绝对值不等式(经典题型)
高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。
绝对值不等式解法问题—7大类型专题
绝对值不等式解法问题—7大类型类型一：形如型不等式解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当时，或2、当，无解使的解集3、当时，，无解使成立的的解集.例1不等式的解集为（）A. B.C. D.解：因为，所以.即，解得：，所以，故选A.类型二：形如型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：或需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：例2 不等式的解集为（）A． B.C． D.解：或或，故选D类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即：，或例3设函数，若，则的取值范围是解：，故填：.类型四：形如型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：例4不等式的解集为解：所以原不等式的解集为类型五：形如型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：，无解例5解关于的不等式解：（1）当时，原不等式等价于：（2）当时，原不等式等价于：（3）当时，原不等式等价于：或或综上所述（1）当时，原不等式的解集为：（2）当时，原不等式的解集为：（3）当时，原不等式的解集为：类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即：；；例6不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）A． B.C. D.解：设函数所以而不等式对任意的实数恒成立故，故选择A类型七：形如，，1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7解不等式分析：找出零点：确定分段区间：解：（1）当时，原不等式可化为：解得：因为，所以不存在（2）当时，原不等式可化为：解得：又因为，所以（3）当时，原不等式可化为：，解得：又，所以综上所述，原不等式的解集为：2、特别地，对于形如，型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：或例8设函数（1）若，解不等式（2）如果求的范围解：（1）当由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集为：（2）由得：即：或即：或因为恒成立，来自QQ群339444963所以成立，解得：或故的取值范围为：绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高一不等式经典题型
高一不等式经典题型高中数学中，不等式是一个重要的章节，它是解决各种问题的关键。
在高一阶段，学习不等式，需要掌握一些经典的题型，这些题型比较常见，而且难度适中，掌握一定的技巧可以解决大部分的不等式问题。
1. 二次不等式二次不等式是高中数学中比较重要的一类不等式。
它的一般形式是ax+bx+c>0或ax+bx+c<0，其中a、b、c是实数，且a≠0。
解题步骤：（1）化简不等式，将其转化为标准形式ax+bx+c>0或ax+bx+c<0。
（2）判断二次函数的开口方向和顶点坐标。
（3）根据二次函数的图像和不等式的符号关系，求出不等式的解集。
2. 绝对值不等式绝对值不等式也是高中数学中常见的一类不等式。
它的一般形式是|ax+b|>c或|ax+b|<c，其中a、b、c是实数，且a≠0。
解题步骤：（1）化简不等式，将其转化为标准形式|u|>v或|u|<v。
（2）根据绝对值的定义和不等式的符号关系，求出不等式的解集。
3. 算术平均数-几何平均数不等式算术平均数-几何平均数不等式是一种经典的不等式，它的一般形式是对于任意n个正实数a、a、…、an，有(a+a+…+an)/n ≥ (aa…an)^(1/n)其中等号成立的充分必要条件是a=a=…=an。
解题步骤：（1）将不等式中的n个正实数取对数，转化为等价的不等式。
（2）应用AM-GM不等式，得到不等式的解。
以上是高一不等式经典题型的简要介绍，希望能对学习数学的同学有所帮助。
掌握这些经典题型，能够帮助我们更好地理解不等式的性质，提高解题的能力。
绝对值不等式选讲求取值范围的题型
绝对值不等式求取值范围的问题1、已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式的解集为[0,2]．(2)∵当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ， 故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4的最大值为6－4＝2，4－x 的最小值为4－2＝2， ∴2a ＝2，∴a ＝1， 即a 的取值范围为{1}． 2、已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由题意得，关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋1|≥a 2－a 在R 上恒成立． ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，∴a 2－a ≤2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是[－1,2]． 3、若对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：设()12-+-=x a x x f ，则“对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”．当21<a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min11=22f x f a⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得23-≤a ．当21=a 时，3221≥-x 不可能恒成立．当21>a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得25≥a ．综上可知，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2523, ．4、已知()(),3f x x a g x x x =+=+-． （1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立，∴a 的取值范围22a -<<. 5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12 . (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103 .6、已知函数()()()222412,241f x x a x a g x x x x =+-+-=--+-.（1）若()22141f a a ->-，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数,x y ，使()()0f x g y +≤，求实数a 的取值范围 解：（1）∵()22141f a a ->-，∴2222141a a a a -+->-， ∴()12140a a a -++->， ∴214a a ++>且1a ≠， ①若1a ≤-，则214a a --->，∴53a <-；②若10a -<<，则214a a -++≥，∴3a <-，此时a 无解； ③若0a ≥且1a ≠，则214a a ++>，∴1a >；综上所述，a 的取值范围是53a <-或1a >，即()5,1,3a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）∵()()()()222244155111g x x x x =-+-≥-=---，显然可取等号，∴()min 1g x =-， 于是，若存在实数,x y ，使()()0f x g y +≤，只需使()min 1f x ≤， 又()()()()22212121f x x a x a x a x aa =+-+-≥+---=-，∴()211a -≤，∴111a -≤-≤，∴02a ≤≤，即[]0,2a ∈． 7．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|.(1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围． 解：(1)不等式的解集为{}x |x <－1或x >5.