相似三角形知识框架
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，= ，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：nm b a =图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.l 3l 2l 1ABCD E E D CBA D ECA l 1l 2l 3AB CD EA 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：若 = . = ，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
《相似三角形》知识结构详解
《相似三角形》知识结构梳理相似三角形是平面几何中极为重要的内容，是中考数学中的重点考察内容。
相似三角形的性质和判别方法是重点也是核心知识。
现就本节知识点梳理如下：一、知识结构图二、核心知识：1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．三、突破方法：1、运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模思想。
2、在综合题中，注意相似知识的领会运用，熟练掌握等线段代换，等比代换，等两代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
3、判定相似三角形的几条思路：①条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理;②条件中若有一对的等角，可再找一对等角，利用判定1或再找家变成比例用判定2 ；③条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例；④条件中若有的等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可以找底和腰对应成比例。
四、知识点、概念总结1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例—全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a：b=c：d那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点汇总重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
一、重要定理（比例的有关性质）：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理）相似三角形判定的基本模型A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型CB EDA。
三角形的相似性知识点总结
三角形的相似性知识点总结
相似三角形的定义
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
对于两个三角形来说，如果它们的对应角度相等，则它们是相似的。
相似三角形的判定条件
1. AA相似判定法：两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
2. SSS相似判定法：两个三角形的对应边分别成比例，则它们是相似的。
3. SAS相似判定法：两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，则它们是相似的。
相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边成比例。
2. 相似三角形的对应角相等。
3. 相似三角形的对应高线成比例。
4. 相似三角形的对应面积成比例。
相似三角形的应用
1. 根据相似三角形的性质，可以解决一些实际问题，如测量无
法直接测量的高度、距离等。
2. 相似三角形的概念也常用于计算机图像处理、地图制作等领域。
注意事项
1. 在进行相似三角形判定时，要注意对应角度或对应边的顺序。
2. 相似三角形的判定条件可以同时使用多个来判定。
以上是三角形的相似性知识点的总结。
相似三角形是数学中重
要的概念，在解决几何问题以及在应用领域中都有很大的用途。
相似三角形知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长(三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，=， =.nm b a =（4）上述结论也适合下列情况的图形：二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
初三数学《相似三角形》知识点归纳
2：两角对应相等的两个三角形相似 ( 此定理用的最多 );
用数学语言表述如下： ∵∠ A＝∠ D，∠ B＝∠ E∴△ ABD ∽△ DEF
3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
;
用数学语言表述如下：
∵ AB ＝ AC ∴△ ABD ∽△ DEF DE DF
4：三边对应成比例的两个三角形相似 ;
初三数学《相似三角形》知识提纲
( 孟老师归纳 )
一：比例的性质及平行线分线段成比例定理
（一）相关概念： 1. 两条线段的比： 两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段 a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段
的比是，或写成 a： b=m： n； 其中 a 叫做比的前项， b 叫做比的后项 2：比例尺 = 图上距离／实际距离
4、黄金分割： 把线段 AB 分成两条线段 AC ， BC （ AC>BC ），并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，
叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， 其中 AC= ( 三 ) 平行线分线段成比例定理
51
AB
2
0.618AB ，
1. 平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比例 .
