初中数学几何图形综合题(供参考)

合集下载

中考数学解答重难专题专题四第14题几何图形综合题

专题四第14题几何图形综合题(2016～2019.14)1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，P 为矩形ABCD 内一动点，且满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为________．第1题图2. 如图，边长为23的菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，且点E 是BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，点M 是AD 上的一个动点，连接MF 、MC ，则MF ＋MC 的最小值为________．第2题图3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点M 是AB 的中点，CN ＝14CD ，P 是直线AC 上的一点，则|PM －P N |的最大值为________．第3题图4.如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD ＝60°，点E 、F 在对角线AC 上(点E 在点F 的左侧)，且EF ＝1，则DE ＋BF 的最小值为________．第4题图5. (2019西工大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE 、CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、P E ，则PD ＋PE 的最小值为________．第5题图6. 如图，已知四边形ABCD ，连接AC 、B D.若AB ＝AD ＝BD ，AC ＝27，∠BCD ＝30°，则BC 2＋CD 2＝________．第6题图7. (2018陕师大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD －12PC 的最大值为________．第7题图8. 如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝10 cm 2，S △BQC ＝20 cm 2，则阴影部分的面积为________cm 2.第8题图8. 如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，点E 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，点F 是CD 上一动点，且AE ＋CF ＝4，则△DEF 面积的最大值为________．第9题图10. 如图，O 为矩形ABCD 的对称中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N .若AB ＝6，AD ＝4，则四边形OMCN 面积的最大值为________．第10题图11.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，△MCN的周长为8，则正方形ABCD的面积为________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB面积的最小值是________．第12题图13.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且P A⊥PB，连接AC、P C，则△P AC面积的最大值为________．第13题图14.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝42，则四边形ABCD 面积的最小值是________．第14题图参考答案1.41【解析】设△ABP中AB边上的高是h.∵S△P AB＝13S矩形ABCD，∴12AB·h＝13AB·AD，∴h＝23AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如解图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，∴BE＝AB2＋AE2＝52＋42＝41，即P A＋PB的最小值为41.第1题解图2.27【解析】如解图，作点F关于AD的对称点N，连接CN，交AD于点M，则CN的长度即为MF＋MC的最小值．∵AE⊥BC，点E是BC的中点，四边形ABCD为菱形，∴CE＝BE＝3，∴cos∠ABC＝BEAB＝12，∴∠ABC＝60°，∴AE＝3，∠EBF＝30°，∴EF＝1，∴AF＝2＝AN，∴EN＝5，在Rt△CEN中，CN＝CE2＋EN2＝27.第2题解图3.13【解析】如解图，作点M关于直线AC的对称点M′，连接M′N，并延长与直线AC交于点P′，连接P′M，任意在直线AC上取一点P，连接PM，PN，PM′，有PM＝PM′，则PM－PN＝PM′－PN≤P′M′－P′N＝M′N，故M′N为|PM－PN|的最大值．在正方形ABCD中，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AB＝AD＝DC＝BC＝4，∴△MAM′为等腰直角三角形，又AM＝BM＝12AB＝2，则有AM′＝AM＝2，且M′D＝2，又CN＝1，则有DN＝3，在Rt△M′DN中，根据勾股定理得M′N＝M′D2＋DN2＝13，则|PM－PN|的最大值为13.第3题解图4. 10 【解析】如解图，作DM ∥AC ，连接MF ，且DM ＝EF ＝1，连接BM .∵DM ＝EF ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE ＝FM ，∴DE ＋BF ＝FM ＋FB ≤BM ，根据两点之间线段最短可知，此时DE ＋FB 最短连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝3，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝3.∵DM ∥AC ，且AC ⊥BD ，∴∠MDB ＝90°.在Rt △BDM 中，BM ＝12＋32＝10，∴DE ＋BF 的最小值为10.第4题解图5. 413－4 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBE ＝90°，∵∠ABE ＝∠BCE ，∴∠BCE ＋∠CBE ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴点E 在以BC 为直径的半圆上移动．如解图，设BC 的中点为O ，作半圆O ，作正方形ABCD 关于直线AB 对称的正方形ABGF ，则点D 的对应点是点F ，连接FO 交AB 于点P ，交半圆O 于点E ，则线段EF 的长即为PD ＋PE 的最小值．∵∠G ＝90°，FG ＝BG ＝AB ＝8，OE ＝4，∴OG ＝12，∴OF ＝FG 2＋OG 2＝413，∴EF ＝413－4, ∴PD ＋PE 的长度最小值为413－4.第5题解图6. 28 【解析】∵AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB ＝60°.如解图，把△ACD 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，连接CE ，则△ACE 是等边三角形，∴CE ＝AC ＝27，∵∠DAB ＋∠BCD ＝60°＋30°＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝360°－90°＝270°，∴∠ABE ＋∠ABC ＝270°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △BCE 中，BC 2＋BE 2＝CE 2＝28，∵BE ＝CD ，∴BC 2＋CD 2＝BC 2＋BE 2＝28.第6题解图7. 5 【解析】如解图，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，则CG ＝3，∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG PC ＝BG PB ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD －12PC ＝PD －PG ＝DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为DG ＝42＋32＝5.第7题解图8. 30 【解析】如解图，连接EF ，∵△ADF 与△DEF 同底等高，∴S △ADF ＝S △DEF ，∴S △ADF －S △DPF ＝S △DEF －S △DPF ，即S △EPF ＝S △APD ＝10 cm 2，同理可得S △EFQ ＝S △BQC ＝20 cm 2，∴S 阴影＝S △EPF ＋S △EFQ ＝30 cm 2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，过点F 作FG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，∵菱形ABCD 边长为4，∠BAD ＝60°，∴AD ＝CD ＝4，∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°，∴∠FDG ＝180°－∠ADC ＝60°.设AE ＝x ，∵AE ＋CF ＝4，∴CF ＝4－x ，∴DE ＝AD －AE ＝4－x ，DF ＝CD －CF ＝4－(4－x )＝x ，在Rt △DFG 中，FG ＝DF ·sin ∠GDF ＝32x ，∴S △DEF ＝12DE ·FG ＝12(4－x )×32x ＝－34x 2＋3x ＝－34(x －2)2＋3，∴当x ＝2时，△DEF 面积的最大，最大值为 3.第9题解图10. 233【解析】如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠C ＝90°，∵OF ⊥BC ，OE ⊥CD ，∴∠EOF ＝90°，∴∠EON ＋∠FON ＝90°，∵ON ⊥OM ，∴∠FOM ＋∠FON ＝90°，∴∠EON ＝∠FOM ，∴Rt △OEN ∽Rt △OFM ，∴NE MF ＝OE OF，∵O 为矩形ABCD 对角线的交点，AB ＝6，AD ＝4，∴OE ＝12AD ＝2，OF ＝12AB ＝3，∴NE ＝23MF .设BM ＝x ，如解图①，当0≤x ≤2时，MF ＝2－x ，NE ＝23(2－x )，S 四边形OMCN ＝S 矩形OECF ＋S △OMF －S △ONE ＝3×2＋12×3×(2－x ) －12×2×23(2－x )＝－56x ＋233，∵－56＜0，∴S 四边形OMCN 随x 的增大而减小，∴当x ＝0时，S 四边形OMCN 的最大值为233；如解图②，当2≤x ≤4时，MF ＝x －2，NE ＝23(x －2)，S 四边形OMCN ＝S 矩形OECF －S △OMF ＋S △ONE ＝3×2－12×3×(x －2) ＋12×2×23(x －2)＝－56x ＋233，∵－56＜0，∴S 四边形OMCN 随x 的增大而减小，∴当x ＝2时，S 四边形OMCN 的最大值为6；综上所述，四边形OMCN 面积的最大值为233.第10题解图11. 16 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ADN ＝∠C ＝90°.如解图，把△DAN 绕点A 顺时针旋转90°得到△BAG ，∴BG ＝DN ，AG ＝AN ，∠GAN ＝90°，∠ABG ＝∠ADN ＝90°，∴点G 在CB 的延长线上．∵∠MAN ＝45°，∴∠MAG ＝∠GAN －∠MAN ＝45°，∴∠NAM ＝∠MAG ，在△MAG 和△MAN中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AM ∠MAG ＝∠NAM AG ＝AN，∴△MAG ≌△MAN ，∴MG ＝MN ，而MG ＝MB ＋BG ＝MB ＋DN ，∴MN ＝MB ＋DN ，∵△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋DN ＋CM ＋MB ＝CD ＋BC ＝8，∴CD ＝4，∴正方形ABCD 的面积为16.第11题解图12. 1 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.易知当点E 到AB 的距离最小时，△AEB 的面积最小．如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，以点C 为圆心，CD 的长为半径作⊙C交CG 于点F ，此时△ABF 的面积即为△AEB 的面积的最小值．∵CG ＝AC ·BC AB ＝125，CF ＝CD ＝12AC ＝2，∴FG ＝CG －CF ＝125－2＝25，∴△AEB 面积的最小值为12AB ·FG ＝1.第12题解图13. 2＋1 【解析】如解图，以AB 为直径作⊙O 交线段AC 于点E ，连接PE 、OE 、BE ，由AC 为正方形的对角线及⊙O 的直径为AB ，可得△AEB 为等腰直角三角形，则点E 为AC 的中点，∴S △APC ＝2S △APE ，∴要使得△APC 的面积最大，只需△APE 面积最大即可．∵AE 长度为定值，∴只需使△APE 中AE 边上的高最大即可，∵AE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝2，OA ＝OB ＝OE ＝1，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴在Rt △AOE 中，利用等面积法求得AE 边上的高为OA ·OE AE ＝1×12＝22，∴△APE 中AE 边上的高的最大值为1＋22，∴△APE 面积的最大值为12×(1＋22)×2＝22＋12，∴△P AC 面积的最大值为2×(22＋12)＝2＋1.第13题解图14. 83－8 【解析】∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．如解图，过点B 、D 分别作AC 边上的高BE 、DF ，当且仅当E 、F 两点重合时，BE ＋DF 取得最小值，此时BE ＋DF ＝BD .∵AC 长度为定值，∴此时S 四边形ABCD 最小，作△BCD 的外接圆⊙O ，连接OB 、OD ，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△BOD 为等边三角形，∴AC ＝AE ＋OE ＋OC ＝32BD ＋32BD ＋BD ＝42，∴BD ＝26－22，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×42×(26－22)＝83－8.第14题解图。

