公地悲剧2

gi* gi ( g1,, gi 1, gi 1 , gn ),i 1,, n
因为：
2 i ' ' '' v ( G ) v ( G ) g v i (G ) 0 2 g i 2 i v ' (G ) g i v '' (G ) 0 g j g i
纳什均衡应用举例

如果给你两个师的兵力，由你来当“司令”， 任务是攻克“敌人”占据的一座城市，规定双 方的兵力只能整师调动。通往城市的道路只有 甲乙两条，当你发起攻击的时候，你的兵力超 过敌人，你就获胜，你的兵力比敌人的守备兵 力少或者相等，你就失败，那么你将怎样部署 你的攻城方案？
纳什均衡应用举例
B
C
D
- + + + -
- + + + -
+ -
+ +
ຫໍສະໝຸດ Baidu
+ + -
+

敌人：四种部署方案 A 三个师都驻守甲方； B 两个师驻守甲方，一个师驻守乙方 C 一个师驻守甲方，两个师驻守乙方 D 三个师都驻守乙方 我军： a 集中全部兵力从甲方进攻 b 兵分两路，一个从甲方，一个从乙方，同时进攻 c 集中兵力从乙方进攻
纳什均衡应用举例

所以：
g i 2 i g j g i2
2 i g j g i
0
公共地的悲剧

第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量 增加而递减。n个反应函数的交叉点就是纳什 均衡。
* * g * ( g1 , , g n )
G g i*
* i 1
n
尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现 有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响， 而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际 成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最 优饲养量。
v 2v 0, 2 0 G G
参与人：农民 战略： 养羊的数量 v
支付： 利润
Gmax G
公地悲剧

假设一只羊的价格为c，对于农民i来讲，其利 润函数为：
i ( g1 ,, gi ,, g n ) gi v( g j ) gi c
i 1,, n
最优化的一阶条件为：
i 1 n
n个农民饲养的总量
V: 代表每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G),
因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个 最大的可存活量Gmax,： 当G<Gmax时,v(G)>0; 当G>=G(x)时,v(G)=0。
公地悲剧

当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对其 他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加， 每只羊的价值将急剧下降。
i v(G) g i v ' (G) c 0, i 1,, n g i
上述一阶条件可以解释为：增加一只羊有正负 两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负 的效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。
案例2 公共地的悲剧

其最优解满足边际收益等于边际成本： 上述n个一阶条件定义了n个反应函数：
敌人：四种部署方案 A 三个师都驻守甲方； B 两个师驻守甲方，一个师驻守乙方 C 一个师驻守甲方，两个师驻守乙方 D 三个师都驻守乙方 我军： a 集中全部兵力从甲方进攻 b 兵分两路，一个从甲方，一个从乙方，同时进攻 c 集中兵力从乙方进攻
A a b c
B
C
D
纳什均衡应用举例
敌军
A
a 我军 b c
公地悲剧

公地悲剧的证明：如果一种资源没有排 他性的所有权，就会导致资源的过度使 用。
公海捕鱼 小煤窑的过度发展 ……

公地悲剧


有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在 草地上放牧的自由。每年春天，农民要决定自己养多 少只养。 gi：第i个农民饲养的数量，i=1,2,…,n.
G gi