二、无穷小量阶的比较解读
[微积分Ⅰ]1-3b 无穷小量、无穷大量、阶的比较
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x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如, lim sin x 0,
x 0
函数 sin x是当x 0时的无穷小.
1 函数 是当x 时的无穷小. x
1 lim 0, x x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x )时为无穷小 量,记作
( X )语言表述
0, 0(or X 0) 当 , 0 x x0 ( x X ) 时 ,有 f ( x ) 则 lim f ( x ) 0
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小. n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M . 又设是当x x0时的无穷小, 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
考察
{xn } : 1, 2, 3, 4, , (1)n n, { yn } : 1, 2, 3, 4, , (1)n1 n,
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn } : 0, 0, , 0,
不是无穷大量
是无穷大量
第3周：极限四则运算2、两个重要极限、无穷小阶的比较
(3
cos
x)
注7：利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷 小”这一性质求极限也是一种常用方法。
例：lim ( n
1 n2
2 n2
n 1 n2
n n2
)
注8：无穷多个无穷小相加，先求和，再求极限。
求极限的常用方法小结：
1.求初等函数在 x x0时的极限，如果把 x x0 代 入函数有意义，则函数值就是极限值。
(二) lim(1 1)x e
x
x
1.特点：⑴底数是数1 加 无穷小量;
⑵指数是底中无穷小的倒数。
公式推广：1.
f
lim
( x )
1
f
1 (x)
f
(
x)
e
1
f (x)
2. lim 1 f (x) e f ( x)0
(二) lim(1 1)x e
f (x)0 f (x)
f (x)
lim
1
f (x)0 sin f (x)
例：1.lim sin 2x
x0 x
例：2.lim tan 3x
x0 x
3.lim sin 5x x0 sin 3x
注：对含有三角函数的 0型极限，常用第一个重
要极限求解。
0
例：4.lim x3
sin(x 3) x2 7x 12
同理：sin 2x ~ 2x
sin x2 ~ x2
1.定理：设 ,1, , 1 是无穷小量，且 ~ 1,
~ 1 ，则有： (1) lim f (x) lim1 f (x),
a0 b0
高数2.7节-无穷小阶的比较
故当x 0时, x 2 tan3 x为x的5阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
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例5 解
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x )
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7
tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x 5 x 2 x . lim x 0 o( x ) 3 3 x
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小
1
结
无穷小阶的比较：无穷小的阶反映了同一过 程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不
是所有的无穷小都可进行比较.
2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法，注意适用条件. 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
无穷小与无穷大-无穷小的比较
1 x 1
1 时， x 1
是无穷小
1 是正无穷大 x 1 时， x 1
x2 ( 4) y x 1
x2 是无穷小 x 1 x2 x 1时，y 是无穷大 x 1 x 2时，y lg x是无穷小 x 0 或x 时，y lg x是无穷大
关于等价无穷小，有下面重要的性质．
' 定理4–4 设 ~ ， ~ ，且 lim 存在， ' ' 则 lim lim '
证明：
' ' ' lim lim lim ' ' '
21
在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因
子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种
练习
求下列函数的极限
1 (1)lim x sin 0 x 0 x arctan x 0 ( 2)lim x x sin 2 x (3)lim 0 2 n x cos n 2 ( 4)lim 0 n n
2
2.4.3 无穷小的比较
我们记 1 ， 2 ， 1 ，它们 2 x x x 都是 x 时的无穷小量．但 1/ x 2 1 lim 0 ， lim lim x x 1 / x x x 1/ x 1 ， lim lim x x 2 / x 2 2/ x lim 2 x ． lim lim 2 x x 1 / x x
lim f ( x) A f ( x) A 其中 lim 0．
无穷小的代数性质
• 性质1 无限个无穷小之和仍是无穷小。 • 性质2 有界变量与无穷小之积仍是无穷小 。 • 推论1 常数与无穷小之积是无穷小。 • 推论2 有限个无穷小之积是无穷小。
第三节无穷小量与无穷大量、无穷小的阶2012-9-23
第三节无穷小量与无穷大量、无穷小的阶2012-9-23§2.3 无穷小量与无穷大量教学目的：掌握无穷小量与无穷大量的定义及性质；掌握无穷小量阶的概念，能正确判断所给两个无穷小量的关系；熟记常用的等价无穷小量，会灵活运用求极限．重难点：正确运用无穷小量与无穷大量的概念及性质，熟练运用等价无穷小量计算函数的极限，证明相关问题.教学过程:在极限的研究中，极限为零的函数发挥着重要的作用。