初中数学几何最值问题综合题

知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。

初中数学几何图形题库

初中数学几何图形题库以下是一系列的初中数学几何图形题目，供同学们进行练习和复习。

题目一：平行线的性质1. 已知平行线l1与l2被一条截线t所交，证明l1与l2被t所截得的内角互补。

2. 若平行线l1与l2能够被同一条截线t分成相等的线段，证明l1与l2是平行的。

题目二：三角形的性质1. 在△ABC中，若∠A=90°，则AC^2=AB^2+BC^2成立吗？请说明理由。

2. 已知△ABC中，∠A=∠B，若AC=BC，则△ABC是否为等腰三角形？请给出证明或反例。

3. 在△ABC中，AC>BC。

若∠A=45°，∠B=60°，请问∠C的度数是多少？题目三：相似三角形1. 若两个三角形的对应角度相等且对应边长成比例，这两个三角形一定相似吗？请给出你的理由。

2. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

已知AB=4cm，BC=6cm，DE=8cm，求EF的长度。

题目四：四边形的性质1. 若一个四边形的对角相等，那么它一定是矩形吗？请说明理由。

2. 在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm。

若将AB延长至E，使得AE=5cm，连接CE，求∠CED的度数。

题目五：圆和圆的关系1. 若一个圆通过另一个圆的圆心，并且两个圆的半径不相等，这两个圆一定相交吗？请给出你的理由。

2. 在下图所示的两个圆中，圆O与圆P的半径分别为3cm和5cm。

若两个圆的圆心之间的距离为4cm，求两个圆相交的弦的长度。

题目六：立体几何1. 在一个立方体中，连接两个对角点，得到一条对角线。

求这条对角线的长度。

2. 一个正方体的体积为64cm³，求正方体的边长。

题目七：平面上的图形1. 若一个图形既是矩形又是菱形，这个图形一定是正方形吗？请给出理由。

2. 在平面直角坐标系中，直线y=x与y=2x的交点为A，直线y=-x 与y=-2x的交点为B。

求线段AB的中点的坐标。

以上是初中数学几何图形题库的一部分，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握几何知识。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

几何综合题

初三数学总复习——几何综合题在2006-2011年北京中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。

学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。

在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。

同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求（与几何内容有关的“C ”级要求）图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。

图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。

图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。

二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。

在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。

初中数学几何图形综合题

初中数学几何图形综合题必胜中学2018-01-30 15:15:15题型专项几何图形综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型1操作探究题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；(2)若∠DAF＝∠DBA.①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°.∴∠BAC＝∠BAD＝45°.∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°.∴AC＝BC.(2)①AF＝BE.理由：由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD； 3.∠FAD＝∠EBD，∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.②如图由旋转得∠BAC＝∠BAD.∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.设BD＝a，作BG平分∠ABD，∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。