(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9. ∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是[]－8，10. 8．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1) f (x )<3的解集为{}x |－1<x <1.(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2 ＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2 ≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2 ＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a2 ， 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2 ≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪1＋a 2 ＝1，解得a ＝－4或0. 9、若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意； 当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ， x ≤a ，x －1－2a ， a <x ≤－1，3x ＋1－2a ， x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ， x ≤－1，－x ＋1＋2a ， －1<x ≤a ，3x ＋1－2a ， x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4. 综上所述，实数a 的值为－6或4. 10．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{}x |－1≤x ≤5，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a .∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5，∴a ＝2，m ＝3. (2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)． ∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1； 当t ＝2时原不等式的解集为[2，＋∞)． 11、已知函数() 1.f x x x =++（Ⅰ）若x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，求实数λ的取值范围；（Ⅱ）若m R ∃∈，使得()220m m f t ++=成立，求实数t 的取值范围. 解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，需满足min )(x f ≤λ 所以实数λ的取值范围为]1,(-∞（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立 即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f 又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t 实数的取值范围为]0,1[-12、已知x R ∃∈，不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1,m n t T >>∀∈，不等式33log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 解析：（1）令()12f x x x =---，则()1,123,121,2x f x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于x R ∃∈，不等式12x x t ---≥成立，因此{}|1T t t =≤．（2）当1,1,m n t T >>∀∈时，不等式33log log m n t ≥恒成立等价于33log log 1m n ≥恒成立， 由题意知33log 0,log 0m n >>， 得333log log log 2m n m n +≥≥， 所以3log 2mn ≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，得6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值为6．。
绝对值不等式全题型及解法总结
绝对值不等式总结
一、解集为
解集为
二、
解集为
解集为
三、
（无论哪种情况都可以满足不等式，答案应取并集）
解集为
（必须在两边都满足时才可以满足不等式，答案应取交集）
也就是
解得
取交集，画数轴。
解集为
四、
解集为
（不必讨论的情况）
（在时，左式不成立，解集为空集）也就是解得
取交集，画数轴。
解集为
五、
（取的交集）
综上解集为
解集为
六、
解法一：分区间讨论；
解法二：两边同时平方。
七、
分区间讨论
情况比较多，但是不必全部死记，数学是讲理的学科，理解并且灵活应用才是上策。
高中数学-绝对值不等式的解法练习
高中数学-绝对值不等式的解法练习一、选择题1．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么实数x 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13＜x ＜12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13，或x ＞13解析：解不等式1x ＜2，得x ＜0或x ＞12.解不等式|x |＞13，得x ＞13或x ＜－13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13.答案：B2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ≤12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ≤－52或－12＜x ≤12解析：由2＜|2x ＋3|≤4，可得2＜2x ＋3≤4或 －4≤2x ＋3＜－2.解得－12＜x ≤12或－72≤x ＜－52.答案：C3．关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为集合M ，且2∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：因为2∉M ，所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a .解得a ≥14.答案：B4．不等式|3－x |＋|x ＋4|＞8的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞72 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92或x ＞72 D ．R解析：|3－x |＋|x ＋4|＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，3－x －x －4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，－1－2x ＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，7＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x ＞7.∴x ＜－92或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－92或x ＞72.答案：C 二、填空题5．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________. 解析：由原不等式的解集，可知－53，13为原不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3.解得a ＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则实数x 的取值范围是________. 解析：由已知，有|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x .