此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比例式证平行线 . 4. 定理 : 平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线 , 所截的三．角．形．的．三．边． 与原．三．角．形．
三．边．对应成比例 . 二：相似三角形： （一）：定义：
1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。用符号“∽”表示， 2：相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。 （二）： .相似三角形的判定定理： 1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三 角形相似。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
相似三角形知识点归纳(全)
相似三角形知识点归纳(全)相似三角形知识点归纳相似形的概念相似图形是指形状相同的图形，其中最简单的是相似三角形。
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。
相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段的相关概念和性质比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段就是成比例线段。
比例线段是有顺序的，如果a是b、c、d的第四比例项，那么应得比例式为b/c=d/a。
比例线段有一些性质，例如黄金分割，其中线段AB被分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AC²=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC≈0.618AB。
还有合、分比性质和等比性质。
比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
在三角形中，由DE∥BC可得AD/DB=AE/EC或者AD/AE=DB/EC，还有其他类似的定理。
注：本文已删除明显有问题的段落，并进行了小幅度的改写。
的三角形，尝试找出它们之间的相似关系。
3)利用相似性质：根据相似三角形的性质，利用对应角相等、对应边成比例等关系进行推导证明。
4)注意细节：在使用相似性质进行证明时，需要注意各个角度、边长的对应关系，以及相似比的顺序等细节问题。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形，用符号“∽”表示。
相似三角形对应边的比叫做相似比，对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有对应性和顺序性，即把表示对应顶点的字母写在对应位置上，相似三角形的相似比是有顺序的。
需要注意的是，两个三角形形状一样，但大小不一定一样，全等三角形是相似比为1的相似三角形。
判定相似三角形的方法有平行法、AA、SAS、SSS、HL 等。
其中，平行法是指平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：nm b a =图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.321123A 型 X 型由DE ∥BC可得：ACAEAB AD EA EC AD BDEC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：若 = . = ，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形章节知识点
相似三角形章节知识点在数学中，相似三角形是一种重要的几何概念。
当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。
在本文中，我们将探讨相似三角形的性质、判定条件以及相关定理和应用。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的角度是相等的：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
2. 相似三角形的对应边长成比例：在相似三角形中，对应边长之间的比值是相等的。
例如，如果AB / DE = BC / EF = AC / DF，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的判断条件1. AAA相似判别法：如果两个三角形的对应角度分别相等，那么它们是相似的。
这个判断条件称为“角-角-角”相似判别法。
2. AA相似判别法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对边成比例，那么它们是相似的。
这个判断条件称为“角-角-比”相似判别法。
3. SAS相似判别法：如果两个三角形的一个角相等，两个边成比例，那么它们是相似的。
这个判断条件称为“边-角-边”相似判别法。
三、相似三角形的重要定理1. 相似三角形的边长比定理：如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值等于它们对应角的比值。
2. 相似三角形的高比定理：如果两个相似三角形的对应边成比例，那么它们的高也成比例。
3. 相似三角形的面积比定理：如果两个相似三角形的对应边成比例，那么它们的面积的比值等于对应边的平方的比值。
四、相似三角形的应用1. 海伦公式：海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式。
如果我们知道三角形的三边长度，可以使用海伦公式来计算其面积。
在相似三角形中，海伦公式也适用，只需要将对应边的比值代入公式即可。
2. 测量高度：相似三角形的高比定理可以用于测量难以直接测量的高度。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，测量与高楼顶端相似的三角形的高度，然后通过比例关系计算出高楼的实际高度。
相似三角形-知识点总结
相似三角形-知识点总结第一节相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,ADaBEbCFc可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。
②合比性质：如果，那么。
③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析例1：①在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若=则=__________.③若=则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