初中七年级数学《平面直角坐标系中几何综合题》

七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合题》一．解答题（共17小题）1．（春•玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC的面积表示为S△ABC）②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．2．（春•汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．（春•鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．4．（春•富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．5．（春•泰兴市校级期末）已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP 上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．6．（春•江岸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．（3）如图3，（也可以利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．7．（春•黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b满足方程组，c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是．8．（春•海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．9．（春•黄梅县校级期中）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（春•通州区校级期中）在如图直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0．（1）求a、b、c的值；（2）如果点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m，n的式子表示y；（3）如果点P在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S四边形CBOA，求P点的坐标．11．（春•鄂州校级期中）如图，A、B两点坐标分别为A（a，4），B（b，0），且a，b满足（a﹣2b+8）2+=0，E是y轴正半轴上一点．（1）求A、B两点坐标；（2）若C为y轴上一点且S△AOC=S△AOB，求C点的坐标；（3）过B作BD∥y轴，∠DBF=∠DBA，∠EOF=∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系．12．（春•东湖区期中）如图，平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（3，0），现同时将A、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD（1）直接写出C、D的坐标：C D及四边形ABCD的面积：（2）在y轴负半轴上是否存在点M，连接MA、MB使得S△MAB＞S四边形ABCD？若存在，求出M点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由（3）点P为线段BD上一动点，连PC、PO，当点P在BD上移动（不含端点）现给出①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．13．（春•台州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．14．（春•海安县月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（0，2），图中的线段BD是由线段AC平移得到．（1）线段AC经过怎样的平移可得到线段BD，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．15．（春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n满足（m﹣3）2=﹣；（1）求A、B的坐标；（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且满足S△AOE=S△AOB，求E的坐标．（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点．若∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．16．（2013秋•江岸区校级月考）如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n满足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．17．（2013春•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S△PAC=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．。

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G（1）求证：BD ∥EF ；（2）若=，BE=4，求EC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .(1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值；(3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．8、如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形则符合条件的点P 的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动连接OC 则OC 的最小值为（）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上则当BEC 的一个内角度数为60︒时符合条件的点E 的个数共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时旋转角α的度数为．5 （2024·江西吉安·二模）如图在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形且P 为直角顶点时 BP 的长为．6 （2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点点P 为矩形OABC 边上任意一点将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上则点E 的坐标为．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形则α∠的度数为．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上点N 在边BC 上且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为．10 （2024·江西吉安·三模）如图在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点当APD △为直角三角形时 BP 的长为．11 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点连接BE 点P 在矩形的边上且在BE 的上方则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为．12 （2024·江西九江·二模）如图在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时则BD 的长为．13 （2024·江西·模拟预测）如图在菱形ABCD 中对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为．14 （2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠使点B 的对应点B '落在AC 上折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点过点E 分别作AC 与BC 的垂线垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处并绕点O 逆时针旋转探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处在旋转过程中当OF 与OB 重合时重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时重叠部分的面积为__________ 一般地若正方形面积为S 在旋转过程中重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时试判断重叠部分OMN 的形状并说明理由②如图3 当CM CN =时求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=）将GOH ∠绕点O 逆时针旋转在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中点B D E 在同一直线上且点D 在AC 上若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在BC 边上的点F 处若图中的四个三角形都相似求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合）将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直相等且互相平分等性质证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上点F 在BC 上则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时其他条件不变四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是请求出四边形OECF 的面积若不是请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点且AC EC = 则DAE ∠的度数为．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

中考代数几何-综合题

中考代数几何综合题代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.方法点拨方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，∵AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则∴．①当△ADP∽△BPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x，则∴AP=1或AP=6．②由①②可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）．设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．（2）如图（a），∵BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，∴a=，AM=2-BM=2-=．由△AMN∽△BEA，得，∴y=，∵0＜x≤2，0＜y≤5，x的取值范围为：，故x=1．（3）如图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．又∵AM=ME，∴DN=NE=NA=，∴＝解得：x=1或x=4．又∵，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，推出△ABE∽△ECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．答案与解析【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）＜ｔ＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述， t的取值范围是：＜ｔ＜．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.答案与解析举一反三【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：解得：所以，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x），∴②当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接，设P点的坐标为，∵点P在抛物线上，∴，∴∵，∴当时，. △的面积有最大值∴当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB 于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2，此时点E（3，），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)•()＋×3()]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED,又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴a=.∴S四边形DNEM＝NE·DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：（1）E(3,1)；F(1,2)；（2）连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－(舍去)③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.又∵EF=，∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A BB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n为正整数）．答案与解析举一反三【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n的表达式．【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求 3+32+33+…+3100的值．解：令 S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=∴3+32+33+ (3100)问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．答案与解析【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）．一、选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止那么在这个过程中线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4. 如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________(用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】；；【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1.sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=.AD=，则D n C n=2﹣B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=.=.=．即第n个图形的面积S n=．三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四边形MOHE构成正方形的情形．由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，所以此种情形不存在；③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN ∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3．综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK ∥AA′，且GK=AA′=2．①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．由TG∥x轴，∴，解得DF=．由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

