离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时

2.1.1离散型随机变量

教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量．

2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想

描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识．

3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识

数学的科学价值和应用价值．

教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究．

教学方法：启发讲授式与问题探究式．

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境，引出随机变量

提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？

启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系．

在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果．

再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？

让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分

投进一个球——— 1分

投进两个球——— 2分

投进三个球——— 3分

得分结果可以用数字0、1、2、3表示．

二、探究发现

1、随机变量

问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？

引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量．

问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？

引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示．

问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？

引导学生回顾函数的理解：

函数

实数实数

在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：

随机试验的结果 实数

师生讨论交流归纳出结论：随机变量和函数都是一种映射，函数把实数映为实数，随机变量把随机试验的结果映为实数，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．

我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．

因此掷一枚硬币的试验中，随机变量的值域可以为{0，1}或{1，2}

2、 离散型随机变量

问题2.1：用随机变量表示下列试验，写出它们的值域：

（1） 据统计资料显示，某城市的最大日降雨量是150毫升/平方米，该城市的日降雨

量ξ是随机变量．

（2） 在100张体育彩票中，有5张三等奖，现从中任取10张，抽得三等奖的张数η

是随机变量．

解答：（1）{}1500≤≤ξξ；（2）{}5,4,3,2,1,0

问题2.2：从连续性的角度看上述两个问题中的值域有什么不同？

让学生思考得出结论：有的随机变量的取值可以一一列出，但有的却不能．

教师引导学生归纳出离散型随机变量的概念：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

问题2.3：区分下列随机试验中的随机变量哪些是离散型随机变量？哪些不是？

（1） 电话用户在某一段时间内对电话站的呼唤次数；

（2） 射击时击中点与目标中心的偏差；

（3） 某网页在24小时内被浏览的次数；

（4） 电灯泡的寿命．

再让学生自己举出一些离散型随机变量的例子，加深对概念的理解．

三、 随机变量在实际问题中的应用

1、 用随机变量表示随机事件

问题：写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随

机试验的结果．

（1） 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X 是随

机变量．

（2） 一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ

是一个随机变量．

解答：（1）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3，4．

{}0=X ，表示抽出0件次品；

{}1=X ，表示抽出1件次品；

{}2=X ，表示抽出2件次品；

{}3=X ，表示抽出3件次品；

（2）随机变量ξ可能的取值为：0，1，2，3．

{}0=ξ，表示取出0个白球3个黑球；

{}1=ξ，表示取出1个白球2个黑球；

{}2=ξ，表示取出2个白球1个黑球；

随机变量

{}3=ξ，表示取出3个白球0个黑球；

问题：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差

为ξ，试问：{}4>ξ表示的试验结果是什么？

答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“{}4>ξ”表示第一枚为6点，第二枚为1点．

让学生进一步了解随机变量的作用，以及用随机变量表示随机试验的方法．

2、 定义随机变量的原则

问题： 如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品；寿命在1000小时到1500小时之间的为二等品；寿命为1000小时以下的为不合格．

（1）如果我们关心灯泡是否为合格品，应该如何定义随机变量？

（2）如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，应该如何定义随机量？

（3）如果我们关心灯泡的使用寿命，应该如何定义随机变量？

让学生思考，教师引导得出答案：

（1）随机变量⎩

⎨⎧=否则灯泡为不合格品.1.0X ； （2）随机变量⎪⎩

⎪⎨⎧=否则灯泡为二等品灯泡为一等品.3.2.1Y ；

（3）定义随机变量Z 为灯泡的使用寿命．

问题：定义随机变量的规律是什么?

引导学生体会根据实际问题定义随机变量的一般原则，让学生讨论并归纳出：

所定义的随机变量值应该有实际意义，所定义的随机变量取值应该和所感兴趣的结果个数形成一对一的关系．

四、 课堂小结

（1）随机变过量的定义，离散型随机变过量的定义；

（2）定义随机变量的原则：所定义的随机变量值应该有实际意义，所定义的随机变量取值应该和所感兴趣的结果个数形成一对一的关系．

五、 布置作业

课本:习题2．1 A 组1、2、3

思考题：某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车

费．若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量．

(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因

故停车累计最多几分钟?

参考答案：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2

(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．