专题7.1 平面向量初步(精讲精析篇)(解析版)

专题7.1平面向量初步（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】（2020·全国课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．若a b =，则a b =或a b =-B ．若a 、b 为相反向量，则0a b +=C ．零向量是没有方向的向量D ．若a 、b 是两个单位向量，则a b = 【答案】B【解析】对选项A ，若a b =，只能表示a 和b 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A 错； 对选项B ，若a 、b 为相反向量，则它们的和为零向量，故B 对；对选项C ，零向量的方向是任意的，故C 错；对选项D ，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，故D 错．故选：B【典例2】（2020·全国课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，且=AB CD ，但AB CD ≠，故③错； a b ≠，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选：B ．【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量． (5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 热门考点02 平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【典例3】（2018年理新课标I 卷）在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A.B. C. D.【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得， 所以，故选A.【典例4】（2019·山东高考模拟（文））在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】 由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=. 故选：B【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 热门考点03 共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .2.平面向量共线定理的三个应用【典例5】（2020·广西河池·期末）已知P 是ABC 所在平面内一点，若CB PB PA CP λλ+=+，其中R λ∈，则点P 一定在（ ）A ．AC 边所在直线上B ．AB 边所在直线上C ．BC 边所在直线上D ．ABC 的内部【答案】B【解析】因为CB PB PA CP λλ+=+，所以()CB CP PA PB λ-=-，所以PB BA λ=，所以点P 在AB 边所在直线上．故选：B【典例6】（2019·上海市新川中学高二月考）正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP mAB nAF =+，(,)m n R ∈，则m n +的取值范围是______【答案】[]3,4【解析】如图所示，连接AD 交CE 于点M ，由正六边形的性质可得点M 为CE 的中点．①AD AB BC CD ，CD AF =，12BC AD =，∴12AD AB AD AF =++，化为22AD AB AF =+， 与向量(AP mAB nAF m =+，n 为实数）比较可得：4m n +=．②AM AB BC CM AF FE EM =++=++，又BC FE =，0CM EM +=．∴22AM AB AF BC =++，又23BC AM =， ∴23AM AB AF =+，即3322AM AB AF =+，∴此时3m n +=．③当点P 位于线段CE 上时，记作Q ，则()AQ AP AM MP AM EC AM FB AM AB AF λλλ==+=+=+=+-，此时3m n +=． ④当点P 不在线段CE 上时，4(1)(11)3AP AQ QP AQ AQ AQ λλλ=+=+=++>． 3(1)()4m n λ∴<++． 综上可得：34m n +．即[]3,4m n +∈故答案为：[]3,4【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )． 热门考点04 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122a e e λλ=+.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例7】（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221λμ++ 的 取值范围为__________．【答案】()1,+∞【解析】因为点E 在射线AD （不含点A ）上，设,0AE k AD k =<，又34BD BC =，所以()()33444k k AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦， 所以4{ 34k k λμ== ， ()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()221λμ++的取值范围()1,+∞.【典例8】（2020·河南开封·高一期末）如图所示，OBC 中，点A 为BC 中点，点D 是线段OB 上靠近点B的一个三等分点，CD ，OA 相交于点E ，设OA a =，OB b =．（1）用a ，b 表示OC ，DC ；（2）若OE OA λ=，求λ．【答案】（1）2OC a b =-，523DC a b =-．（2）45λ=【解析】（1）∵2OC OB OA +=，∴22OC OA OB a b =-=-， 252233DC OC OD a b b a b =-=--=-． （2）∵(2)(2)CE OE OC a a b a b λλ=-=--=-+，又由E 在CD 上，CE 与DC 共线，∴存在实数μ，使CE DC μ=． 即5(2)23a b a b λμ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 解方程组，得45λ=． 【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 热门考点05 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若1122()()a x y b x y ==，，，，则1212()a b x x y y ±=±±，；(2)若()a x y ＝，，则()a x y λλλ＝，．(3)设1122()()A x y B x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－，|A B |【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ）A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ，故选A【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 热门考点06 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．