一、无穷大量1.引例：函数 11y x =-在1x →时的变化趋势. 当x 越来越接近1时，11y x =-越来越大，在x 无限接近1时，11x -可以任意大.“任意大”就是不论预先指定一个多么大的正数，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，变量的绝对值就可以大于那个指定的正数.显然，对于0M ?>，要使 11M x >-，只要11x M -<就可以了，此时称1x →时，11y x =-是一个无穷大量.即 11lim 1x x →=∞-. 2.【定义2.8】对于0E ?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式 y E >恒成立，则称变量y 无穷大量，或称变量y 趋于无穷大.记作lim y =∞. 另一种定义：设)()(y D U ??λ (或x 大于某一正数时有定义), 0>?M ,0>?θ（或正数X ）,当),(θλ U x ∈（或x X >）时,恒有M y >||,则称y 当λ→x 时为无穷大量, 记作∞=→y x λlim . 注：① 无穷大量并不是很大数.② 将||y M >换成y M >,可定义lim x y λ→=+∞. ③ 将||y M >换成y M <-,可定义lim x y λ→=-∞.可以证明 1111lim ,lim 11x x x x +-→→=+∞=-∞--.二、无穷小量 1.【定义2.9】以0 为极限的变量称为无穷小量.即对于0ε?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式y ε<恒成立，则称变量y 无穷小量.另一种定义：若lim ()0x f x λ→=,称()f x 当x λ→时为无穷小量,记作()(1)f x o =,(x λ→).注意：无穷小量并不是很小数，而是某一过程中极限为０的量．常数中只有０是无穷小量．例1 讨论下列无穷小量：（1）lim 20n -→∞= n , ∴ n →∞时，变量2n n y -=是无穷小量；即n →∞时，2(1)n o -=；(2) 1lim(1)0x x →-= , ∴ 1→x 时， 1-x )1(o =； (3) 1lim 0x x →∞= , ∴ ∞→x 时，x1)1(o =；(4) 21lim 01n n →∞=+ , ∴∞→n 时， 112+n )1(o =. （5）20li m 0x x →= , ∴ 0x →时，2x (1)o =.2．性质【定理2.5】变量y 以A 为极限y A a ?=+，其中a 是一个无穷小量. 即lim ()x f x A λ→=?()(1)f x A o =+ ?()(1)f x A o -=,x λ→.证明：lim ()lim[()]0x x f x A f x A λλ→→=?-= ()(1)f x A o ?-=()(1),f x A o x λ?=+→.【定理2.6】如果变量a 是一个无穷小量，()y f x =是个有界变量，则变量ay 是无穷小量.即(1)(1)(1)O o o ?=, x λ→.证：设变量y 是某个时刻后的有界变量，所以存在正数M ，在这一刻后恒有y M ≤.又因为 a 是一个无穷小量，所以对于0ε?>，总有那么一个时刻，在那个时刻以后恒有a M ε<.从而在那个时刻以后，恒有ay a y M M εε=?<=成立.故变量ay 是无穷小量. 另证明：设)1(O u =,)(λU x ∈?10,0M δ?>> ..t s M u ≤||,1(,)x U λδ∈ ；又设)1(o v =,那么0>?ε,20δ?>..t s 2(,)x U λδ∈ 时,M v ε<||,取12min{,}δδδ= ..t s 当(,)x U λδ∈ 时,有M u ≤||,M v ε<||, 于是εε=?<?≤MM v u uv ||||||, 所以)1(o uv = 即)1()1()1(o o O =, )(λ→x .例2 证明 01lim sin0x x x→?=. 证因为1sin 1x≤，所以1sin x 是有界变量，又因为0lim 0x x →=；故01lim sin 0x x x →?=. 【推论1】常量与无穷小量的乘积还是无穷小量.即(1)(1)C o o ?=, x λ→.【推论2】两个无穷小量的和是无穷小量，即(1)(1)(1),o o o x λ±=→.证明：设(1)u o =,(1)v o =，那么0ε?>,10δ?>..s t 1(,)x U λδ∈时,||2u ε<, 20δ?>..s t 2(,)x U λδ∈ 时,||2v ε<, 取{}12min ,δδδ= ..s t 当12(,)(,)(,)x U U U λδλδλδ∈= , 时, 同时有||2u ε<,||2v ε<,于是 ||||||22u v u v εε±≤+【推论3】有限个无穷小量的积仍是无穷小量.注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小.例11lim()10n n n →∞++=≠ ；314lim()0325n n n n→∞++=-. 【推论4】有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.即(1)(1)(1),o o o x λ?=→. (可推广至有限项)例3计算极限(1) sin lim 0x x x→∞= (2) 201lim sin 0x x x→=. 解：因0lim 0x x →=,1sin 1x≤(0)x ≠, 所以 201lim sin 0x x x→=. (3) arctan lim x x x→∞. 解：因1lim 0x x →∞=,arctan 2π≤, 所以 arctan lim 0x x x→∞=. (4★)lim (sin 1sin )x x x →+∞+- 解：由于sin 1sin x x +-112cossin 22x x x x +++-=，而 1cos 2x x ++ 是有界函数，且 1l i m s i n 2x x x →+∞+- 1lim sin 02(1)x x x →+∞==++，故 l i m (s i n 1s i n )0x x x →+∞+-=． (2) 由于cos x 是有界函数，而2lim01x x x →+∞=+，故 2c o s l i m 01x x x x →+∞=+．三、无穷大与无穷小的关系【定理2.7】在变量y 的变化过程中，（1）如果y 是无穷大量，则 1y是无穷小量；（2）如果(0)y y ≠是无穷小量，则 1y是无穷大量.