1.1.2分步乘法计数原理(22张)
《1.1.2 分步乘法计数原理》 课件 2-优质公开课-北师大选修2-3精品
能单独完成这件事；分步乘法计数原理的每一个步骤都依次完
成后整个工作才算完成．
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【训练1】将5种不同农作物种植在如下图所示的5块试验田里(5种
农作物必须都选)，每块试验田只能种植一种农作物，则不
同的种植方法共有________种．
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解析 第1步，在①号试验田里有5种不同的种植方法；第2
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题型一 种植问题
从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分 【例1】 别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有
多少种不同的种植方法．
[思路探索] 首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一 步中的方法有多少种，求其积．要注意各步之间的相互联 系，都完成后，才算完成这件事．
《1.1.2 分步乘法计数原理》 课件 2
【课标要求】
1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实
际问题．
2．会根据实际问题合理分类或分步． 【核心扫描】 1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点) 2．合理分类或分步．(难点)
3．涂色问题中的讨论．(易混点)
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自学导引
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法二 根据题意，可分类求解，
第一类：用3种颜色涂色，有5×4×3＝60(种)不同涂法．
第二类：用4种颜色涂色，有5×4×3×2＝120(种)不同涂 法． 根据分类加法计数原理，共有60＋120＝180(种)不同涂色 方案．
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规律方法 涂色问题的一般思路： (1)为便于分析问题，应先给区域标上相应序号； (2)按涂色的顺序分步或按颜色恰当选取情况分类； (3)利用两个原理计数． 特别注意：倒数第二块区域的涂色会对最后一块区域产生
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理分步乘法计数原理是指在计算乘法时，将一个较大的乘数分解成若干个较小的因数，分别与另一个乘数相乘，最后将结果相加得到最终的乘积。
这种计算方法在实际运用中非常常见，尤其是在解决复杂的乘法运算时，可以通过分步乘法计数原理来简化计算过程，提高计算效率。
举个简单的例子来说明分步乘法计数原理的运用。
假设我们要计算23乘以14的结果，我们可以将14分解成10和4，然后分别与23相乘，最后将两个结果相加即可得到最终的乘积。
具体的计算过程如下：23 × 10 = 230。
23 × 4 = 92。
230 + 92 = 322。
通过这个例子，我们可以清晰地看到分步乘法计数原理的运用。
接下来，我们将详细介绍分步乘法计数原理的具体步骤和应用技巧。
首先，我们需要将较大的乘数分解成若干个较小的因数。
这个过程需要我们对乘数有一定的认识和理解，可以通过观察乘数的特点和规律来进行分解。
在实际操作中，我们可以根据乘数的位数和大小来确定分解的方法，一般来说，可以将乘数分解成十位数、个位数或者更小的单位。
其次，我们需要分别将分解后的因数与另一个乘数相乘。
这个过程需要我们对乘法运算有一定的熟练度和技巧，可以通过列竖式或者使用计算器来进行乘法运算。
在实际操作中，我们可以根据乘数的位数和大小来确定乘法的方法，一般来说，可以采用竖式乘法或者横式乘法来进行计算。
最后，我们需要将所有的乘积相加得到最终的乘积。
这个过程需要我们对加法运算有一定的熟练度和技巧，可以通过列竖式或者使用计算器来进行加法运算。
在实际操作中，我们可以根据乘积的位数和大小来确定加法的方法，一般来说，可以采用竖式加法或者横式加法来进行计算。
在实际运用中，我们可以根据具体的情况来灵活运用分步乘法计数原理，可以根据乘数的大小和位数来确定分解、乘法和加法的方法，以提高计算的效率和准确度。
同时，我们也可以通过练习和实践来提高对分步乘法计数原理的掌握和运用能力，从而在解决实际问题时能够更加灵活和高效地运用这一计算方法。
分步乘法计数原理-高中数学知识点讲解