【典例10】（陕西高考真题（文））已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ）A. C. D.0【答案】C【解析】.【典例11】（2018·南汇县大团中学高一期中）若()3,4a =-，则与a 同方向的单位向量0a =____________ 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】与a 同方向的单位向量0134(3,4)(,)555a a a ==-=- 故答案为：3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，【典例12】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2，AD ＝2×tan30°＝263，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF 26sin45°＝2623323=，所以D （233-23）， AC ＝（2,2），AD ＝（2323），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（233 -，233）+μ（2,1），所以，2322232λμλμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ的值为43故答案为：43【总结提升】主要命题角度有两个，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是利用向量共线求参数，总体难度不大.巩固提升1．（2020·威海市教育教学研究中心期末）已知向量(1,2),(2,)a b m=-=，且//a b，则m=（）A．1B．1-C．4D．4-【答案】D【解析】∵向量(1,2)a=-，(2,)b m=，且//a b，∴1220m-⨯-⨯=，解得：4m=-，故选：D.2．（2020·临猗县临晋中学高一月考）已知在ABC中，2CD BD=-，且(),AD xAB yAC x y R=+∈，则x y-的值为（）A．12B．12-C．13D．13-【答案】C【解析】因为在ABC 中，2CD BD =-， 所以()2AD AC AD AB -=--， 整理得：32AD AC AB =+，即2133AD AB AC =+， 又(),AD xAB yAC x y R =+∈，所以23x =，13y =，因此13x y -=. 故选：C.3．（2020·山西运城·月考）如图，在ABC 中，32AC AD =，3PD BP =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．89B ．34C ．1112D ．79【答案】C 【解析】由图可得1131()4444AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+3123144346AB AC AB AC =+⨯=+， 所以34λ=，16μ=， 则31114612λμ+=+=， 故选：C ．4．（2020·株洲市九方中学月考）在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且满足13BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM mAB =，AN nAC =，则( ) A ．3n m +是定值，定值为4B ．2n m +是定值，定值为3C ．31m n+是定值，定值为4 D．21m n+是定值，定值为3【答案】C【解析】因为13BD DC=，所以1133AD AB AC AD-=-，即3144AD AB AC=+，依题意设MD tDN=，则AD AM t AN t AD-=-，则111tAD AM ANt t=+++，又AM mAB=，AN nAC=，所以11m tnAD AB ACt t=+++，根据平面向量基本定理可得314114mttnt⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去t可得34m n mn+=，即134n m+=.故选：C5．（2020·山东菏泽·高一期中）【多选题】在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（）A．,AB CD=BC AD=B．AD OD AO+=C．AO OD AC CD+=+D．AB BC CD DA++=【答案】ABD【解析】对于A：在四边形ABCD中，AB DC=，故A错误；对于B：AO OD AD+=，故B错误；对于C：AO OD AD+=，AC CD AD+=，故C正确；对于D：AB BC CD AD++=，故D错误.故选：ABD.6．（2020·三亚华侨学校月考）【多选题】如图所示，在ABC中，D是AB的中点，下列关于向量CD表示不正确的是（）A．CD CA DB=+B．CD BC DA=+C．12CD AB AC=+D．1122CD CA CB=+【答案】BC【解析】对于A，因为D是AB的中点，所以AD DB=，因为CD CA AD=+，所以CD CA DB=+，所以A正确；对于B，由三角形法则得，CD CB BD CB DA BC DA=+=+=-+，所以B不正确；对于C，12CD CA AD AB AC=+=-，所以C 不正确；对于D，因为D是AB的中点，所以1122CD CA CB=+，所以D正确，故选：BC7．（2020·山东济南·高一期末）【多选题】已知M为ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（）A．1122AD AB AC=+B．0MA MB MC++=C．2133BM BA BD=+D．1233CM CA CD=+【答案】ABD【解析】如图，根据题意得M为AD三等分点靠近D点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC=+，故A正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确.故选：ABD8．（2020·全国高二）对下列命题：（1）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；（2）若向量||||a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量||||a b =，若a 与b 的方向相同，则a b =；（4）由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；（5）向量a 与b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________ 【答案】1 【解析】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；（2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误； （3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确； （4）0与任意向量平行，故（4）错误；（5）若a 与b 有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误. 故正确的命题个数为1. 故答案为：1.9．