另一种形式：在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，若()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大. 分析：（1）0ε?>,欲使1()f x ε<, 只需1()f x ε>，取1E ε=即可；（2）0E ?>,欲使()f x E >, 只需11()f x E <，取1E ε=即可. 例如由于11lim 1x x →=∞-，所以1x →时，1x -是无穷小量且非零，所以 11x -是无穷大量. 例4 根据定义证明：(1) 1y x =-为当1x →时的无穷小；证明：0ε?>,取0δε=>,当0|1|x δ<-<时,恒有|||1|y x ε=-<,所以 1y x =-为当1x →时的无穷小. (2) 1cosy x x=为当0x →时的无穷小. 证明：0ε?>,取0δε=>,当0|0|x δ<-<时, 恒有 1|0|cos||0y x x x x ε-=≤=-<, 所以1cosy x x =为当0x →时的无穷小. 例5 函数12x y x+=是当0x →时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使4||10y >？（1）证明：0E ?>,欲使1211||22||x y E x x x +==+≥->, 只需 10||2x E <<+ 即可. 取 102E δ=>+,则当0||x δ<<时, 恒有 12||x y E x+=>, 所以 0012lim lim x x x y x→→+==∞. (2) 欲使4||10y E >=,取41110210002δ==+, 则x 满足10||10002x << 即可. 例6 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22x k ππ=+,则(2)sin(2)2222y k k k ππππππ=++=+, 0,1,2,k =, 可见, 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内无界.(2)取x k π=,则sin()0y k k ππ==,1,2,k = ,可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.例7函数1siny x x=在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么? 解：(1)当0x >时,111sin||sin ||1x x x x x x≤≤=, 可见, 函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界. (2)因函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界, 可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.提问：当0x →时,下列变量中哪些是无穷小量？22223221100,,,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x x x x +-解 222231100,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x +-是无穷小量. 若改为x →∞时，回答上述提问.提问1：函数21(1)y x =-在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？解2111lim lim (1)x x y x →→==∞?-21(1)y x =-是1x →时的无穷大量；21lim lim 0(1)x x y x →∞→∞==?-,21(1)y x =-是x →∞时的无穷小量. 提问2：下列极限不正确的是( ).(A )e 10lim x x →=∞； (B )e 10lim 0xx -→=；(C )e 10lim x x +→=+∞； (D )e 1lim 1xx →∞=. 提问3：若lim (),lim ()x a x af xg x →→=∞=∞，则必有( D ). (A )lim[()()]x a f x g x →+=∞；(B )lim[()()]x af xg x →-=∞ (C )1lim0()()x a f x g x →=+；(D )lim ()x a kf x →=∞(k 为非零常数) 四、无穷小量的阶无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量趋于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.例如当0x →时，2,2x x x 都是无穷小量，它们趋于0的速度的差别可以通过下表体现：x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 → 0 2x2 1 0.2 0.02 0.002 → 0 2x 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 → 0【定义2 .10】(无穷小的比较)设(),()x x ααββ==,为同一极限过程中的无穷小,且0α≠.则1)β是比α高阶的无穷小—— lim0x λβα→=, 记作()o βα=,()x λ→；2) β是比α低阶的无穷小—— lim x λβα→=∞；3) β与α是同阶无穷小——lim 0x C λβα→=≠, (C 为常数)；4)β是关于α的k 阶无穷小—— lim0kx C λβα→=≠, (C 为常数, 0k >)；5)β与α是等价无穷小—— lim 1x λβα→=,记作~αβ,()x λ→. 例8 (1) 203lim 0x x x→=, ∴23()x o x =, (0)x →. (2) 21lim 1n n n→∞=∞, ∴ 当n →∞时,1n 是比21n低阶的无穷小. (3) 239lim 63x x x →-=-, ∴当3x →时,29x -与3x -是同阶无穷小.(4) 2x x +；解： 200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=?2~x x x +,(0)x →. (等价无穷小)例9 当0x →时证明下列结论正确：(1) 22211~x x x +--.