相似三角形基本知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似多边形：如果两个边数的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．2.成比例线段：在四条线段a,b,c,d 中，如果d c b a ::=，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的基本性质：cb ad dcb a =⇔=（內项之积等于外项之积）； 4.三角形相似的判定方法①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． ⑥判定直角三角形相似的方法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：相似三角形常见的图形①.称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”如上图） ②.其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC ③.称为“垂直型”④.∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
几种基本图形的具体应用： （1）若DE ∥BC 则△ADE ∽△ABC（2） 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD ；（3）当ABAEAC AD 或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．5.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．A BCDE12AABB C C DD E E12412B BEACD12。
九年级上册相似知识点框架
九年级上册相似知识点框架
一、初步认识相似形状
相似形状定义：具有相同形状但不一定相等的图形。
二、相似比例
相似比例定义：在相似图形中，对应边的长度之比为相似比例。
三、相似三角形
1. 相似三角形定义：具有相似形状的三角形。
2. 相似三角形的判定：
a. AA判定相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
b. AAA判定相似三角形：如果两个三角形的三个角相等，则
这两个三角形相似。
c. SSS判定相似三角形：如果两个三角形的对应边长之比相等，则这两个三角形相似。
四、相似线段
相似线段定义：具有相似比例的线段。
五、相似多边形
相似多边形定义：具有相似形状的多边形。
1. 相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角相等且对应边长之比相等，则这两个多边形相似。
六、相似比例的性质
1. 相似比例的性质一：相似比例的倒数仍为相似比例。
2. 相似比例的性质二：相似比例的平方仍为相似比例。
3. 相似比例的性质三：相似比例的和仍为相似比例。
4. 相似比例的性质四：相似比例的差仍为相似比例。
七、相似图形的应用
1. 利用相似三角形求高度、距离等未知量。
2. 利用相似多边形比较图形的大小。
以上是九年级上册相似知识点的框架，通过对相似形状、相似比例、相似三角形、相似多边形等概念的介绍，可以帮助学生初步理解相似图形的特点和相似比例的运用。
掌握这些知识点有助于解决与相似图形相关的问题，并且在实际生活和应用中能够灵活运用相似比例的性质来解决实际问题。
相似三角形(知识导图+2个考点清单+4种题型解读)解析版—24-25学年九年级数学上学期期中(沪教版
相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4种题型解读）【清单01】 相似三角形的判定相似三角形的123Rt .ìïïïïíïïïD ïî预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线，与；判定定理：，两个三角形；判定定理：且截得的三角形原三角形相似两角对应相等相似角，两个三形；判定定理：，两个三角形；相似的判定：似和对应成比例，两相两边对应成比例夹角相等三边对应成比例相斜三个边直角边直角角形相似【清单02】相似三角形的性质123ìïïíïïî基本性质：相似三角形的，；性质定理：相似三角形、和都等于；性质定理：相似三角形的等对对于；分性质比定应理应角相等对应边成比例对似：相似三角形高的比应中线的比对应角平线的相比周长的比相似比面积比的等于.的比相似的平方注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应中线的比为( )A ．1:16B ．1:2C ．1:4D ．【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比1:4，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为1:4，\它们的相似比为1:4．\它们的对应中线的比为1:4，故选：C ．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键．【变式1-1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为1:4，\它们的对应边的比1:4=．故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【变式1-2】（2023秋•黄浦区期末）已知：△111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为4，那么△111A B C 与△333A B C 的相似比为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：Q △111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为41122:2:1A B A B \=，2233:4:1A B A B =，设33A B x =，则221148A B xA B x ==，1133:8:1A B A B \=，\△111A B C 与△333A B C 的相似比为8．故选：D ．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【变式1-3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm ，大三角形的周长是 cm ．【分析】根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解．【解答】解：根据题意得，相似比为5:7，\大三角形的周长是52028()7cm ¸=，故答案为：28．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式1-4】（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为 ．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为4:9，\相似比为4:9，\这两个相似三角形的面积比为16:81，故答案为：16:81．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米．【分析】由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大，设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是a 分米，b 分米，3:64:5:a b \==，8a \=，10b =，\其他两条边的长分别是8分米，10分米，2226810+=Q ，\做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，\做出的三角形的面积为168242´´=（平方分米）．故答案为：24．