（2020·杭州市西湖高级中学高一月考）在ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD OA λ+=，则实数λ=_______.若13BE BD =，且AE AB AD λμ=+，则λ=__________ 【答案】-2 23【解析】2AB AD AC OA +==-，故2λ=-；()11213333AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+，故23λ=.故答案为：2-；23. 10．（2020·河南濮阳·高一期末（文））已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，AP AB AC =-，O 为坐标原点，则AP =______，OP 与OA 夹角的取值范围是______． 【答案】1 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可得()1,0AB AC CB -==-， 所以1AP AB AC CB =-==；则点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，如图：由图可知，当OP 与OA 夹角最小值为0，当直线OP 与圆A 相切时，OP 与OA 夹角取最大值，连接AP ，易得POA ∠为锐角且1sin 2AP POA OA ∠==， 所以6POA π∠=，所以此时OP 与OA 夹角的取值范围是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.11.（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学开学考试）平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a mb nc =+的实数m ，n ； (2)若()//(2)a kc b a +-，求实数k ；【答案】（1）58,99m n ==； （2）1613-.【解析】(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；(2)∵a＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝1613-. 12．（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD 为正方形，3BP CP =，AP 与CD 交于点E ，若PE mPC nPD =+，计算m n -. 【答案】13. 【解析】由题作图如图所示，∵3BP CP =，∴3BP CP =，∴3AB CE CD ==， ∴()11213333PE PC CE PC CD PC PD PC PC PD =+=+=+-=+， ∴211333m n -=-=. 故答案为：13.13．（2020·辽宁大连·高一期末）如图，平行四边形ABCD 中，已知2AE EB =，3BF FC =，设AB a =，AD b =，（1）用向量a 和b 表示向量DE ，AF ；（2）若DO xDE =，AO y AF =，求实数x 和y 的值.【答案】（1）23DE a b =-；34AF a b =+；（2）2349x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】（1）2233DE AE AD AB AD a b =-=-=- 3344AF AB BF AB BC a b =+=+=+（2）因为3243AD AO OD AO DO y AF xDE y a b x a b ⎛⎫⎛⎫=+=-=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2334y x a y x b b ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即231034y x a y x b ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为a与b不共线，从而23310 4y xy x⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得2349xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩14．（2020·朝阳·北京八十中高一期中）如图，在ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC分别交于点R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的大小关系吗？用向量方法证明你的结论.【答案】13AR RT CT AC===；证明见解析.【解析】因为平行四边形ABCD，所以设()2AR AC AB AD AE ABλλλλ==+=+，又因为B，R，E三点共线，所以21λλ+=，所以13λ=，∴13AR AC=.设()2CT CA CB CD CF CBμλμμ==+=+，又因为B，T，F三点共线，所以21μμ+=，所以13μ=，∴13CT CA=，所以13AR RT CT AC===.15．（2020·全国）如图，已知ABC∆中，D为BC的中点，12AE EC=，AD BE，交于点F，设AC a=，AD b=．（1）用,a b分别表示向量AB，EB；（2）若AF t AD=，求实数t的值．【答案】（1）2AB b a=-，423EB a b-+=；（2）12t=．【解析】（1）由题意，D为BC的中点，12AE EC=，可得13AE AC=，AC a=，AD b=．∵2AB AC AD+=，∴2AB b a=-，∴–EB AB AE=123b a a=--423a b=-+（2）∵ADA tbF t==，∴–FB AB AF=()2a t b=-+-∵423EB a b-+=，FB，EB共线，由平面向量共线基本定理可知满足12423t--=-，解得12t=．16.．（2020·全国高二）如图所示，在ABO∆中，14OC OA=，12OD OB=，AD与BC相交于点M，设OA a=，OB b=.（1）试用向量a，b表示OM；（2）过点M 作直线EF ，分别交线段AC ，BD 于点E ，F .记OE a λ=，OF b μ=，求证：13λμ+为定值.【答案】(1) 1377OM a b =+. (2)证明见解析. 【解析】分析：（1）由A ，M ，D 三点共线，设(1)OM mOA m OD =+-，由B ，M ，C 三点共线，可设(1)OM nOC n OB =+-，列出方程组，即可求解,m n 的值，得到结论；（2）由E ，M ，F 三点共线，设(1)OM kOE k OF =+-(1)k a k b λμ=+-，由（1）可求得17k λ=，377k μ=-，即可得到13λμ+为定值.详解：（1）由A ，M ，D 三点共线，可设()1OM mOA m OD =+- 12mma b -=+， 由B ，M ，C 三点共线，可设()1OM nOC n OB =+- ()14na nb =+-， ∴14112m n m n⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得17m =，47n =，∴1377OM a b =+. （2）∵E ，M ，F 三点共线，设()1OM kOE k OF =+- ()1k a k b λμ=+-， 由（1）知17k λ=，()317k μ-=，∴17k λ=，377k μ=-， ∴137λμ+=为定值.。