分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第 1 步有m 种不同的方法，做第 2 步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n 种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n 个步骤：做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有m2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法．3．特点：完成一件事的n 个步骤相互依存，必须依次完成n 个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件能独立完成这件事事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题步骤】如果完成一件事情有n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】1/ 2与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A.432B.288C.216D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共C42C32，再把 4 个数排列，其中是奇数的共A21A33 种，根据分步计数原理得到结果．解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共C42C32＝18 种，第二步再把 4 个数排列，其中是奇数的共A21A33＝12 种，∴所求奇数的个数共有 18×12＝216 种．故选C．点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．2/ 2。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册5.1计数原理 精品教学课件
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件
事．
()
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法
是各不相同的．
()
1234
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分 n 步完成的，那么其中
任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有 n 步骤都完成后，这件
事情才算完成．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
(2)分步乘法计数原理的理解 分步乘法计数原理中的“完成一件事需要 n 个步骤”，是指完成 这件事的任何一种方法，都需要分成 n 个步骤．在每一个步骤中任取 一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是 相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
如何区分“分类”还是 “分步”？
[思路点拨]
[解] 选一幅画布置房间分三类计数： 第一类：选油画，有 5 种不同的选法； 第二类：选国画，有 2 种不同的选法； 第三类：选水彩画，有 7 种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有 N＝5＋2＋7＝14 种不同的选法．
分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后 在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：
6 [完成这件事可分两步：第一步，从集合 A 中任选一个元素作 为个位数字，有 2 种不同的方法；第二步，从集合 B 中任选一个元 素作为十位数字， 有 3 种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一 共有 2×3＝6 种不同的方法．]
1234
4．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有 2 条路，下山有 3 条路．如果不走山路，由山北绕道有 2 条路，由山南绕道有 3 条路．
1234
2．完成一项工作，有两种方法，有 5 个人只会用第一种方法， 另外 4 个人只会用第二种方法，从这 9 个人中选 1 人完成这项工作， 不同的选法种数是( )
分步乘法计数原理知识点总结
分步乘法计数原理知识点总结
完成一件事，需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn不同的方法。
注：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各步是关联的。
两种典型现象：
Ⅰ．涂颜色
（1）平面图涂颜色：先涂接触区域最多的一块；
（2）立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举。
Ⅱ．映射
按步骤用A集合的每一个元素到B集合里选一个元素，可以重复选。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系：