证明：因为 2222200112lim lim 11x x x x x x x→→+--=++- 211010==++-, 所以22211~x x x +--（当0x →时）.（2）111~n x x n+-,(0)x →.（常用作代换）证明：因 011lim 1n x x x n→+- 012(1)1lim 1[(1)(1)1]n n x n n n n x x x x n→--+-=+++++ 120lim (1)(1)1n n x n n n x x --→=+++++ 1111n n n ===+++所以 111~n x x n+-,(0)x →. 例10 (89.3) 设()232x x f x =+-.则当0x →时( B ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小量(B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 比x 较高阶的无穷小量(D) ()f x 比x 较低阶的无穷小量答选(B).因0000lim ()lim(232)2320x x x x f x →→=+-=+-=, 又 00()232lim lim x x x x f x x x →→+-=00(21)(31)lim lim x x x x x x →→--=+ln 2ln 31=+≠,小结: 1.弄清无穷大和无穷小的概念；注意无穷小量并不是很小数，常数只有零为无穷小量.无穷大量不是很大的数.2.在自变量的同一变化过程中，两个无穷大相加或相减的结果是不确定的.但是可以将无穷大的问题转化为无穷小，利用无穷小的性质解决无穷大问题.课后记：利用极限的性质求函数极限时概念不熟悉. 不能灵活运用等价无穷小量计算极限．。
第六节--无穷小的比较精选全文完整版
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
无穷小阶的比较的讲授方法
无穷小阶的比较的讲授方法作者：曹志杰来源：《科技风》2018年第32期摘要：对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无穷小，抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。
本文考虑在课堂上讲授这一部分时运用类比，力图将無穷小阶的比较过程形象地呈现出来。
这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课堂讲授。
关键词：无穷小阶的比较；类比一、无穷小及其阶的比较无穷小量，即无穷小，指在自变量的某一变化过程下趋于零的函数。
在微积分的发展过程中，人们对无穷小量的认识经历了一个漫长的过程，这与极限理论的遭遇密切相关：无穷小是极限理论中最使人难以接受的部分，对当时的人们来说，它似乎带有某种“神秘气氛”，见[1]。
无穷小的定义是“如果一个量的绝对值能变得小于任意选定的无论怎样小的量，则说它能变为无穷小”，正是这个说法，引出了一般极限定义的ε.δ语言，毋庸讳言，”某量的绝对值小于任意选定的无论怎样小的量”表达成的数学语言（即无穷小的ε.δ定义）仍困扰着今天的初学者，而无穷小阶的比较，则是在自变量的某变化过程下，比较出不同无穷小趋于零的相对快慢。
这个比较过程，在教科书中是考虑这些无穷小量的比值在自变量的该变化过程下的极限（可参见任一本微积分教材，如文献[2]）：二、用类比法讲授“无穷小量阶的比较”过程极限理论对初学者往往较难理解，这源于极限概念（ε.δ语言）的抽象性和高度的动态性：据说这是一个有四个逻辑层次的杂逻辑结构，[3]而中学的数学对象多是静态的，即使略显抽象，也可在数次”亲密”接触后形成印象.但对于ε.δ语言，即使靠”死记硬背闯关了”，理解起来仍无所适从，基于此，人们曾改造极限概念的表达方式，提出所谓非ε语言定义来代替ε.δ语言，[3]这种做法，不会降低学生的理解难度，甚至可以说，有意绕开极限理论的精髓反而加大了以后学习的难度，最终还是要返回去重新理解ε.δ语言。
那么，怎样才能让初学者对ε.δ语言形成一个基本印象呢？由前述的极限定义的ε.δ语言和无穷小之间的关联，即正是无穷小的定义，引出了极限定义的ε.δ语言，笔者认为，讲授这一部分时，通过对某一动态过程的类比考察，形象的再现无穷小及其阶的比较经过，对于初步理解极限定义的ε.δ语言大有裨益。
无穷小阶的比较
的无穷小来代替，这样可以简化很多函数极限的计算．下面给出一些常用的等价无
穷小公式（当 x 0 时）：
（1） sin x ~ x ；
（2） arcsin x ~ x ；
（3） tan x ~ x ；
（4） arctan x ~ x ；
（5）1 cos x ~ 1 x2 ； 2
（6） n 1 x 1 ~ 1 x ． n
高等数学
无穷小阶的比较
例如，因为
lim
x0
2x x2
，所以当
x
0
时，
2x
是比
x2
低阶的无穷小，反过来
x2
是比 2x 高阶的无穷小，即 x2 o(2x) ；因为 lim sin x 1 ，lim tan x 1 ，所以当 x 0
x0 x
x0 x
时， sin x ， tan x 与 x 是等价无穷小，即 sin x ~ x ， tan x x ．
无穷小阶的比较
例 4 求 lim tan 2x ． x0 sin 3x
解 因为当 x 0时， tan 2x ~ 2x ， sin3x ~ 3x ，所以 lim tan 2x lim 2x 2 ． x0 sin 3x x0 3x 3
无穷小阶的比较
例 5 求 lim 1 x2 1 ． x0 1 cos x
无穷小阶的比较
例 1 证明：当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x2 ． 2
证明
因为
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
lim
x0
sin x
x 2
2
1，
2
无穷大量与无穷小量学习笔记
y3
x2lim sin y 2
x0 3 x 2x x2 x0 3 x
y0 y
例4
设an
0, bm
0,
求极限
lim
x
an bm
xn xm
an1xn1 L bm1xm1 L
a1x a0 b1x b0
解： 当n 时, an xn an1xn1 L a1x a0的主部是an xn
bm xm bm1xm1 L b1x b0的主部是bm xm
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
则 ~ , 且 lim lim ,
但 ~ 时此结论未必成立 .