所以x －2≤2x －1≤2－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤2－x ，2x －1≥x －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥－1.所以－1≤x ≤1.答案：[－1,1]三、解答题7．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|＜4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|＜4；(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x －2，所以|f (x )|＜4⇔|3x －2|＜4⇔－4＜3x －2＜4⇔ －2＜3x ＜6⇔－23＜x ＜2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2. (2)|f (x )|＜4⇔|ax －2|＜4⇔－4＜ax －2＜4⇔－2＜ax ＜6.当a ＞0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ＜x ＜6a ； 当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a ＜x ＜－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5，ax ≥－1.因为x ∈[0,1]， 所以－1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[－1,5]．8．已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，54内的一切实数a ，满足关于x 的不等式|x －a |＜b 的x 也满足不等式|x －a 2|＜12，试求实数b 的取值范围．解：设A ＝{x ||x －a |＜b }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x －a 2|＜12， 则A ＝{x |a －b ＜x ＜a ＋b ，b ＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2－12＜x ＜a 2＋12. 由题意，知当0＜a ≤54时，A ⊆B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥a 2－12，a ＋b ≤a 2＋12，0＜a ≤54.所以b ≤－a 2＋a ＋12且b ≤a 2－a ＋12.因为0＜a ≤54，所以－a 2＋a ＋12＝－a －122＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，34，a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，316.一、选择题1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2. ∴a －b ≥3或a －b ≤－3.∴|a －b |≥3. 答案：D2．若关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －4|≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92 D ．(－∞，－5] 解析：设F (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4.如图所示，F (x )min ＝－32－3＝－92.故m ≤F (x )min ＝－92.答案：C二、填空题3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________.解析：∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|＜2的解集是________.解析：∵|f (x ＋1)－1|＜2，∴－2＜f (x ＋1)－1＜2，即－1＜f (x ＋1)＜3.∴f (3)＜f (x ＋1)＜f (0)．∵函数f (x )在R 上是减函数， ∴0＜x ＋1＜3.解得－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2} 三、解答题5．如图所示，点O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示点C 与原点的距离，y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，实数x 应该在什么范围内取值？ 解：(1)依题意，得y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)由题意，得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为 4(10－x )＋6(20－x )≤70，解得9≤x ≤10. 当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(20－x )≤70，解得10＜x ＜20. 当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(x －20)≤70，解得20≤x ≤23. 综上，实数x 的取值范围是[9,23]． 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：法一 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5.解得a ＝2.(2)由(1)，得a ＝2，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上，函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．法二(1)同法一．(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．。
(完整版)含绝对值不等式的解法(含答案)
含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
基本不等式高一数学精典题型
基本不等式高一数学精典题型在高中数学中，不等式是一个重要的概念，而基本不等式作为不等式的基础，也是高一数学中的重点内容之一。
下面将介绍一些基本不等式的经典题型，帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 单变量一次不等式首先，我们来看最简单的单变量一次不等式。
形如ax + b > 0的不等式，其中a、b为常数。
解这种不等式的关键是找到变量x的取值范围。
以ax + b > 0为例，如果a > 0，则当x > -b/a时不等式成立；如果a < 0，则当x < -b/a时不等式成立。
我们以一个实例来说明。
解不等式2x - 3 > 0。
首先，我们找到x的取值范围。
由于系数2大于0，所以不等式的解是x > 3/2。
2. 二次不等式其次，我们来看二次不等式的解法。
二次不等式的形式为ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为常数。
解二次不等式的方法一般包括图像法和因式分解法。
以求解不等式x^2 - 5x + 6 > 0为例，我们可以利用因式分解法。
首先，找到不等式的解，即求出方程x^2 - 5x + 6 = 0的解，得到x1 = 2和x2 = 3。
然后，根据二次函数的图像，我们可以确定不等式的解集为x < 2或x > 3，即解为(-∞, 2)∪(3, +∞)。
3. 绝对值不等式接下来，我们介绍绝对值不等式的解法。
绝对值不等式是形如|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为常数。
解绝对值不等式的关键是将其转化为两个含有绝对值的等式。
举例来说，我们来解不等式|2x - 1| > 5。
首先，我们根据不等式的定义，得到两个等式：2x - 1 > 5和2x - 1 < -5。
解这两个等式，得到x > 3和x < -2。
将解集合并，得到x < -2或x > 3。
因此，不等式的解是(-∞, -2)∪(3, +∞)。
含有绝对值不等式的解法典型例题
含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。
绝对值不等式高考题
2006浙江文10 2006浙江理12
2015高考理18
已知函数 f x x 2 ax ba, b R ，记Ma,b是
当a一般地设函数yห้องสมุดไป่ตู้x的定义域为i如果存在实数m满足
2015高考理18
已知函数 f x x 2 ax ba, b R ，记Ma,b是
f x 在区间[-1,1]上的最大值.