(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，都是计数的方法问题，二者的区别在于：分类加法计数原理针对的是分类问题，其各种方法之间是相互独立的，其中的任何一种方法都可以单独完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成，才算完成这件事，单独的一步或几步不能完成这件事．(2)两个计数原理的区别在于分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，可以用下表表示：高中数学分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理分步乘法计数原理是组合数学中的一个重要概念，它在解决排列和组合问题时起着重要作用。
通过分步乘法计数原理，我们可以更加灵活地处理各种复杂的排列和组合情况，从而更加高效地解决实际问题。
本文将从基本概念、应用方法和实例分析三个方面来介绍分步乘法计数原理。
基本概念。
分步乘法计数原理是指，如果一个任务可以分解为若干个相互独立的子任务，且每个子任务都有若干种方式完成，那么完成整个任务的方式数就是各个子任务完成方式数的乘积。
这个原理在排列和组合问题中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计数问题。
应用方法。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来应用分步乘法计数原理：1. 将整个任务分解为若干个相互独立的子任务；2. 分别计算每个子任务的完成方式数；3. 将各个子任务完成方式数相乘，得到整个任务的完成方式数。
通过这样的方法，我们可以更加系统地分析和计算各种排列和组合问题，从而更加高效地解决实际应用中的计数难题。
实例分析。
下面通过一个实例来进一步说明分步乘法计数原理的具体应用。
假设有一个班级，其中有5名男生和3名女生，现在要从中选出一名班长和一名副班长，要求班长和副班长不能是同一性别。
那么按照分步乘法计数原理，我们可以分解为两个子任务，首先选出班长，然后再选出副班长。
对于选出班长的子任务，由于班长不能是同一性别，所以选出班长的方式数为5（男生）+ 3（女生）= 8。
对于选出副班长的子任务，由于副班长不能是和班长同一性别，所以选出副班长的方式数为4（男生）+ 3（女生）= 7。
因此，根据分步乘法计数原理，选出班长和副班长的方式数为8 7 = 56。
通过这个实例，我们可以看到分步乘法计数原理的应用方法和计算过程。
通过将整个任务分解为若干个子任务，并分别计算每个子任务的完成方式数，最后将各个子任务的完成方式数相乘，我们可以更加高效地解决各种排列和组合问题。
总结。
分步乘法计数原理是组合数学中的重要概念，它在解决排列和组合问题时有着重要的应用价值。
分步乘法计数原理公式
分步乘法计数原理公式
乘法计数原理是一种用于计算多个事件组合总数的数学原理。
它适用于问题中多个步骤或条件的情况下，通过将每个步骤或条件的可能性数相乘，得出最终的组合总数。
使用乘法计数原理时，我们需要明确每个步骤或条件之间的独立性。
这意味着每个步骤或条件的选择或结果不会影响其他步骤或条件的选择或结果。
举个例子，假设我们有以下两个步骤：
步骤1：选择一件衣服（有3个选项：红色、蓝色、绿色）
步骤2：选择一双鞋子（有2个选项：黑色、白色）
根据乘法计数原理，我们可以将步骤1和步骤2的可能性数相乘，得到总的组合总数:
3 * 2 = 6
因此，总共有6种衣服和鞋子的组合。
具体组合如下：
红色衣服 + 黑色鞋子
红色衣服 + 白色鞋子
蓝色衣服 + 黑色鞋子
蓝色衣服 + 白色鞋子
绿色衣服 + 黑色鞋子
绿色衣服 + 白色鞋子
这个例子展示了乘法计数原理的使用。
通过将每个步骤的可能性数相乘，我们可以得到最终的组合总数。
这个原理在解决组合问题和计算概率等方面非常有用。
《1.1.2 分步乘法计数原理》 课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品
【规范解答】方法一：按A→B→C→D的顺序分步涂色. 第一步：涂Ａ区域，有4种不同的涂法； 第二步：涂Ｂ区域，从剩下的三种颜色中任选一种颜色， 有３种不同的涂法； 第三步：涂C区域，再从剩下的2种不同颜色中任选一种
颜色，有２种不同的涂法；
第四步：涂D区域，可分两类，一类D区域与Ａ同色；另一 类D区域与A不同色，共有1＋1＝2(种)涂法. 根据分步乘法计数原理共有4×3×2×2＝48种不同的涂法.
元素，首位与末位是特殊位置，可按首位数字是否选 2进行
分类，在每一类中按“千位→个位→百位→十位”的顺序 选取数字，分步计数.本题更优的解法是间接法.
ห้องสมุดไป่ตู้
【规范解答】方法一：完成这件事按首位是否选2分类计数：
第一类：首位数字选２，可以分三步去完成：
(1)选取个位上的数字，有0,4两个数字可以选择，有２种选
＝24种不同抽法.其中：
4人都取自己所写贺卡有１种抽法； 2人取自己所写贺卡，另2人不取自己所写贺卡有6种方法； 1人取自己所写贺卡，另3人不取自己所写贺卡有8种方法. 故4人都不取自己所写贺卡共有24－(1＋6＋8)＝9(种).
涂色(种植)问题 求解涂色问题的一般策略 求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方 法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原
其中比2000小的有：首位数字是1的共有3×4×3=36(个).
所以符合条件的四位数共有156-36＝120(个).