例如,
lim
x0
tan 2x sin 1 x 1
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 (x) 极限存在或有
（2）没有单独的无穷小量，无穷小量总是在某一种变化趋势下为无 穷小量，不过，有时在变化趋势是明显的时候，也简称说某函数为时一 个无穷小量。
（3）理解举例
例1 证明 lim f (x) A f (x) A o(1),(x X ) xX
证： Q lim f (x) A, xX
lim f (x) A lim f (x) A A A 0
0, m n
lim
x
an bm
xn xm
an1xn1 L bm1xm1 L
a1x a0 b1x b0
lim
x
an bm
xn xm
,m n an , m n bm
无穷小阶的比较
无穷小阶的比较————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：242 / 51.6 无穷小阶的比较1 无穷小的比较设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。
(1) 如果0lim0x x βα→=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o βα=；也说α是比β低阶的无穷小。
(2) 如果0lim x x c βα→=(c 是不为0的常数)，则称β是与α同阶的无穷小。
(3) 如果0lim 1x x βα→=，则称β与α是等价无穷小，记作βα:或αβ:。
(4) 如果0lim k x x c βα→=(0k >，c 是不为0的常数)，则称β是关于α的k 阶无穷小。
例如 0x →时，23()x o x =，sin x x :，1cos x -与2x 是同阶无穷小，同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。
注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x →∞时，1()f x x =，sin ()x g x x=都是无穷小。
由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在，因此，1()f x x =与sin ()x g x x=不能进行阶的比较。
例1 0x →时，比较1cos x -与2x 的阶。
解 2222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫ ⎪-====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 。
0x →时，1cos x -与212x 是等价无穷小。
定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则βα:()o βαα⇔=+。
例如 0x →时，211cos 2x x -:，故 2211cos ()2x x o x -=+，即221cos 1()2x x o x =-+，于是在0x =的小邻域内可以用2112x -近似代替cos x 。
《无穷小阶的比较》课件
本课件将介绍无穷小阶的比较，为数学爱好者和学生提供帮助和指导。无穷 小阶的比较在微积分领域占有重要地位，也是计算数学的基础。让我们深入 探索吧！
无穷小的定义
形式化定义
当$x$趋近于$a$时，$f(x)$趋近于0。
无穷小的性质
一些与无穷小相关的性质和常用结论，包括加，减，积与复合运算等。
总结
1 概念
无穷小的定义、性质和微小量与大量的比较。
2 无穷小阶
无穷小阶的定义、性质和比较方法。
3 比较定理的应用
夹逼定理、比较判别法和较弱比较判别法等比较定理在实际问题中的应用举例。
参考文献
1. 微积分教程，姚士谋，高等教育出版社，2000. 2. 计算数学，朱光磊，科学出版社，2012. 3. Mathematicsfor the Nonmathematician，Morris Kline，Dover Publications，1985.
微小量与大量的比较
解释微小量的定义，与大量相对比较的方法，以及这种比较的一些重要应用。
无穷小阶的定义
正式定义
若 $lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。
性质
关于高阶无穷小的性质和基本结 论。
无穷小阶的比较
无穷小阶的比较
小$o(1)$与$o(x^n)$的比较
探讨不同阶数的无穷小之间大小的比较关系。
特殊的无穷小阶
介绍与特定函数阶数相关的无穷小阶，如$\log x$，$e^x-1$和$x^\alpha\sin\frac{1}{x}$等。
$\sin(x)$ 的无穷小比较
无穷小量的比较(4)全
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
2024/10/27
4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2024/10/27
9
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
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'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
26无穷小阶的比较【可编辑全文】
一.无穷小阶的比较 二.等价无穷小替换原理
一.无穷小阶的比较
虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量 趋于零的速度却不一定相同. 为了反映不同的无穷小趋于零 的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较.