【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，是解决问题的关键．【变式1-6】（2023秋•金山区期末）在ABC D 中，6AC =，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是 ．【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答．【解答】解：如图，当APQ ABC D D ∽时，\21(2APQ ABCS AP S AB D D ==，\只要满足AP AQ AB AC ==如图，当APQ ABC D D ∽时，Q 直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，12APQ ABC S S D D \=，\21()2APQ ABCS AP S AC D D ==，\APAC=，AP \==，AQ =，APAB Q …，AQ AC …，AB \…6AB …，AB \…，当6AB AC ==时，金字塔型和子母型完全重合，此时只有一种情况，6AB \¹，综上所述，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是AB…且6AB ¹．故答案为：AB …且6AB ¹．【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【变式1-7】（2023秋•普陀区期末）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的高，如果5AC =，4CD=，那么ACD D 与CBD D 的相似比k = ．【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解．【解答】解：CDQ是AB边上的高，90ADC\Ð=°，5AC=Q，4CD=，3AD\==，90ACBÐ=°Q，CD是AB边上的高，90ADC BDC\Ð=Ð=°，90A ACD BCD ACDÐ+Ð=Ð+Ð=°Q，A BCD\Ð=Ð，ACD CBD\D D∽，ACD\D与CBDD的相似比34ADkCD==．故答案为：34．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义．【考点题型二】7小题）【例2】（2023秋•金山区期末）如图在41´的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，ABCD就是一个格点三角形，现从ABCD的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与ABCD相似的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可．【解答】解：如图，根据勾股定理得，AD ==，AC ==，BC ==BE ==，CF =，又2AB =Q ，2CD =，1BF =，\1AD CB =，1CDAB =，1ACAC =，AB BC =，AC BE ==，BC CE ==，BCBF=，AB BC ==AC CF =，\AD CD AC CB AB AC ==，AB AC BC BC BE CE ==，BC AB AC BF BC CF==，ABC CDA \D D ∽，ABC BCE D D ∽，ABC CBF D D ∽，故选：C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-1】（2023秋•奉贤区期末）如图，将ABC D 绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A 、C 的对应点分别为D 、E ，边DE 交BC 于点F ，联结CE ．下列两个三角形不一定相似的是( )A ．BAD D 与BCE DB ．BDF D 与ECF DC ．DCFD 与BEF D D ．DBF D 与DEBD 【分析】根据旋转的性质得到AB DB =，ABC DBE Ð=Ð，BC BE =，A BDD Ð=Ð，ACB DEB Ð=Ð，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【解答】解：如图，根据旋转的性质得，ABC DBE D @D ，AB DB \=，ABC DBE Ð=Ð，BC BE =，A BDD Ð=Ð，ACB DEB Ð=Ð，ABD CBE \Ð=Ð，AB DBBC BE=，BAD BCE \D D ∽，故A 不符合题意；ABD CBE Ð=ÐQ ，AB AD =，BC BE =，A BDA BCE BEC \Ð=Ð=Ð=Ð，BDF ECF \Ð=Ð，又BFD EFC Ð=ÐQ ，BDF ECF \D D ∽，故B 不符合题意；DCF BEF Ð=ÐQ ，DFC BFE Ð=Ð，DCF BEF \D D ∽，故C 不符合题意；根据题意，无法求解DBF D 与DEB D 相似，故D 符合题意；故选：D ．【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是( )A ．两个直角三角形B ．两个等腰三角形C ．两个等边三角形D ．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A 、B 、D 中的两个三角形不一定相似，故A 、B 、D 不符合题意；C 、两个等边三角形相似，故C 符合题意．故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-3】（2024•静安区校级模拟）如图，已知ABC D 与BDE D 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与BDF D 相似的三角形是( )A ．BEF DB ．BDA DC ．BDCD D ．AFDD 【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：ABC D Q 与BDE D 都是等边三角形，60E BDE EBD \Ð=Ð=Ð=°，C A ABC Ð=Ð=Ð．A 、只有60E BDF Ð=Ð=°，BEF D 和BDF D 不一定相似，故A 不符合题意；B 、由60BDF A Ð=Ð=°，DBF ABD Ð=Ð，推出BDF BAD D D ∽，故B 符合题意；C 、只有60BDF C Ð=Ð=°，BDFD 和BCD D 不一定相似，故C 不符合题意；D 、只有60BDF A Ð=Ð=°，BDF D 和AFD D 不一定相似，故D 不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-4】（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与AMN D 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC D ；②ABD D ．关于这两个三角形，下列判断正确的是( )A ．只有①是B ．只有②是C ．①和②都是D ．①和②都不是【分析】根据勾股定理求出ABD D 、ABC D 、AMN D 的三边长，再根据相似三角形的对应边成比例判断即可．【解答】解：由图形可知，2AM =，4AN =，MN ==，AB ==AC ==，BC ==，AD ==，BD ==，QAB BD ADAM AN MN===，ABD MAN \D D ∽；QAB ACAM AN¹，ABC \D 与AMN D 不相似，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-5】（2024•ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =×．