初中数学几何图形专题训练50题含答案

初中数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=150º，则∠BOC 的度数为（）A ．30ºB ．45ºC ．50ºD ．60º 2．下列图形属于立体图形的是（）A ．正方形B ．三角形C ．球D ．梯形 3．已知∠AOB =75°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC =48°，则∠BOC 的度数为（）A ．123°B ．123°和27°C ．23°D ．27°4．如图，已知点C 是线段AB 的中点，2AC cm =， 1.5DC cm =，则BD =（）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm 5．已知A ，B ，C ，D 四点，任意三点都不在同一直线上，以其中的任意两点为端点的线段的数量是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若2110∠=︒，那么1∠的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 7．如图，已知∠ACB=90°，CD∠AB ，垂足是D ，则图中与∠A 相等的角是( )A．∠1B．∠2C．∠B D．∠1、∠2和∠B 8．在地理课堂上，老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时,李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和互补的角为（）A．B．C．D．9．下列说法正确的是()A．连接两点的线段，叫做两点间的距离B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角10．我军在海南举行了建国以来海上最大的军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的北偏东65︒方向（如图），同时观测到军舰B位于点O处的南偏西20︒方向，则AOB∠=（）A ．85︒B ．105︒C ．125︒D ．135︒ 11．如图，小玮从A 处沿北偏东40°方向行走到点B 处，又从点B 处沿东偏南23°方向行走到点C 处，则∠ABC 的度数为（）A ．99°B ．107°C ．127°D ．129° 12．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，30B ∠=︒，100ACD ∠=︒，则E ∠的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25° 13．如图所示，正方体的展开图为（）A ．B ．C ．D ．14．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（）A ．7B ．14C ．10D ．不确定 15．如图，等边∠ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若AE ＝2，则EM ＋CM 的最小值为（）AB ．C ．D ．16．已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，且AB ＝60，BC ＝40，则MN 的长为（）A ．10B ．50C ．10或50D ．无法确定 17．如图，从4点钟开始，过了40分钟后，分针与时针所夹角的度数是（）A ．090B ．0100C ．0110D ．0120 18．一副三角板按如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数小20︒，则2∠的度数为（）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．55︒ 19．一把直尺和一块三角板ABC （含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 、点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 、点A ，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（）A．10°B．50°C．45°D．40°20．如图，直线AB MN∥，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令ECMα∠=，用含α的式子表示∠EBC为（）．A．52αB．10α︒-C．1102α︒-D．1102α-︒二、填空题21．如图，将∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到∠COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD 的度数是______°．22．若∠A与∠B互余，则∠A+∠B=_____；若∠A与∠B互补，则∠A+∠B=_____. 23．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOD＝35°，OD平分∠AOC，则图中∠BOC＝______度．24．如图，在直线AB 上有一点O ，OC ∠OD ，OE 是∠DOB 的角平分线，当∠DOE ＝20°时，∠AOC ＝___°．25．一个直棱柱有12条棱，则它是__棱柱．26．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于D ，若6,10AB BC ==，则DF =______．27．已知5526α∠=︒'，则α∠的余角为____________28．在墙上钉一根细木条至少要钉2根钉才稳，根据是_________________________； 29．在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做______，相邻的两个侧面的交线叫做_______.30．如图所示，//AB CD ，CE 平分ACD ∠，并且交AB 于E ，118A ∠=︒，则AEC ∠等于______．31．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D ．若45BOD ∠=︒，20C ∠=︒，则ADC ∠=___________．32．一副三角板按如图放置，则下列结论：∠如果230∠=︒，则有AC DE ∥；∠如果BC AD ∥，则有245∠=︒；∠如果445∠=︒，那么160∠=︒；∠ BAE CAD ∠+∠ 随着2∠的变化而变化，其中正确的是____．33．已知C 是线段AB 的中点，AB=10，若E 是直线AB 上的一点，且BE=3，则CE=_____34．如图，C ，D 是线段AB 上两点，已知AC ：CD ：DB=1：2：3，M 、N 分别为AC 、DB 的中点，且AB=8cm ，求线段MN 的长_____．35．已知OC 为一条射线，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠．（1）如图1，当60AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部任意一条射线时，MON ∠=_____；（2）如图2，当60AOB ∠=︒，OC 旋转到AOB ∠的外部时，MON ∠=_____；（3）如图3，当AOB α∠=，OC 旋转到AOB ∠（120BOC ∠<︒）的外部时，求MON ∠，请借助图3填空．解：因为OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠ 所以1122COM AOC CON BOC ∠=∠∠=∠，（依据是____________）所以MON COM ∠=∠-_________12AOC =∠-_______12=________． 36．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且20AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 的周长为 ______．37．平面内，已知AOB 90∠=，20,BOC OE ∠=平分,AOB OF ∠平分BOC ∠，则EOF ∠=______.38．如图所示，设L AB AD CD =++，M BE CE =+，N BC =．试比较M 、N 、L 的大小：________．39．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．（1）若18AB =，点D 与点A 重合，8DE =，则EC =_________；（2）若2AB DE =，线段DE 在直线AB 上移动，且满足关系式32AD EC BE +=，则CD AB =_______．三、解答题40．如图所示，在长方形ABCD 中，6cm BC ，8cm CD =，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体．请解决以下问题：(1)说出旋转得到的几何体的名称？(2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状（至少写出3种）？(3)求旋转得到的几何体的表面积？（结果保留π）41．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，你能得到哪些形状的平面图形？42．如图，OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线．(1)如果40AOB ∠=︒，30DOE ∠=︒，那么BOD ∠为多少度？(2)如果140AOE ∠=︒，30COD ∠=︒，那么AOB ∠为多少度？(3)如果AOC α∠=︒，COE β∠=︒，则BOD ∠=______°，如果AOE θ∠=︒，则BOD ∠=______︒．43．如图，点C 是线段AB 上的一点，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．（1）如果12,5AB cm AM cm ==，求BC 的长；（2）如果8MN cm =，求AB 的长．44．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A 爬到另一顶点M ，已知AB =3，AD = 4，BF = 5．求这只蚂蚁爬行的最短距离．45．已知AB CD ∥，点M 、N 分别在直线AB 、CD 上，AME ∠与CNE ∠的平分线所在的直线相交于点F ．(1)如图1，点E 、F 都在直线AB 、CD 之间且70MEN ∠=︒时，MFN ∠的度数为___________；(2)如图2，当点E在直线AB、CD之间，F在直线CD下方时，写出MEN∠与MFN∠之间的数量关系，并证明；∠与(3)如图3，当点E在直线AB上方，F在直线AB与CD之间时，直接写出MEN∠之间的数量关系．MFN46．O为直线AB上的一点，OC∠OD，射线OE平分∠AOD．(1)如图∠，判断∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；(2)若将∠COD绕点O旋转至图∠的位置，试问(1)中∠COE和∠BOD之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；(3)若将∠COD绕点O旋转至图∠的位置，探究∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由．47．已知，P是线段AB的中点，点C是线段AB的三等分点，线段CP的长为4 cm.（1）求线段AB的长；（2）若点D是线段AC的中点，求线段DP的长.48．