（Ⅰ）证明：当|a| 2时，M（a，b） 2；
2014高考理8
2014高考理8
2015高考理18（1）
（Ⅱ）当 a, b满足 Ma,b 2时，求|a|+|b|
的最大值.
已知函数 f x x 2 ax ba, b R ，记Ma,b是
f x 在区间[-1,1]上的最大值.
（Ⅰ）证明：当|a| 2时，M（a，b） 2；
（Ⅱ）当 a, b满足 Ma,b 2时，求|a|+|b|
的最大值.
1996全国高考理25
已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.
(Ⅰ)证明:│c│≤l; (Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2; (Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为
2,求f(x)
f x 在区间[-1,1]上的最大值.
（Ⅰ）证明：当|a| 2时，M（a，b） 2；
高一数学含绝对值不等式的解法练习题
含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （ ） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（ ）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。
基本不等式典型常见题型
基本不等式典型常见题型基本不等式典型常见题型不等式是数学中的一种重要关系式，它可以描述数字之间的大小关系。
考察不等式的题目在各类数学考试中都是常见的。
下面我们将介绍一些基本的不等式题型，并给出解题方法和技巧。
一、一次不等式一次不等式是由一次多项式构成的不等关系。
它的一般形式为ax + b > 0（或<0）或ax + b ≥ 0（或≤0）。
其中，a和b是常数，x是未知数。
解一次不等式的关键是找到x的取值范围。
我们可以通过变形和移项来求解。
例题1：解不等式3x + 7 > 4。
解法：首先，我们可以通过移项得到3x > 4 - 7，即3x > -3。
然后，除以3得到x > -1。
所以，不等式的解集为x > -1。
例题2：解不等式2x + 5 ≤ 9。
解法：首先，我们可以通过移项得到2x ≤ 9 - 5，即2x ≤ 4。
然后，除以2得到x ≤ 2。
所以，不等式的解集为x ≤ 2。
二、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
它的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| ≥ c。
其中，a、b和c是常数，x是未知数。
解绝对值不等式的关键是考虑x的取值范围，并分情况讨论。
例题3：解不等式|2x - 3| > 4。
解法：我们可以分两种情况讨论：情况1：当2x - 3 > 0时，不等式化为2x - 3 > 4，即2x > 7。
解得x > 7/2。
情况2：当2x - 3 < 0时，不等式化为-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。
综上所述，不等式的解集为x < -1/2或x > 7/2。
三、二次不等式二次不等式是含有二次多项式的不等关系。
它的一般形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）或ax² +bx + c ≥ 0（或≤ 0）。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模、解决实际问题的基础。
学好基本不等式需要掌握一定的方法和技巧，下面我们来详细介绍高一基本不等式的题型及解题方法。
一、绝对值不等式1. |x|<a或|x|>a当绝对值小于a时，解集是(-a,a)的补集，即x<-a或x>a；当绝对值大于a时，解集是(-∞,-a)并(-a,a)的并集，以及(a,+∞)的并集。
一般来说，解绝对值不等式的步骤是：（1）首先分情况讨论|x|的取值范围，即|x|<a或|x|>a。
（2）接着用|x|号内的式子可以得到两个不等式，分别求解。
（3）最后将所得的解合并，得到最终的解集。
例如：求不等式|3x-2|<4的解集。
由不等式|3x-2|<4可以得到两个不等式：3x-2<4和3x-2>-4解得x<2和x>-2，最终合并得到解集为-2<x<2。
2. |ax+b|<c类似于上面的绝对值不等式，也是需分情况讨论|x|的判断条件，然后解方程。
例如：求不等式|3x+2|<10的解集。
同样首先得到两个不等式：3x+2<10和3x+2>-10解得x<8/3和x>-12/3，最终合并得到解集为-4<x<8/3。
3. |ax+b|>c同样可以按照上面的方法求解，即分情况讨论判断条件，然后解方程。
例如：求不等式|3x+2|>10的解集。
首先得到两个不等式：3x+2>10或3x+2<-10解得x>8/3或x<-12/3，最终合并得到解集为x<-4或x>8/3。
绝对值不等式是基本不等式的重要内容，解题时需要根据不等式的形式来分情况讨论，并运用代数知识进行解答，所以掌握绝对值不等式的方法是非常重要的。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中不等式中的重要内容，经常在不同的数学题型中出现，解题时可以分为以下几种情况：1. ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c<0对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，首先要求出二次函数对应的二次方程的零点，然后根据二次函数的开口方向判断解集。
绝对值不等式(经典)
绝对值不等式专题2010全国24．(本小题满分10分)设函数f(x)＝|2x －4|＋1.(1)画出函数y ＝f(x)的图象；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2011全国．（本小题满分10分）设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2012全国（本小题满分10分）已知函数()f x =|||2|x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时，求不等式 ()f x ≥3的解集；(Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.2013全国(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2015全国（本小题满分10分）已知函数f （x ）=|x+1|-2|x-a|，则a>0.（1） 当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；（2） 若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2016全国24. （本小题满分10分）已知函数()|1||23|f x x x =+-- （I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集2017全国23（本小题满分10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g （x ）=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.2018全国23（本小题满分10分）已知()11f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()01x ∈，时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．。