选(抽)取问题 选(抽)取问题的解答策略 对于选(抽)取问题，一般带有某些限制条件，其解答方法 是，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，
可用树图法、框图法及表格法进行枚举；当数目较大，符
①若首位为4，可分三步完成： 第一步：选取个位上的数字，有0,2两个数字可供选择，有 2种选法； 第二步：选取百位上的数字，有4种选法；
分步乘法计数原理的应用
分步乘法计数原理的应用分步乘法原理（也称为乘法计数原理）是组合数学中的一种计数方法，常用于解决涉及多个步骤的计数问题。
该原理基于乘法规则，即如果一个过程可以分解为几个独立的步骤，每个步骤有若干选择，则通过将每个步骤的选择数相乘得到过程的总选择数。
下面将通过几个具体的例子来概括分步乘法计数原理的应用。
-前17位中的每一位数字有10个选择（0-9）；-第18位的校验码由前17位数字按照特定的规则计算得出。
根据分步乘法计数原理，每一位数字的选择数是10个，因此前17位数字的选择数是10的17次方。
因此，校验码的总选择数是10的17次方。
实际上，根据具体的校验规则，校验码的选择数可能会更少。
例2：班级选课假设一个班级有15个学生，可以选择3门选修课程中的一门。
每门选修课程的选择人数没有限制，而且一个学生只能选择一门选修课程。
根据分步乘法计数原理，每个学生的选课选择数是3个，因此班级选课的总选择数是3的15次方。
例3：排列组合问题假设有5个人需要从10个座位中选择一个座位坐下，每个座位只能有一个人。
根据分步乘法计数原理，第一个人有10个座位可供选择，第二个人有9个座位可供选择，以此类推，最后一个人只有6个座位可供选择。
因此，总选择数是10乘以9乘以8乘以7乘以6，即10的阶乘除以5的阶乘。
例4：组合问题假设有10个人，需要从中选择5个人组成一个小组。
根据分步乘法计数原理，第一个人有10个选择，第二个人有9个选择，以此类推，一直到第五个人有6个选择。
此外，由于选择的顺序不重要，所以需要除以被选择的五个人的排列数，即5的阶乘。
因此，总选择数是10乘以9乘以8乘以7乘以6除以5的阶乘。
以上是一些分步乘法计数原理的应用例子，它们展示了如何通过将独立步骤的选择数相乘来计算总选择数。
在实际问题中，可以根据具体的情况和要求，进行适当的变形和推广，以应用分步乘法计数原理解决更复杂的计数问题。
1.1.1分步乘法计数原理 课件(北师大版选修2-3)
.. 导. 学 固思
1.理解分步乘法计数原理. 2.能利用分步乘法计数原理分析和解决一些简单的
应用问题.
3.过程与方法:引导学生形成 “自主学习”、“合作 学习”等良好的学习方式,培养学生的归纳概括能力.
.. 导. 学 固思
某学校校长计划在下星期一到高二年级听两节课,已知 该校上午上4节课,下午上3节课,若校长的听课的时间安 排是上午听一节课,下午听一节课,那么该校长听课的时 间安排有多少种?
【解析】由分步乘法计数原理得 5×5×5×5×5×5=5 ,故 选 A.
3
6
现有高中一年级的学生 4 名,高中二年级的学生 5 名, 高中三年级的学生 3 名,要从这三个年级中各选 1 人参加夏令营 ,有 60 种不同的选法 .
【解析】完成“在三个年级中各选 1 人参加夏令 营”这件事 ,可以分三步完成:第一步,从高中一年 级的 4 名学生中任选 1 人,有 4 种不同的选法 ;第二 步 , 从高中二年级的 5 名学生中任选 1 人 ,有 5 种不 同的选法 ; 第三步,从高中三年级的 3 名学生中任选 1 人 , 有 3 种不种的选法,根据分步乘法计数原理,共 有 4×5×3=60 种不同的选法.
.. 导. 学 固思
问题1
(1)完成一件事要分两步进行,在第1步中有m种不同的方
m×n 种不同的方法.
法,在第2步中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=
(2)在情境中,该校校长的听课的时间安排总共有 12 种
排法.