【提出问题】如图1，在直角ABC中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为【探究问题】如图2，在直角ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l 上，分别作BD∠l于点D，CE∠l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，在ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l 上，分别以A、B为直角顶点，向ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．∠试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；∠若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为49．如图，两个形状、大小完全相同的含有3060︒︒、的三角板如图∠放置，PA PB 、与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．(1)求DPC ∠；(2)如图∠，若三角板PBD 保持不动，三角板PAC 的边PA 从PN 绕点P 逆时针旋转一定角度，PF 平分,APD PE ∠平分CPD ∠，求EPF ∠．(3)如图∠，在图∠基础上，若三角板PAC 的边PA 从PN 开始绕点P 逆时针旋转，转速为3︒/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 绕点P 逆时针旋转，转速为2︒/秒，（当PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），求CPD BPN∠∠的值． (4)如图∠，在图∠基础上，若三角板PAC 开始绕点P 逆时针旋转，转速为5︒/秒，同时三角板PBD 绕点P 逆时针旋转，转速为1︒/秒，（当PA 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC PB PD 、、三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．参考答案：1．A【详解】试题分析：根据∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=150º，可得∠COD的度数，从而求得结果.∠∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=150º∠∠COD=∠AOD-∠AOC=60°∠∠BOC=∠BOD-∠COD=30°故选A.考点：本题考查的是角的计算点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握角的大小关系，即可完成.2．C【分析】依据立体图形的定义回答即可．【详解】解：正方形、三角形、梯形是平面图形，球是立体图形．故选：C．【点睛】本题主要考查的是立体图形的认识，掌握相关概念是解题的关键．3．B【分析】讨论：当OC在∠AOB的内部，如图1，则∠BOC=∠AOB-∠AOC；OC在∠AOB的外部，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC．【详解】解：当OC在∠AOB的内部，如图1，∠∠AOB=75°，∠AOC=48°，∠∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°-48°=27°；当OC在∠AOB的外部，如图2，∠∠AOB=75°，∠AOC=48°，∠∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°+48°=123°，综上所述，∠BOC的度数为27°或123°．【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．4．A【分析】根据线段中点和线段之间的关系计算即可.【详解】解：点C是线段AB的中点，∴2==，BC AC cm∴2 1.50.5=-=-=.BD BC CD cm故选：A.【点睛】本题考查线段中点和线段的长度关系，掌握线段中点的性质是解答关键.5．B【分析】根据题意画出示意图，即可得答案．【详解】解：如图所示，有四个点，且每三点都不在同一直线上，每两点连一条线段，则可以连6条线段，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线、线段、射线数量问题，能正确根据题意画出图形是解决问题的关键．6．D【分析】利用平行线的性质和平角的性质可以求得结果得出答案．【详解】解：如图示∠=︒，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，2110∠32110∠=∠=︒，∠11802301801103040∠=︒-∠-︒=︒-︒-︒=︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确得出3∠的度数是解题关键．7．B【分析】【详解】∠∠ACB= 90°，即∠1+∠2= 90°又∠在Rt∠ACD 中，∠A+∠1=90°∠∠A=∠2故选：B.8．D【详解】析：根据图形估计∠AOB 的大致度数，然后根据互为补角的和等于180°进行解答即可．解答：解：根据图形可得∠AOB 大约为135°，∠与∠AOB 互补的角大约为45°，综合各选项D 符合．故选D ．9．C【分析】根据线段、射线、直线的定义即可解题.【详解】解：A. 连接两点的线段长度，叫做两点间的距离B. 射线OA 与射线AO 表示的是同一条射线,错误,射线具有方向性,C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线,正确,D. 错误,应该是从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故选Ｃ.【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质,属于简单题,熟悉定义是解题关键. 10．D【分析】根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可．【详解】解：由方向角的定义可知，65NOA ∠=︒，20SOB ∠=︒，∠906525AOE ∠=︒-︒=︒，∠AOB AOE EOS SOB ∠=∠+∠+∠，259020=︒+︒+︒故选：D ．【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义是解决问题的前提．11．B【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【详解】如图：∠小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南23︒方向行走至点C 处，∠40DAB ∠=︒，23CBF ∠=︒，∠向北方向线是平行的，即AD BE ∥，∠40ABE DAB ∠=∠=︒，∠90EBF ∠=︒，∠902367EBC ∠=︒-︒=︒，∠4067107ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查方位角，解题的关键是画图正确表示出方位角.12．C 【分析】先根据角平分线的定义求出1502ECD ACD ∠=∠=︒，再由三角形外角的性质求解【详解】解：∠CE平分∠ACD，∠ACD=100°，∠1502ECD ACD∠=∠=︒，∠∠B=30°，∠∠E=∠ECD-∠B=20°，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知角平分线的定义和三角形外角的性质是解题的关键．13．A【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可；【详解】A中展开图正确；B中对号面和等号面是对面，与题意不符；C中对号的方向不正确，故不正确；D中三个符号的方位不相符，故不正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．14．B【分析】根据题意作图得到运动的轨迹，根据矩形的周长特点即可求解．【详解】如图，这个人所走的路程是图中的矩形，周长为2（3+4）=14故选B．【点睛】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据题意作出图形求解．15．C【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF∠BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF∠BC交于点F，∠∠ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∠B点与C点关于AD对称，∠BM＝CM，∠EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，∠AC＝6，AE＝2，∠EC＝4，在Rt∠EFC中，∠ECF＝60°，∠FC＝2，EF＝在Rt∠BEF中，BF＝4，∠BE＝故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．16．C【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【详解】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∠M、N分别为AB、BC的中点，∠BM＝12AB＝30，BN＝12BC＝20；∠MN＝50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM ＝30，BN ＝20，∠MN ＝10；所以MN ＝50或10，故选C ．【点睛】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．17．B【分析】4点时，分针与时针相差四大格，即120°，根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则40分钟后它们的夹角为40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°．【详解】4点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数=40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°=100°．故选B ．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．18．D【分析】根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可．【详解】解：由题意得，1290,2120∠+∠︒⎧⎨∠-∠︒⎩＝＝，解得135,255.∠︒⎧⎨∠︒⎩＝＝．故选：D ．【点睛】本题考查的是余角和补角的概念和性质，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．19．A【分析】先根据∠CED ＝50°，DE ∠AF ，即可得到∠CAF ＝50°，最后根据∠BAC ＝60°，即可得出∠BAF 的大小．【详解】∠DE ∠AF ，∠CED ＝50°，∠∠CAF ＝∠CED ＝50°，∠∠BAC ＝60°，∠∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点睛】此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键.20．