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ×=×，求证：ABE ACD D D ∽．【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出AOD COB D D ∽，得出OA OD OC OB =，证出OA OEOC OD=，得出//AF CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出AED BDC Ð=Ð，BEF BDC D D ∽，得出BE BFBD BC=，证出AEB ADC Ð=Ð．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF CD =，得出AE AD BE DC=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：2OD OE OB =×Q ，\OE OD OD OB=，//AD BC Q ，AOD COB \D D ∽，\OA OD OC OB =\OA OE OC OD=//AF CD \，\四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：//AF CD Q ，AED BDC \Ð=Ð，BEF BDC D D ∽，\BE BF BD BC=，BC BD =Q ，BE BF \=，BDC BCD Ð=Ð，AED BCD \Ð=Ð．180AEB AED Ð=°-ÐQ ，ADC BCD а-Ð，AEB ADC \Ð=Ð．AE AF AD BF ×=×Q ，\AE AD BF AF=，Q 四边形AFCD 是平行四边形，AF CD \=，\AE AD BE DC=，ABE ADC \D D ∽．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．【变式2-6】（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，EB 平分DEC Ð．（1）求证：AE AB ED BD=；（2）如果22BE AE BC AC=，求证：ABE ACB D D ∽．【分析】（1）根据平行线的性质得出AE AD CE BD =，BED CBE Ð=Ð，则AC AB CE BD=，根据角平分线定义及平行线的性质得到CBE BEC Ð=Ð，则BC CE =，根据相似三角形的判定与性质得出AE DE DE AC BC CE ==，根据比例的性质及等量代换即可得解；（2）结合（1）及题意推出BE DE CE BE=，结合BED BEC Ð=Ð，推出BED CEB D D ∽，根据相似三角形的性质得出DBE BCE Ð=Ð，结合BAE CAB Ð=Ð，即可判定ABE ACB D D ∽．【解答】证明：（1）//DE BC Q ，\AE AD CE BD =，BED CBE Ð=Ð，\11AE AD CE BD +=+，\AC AB CE BD=，EB Q 平分DEC Ð，BED BEC \Ð=Ð，CBE BEC \Ð=Ð，BC CE \=，//DE BC Q ，ADE ABC \D ∽，\AE DE DE AC BC CE ==，\AE AC DE CE=，Q AC AB CE BD=，\AE AB DE BD =；（2）Q 22BE AE BC AC =，BC CE =，AE DE AC CE=，\22BE DE CE CE=，\BE DE CE BE=，又BED BEC Ð=Ð，BED CEB \D D ∽，DBE BCE \Ð=Ð，即ABE ACB Ð=Ð，又BAE CAB Ð=Ð，ABE ACB \D D ∽．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点D 、E 分别在ABC D 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出//(DE BC )A ．23AD BD =，23CE AE =B ．22,33AD DE AB BC ==C ．32AB AD =，12EC AE =D ．44,33AB AE AD EC ==【分析】对于选项C ，证明DAE BAC D D ∽，根据相似三角形的性质得到ADE ABC Ð=Ð，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：A 、不能推出//DE BC ，不符合题意；B 、不能推出//DE BC ，不符合题意；C 、Q 12EC AE =，\32AC AE =，Q 32AB AD =，\AC AB AE AD =，A A Ð=ÐQ ，DAE BAC \D D ∽，ADE ABC \Ð=Ð，//DE BC \，本选项符合题意；D 、不能推出//DE BC ，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2023秋•长宁区期末）已知在ABC D 与△A B C ¢¢¢中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ¢¢上，（点D 不与点B 、C 重合，点D ¢不与点B ¢、C ¢重合）．如果ADC D 与△A D C ¢¢¢相似，点A 、D 分别对应点A ¢、D ¢，那么添加下列条件可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似的是( )①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论．【解答】解：如图，①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线，BAD CAD \Ð=Ð，B A D C A D ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð，又ADC D Q ∽△A D C ¢¢¢，CAD C A D ¢¢¢\Ð=Ð，C C ¢Ð=Ð，BAC B A C ¢¢¢\Ð=Ð，BAC \D ∽△B A C ¢¢¢，故添加条件①可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线，BD CD \=，B D C D ¢¢¢¢=，又ADC D Q ∽△A D C ¢¢¢，ADC A D C ¢¢¢\Ð=Ð，AD CD A D C D =¢¢¢¢，\AD A D BD B D ¢¢=¢¢，ADB A D B ¢¢¢Ð=Ð，ABD \D ∽△A B D ¢¢¢，B B ¢\Ð=Ð，又C C ¢Ð=ÐQ ，BAC \D ∽△B A C ¢¢¢，故添加条件②可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高，ADC D ∽△A D C ¢¢¢，由图形可知，ABC D 与△A B C ¢¢¢不相似，故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2023秋•静安区期末）在ABC D 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，联结DE 、DF ，如果//DE AC ，//DF AB ，且:1:2AE EB =，那么:AF FC 的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．