质？A. 液体B. 气体C. 固体D. 火星4. 西瓜属于以下哪个类别？A. 水果B. 蔬菜C. 肉类D. 饮料5. 恒星是由什么组成的？A. 水B. 空气C. 树木D. 氢和氦气体第二节：填空题1. 太阳是一个恒星，它处于太阳系的_________。
2. 中国的首都是_________。
3. 北京是哪个省的首府？4. 学生应该_______勤奋学习才能取得好成绩。
5. 跑步是一项很好的_______。
第三节：问答题1. 简述地球自转和公转的概念。
2. 什么是环保？为什么我们应该保护环境？第四节：阅读理解阅读下面的短文，然后回答问题。
学唱歌有很多好处。
首先，唱歌可以让人快乐。
当我们唱歌的时候，我们的身体会释放出一种叫做“快乐激素”的化学物质，这会使我们更加开心。
其次，唱歌还可以训练我们的声音和听觉。
唱歌可以让我们更敏感地听到声音的变化，并且提高我们的音准。
最后，在唱歌的过程中，我们还可以锻炼我们的肺活量和呼吸能力。
问题：1. 唱歌对人有哪些好处？2. 唱歌可以训练哪些技能？答案：第一节：选择题1. A2. C3. C4. A5. D第二节：填空题1. 中心2. 北京3. 北京市4. 努力5. 锻炼第三节：问答题1. 地球自转是指地球绕着自己的轴心旋转，并且在24小时内完成一次旋转。
公转是指地球绕太阳运动，一年绕行一周。
2. 环保是指保护环境并且减少对环境的污染。
我们应该保护环境，因为一个健康的环境对人类的生存和发展至关重要，而且保护环境也是我们应尽的责任。
第四节：阅读理解问题：1. 唱歌可以让人快乐，并且释放出快乐激素。
第十五届“华杯赛”小学组初赛试题答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解答（小学组）一、选择题1. 如图A-1所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形, 那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ).（A ） 21 （B ）32 （C ）52 （D ）125【答案】A.【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的21.2. 两条纸带, 较长的一条为23cm, 较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍, 那么剪下的长度至少是 ( ) cm.(A) 6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】B.【解答】设剪下的长度为x cm, 那么有：)15(223x x -≥-,解得7≥x . 因此, 剪下的长度至少为7 cm.3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞33条, 与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那么每个水池内有金鱼 ( ) 条.(A) 112 （B ）168 （C ）224 （D ）336 【答案】B.【解答】解法1：这是一道工程问题的变形, 每个水池内有金鱼168343355(33=+-+÷（条）. 解法2：可以认为是比例应用题, 设亮亮第一次捞到3n 条, 则红红第一次捞到4n 条, 依题意, 有35334333=-+n n , 解得n =24, 因此水池内共有金鱼7n =168条.4. 从21,31,41,51,61中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与76最接近, 去掉的两个数是 ( ).（A ） 21,51 （B ）21,61 （C ）31,51 （D ）31,41【答案】D. 【解答】通分21=420210, 31=420140, 41=420105, 51=42084, 61=42070, 76=420360. 显然, 210+84+70=364最接近360.5. 恰有20个因数的最小自然数是 ( ).(A) 120 （B ）240 （C ）360 （D ）432 【答案】B.【解答】因为20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有20个因数的自然数是3与9个2的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是3个3与4个2的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是3, 5与4个2的乘积, 即: 3×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为240.6. 如图A-2的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成, B , C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点A , 使得△ABC 的面积恰等于3平方厘米, 则这样的A 点共有 ( ) 个.（A ）6 （B ）5 （C ）8 （D ）10 【答案】C.【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10条水平线, 每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第1条水平线上没有格点符合要求, 第2条水平线上仅有7A 符合要求. 如图A-3所示, 类似可以得到格点2A ,1A ,6A 符合要求, 对称地, 可以得到5A ,4A ,3A ,8A 符合要求. 故答案是C.二、填空题7. 算式4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-的值为 .【答案】1218. 【解答】 4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-=10953434175++=75+32=1218. 8. “低碳生活”从现在做起, 从我做起. 据测算, 1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃, 相应每年减排二氧化碳21千克. 某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计, 该市家庭约有 万户. (保留整数)【答案】556.【解答】 25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6.9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中, 选出九个数字, 组成一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于2010, 那么其中未被选中的数字是 .