D【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．【详解】在∠ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，∠∠ABC=50°．延长CE，交AB于点G，∠MN BA∥，∠EGBα∠=，∠ACM=∠BAC=40°，∠∠ACE=α-40°，∠∠BCE=90°-（α-40°）=130°-α．∠∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，∠∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（α-40°）=α-20°．∠EF平分∠CED，∠∠CEF=111022CEDα∠=-︒，∠∠CEB=1110706022αα-︒+︒=+︒，∠∠EBC=11180(60)(130)10 22ααα︒-+︒-︒-=-︒．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键．21．55°##55度【分析】根据将∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到∠COD ，可得∠BOD = 40° 即可得∠AOD =∠BOD +∠AOB = 55°．【详解】∠将∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到∠COD ．∠∠BOD = 40°，∠∠AOB = 15°∠∠AOD =∠BOD +∠AOB = 40°+ 15°= 55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．22． 90°##90度 180°##180度【分析】根据互余，互补的定义即可得到结果.【详解】若∠A 与∠B 互余，则∠A +∠B =90°；若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.故答案为：90°，180°【点睛】解答本题的关键是熟记和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补. 23．110【分析】根据角平分线可得270AOC AOD ∠=∠=︒，再利用补角的性质求解即可得．【详解】解：∵OD 平分AOC ∠，35AOD ∠=︒，∴223570AOC AOD ∠=∠=⨯︒=︒，∵AOC ∠与BOC ∠是邻补角，∴180AOC BOC ∠+∠=︒，∴18070110BOC ∠=︒-︒=︒．故答案为：110．【点睛】题目主要考查角平分线的计算及补角的性质，理解题意，结合图形求角度是解题关键．24．50【分析】先求出∠BOD ，根据平角的性质即可求出∠AOC ．【详解】∠OE 是∠DOB 的角平分线，当∠DOE ＝20°∠∠BOD =2∠DOE ＝40°∠OC ∠OD ，∠∠AOC =180°-90°-∠BOD =50°故答案为：50．【点睛】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、直角的性质． 25．四【详解】试题解析：设该棱柱为n 棱柱,根据题意得：3n =12.解得：n =4.所以该棱柱为四棱柱,故答案是：四.26．2【分析】根据中位线的性质可得EF BC ∥，EF =12BC =5，则有∠CBD =∠BDE ，AE =BE =12AB =3，再根据BD 平分∠ABC ，有∠ABD =∠CBD ，即有∠ABD =∠BDE ，则可得DE =BE =3，问题得解．【详解】∠EF 是∠ABC 的中位线，∠EF BC ∥，EF =12BC =5，E 点为AB 中点， ∠∠CBD =∠BDE ，AE =BE =12AB =3． ∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD =∠CBD ，∠∠ABD =∠BDE ，∠DE =BE =3．∠DF =EF −DE =EF −BE =5−3=2．故答案为：2．【点睛】本题考了三角形中位线的性质、角平分线的性质以及等角对等边的知识，求出DE =BE 是解答本题的关键．27．3434'︒【分析】直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案．【详解】解：∠5526α∠=︒'，∠α∠的余角为：9055263434'=︒'︒-︒．故答案为：3434'︒．【点睛】此题主要考查了余角的定义和度分秒的转换，正确把握相关定义是解题关键． 28．两点确定一条直线【分析】由于两点确定一条直线，所以在墙上固定一根木条至少需要两根钉子．【详解】在墙上固定一根木条至少需要两根钉子，依据的数学道理是两点确定一条直线．故答案为两点确定一条直线．【点睛】当木工师傅锯木板时，他会用墨盒在木板上弹出墨线，这样会使木板沿直线锯下；在正常情况下，射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星确定在直线上，才能射中目标等等；它们都是运用了“两点确定一条直线”的直线的性质．29．棱，侧棱；【分析】由棱柱的组成部分的定义直接填空即可.【详解】在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻的两个侧面的交线叫做侧棱. 故答案为棱；侧棱.【点睛】熟记面与面相交成线，在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱. 30．31°【分析】要求AEC ∠的度数，根据平行线的性质，只需求得2∠的度数．显然结合平行线的性质以及角平分线的定义就可解决．【详解】解：//AB CD ，CE 平分ACD ∠交AB 于E ，118A ∠=︒，1112(180)(180118)3122A ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 231AEC ∴∠=∠=︒，故答案为：31°．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，比较简单，需同学们熟练掌握．31．70︒##70度【分析】根据三角形外角的定义和性质可知ADC A ABD ∠=∠+∠，利用轴对称的性质求出A ∠与ABD ∠的大小并进行计算即可．【详解】解：AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称∴20A C ∠=∠=︒，2ABD ABO ∠=∠，根据三角形外角的性质可知：在AOB 中，452025ABO BOD A ∠=∠-∠=︒-︒=︒222550ABD ABO ∴∠=∠=⨯︒=︒∴ 在ABD △中，205070ADC A ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：70︒．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角的性质，熟练运用三角形的外角性质进行计算是本题的解题关键．32．∠∠∠【分析】根据平行线的判定与性质即可逐一进行证明．【详解】解：∠∠230∠=︒，∠190260∠=︒-∠=︒，∠60AED ∠=︒，∠1AED ∠=∠，∠AC DE ∥；所以∠正确；∠∠BC AD ∥，∠345B ∠=∠=︒，∠290345∠=︒-∠=︒；所以∠正确；∠如图，∠445,60EGF GEF ∠=∠=︒∠=︒，∠4560105GFA ∠=︒+︒=︒，∠1GFA C ∠=∠+∠，∠45C ∠=︒，∠160∠=︒．所以∠正确．∠∠123290∠+∠=∠+∠=︒，∠21239090180BAE CAD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，∠BAE CAD ∠+∠随着2∠的变化不会发生变化；所以∠错误；所以其中正确的是∠∠∠．故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．33．2或8【分析】由已知C 是线段AB 中点，AB=10，求得BC'= 5，进一步分类探讨：E 在BC 内；E 在BC 的延长线上；由此画图得出答案即可．【详解】C 是线段AB 的中点， AB= 10，BC= AB= 5，如图，当E 在BC 内，CE= BC- BE= 5- 3=2；∠如图，E 在BC 的延长线上，CE= BC+ BE= 5+3=8 ；所以CE= 2或8；故本题答案为：2或8．【点睛】解决本题的关键突破口是分类讨论，本题考查了学生综合分析的能力，要求学生掌握线段中点的意义，线段的和与差．34．153cm 【分析】根据线段的比例，可得线段的长度，根据线段的和差，可得答案．【详解】∠AC ：CD ：DB=1：2：3，设AC=a ，CD=2a ，DB=3a ，∠AB=AC+CD+DB=a+2a+3a=6a=8，解得：a=43， ∠AC=43，DB=3×43=4， ∠M 、N 分别为AC 、DB 的中点， ∠AM=12AC=23，BN=12DB=2， ∠MN=AB-AM-BN=8-23-2=513（cm ）．故答案为：153cm 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，根据比例关系列出方程求出各线段的长是关键．35． 30° 30° 角平分线定义 ∠CON 12BOC ∠ α 【分析】对于（1），根据角平分线定义得12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠，再结合12MON COM CON AOB ∠=∠+∠=∠，可得答案；对于（2），仿照（1），根据12MON COM CON AOB ∠=∠-∠=∠求解；对于（3），仿照（2）解答即可．（1）因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，所以12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠，所以11603022MON COM CON AOB ∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：30°．（2）因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，所以12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠，所以11603022MON COM CON AOB ∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：30°．（3）因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，所以12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠（依据的角平分线定义），所以111222MON COM CON AOC BOC α∠=∠-∠=∠-∠=．故答案为：角平分线定义，∠CON ，12BOC ∠，α．【点睛】本题主要考查了角的和差的计算，角平分线定义，掌握角平分线定义是解题的关键．36．10+【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出DE 、根据勾股定理求出AE ，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∠60BAC ∠=︒，AD 是角平分线，∠30DAE ∠=︒，在Rt DAE 中，20,30AD DAE =∠=︒， ∠1102DE AD ==，由勾股定理得：AE =∠AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∠FA FD =，∠DEF 的垂直10DE EF FD DE EF FA DE AE =++=++=+=+故答案为：10+【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．