12【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：如图：//DE AC Q ，:1:2AE EB =，\12AE CD BE BD ==，\2BD CD=，//DF AB Q ，\2AF BD FC CD==，故选：C ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．【变式3-3】（2023秋•金山区期末）已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果:1:2AE ED =，那么:DF FB 为( )A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:5【分析】由平行四边形的性质得//AD CB ，AD CB =，由:1:2AE ED =，得23ED ED CB AD ==，再证明DFE BFC D D ∽，得23DF ED FB CB ==，于是得到问题的答案．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD CB \，AD CB =，:1:2AE ED =Q ，\23ED ED CB AD ==，//ED CB Q ，DFE BFC \D D ∽，\23DF ED FB CB ==，故选：C ．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明DFE BFC D D ∽是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足//DE BC ，//EF AB ，那么下列等式中，成立的是( )A ．DE AE EF EC =B ．AD BF DB FC =C ．DE AB EF BC =D ．AD BF DB BC=【分析】由题意可证四边形BDEF 是平行四边形，可得BD EF =，DE BF =，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：//DE BC Q 、//EF AB ，ADE B EFC \Ð=Ð=Ð，AED C Ð=Ð，\△ADE ∽△EFC ，\DE AE CF EC =，故A 错误；AD DE EF CF=，//DE BC Q 、//EF AB ，\四边形BDEF 是平行四边形，BD EF \=，DE BF =，\AD BF BD FC =，故B 正确；\AB AD BC DE=，故C 错误；AD AE BF DB CE CF==，故D 错误，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．【变式3-5】（2023秋•徐汇区期末）如图，点D 是ABC D 内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果AD AE DE AB AC BC==，那么下列结论正确的是( )A ．//CE ADB ．BD AD =C ．ABE CBE Ð=ÐD ．BO AE AO BC ×=×．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：Q AD AE DE AB AC BC==，ADE ABC \D D ∽，ACB AED \Ð=Ð，BAC DAE Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，AOE BOC Ð=ÐQ ，AOE BOC \D D ∽，\AO BO AE BC=，BO AE AO BC \×=×．D \选项的结论正确．Q AD AE AB AC=，BAD CAE \D D ∽，ABE ACE \Ð=Ð，显然OE 与OC 不一定相等，ACE \Ð与BEC Ð不一定相等，CE \与BD 不一定平行，A \，C 不一定正确，BD Q 与AD 不一定相等，B \不一定正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•虹口区期末）如图，点D 、E 分别在ABC D 边AB 、AC 上，3AB AE AD CE==，且AED B Ð=Ð，那么AD AC的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．23【分析】根据题意，可以先设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，再根据题意可以得到DAE CAB D D ∽，然后即可得到AD AC的值．【解答】解：Q3AB AE AD CE ==，\设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，则4AC b =，AED B Ð=ÐQ ，DAE CAB Ð=Ð，DAE CAB \D D ∽，\AD AE AC AB =，即343a b b a=，解得2a b =，\112442AD a AC b ==´=，故选：A ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-7】（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，过△ABC 的顶点C 作任一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，过点D 作//DM FC 交AB 于点M ．（1）若:2:3AEF MDEF S S =V 四边形，求:AE ED ．（2）试说明2AE FB AF ED ×=×．【分析】（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）利用平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【解答】（1）解：//EF DM Q ，\△AEF ∽△ADM ，:2:3AEF MDEF S S =V Q 四边形，\AE AD ==\AE DE ==．（2）证明：DC DB =Q ，12FM MB FB \==，//DM CF Q ，::AE ED AF FM \=，即1::2AE ED AF FB =，:2:AE ED AF FB \=，2AE FB AF ED \×=×．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．【变式3-8】（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD AB =，边BC 的垂直平分线EF 交边AC 于点E ，BE 交AD 于点G ．（1）求证：△BDG ∽△CBA ；（2）如果△ADC 的面积为180，且18AB =，6DG =，求△ABG 的面积．【分析】（1）由AB AD =得到ABD ADB Ð=Ð，根据线段垂直平分线的性质得到EB EC =，则EBC C Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG ∽△CBA ，可得DG BD AB BC =，而18AB =，6DG =，即可得12BD CD =，12ABD ACD S S =V V ，又180ADC S =V ，故90ABD S =V ，因12AG =，12DG AG =，即得22906033ABG ABD S S ==´=V V ．