【答案】6.【解答】由于和为2010 所以四位数首位只能为1, 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh . 设没有被选的数字为x , 那么100()10()()1010a d b e g c f h +++++++=.两边同时减去h g f e d c b a +++++++, 由于451=+++++++++x h g f e d c b a , 则x g e b d a +=++++966)(9)(99.两边都可以被9整除, 因此6=x .事实上, 由去掉6以后的9个数码0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9可以组成一个两位数, 一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足78 + 540 + 1392 = 2010.【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh , 既然他们的和是2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进位的数目至少是3, 设为k . 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k ＝3＋9k , 由于012945++++=, 故有： 363945k ≤+<, 33423599k <≤<<, 所以4k =, 三个整数abc 1, ,def gh 的数字和是3939k +=, 因此没有被选的数字为6.2) 可以询问：有多少不同的 {abc 1, ,def gh } 满足它们的和是2010呢？ 从条件可知：20c f h ++=或10c f h ++=. 如果20c f h ++=, 则19b e g ++≠, 否则39c f h b e g +++++=, 这是不可能的；当10c f h ++=时,9b e g ++≠, 否则9937c f h b e g +++++++=, 也是不可能的, 因为38a b cdefgh +++++++=. 故有20 (1)9 (2)9 (3)c f h b e g a d ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩用穷举法, (1)的解是{3,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4}；(2)的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8个数字,,,,,,,a b c d e f g h 所取的数字各不相同, 并且0,0d g ≠≠故有1.{},,c f h ={3,8,9}, {}{}{}{},,0,2,7,,4,5b e g a d ==, 有不同的642=48⨯⨯组解； 2.{},,c f h ={3,8,9}, {}{}{}{},,0,4,5,,2,7b e g a d ==, 有不同的642=48⨯⨯组解； 3.{}{}{}{}{}{},,5,7,8,,,2,3,4,,0,9c f h b e g a d ===, 有不同的661=36⨯⨯组解,即当20c f h ++=时共有132组解.类似, （1）和（2）交换, 此时8=+d a ,有108组解答. 因此, 共有240组答案.10. 图A-4是一个玩具火车轨道, A 点有个变轨开关, 可以连接B 或者C . 小圈轨道的周长是1.5米, 大圈轨道的周长是3米. 开始时, A 连接C , 火车从A 点出发, 按照顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10米, 则火车第10次回到A 点时用了 分钟.【答案】 2.1.【解答】根据条件, 在小圈火车行驶一圈用时15.0105.1=÷分钟, 在大圈火车行驶一圈用时3.0103=÷分钟. 设回到A 点时用时为t 分钟, 这样我们有下表：下面我们给出一个一般的解答.设玩具火车绕小圈轨道m 圈, 绕大圈轨道n 圈, 则玩具火车运动路程是1.53S m n =+, 时间是1.5310m n +. 如果 1.5310m n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦是偶数, 则变轨开关AC 连通, 如果 1.5310m n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦是奇数, 则变轨开关AC 连通. 我们寻找最小的m n +, 使1.5310m n+是偶数. 无妨设 1.5310m n K +=, 或3620m n K +=,这里K 是偶数, 并且有3为约数, 是玩具火车运动的时间, 因此最小的K 是6. 即求m 和n 使240m n +=.当n ＝3, 3010n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 故开始玩具火车绕大圈轨道4圈之后进入小圈, 时间是12 1.210=（分钟）；当n ＝4, m ＝5时, 7.512110+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 912210+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 故玩具火车绕小圈轨道6之后再次进入大圈轨道, 此时1.5310m n +＝1.56342.110⨯+⨯=（分钟）（可以称为一个拟循环）将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为2n . 2n ＝3时,1.5637310⨯+⨯=（分钟）, 玩具火车应当再次进入小圈运行, 运行圈数记为2m , 既然1.57 1.5611010⨯⨯>>, 故玩具火车绕小圈运行7圈后, 应再次进入大圈运行, 此时1.53 1.51337 4.051010m n +⨯+⨯==（分钟）.将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为3n . 既然1.513311 1.51331051010⨯+⨯⨯+⨯>>, 故玩具火车绕大圈运行4圈后, 应再次进入小圈运行, 此时1.53 1.513311 5.251010m n +⨯+⨯==（分钟）, 则玩具火车绕大圈运行5圈后,1.53 1.51831161010m n +⨯+⨯==(分钟). 结论玩具火车第29次回到A 时, 变轨开关AC 连通, 即回到原始状态.。