37．35︒或55︒【分析】分OC 在AOB ∠的内部和外部进行讨论，运用角平分线性质及角的和差进行运算即可.【详解】解：∠AOB 90∠=，OE 平分,AOB ∠ ∠∠BOE=12∠AOB=45°∠20,BOC ∠=OF 平分BOC ∠ ∠∠FOC=∠FOB =12∠BOC=10°当OC 在AOB ∠的内部时，如图∠∠EOF=∠BOE-∠BOF=45-10=35︒︒︒当OC 在AOB ∠的外部时，如图∠∠EOF=∠BOE+∠BOF=45+10=55︒︒︒故答案为：35︒或55︒【点睛】本题考查了角平分线的定义，先求出∠BOC 的度数，再求出∠FOC 的度数，最后求出答案，有两种情况，以防漏掉．38．L M N >>【分析】根据连接两点的所有线中,线段最短的性质解答.【详解】∠AB+AE ＞BE ，CD+DE ＞CE ，∠AB+AE+CD+DE ＞BE+CE ，即l ＞m ，又BE+CE ＞BC ，即m ＞n ，∠L M N >>．【点睛】本题考查了知识点两点之间线段最短，解题的关键是熟记性质.39．（1）4 （2）116或1742．【分析】（1）画出符合题意的图形，由18,2AB AC BC ==，求解BC ，再利用线段的和差关系求解EC 即可得到答案；（2）根据AC=2BC ，AB=2DE ，线段DE 在直线AB 上移动，满足关系式32AD EC BE +=，再分六种情况讨论，∠当DE 在点A 左侧时，∠当A 在DE 之间时，∠当DE 在线段AC 上时，∠当C 在DE 之间时，∠当D 在CB 之间时，∠当D 在B 的右边时，可以设CE=x ，DC=y ，用含x 和y 的式子表示,,AD EC BE 的长，从而得出x 与y 的等量关系，即可求出 CD AB的值．【详解】解：（1）如图，18AB DB ==，2,AC BC = 163BC AB ∴==， 8DE =，1886 4.EC AB DE BC ∴=--=--=（2）∠AC=2BC ，AB=2DE ，满足关系式32AD EC BE +=， ∠当DE 在点A 左侧时，如图，设CE=x ，DC=y ，则DE y x =-，∠()()242,33AB y x AC AB y x =-==-，()12222,333BC y x y x =-=-∠41,33AD DC AC x y =-=- ∠2133BE BC CE y x =+=+ ∠7133AD EC x y +=- ∠32AD EC BE +=， ∴ ()23,AD EC BE += ∠7121233333x y y x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得，811x y =， ∠ ()11.826211CD y y AB y x y y ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∠当A 在DE 之间时，如图，设,,CE x CD y == 则DE y x =-，同理可得：11.6CD AB = ∠当DE 在线段AC 上时，设,,CE x CD y == 则DE y x =-，,222,DE y x AB DE y x ∴=-==-24422,,33333AC AB y x BC y x ∴==-=- 1411,,3333AD AC CD y x AD CE y x ∴=-=-+=- 21+,33BE BC CE y x ==+ AD CE ∴+＜,BE32AD EC BE +=, AD CE ∴+＞,BE∴ 不合题意舍去；∠当C 在DE 之间时，如图，设CE=x ，DC=y ，则DE=x+y ，∠()()242,,33AB x y AC AB x y =+==+ ()()112333BC AB x y x y ==+=+, ∠41,33AD AC DC x y =-=+ ∠7133AD EC x y +=+ ∠21,33BE BC CE y x =-=- ∠32AD EC BE += ∴ ()23,AD EC BE += ∠7121233333x y y x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得，417x y =， ∠ ()174242217CD y y AB x y y y ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∠当D 在CB 之间时，设,,CD y CE x == 则,222,DE x y AB DE x y =-==- 4422,,3333AC x y BC x y ∴=-=- 4112,,3333AD AC CD x y BE CE BC x y ∴=+=-=-=+ 71,33AD CE x y ∴+=- ∠32AD EC BE += ∴ ()23,AD EC BE += 同理可得：8,11x y = 与图形条件x ＞y 不符舍去， ∠当D 在B 的右边时，设,,CD y CE x == 则,222,DE x y AB DE x y =-==-4422,,3333AC x y BC x y ∴=-=- 4112,,3333AD AC CD x y BE CE BC x y ∴=+=-=-=+ 71,33AD CE x y ∴+=- ∠32AD EC BE += ∴ ()23,AD EC BE += 同理可得：8,11x y =与图形条件x ＞y 不符，舍去，综上：CD AB 的值为：116或1742．故答案为116或1742．【点睛】本题考查的是线段的和差关系，二元一次方程思想，与线段相关的动态问题，分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键．40．(1)圆柱(2)长方形、圆形或梯形(3)168π平方厘米或224π平方厘米【分析】（1）由图形旋转性质可知旋转后得到的几何体是圆柱；（2）用一个平面截圆柱，从不同角度截取的形状不同；（3）分情况讨论，找出圆柱的底面半径和高，即可求解．【详解】（1）解：由图形旋转性质可知，绕长方形的一边所在直线旋转一周后所得立方体为柱体、底面为圆，因此得到的几何体是圆柱．故答案为圆柱．（2）解：用一个平面截圆柱，截面形状可能为长方形、圆形或梯形．（3）解：分情况讨论，若绕BC 边旋转，则所得圆柱的表面积为：228286=224S S S 侧底平方厘米；若绕CD 边旋转，则所得圆柱的表面积为：226268=168S S S 侧底平方厘米．故旋转得到的几何体的表面积为168π平方厘米或224π平方厘米．【点睛】本题考查了点、线、面、体，截几何体，圆柱的表面积计算等知识点，解题关键是理解点动成线、线动成面、面动成体．41．【解析】略42．(1)70BOD ∠=︒(2)40AOB ∠=︒ (3)()12αβ+；12θ【分析】（1）根据角平分线的定义得出40BOC AOB ∠=∠=︒，30DOC DOE ∠=∠=︒，再根据角度之间的关系求出BOD ∠的度数即可；（2）先根据角平分线的定义，30COD ∠=︒，得出260COE COD ∠=∠=︒，根据140AOE ∠=︒，求出80AOC ∠=︒，根据角平分线的定义即可得出答案；（3）根据角平分线的定义得出1122BOC AOC ∠=∠=︒，1122COD COE ∠=∠=︒，根据角度之间的关系得出()12BOD ∠=+︒；根据角平分线的定义得出12BOD AOE ∠=∠．【详解】（1）解：∠OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，∠40BOC AOB ∠=∠=︒，30DOC DOE ∠=∠=︒，∠403070BOD BOC DOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）解：∠OD 是COE ∠的平分线，30COD ∠=︒，∠260COE COD ∠=∠=︒，∠140AOE ∠=︒，∠80AOC AOE COE ∠=∠-∠=︒，∠OB 为AOC ∠的平分线，∠4120AOB AOC ∠=∠=︒．（3）解：∠OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，AOC α∠=︒，COE β∠=︒，∠1122BOC AOC ∠=∠=︒，1122COD COE ∠=∠=︒， ∠()111222BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒+︒=+︒； ∠OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，∠1BOC AOB 2∠=∠，12COD COE ∠=∠， ∠BOD BOC COD ∠=∠+∠1122AOC COE =∠+∠ ()12AOC COE =∠+∠ 12AOE =∠ 12=．故答案为：()12αβ+；12θ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．43．（1）2BC cm =；（2）16AB cm =【分析】(1)先求出AC ，根据BC=AB-AC ，即可求出BC ；(2)求出BC=2CN, AC=2CM,把MN=CN+MC=8cm 代入求出即可．【详解】解: (1) ∠点M 是线段AC 的中点,∠AC=2AM,∠AM=5cm,∠AC=10cm,∠AB=12cm ,∠BC=AB-AC=12-10=2cm,(2)∠点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．∠BC=2NC ，AC=2MC,∠MN=NC+MC=8cm ,∠AB=BC+AC=2NC+2MC==2(NC+MC)=2MN=28⨯cm=16cm ．【点睛】本题考查了两点之间的距离的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．44【分析】由AB=3，AD=4，BF=5长宽高三种长度不同，蚂蚁走的折面不同，距离也不同，要按不同的棱展开两个面，（1）长方形沿着棱ND展开，（2）长方形沿着棱DC展开，（3）长方形沿着棱BC展开，用勾股定理求出对角线的长度，再比较取最短者．【详解】∠AB=3，AD=4，BF=5∠MC =BF=AE=5，BC=AD=MF=4,MN= CD=AB=3（1）长方形沿着棱ND展开如图∠所示时，在Rt∆AEM中AM2=AE2+EM2= AE2+(NE+MN)2=52+(3+4)2=25+49=74，（2）长方形沿着棱DC展开如图∠所示时，AM2=AB2+( BC+CM)2=32+(4+5)2=9+81=90，（3）长方形沿着棱BC展开如图∠所示时，AM2=MF2+( AB+BF)2=42+(3+5)2=16+64=80，∠ AM=∠【点睛】本题考查蚂蚁所走最短路径问题，涉及长方体的侧面展开问题，要会分析最短路径涉及几个面展开，展开后走的哪条路径为最短，分别求出经比较才能解决问题．45．(1)145°(2)∠MEN＝2∠MFN，证明见解析(3)1∠MEN＋∠MFN＝180°，证明见解析2【分析】分析：（1）过E作EH∠AB，FG∠AB，根据平行线的性质得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得，平行线的性质，角平分线的定义即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠MGE∠∠ENC，根据角平分线的定义得到∠MGE∠∠ENC∠2∠FNG∠∠AME∠2∠1∠∠E∠∠MGE∠∠E∠2∠FNG，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图1，过E作EH∠AB，FG∠AB。