【解答】（1）证明：AB AD =Q ，ABD ADB \Ð=Ð，EF Q 垂直平分BC ，EB EC \=，EBC C \Ð=Ð，GBD C Ð=ÐQ ，BDG CBA Ð=Ð，\△BDG ∽△CBA ；（2）解：由（1）知△BDG ∽△CBA ，\DG BD AB BC=，18AB =Q ，6DG =，\61183BD BC ==，\12BD CD =，\12ABD ACD S S =V V ，180ADC S =V Q ，90ABD S \=V ，18AD AB ==Q ，6DG =，12AG \=，\12DG AG =，\12BDG ABG S S =V V ，22906033ABG ABD S S \==´=V V ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．【变式3-9】（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =×．（1）求证：AE CD ^；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：EBF EAB Ð=Ð．【分析】（1）先根据题意得出ACB ECA D D ∽，再由直角三角形的性质得出CD AD =，由90CAD ABC Ð+Ð=°可得出90ACD EAC Ð+Ð=°，进而可得出90AFC Ð=°；（2）根据AE CD ^可得出90EFC Ð=°，ACE EFC Ð=Ð，故可得出ECF EAC D D ∽，再由点E 是BC的中点可知CE BE =，故BE EF EA BE=，根据BEF AEB Ð=Ð得出BEF AEB D D ∽，进而可得出结论．【解答】证明：（1）2AC CE CB =×Q ，\AC CB CE AC=．又90ACB ECA Ð=Ð=°Q ACB ECA \D D ∽，ABC EAC \Ð=Ð．Q 点D 是AB 的中点，CD AD \=，ACD CAD\Ð=Ð90CAD ABC Ð+Ð=°Q ，90ACD EAC \Ð+Ð=°90AFC \Ð=°，AE CD\^（2）AE CD ^Q ，90EFC \Ð=°，ACE EFC\Ð=Ð又AEC CEF Ð=ÐQ ，ECF EAC\D D ∽\EC EF EA EC=Q 点E 是BC 的中点，CE BE \=，\BE EF EA BE=BEF AEB Ð=ÐQ ，BEF AEB\D D ∽EBF EAB \Ð=Ð．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式3-10】（2022秋•嘉定区期末）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边CB 、AC 的延长线上，且DAB EBC Ð=Ð，EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求证：DBF EBC D D ∽；（2）如果AB BC =，求证：2EC DF DA =×．【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到D E Ð=Ð，即可证明DBF EBC D D ∽；（2）先证明DBF DAB D D ∽得到2DB DA DF =×，再根据AAS 证明ADB BEC D @D ，即可证明．【解答】证明：（1）AB AC =Q ABC ACB \Ð=Ð．ABC ÐQ 、ACB Ð分别是ADB D 和BCE D 的外角，ABC DAB D \Ð=Ð+Ð，ACB EBC E Ð=Ð+Ð，DAB EBC Ð=ÐQ ，D E \Ð=Ð．又DBF EBC Ð=Ð，DBF EBC \D D ∽．（2）DBF EBC Ð=ÐQ ，DAB EBC Ð=Ð，DBF DAB \Ð=Ð．D D Ð=ÐQ ，DBF DAB \D D ∽，\DB DF DA DB=，即2DB DA DF =×．在ADB D 和BEC D 中，D E DAB EBC AB BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADB BEC AAS \D @D ，BD EC \=，2EC DF DA \=×．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．【变式3-11】（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF AC ^，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE Ð=Ð；（2）求证：2CD DG BD =×．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）利用线段垂直平分线的性质和（1）的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）Q 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，12AE AB \=，12AD AC =，AB AC =Q ，AD AE \=．在ADB D 和AEC D 中，AD AE BAD CAE AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADB AEC SAS \D @D ，ABD ACE \Ð=Ð；（2）DF AC ^Q ，点D 是边AC 的中点，DF \是AC 的垂直平分线，FA FC \=，FAC ACE \Ð=Ð．由（1）知：ABD ACE Ð=Ð，FAC ABD \Ð=Ð．ADG BDA Ð=ÐQ ，ADG BDA \D D ∽，\AD BD DG AD=，2AD DG BD \=×．Q 点D 是边的中点，12AD AC CD \==，2CD DG BD \=×．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-12】（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE AB =，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．联结BD ．（1）求证：BND CNM D D ∽；（2）如果2AD AB AF =×，求证：CM AB DM CN ×=×．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB CD =，//AB CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到//BD CE ，根据相似三角形的判定方法，由//CM DB 可判断BND CNM D D ∽；（2）先利用2AD AB AF =×可证明ADB AFD D D ∽，则1F Ð=Ð，再根据平行线的性质得4F Ð=Ð，23Ð=Ð，所以34Ð=Ð，加上NMC CMD Ð=Ð，于是可判断MNC MCD D D ∽，所以::MC MD CN CD =，然后利用CD AB =和比例的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD \=，//AB CD ，而BE AB =，BE CD \=，而//BE CD ，\四边形BECD 为平行四边形，//BD CE \，//CM DB Q ，BND CNM \D D ∽；（2）2AD AB AF =×Q ，::AD AB AF AD \=，而DAB FAD Ð=Ð，ADB AFD \D D ∽，1F \Ð=Ð，//CD AF Q ，//BD CE ，4F \Ð=Ð，23Ð=Ð，34\Ð=Ð，而NMC CMD Ð=Ð，MNC MCD \D D ∽，::MC MD CN CD \=，MC CD MD CN \×=×，而CD AB =，CM AB DM CN \×=×．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．