问题2
分步乘法计数原理 做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不 同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事有N= m1×m2×…×mn 种
分步乘法计数原理课件
分步乘法计数原理课件分步乘法计数原理课件分数乘法是小学阶段必须学的一种算数方法。
小编为大家整理的分步乘法计数原理课件，希望大家喜欢。
分步乘法计数原理课件1教学目标1、结合具体情境探索并理解分数乘整数的意义；2、探索并掌握分数乘整数的计算方法,并能正确计算；3、能解决简单的分数乘整数的实际问题，体会数学与生活的密切联系。
教学重点：1、结合具体情境, ,探索并理解分数乘整数的意义；2、探索并掌握分数乘整数的计算方法,并能正确计算；教学难点：能正确运用“先约分再计算”的方法进行计算。
教学准备：多媒体课件。
教学过程：一、复习导入：1、说说下面乘法算式所表示的意义。
2、4×5 6×8 2×93、列式计算1）3个5相加是多少？2）10个3相加是多少？二、探索分数乘整数的意义和计算方法1、出示情境：剪一幅画要用一张彩纸的1/5，剪3幅需要多少张彩纸？2、想一想，可以跟同桌交流，也可以看一看书上是怎么解决的。
思考并尝试解决一下问题：1）3幅画需要多少张彩纸呢？是求什么呢？你是怎么理解的？2）可以怎样列算式？你会列算式吗？3）怎样算出结果？结果是多少？3、组织全班交流。
学生互相交流自己的想法，大家共同分享。
归纳：1）这个题是求3个1/5是多少。
2）可采用两种算法，教师在学生讨论的过程中，把加法的板书和乘法的板书有机的结合起来。
并让学生理解求几个相同分数的和用乘法计算比较方便。
用加法：1/5+1/5+1/5 用乘法：1/5×33）问：还有什么问题吗？4）对比两种方法，仔细观察，讨论1/5×3=3/5的计算过程，并板书。
5）总结分数乘整数的计算方法。
4、练一练：2个2/7 的和是多少？生涂一涂，算一算，说说算式表示什么师：你能用自己的`语言说一说整数乘分数的计算方法吗？（分数与整数想乘，用分数的分子和整数的乘积作分子，分母不变。
）5、探讨“先约分再计算”的方法。
出示6×5/9。
分步乘法原理
分步乘法原理分步乘法原理是指将一个复杂的乘法问题分解成若干个简单的乘法问题，然后分步求解，最终得出整个乘法的结果。
这一原理在数学中有着广泛的应用，尤其是在解决大数乘法或者多项式乘法时，能够极大地简化计算过程，提高计算效率。
在本文中，我们将详细介绍分步乘法原理的具体应用方法，帮助读者更好地理解和掌握这一数学原理。
首先，我们来看一个简单的例子，计算13乘以24。
按照分步乘法原理，我们可以将这个乘法问题分解为四个简单的乘法问题，10乘以20、10乘以4、3乘以20、3乘以4。
然后分别计算这四个乘法问题的结果，最后将它们相加，即可得到13乘以24的结果。
接下来，我们将详细介绍分步乘法原理的具体步骤。
首先，我们需要将两个乘数分解成十位数和个位数的和。
然后，我们按照分步乘法原理，分别计算十位数和个位数的乘法结果。
最后，将这些结果相加，即可得到最终的乘法结果。
在实际应用中，分步乘法原理可以帮助我们更快地计算大数的乘法。
例如，计算12345乘以6789，按照分步乘法原理，我们可以将这个乘法问题分解为四个简单的乘法问题，12000乘以6000、12000乘以700、3000乘以6000、3000乘以700。
然后分别计算这四个乘法问题的结果，最后将它们相加，即可得到12345乘以6789的结果。
此外，分步乘法原理还可以应用于多项式的乘法计算中。
例如，计算(x+2)(x+3)，按照分步乘法原理，我们可以将这个乘法问题分解为两个简单的乘法问题，x乘以x、x乘以3、2乘以x、2乘以3。
然后分别计算这四个乘法问题的结果，最后将它们相加，即可得到(x+2)(x+3)的结果。
总之，分步乘法原理是一种十分实用的数学计算方法，能够帮助我们更快地解决复杂的乘法问题。
通过将一个复杂的乘法问题分解成若干个简单的乘法问题，然后分步求解，最终得出整个乘法的结果，不仅能够简化计算过程，提高计算效率，还能够帮助我们更好地理解乘法运算的本质。
希望本文能够帮助读者更好地掌握分步乘法原理，从而在实际应用中更加灵活地运用这一数学原理。
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现有高一学生50人,高二学生42人,高三
学生30人,组成夏令营去北京.若从每个
年级各选一名负责人,共有多少种不同 的选法?
【解析】按照分步计数原理，共有50×42×30=63000 种不同的选法.
分步乘法计数原理针对的是“分步”问 题,完成一件事要分为若干步,各个步骤 相互依存,缺少其中任何一步都不能完 成这件事,只有当各个步骤都完成后,才 算完成这件事。
议一议:用分步乘法计数原理解决的问题具有怎样的 特点?
(1)完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
(2)完成每一步有若干种方法; (3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成
这件事的所有方法数.