定义2.6.1 设 α，β是在自变量同一变化过程中的两个无
穷小，且 α ≠ 0，则 (1) 如果 lim 0 ,则称 是 的高阶无穷小, 记做 o( )
x x2
,
lim sin x 1 x0 x
所以当 x→0时, x2 是x的高阶无穷小； x是 x2的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2
因为
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
所以, 当x→0时, 1 cos x 与 x2 是同阶无穷小.
例3
因为
ln(1 x) lim
x0
x
1
lim ln(1 x) x ln e 1 x0
lim
x0
tan2 x
lim cos x x0
x2
1
例7
求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
1
解
tan x sin x
lim
x0
x3
sin lim
x0
x( cos x x3
1)
sin x (1 cos x) lim
x0 x x2 cos x
lim
x0
2
x2 x2 cos
x
1 lim
lim lim( 1) lim 1 0
因此 o(), 即 o()
充分性 设 o(), 则
无穷小阶的比较的讲授方法
$ 无穷小量的阶% #指的就是% 无穷小量趋于零的速率% *
二用类比法讲授 无穷小量阶的比较 过程
极限理论对初学者往往较难理解#这源于极限概念+ $2%
语言, 的抽象性和高度的动态性!据 说 这 是 一 个 有 四 个 逻 辑 层
次的杂逻辑结构#(() 而中学的数学对象多是静态的#即使略显
抽象#也可在数次% 亲密% 接触后形成印象&但对于 $2%语言#即
在这个场景下#回到无穷小量阶的比较上* 若将比赛的终 点视为极限值 %#在比赛过程中#每一个运动员都在趋于终点# 也就是说参赛的运动员都可视为相应的无穷小* 我们先考虑 处于不同梯队的运动员#显然#如前述#属于前面梯队的运动员 要远快于其后梯队的#如果比较前面梯队中人员的速度和其后 梯队人员的速度#在前面梯队接近终点时#可以认为对应的无 穷小接近极限值 %#对应的#其后的梯队距终点还有很长一段# 对应的无穷小还远未接近 %#那么这个比的极限就是 %#我们称 作为分子的无穷小较作为分母的无穷小高阶#对应到场景中就 是前面梯队的速度远大于后面梯队的* 在同一个梯队中#不同 运动员之间的速度也有差异#除非二者% 并驾齐驱% #否则#这个 相对速度之比会趋于一个非零常数#这时我们可称位于同一梯 队中的运动员相对静止#这类比于两个无穷小量是同阶的#而 若这个比值趋于 $#对应于运动员% 并驾齐驱%#那么这两个无 穷小量就是等价无穷小了* 以上过程中若将终点类比成无穷 远点#那么比赛过程就可想象为无穷大量的阶的比较过程#不 同的#由于是趋于无穷远#当相应的极限为 % 时#类比的情形 是#极限过程下#分母远大于分子* 此时称分母为较分子高阶 的无穷大#反过来也可以称分子为较分母低阶的无穷大#类似 可有其他结论*
关键词无穷小阶的比较'类比
无穷小的比较及阶数的确定
无穷小的比较及阶数的确定无穷小是数学中一个重要的概念，它在微积分中有着广泛的应用。
本文将讨论无穷小的比较以及如何确定它们的阶数。
我们来了解一下什么是无穷小。
无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号$o(x)$表示，其中$x$表示自变量。
无穷小可以是正无穷小、负无穷小或是介于两者之间的无穷小。
在比较无穷小的大小时，我们需要根据其阶数来进行判断。
无穷小的阶数可以通过计算极限来确定。
设$f(x)$和$g(x)$是两个无穷小函数，且$\lim_{x \to a}f(x) = 0$，$\lim_{x \to a}g(x) = 0$，其中$a$可以是实数或无穷大。
如果存在正整数$n$，使得$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，那么我们说$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小，记作$f(x) = o(g(x))$。
如果$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$存在且不为零，那么我们说$f(x)$和$g(x)$是同阶无穷小，记作$f(x) = O(g(x))$。
如果$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$不存在，那么我们说$f(x)$和$g(x)$是不可比较的无穷小。
接下来，我们来看一些常见的无穷小及其比较。
首先是多项式函数和幂函数。
对于任意正整数$n$，多项式函数$x^n$是比$x^{n-1}$高阶的无穷小，即$x^n = o(x^{n-1})$。
同样地，幂函数$x^a$和$x^b$比较时，如果$a > b$，则$x^a$是$x^b$的高阶无穷小。
指数函数和对数函数。
指数函数$e^x$是比$x^n$（$n$为任意正整数）高阶的无穷小，即$e^x = o(x^n)$。
对数函数$\ln x$和多项式函数$x^n$比较时，对于任意正整数$n$，$\ln x$是$x^n$的低阶无穷小，即$\ln x = O(x^n)$。
无穷小量阶的比较结论
无穷小量阶的比较结论
无穷小量阶在微积分和数学分析等学科中有广泛应用。
在无穷小量阶比较中，我们考虑两个无穷小量$a(x)$和$b(x)$，并研究它们之间的比较关系。
下面，我们将介绍无穷小量阶的比较结论。
1. 当$x\to 0$时，$ax^\alpha$的阶小于$bx^\beta$的阶
若$\alpha<\beta$，则$\lim_{x\to 0}\frac{ax^\alpha}{bx^\beta}=0$，即