【考点题型四】相似三角形的应用（共8小题）【例4】（2024秋•静安区校级月考）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是 m ．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．【解答】解：设旗杆的高度为x ，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：1.518x =，1.58121x m ´\==，\旗杆的高度是12m ．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．【变式4-1】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板(Rt ACB)D 上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若:1:3AF AC =，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 ．【分析】设AF x =，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明AEF ABC D D ∽，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF x =，则3AC x =，Q 四边形CDEF 为正方形，2EF CF x \==，//EF BC ，AEF ABC \D D ∽，\13EF AF BC AC ==，6BC x \=，在Rt ABC D 中，222AB AC BC =+，即22230(3)(6)x x =+，解得，x =，AC \=，BC =，\剩余部分的面积21100()2cm =´-=，故答案为：2100cm ．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-2】（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳1(,)3OC OD AD BC OB OA ===测量某个零件的内孔直径AB ，量得CD 长度为6cm ，则AB 等于 cm ．AB 的长．【解答】解：Q 13OC OD OB OA ==，COD AOB Ð=Ð，COD AOB \D D ∽，:3AB CD \=，6CD cm =Q ，6318()AB cm \=´=，故答案为：18．【点评】本题考查相似三角形的应用，求出AB 的值是解答本题的关键．【变式4-2】（2023秋•浦东新区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB = ．【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．【解答】解：如图：过O作OM CD^，垂足为M，过O作ON AB^，垂足为N，//CD ABQ，CDO ABO\D∽，即相似比为CD AB，\CD OMAB ON=，1578() OM cm=-=Q，1174()ON cm=-=，\684 AB=，3 AB cm\=，故答案为：3cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．【变式4-3】（2023秋•松江区校级月考）如图，有一块面积等于21200cm的三角形纸片ABC，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．（1）求BC和底边上的高；（2）求加工成的正方形纸片DEFG的边长．【分析】（1）设BC a=cm，BC边上的高AH为b cm，根据题意得出方程组求出BC和AH；（2）设DG DE x==cm，再由平行线得出ADG ABCD D∽，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：（1）设BC a=cm，BC边上的高AH为b cm，DG DE x==cm，根据题意得：1001200a bab+=ìí=î，解得：6040ab=ìí=î，或4060ab=ìí=î（不合题意，舍去），60BC cm\=，40AH b cm==；（2）//DG BCQ，ADG ABC\D D∽，\AN DGAM BC=，即404060x x-=，解得：24x=，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．【变式4-4】（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，ABCD表示这块空地，36BC=米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）如果矩形花坛的边:1:2DG DE=，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的59？请作出判断并说明理由．【分析】（1）过点A 作AM DE ^，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，根据题意可得：9AN =米，DG MN =，AN BC ^，再根据矩形的性质可得//DE BC ，从而可得ADE ABC Ð=Ð，AED ACB Ð=Ð，然后证明A 字模型相似ADE ABC D D ∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；（2）设DG x =米，利用（1）的结论可得：ADE ABC D D ∽，从而利用相似三角形的性质可得(364)DE x =-米，然后根据题目的已知可得25136492x x BC AN -=´×，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AM DE ^，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，由题意得：9AN =米，DG MN =，AN BC ^，Q 四边形DGHE 是矩形，//DE BC \，:1:2DG DE =Q ，2DE DG \=，//DE BC Q ，ADE ABC \Ð=Ð，AED ACB Ð=Ð，ADE ABC \D D ∽，\AM DE AN BC =，\92936DG DG -=，解得：6DG =，212DE DG \==，\这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的59，理由：设DG x =米，。
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三角形一边的平行线判定定理：
三角形一边的平行线判定定理推论：
平行线分线段成比例定理：
四．相似三角形
相似比（相似系数）：
（1）“判定”
传递性：
相似三角形的预备定理：
相似三角形的判定定理1：
相似三角形的判定定理2：
相似三角形的判定定理3：
直角三角形相似的判定定理：
（2）“性质”
相似三角形性质定理1：
一．放缩与相似：
相似形（定义）：
相似形性质：
P4例题，练习3
二．比例线段
两条线段的比：
（成）比例线段：
比例内项：
比例外项：
比例线段的基本性质：
（Hale Waihona Puke ）（2）（3）黄金分割：
黄金分割点：
黄金分割数（黄金数）：
三．三角形一边的平行线
三角形一边的平行线性质定理：
三角形一边的平行线性质定理的推论：
三角形的重心（定义）：
相似三角形性质定理2：
相似三角形性质定理3：