中考数学专题复习：几何综合题

【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根号5）/2*x.2．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC 到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．解：(1)证明：延长ED交AG于点H，∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA＝OD，OA⊥OD.在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2∴∠AG′O＝30°.∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.提示：如图当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根号2.∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB.∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。

(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.∴∠DMA＝∠MAQ.由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1. ∴∠MAQ＝∠AMQ.∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.∴NQ＝4，AQ＝5.∵AB＝4，AQ＝5，∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC(如图3)，∴DF的最大值为4－根号7图1类型2动态探究题4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA 的面积比为1∶4，求边CD的长；(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF 的长度．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∴∠APD＋∠DAP＝90°.∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，设OP＝x，则CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，由勾股定理得，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.(2)过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；3.MQ＝BN∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的结论可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴在(1)的条件下，当点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.5．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不与点C，B重合)，连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.(1)当x为何值时，OP⊥AP?(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.∵OP⊥AP，∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.∴∠OPC＝∠PAB.∴△OPC∽△PAB.解得x1＝4，x2＝1(不合题意，舍去)．∴当x＝4时，OP⊥AP.(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.∴y＝x－4/x(2<x<5)．(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝2.∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.∴ED＝4，EF＝2.∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.解得y＝5/2.6．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD ＝8，AB＝6.如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.当点P在边BC上时，BP＝t－6.∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.类型3类比探究题7．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.(1)求证：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.又∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°.(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.∴AP＝CE.8．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE∽△CBF；②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，即∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF.②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根号2.∴BF＝根号2.又∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.解得CE＝根号6.(2)连接BF，∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，∴△CFE∽△CBA.∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，题型2与圆有关的几何综合题9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)当BC(AB)＝3(4)时，求tanE；(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC. ∵DE是直径，∴∠DBE＝90°.∴∠E＝90°－∠BDE.∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E.∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC 及AB的延长线相交于点D，E，F.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．解：(1)直线BD与⊙O相切．理由：连接OB.∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC.∴∠DBC＝∠C.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.∴∠C＋∠CED＝90°.∴∠DBC＋∠OBE＝90°.∴BD与⊙O相切．(2)连接AE.在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根号2.∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根号2.∴BC＝1＋根号2.∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE，∴△CAB≌△FEB.(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°.∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.11．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．(1)试说明CE是⊙O的切线；(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当1/2CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．解：(1)证明：连接OC.∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．12．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的反向延长线上，EP＝EG，(1)求证：直线EP为⊙O的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝根号3/3.求弦CD的长．解：(1)证明：连接OP.∵EP＝EG，∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直线EP为⊙O的切线．(2)证明：连接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.13．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0＜t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB，OA的交点分别为C，D，连接CD，QC.(1)当t为何值时，点Q与点D重合？(2)当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长；(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．。