$ax^\alpha$的阶小于$bx^\beta$的阶；
总结：
以上四条结论都是在特定的极限情形下成立的。
其中，前两条是在$x\to 0$或者
$x\to\infty$的极限情形下成立的，而后两条是在$x\to x_0$的极限情形下成立的。
无论是$x\to 0$、$x\to\infty$还是$x\to x_0$的极限情形，我们都可以通过求出无穷小量函数的极限值来判断其阶的大小关系。
在实际应用中，我们可以利用无穷小量阶的比较结论，研究函数的渐近性质，判断是否存在一定的增长趋势或者衰减趋势。
例如，在微积分中，我们可以利用无穷小量阶的比较关系，进行极限求解，得到导数、微分等基本概念和理论，从而能够更加深入地了解函数的特性和性质。
总之，无穷小量阶的比较关系是微积分和数学分析中的基本概念，具有非常重要的理论和实际应用价值。
通过深入理解无穷小量阶的比较结论，我们可以更好地掌握相关的数学知识，进一步提升自己的数学能力和水平。
数分3.5
例7 设 f ( x ) 为 x → x0 时的无界量 . 证明 : 存在
xn ≠ x0 , xn → x0 , 使得
lim f ( xn ) = ∞ .
n→ ∞
证 因为 x → x0 时 f ( x ) 为无界量 ， 所以 ∀G > 0 ,
若定义中的 | f ( x ) | > G 改为 f ( x ) > G 或 f ( x ) < −G ,
记作
x → x0x → x0来自lim f ( x ) = ∞.
lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞.
x → x0
相应地称 f ( x ) 为 x → x0 时的正 无穷大量和负无
tan x − sin x . 例2 计算 lim 3 x→ 0 sin x tan x − sin x tan x − sin x = lim 解 lim 3 x→ 0 x→ 0 sin x x3 1 sin x ( −1 ) cos x sin x (1 − cos x ) = lim = lim 3 x→ 0 x→ 0 x x 3 cos x
例5 证明 lim ln x = −∞ . +
x →0
证 对 ∀ G > 0, 要找到 δ > 0, 使得 ∀ 0 < x < δ ,
ln x < −G .
由于 ln x 单调增,只要令 δ = e
-G
> 0 即可.
lim 例6 设 { an } 递增，无上界 证明 n→ ∞ an = + ∞ . 递增，无上界.
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(2) 可以类似地证明. 定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子 可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.
arctan x . 例1 计算 lim x 0 sin 2 x
解 因为 arctan x ~ x , sin 2 x ~ 2 x ( x 0), 所以
( x x0 ) 表示 g( x ) 的所有高阶无穷小量的集合．
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“” . 也就是说，这里的 “=” 类似于 f ( x) 4. 若 lim 1, 则称 f ( x ) 与 g( x ) 为 x x0 时的 x x0 g ( x )
等价无穷小量，记作
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ).
f x 1. 若 lim 0， 则称 x x0 时 f x 是关于 g x x x0 g x
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设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
2 x x 1 2 lim . 3 x 0 2 x
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三、无穷大量
定义2
U ( x0 ) 有定义, 若对于任给 设函数 f 在
x U ( x ; ) U ( x0 ) G > 0, 存在 > 0，使得当 0
时, 有
| f ( x) | G, 则称函数 f (x) 当 x x0 时为无穷大量, 记作
时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x 2是同阶无穷小量;
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1 当 x 0 时，x 与 x 2 sin x 是同阶无穷小量. f ( x) L, 3. 若两个无穷小量在 U ( x0 ) 内满足: g( x )
1 从几何上看，曲线 y x sin 在 x 0 近旁发生无 x
限密集的振动，其振幅被两条直线 y x 所限制.
y
0.1
y x
0.05
-0.1 -0.05 0.05
1 y x sin x
0.1
O
x
-0.05 -0穷小量阶的比较
两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍 是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的. 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察 两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 出如下定义.