使用分步乘法计数原理需要注意哪 些问题？
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后
顺序的.
(2)各步中的方法相互依存,缺一不可,只有各个步骤
【解析】第1类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分2步安排 这3人操作电脑,有2×2=4种方法; 第2类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人操作电
脑,有2种方法; 第3类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人操作电脑只有1种方法;
第4类,选乙、丙、丁3人,同样也只有1种方法. 根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8种选派方法.
所以不同的参赛方法有34=81(种).
(2)竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4
个不同的学生,则不同的参赛方法有43=64(种).
(3)问题等价于从4个学生中挑选3 个学生去参加三个项目的竞赛,
每人参加一项,故不同的参赛方法有4×3×2=24(种).
【例2】用0,1,…,9这10个数字,可以组成多少个: (1)三位整数? (2)无重复数字的三位整数? (3)小于500的无重复数字的三位整数?
(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选
择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有4×9×8=288个.
【例3】有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个
操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电
脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个
操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同 的选派方法有多少种?
【答案】B
3.春节期间,某单位安排甲、乙、丙三人
于正月初一至初五值班,每人至少值班一
天,且每人均不能连续值班两天,其中初
二不安排甲值班,则共有
种不同
的值班方案.
【解析】每人均不能连续值班两天,其中初二不安排甲值班的
方法数为2×2×2×2×2=32种,其中甲乙甲乙甲/甲丙甲丙甲/ 乙丙乙丙乙/丙乙丙乙丙四种情况不符合,故有32-4=28种.
裤中任选一条,有3种不同的选法.故不同的配法共有 4×3=12种.
【答案】B
2.在一次运动会上有五项比赛,每项比
赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那
么不同的夺冠情况共有(
).
A.53种 B.35种 C.15种 D.8种
【解析】因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况,
根据分步乘法计数原理,共有35种不同的夺冠情况.
1.1.2分类计数原理
与分步计数原理
用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字,以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给
教室里的座位编号，总共能编出多少个不 同的号码？
先选定一个字母，
后确定一个数字.
青岛是一座美丽的滨海城市,空气良好,城市
生活也很悠闲.海水清澈漂亮,能看到美丽的 海岸线.青岛的海鲜很便宜,海滨城市边吃海 鲜边吹海风很惬意.小辛决定“五一”期间从
【针对训练1】一种号码有4个拨号 盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的 号码(各位上的数字允许重复)?
【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:
第一步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第二步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第三步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第四步,有10种拨号方式,所以m4=10.
都完成才算完成这件事. (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜
色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一
套,则不同的配法有( ). A.7种 B.12种 C.64种 D.81种
【解析】要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件中 任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长
根据分步乘法计数原理,共可以组成
N=10×10×10×10=10000个四位数的号码.
注意： 完成这件事分为若干步骤，每一步不能独立完成这件事， 只能得到中间结果，只有每一步都完成才能完成整件事. 即步步为营；
推广：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有 m2种不同的方法……，做第n步有m n种不 同的方法.那么完成这件事共有
N m1 m2 L mn
【解析】由于0不可在最高位,因此应对它进行单独考虑. (1)百位数字有9种选择,十位数字和个位数字都各有10种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×10×10=900个.
(2)由于数字不可重复,因此百位数字有9种选择,十位数字也有9种
选择,个位数字有8种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×9×8=648个.
【答案】28
【例1】小明、小丽、小辛、小红四位同学参与三项竞赛
项目.
(1)若每位学生必须参加一项竞赛,则不同的参赛方法有 多少种? (2)若每项竞赛只允许一位学生参加,则不同的参赛方法 有多少种? (3)若每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只允许一位 学生参加,则不同的参赛方法有多少种?
【解析】(1)学生可以选择竞赛项目,而竞赛项目对学生无条件限制,
枣庄坐火车到济南办事,再于次日从济南乘汽
车到青岛旅游,一天中火车有3班,汽车有2班.
他将如何安排行程?
【解析】因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以从枣庄到 青岛需乘1次火车再接着乘1次汽车就可以了,共有3×2=6种不同 走法,如图.
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同 的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事 共有N= m× n种不同的方法。