数学百大经典例题——绝对值不等式(新课标)
典型例题一例1 解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ． （3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ． 综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 典型例题二例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．典型例题三例3 已知),0(,20,2M y ab y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=aa M Mb y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 ba b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时，0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证b ba ab a ba +++≤+++111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xx x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a ba b a ba +++≤+++11b ba ab a bb a a+++≤+++++=1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111bb a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解． 典型例题七例 6 已知数列通项公式n n na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 21<-．分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m > ∴mn n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ m n n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(21212121121--=+++≤-+++n m n m n n )12110(21)211(21<-<<-=--n m n n m n ． 说明：m n n 21212121+++++ 是以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ， 即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）． A ．{}20<<x x B ．{}5.20<<x xC ．{}60<<x x D ．{}30<<x x 分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由x x x x +->+-2233，知033>+-xx ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<<x ，解原不等式组实为解不等式x x x x +->+-2233（30<<x ）． 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-．∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<<x ．∴⎩⎨⎧<<<-30062x x ∴60<<x ．选C ．解法二：∵0>x ，∴可分成两种情况讨论：(1)当20≤<x 时，不等式组化为x x x x +->+-2233（20≤<x ）． 解得20≤<x ．(2)当2>x 时，不等式组可化为xx x x +->+-2233（2>x ），解得62≤<x ．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<<x ，选C ．说明：本题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在． 证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤ab ． ∴1212<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ，∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或ab x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ， ∴45)(≤x f ． 说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1≤x 范围内的最大值．。
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1．若a >0，且|x |>a ，则____________；若a >0，且|x |<a ，则____________.
2．|ax ＋b |>c (c >0)型不等式的解法：
3.解下列不等式．
(1)|2x ＋5|<7.
(2)|2x ＋5|>7＋x .
(3)|x 2－3x ＋1|<5.
(4)|2x －1|<2－3x .
(5)1<|2－x |≤7.
(6)1<|x －2|≤3
4.集合A ＝{x ||2－x |<5}，B ＝{x ||x ＋a |≥3}，且A ∪B ＝R ，求a 的取值范围
|x －a |＋|x －b |≥c
|x －a |＋|x －b |≤c
5.解不等式
（1）|x －1|＋|x －2|>2.
（2）|x ＋2|－|x －1|<2
|（3）x ＋2|－|x －1|<2x
6.恒成立问题
(1)对任意x ∈R ，若|x －3|＋|x ＋2|>a 恒成立，则实数a 的取值范围 ．
(2)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|的解集非空，则实数a 的取值范围 ．
(3)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|在R 上无解，则实数a 的取值范围 ．
(4)若不等式|x ＋3|－|x －5|<m 对x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为________
(5)求使不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解的a 的取值范围 ．
7.|mx －1|<3的解集为(－1,2)，则m 的值是( )
(A)2或－4 (B)2或－1
(C)2或－4或－1 (D)2
8.若关于x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是 .
9.不等式⎪⎪
⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是________．
10.．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|，则f (x )的值域是________． 11. 对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为______
12.设函数f(x)＝|3x －1|＋x ＋2.
(1)解不等式f(x)≤3；
(2)若不等式f(x)>a 的解集为R ，求a 的取值范围.。