例5 证明 lim ln x .
x 0
证 对 G 0, 要找到 0, 使得 0 x ,
ln x G .
由于 ln x 单调增,只要令 e-G 0 即可.
lim an . 例6 设 { an }递增，无上界. 证明 n
sin x 因为 lim x 1, 所以 sin x ~ x ( x 0) ; x 0 x 1, 所以 arctan x ~ x ( x 0) ; 因为 lim arctan x x 0
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1 2 同样还有 1 cos x ~ x ( x 0) . 2 根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：
§5 无穷大量与无穷小量
由于 lim f ( x ) A等同于 lim[ f ( x ) A] 0, 因
x x0 x x0
此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是
相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 分析”.
一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线
arctan x x 1 lim lim . x 0 sin 2 x x 0 2 x 2
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tan x sin x . 例2 计算 lim 3 x 0 sin x tan x sin x tan x sin x lim 解 lim 3 x 0 x 0 sin x x3 1 sin x ( 1 ) cos x sin x(1 cos x ) lim lim 3 x 0 x 0 x x 3 cos x
显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量. 对于无穷小量与有界量，有如下关系：
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1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是
无穷小量. 2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.
性质1可由极限的四则运算性质直接得到.
下面对性质２加以证明.
设 lim f ( x ) 0, | g( x ) | M , x U ( x0 ). 对于任意
x x0
的任何一个邻域内无界. 但值得注意的是: 若 f (x) 在 x0 的任何邻域内无界 (称 f (x) 是 x x0 时的 无界量) , 并不能保证 f (x) 是 x x0 的无穷大量. 例如： f ( x) x sin x 在 的任何邻域内无界，但 却不是 x 时的无穷大量. 事实上, 对
x x0 , x x0 , x , x , x
时的无穷小量和有界量 .
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例如: x 1 为 x 1 时的无穷小量；
1 x 2 为 x 1 时的无穷小量 ；
sin x 为 x 时的无穷小量; x
sin x 为 x 时的有界量.
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并
不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
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sin x 1 与 2 均为 x 时的无穷小量, 却不能 x x
按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为 sin x x x sin x ( x ) 1 x2
是一个无界量，并且 (2nπ)sin(2nπ) 0 . 下面介绍一个非常有用的定理：
k
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2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域
U ( x0 ) 内，有
f ( x) L M, g( x ) 则称 f ( x )与 g( x ) 是 x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f ( x) lim c0 x x0 g ( x )
若 f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ), g( x ) ~ h( x ) ( x x0 ), 那么 f ( x ) ~ h( x ) ( x x0 ) . 这是因为
f ( x) f ( x) g( x ) lim lim lim 1 . x x0 h( x ) x x0 g ( x ) x x0 h( x )
x lim a 例4 当 a > 1 时，求证 x .
证 G > 0 ( 不妨设 G > 1 ), 令M log a G , 由对数
x 函数 log a x 的严格递增性， a 当 x > M 时， G ,
x lim a . 这就证明了 x
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证 因为 { an } 无上界，所以任给 G > 0，存在 n0 , 故当 n n0 时，有 使 an 0 G . 又因 { an } 递增，
an an0 G , 即 lim an .
n
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从无穷大量的定义与例3、例4和例5可以看出： 无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的 极限 . 很明显，若 lim f ( x ) , 那么 f (x) 在 x0
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定理3.12 设函数 f, g, h 在 U ( x0 ) 内有定义, 且
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ) .
(1) 若 lim f ( x )h( x ) A , 则 lim g( x )h( x ) A;
x x0 x x0
h( x ) h( x ) ( 2) 若 lim A , 则 lim A. x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) f ( x) 证 (1) 因为 lim f ( x )h( x ) A , lim 1 , 所以 x x0 x x0 g ( x ) g( x ) lim g( x )h( x ) lim f ( x )h( x ) A. x x0 x x0 f ( x )
x x
lim f ( x ) ,
lim f ( x ) ,
lim f ( x ) .
请读者自行写出它们的定义.
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1 . 例3 证明 lim 2 x 0 x 证 G 0 , 取 1 , 当 0 | x | 时 , 1 G , G x2 1 所以 lim 2 . x 0 x
若定义中的 | f ( x ) | G 改为 f ( x ) G 或 f ( x ) G ,
记作
x x0
x x0
lim f ( x ) .
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) .
x x0
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相应地称 f ( x ) 为 x x0 时的正 无穷大量和负无
则记
f ( x ) O( g( x ) ) ( x x0 ).
f ( x ) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记 f ( x ) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若 f ( x ) , g( x ) 为 x x0 时的同阶无 穷小量，当然有
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f ( x ) O( g( x ) ) ( x x0 ) .
穷大量.
类似地可以定义如下的无穷大量:
x x x
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) ;
x x x x