平面向量知识点归纳
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
平面向量知识点
平面向量知识点
1. 坐标表示：平面向量可以由一个有序数对来表示，分别表示向量在x和y方向上的分量。
2. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A+B)+C = A+(B+C)。
3. 向量减法：向量减法A - B 可以看作是A + (-B)。
4. 向量数乘：将向量乘以一个标量k，相当于将向量的大小缩放k 倍且不改变方向。
5. 向量的模长：向量的模长表示向量的大小，用勾股定理求得，A =√
(x^2+y^2)。
6. 向量的单位向量：向量A 的单位向量是A/ A ，即大小为1，方向与A 相同的向量。
7. 向量的夹角：向量A 和向量B 的夹角可以利用内积求得，θ= cos⁻¹(A·B/ A
B )。
8. 内积：向量A 和B 的内积A·B = x₁x₂+ y₁y₂，可以用来判断两个向量是
否垂直、平行，以及求解向量的投影等。
9. 外积：向量A 和B 的外积A×B 表示一个新的向量，其大小为 A B sin θ，方向垂直于A 和B 所在的平面，且符合右手定则。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么?提示：向量可以平移。
举例 1 已知,,则把向量按向量平移后得到的向量是_____。
结果：2.零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：，规定：零向量的方向是任意的;3。
单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是)；4。
相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5。
平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作:∥，规定：零向量和任何向量平行。
注：①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性!(因为有）；④三点共线共线.6。
相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量记作。
举例2 如下列命题：（1）若，则。
(2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
(3)若,则是平行四边形。
(4)若是平行四边形，则。
（5）若，，则.（6）若,则.其中正确的是。
结果:（4）(5）二、向量的表示方法1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前，终点在后；2。
符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3。
坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底,则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标,叫做向量的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三、平面向量的基本定理定理设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使。
（1）定理核心：;（2)从左向右看,是对向量的分解，且表达式唯一；反之,是对向量的合成。
(3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解．举例3 （1）若，，，则。
平面向量知识点归纳
平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳在代数学和几何学中，平面向量是一种常用的数学工具，用来描述平面上的长度和方向。
平面向量具有许多重要的性质和运算规律，对于解决各种几何问题和物理问题非常有帮助。
本文将对平面向量的相关知识点进行归纳和总结。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数或复数构成的有序对(a, b)，通常用字母小写的粗体字母表示，如：→a。
其中，a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以使用坐标表示法或分量表示法。
坐标表示法将向量表示为一个有向线段，起点为原点，终点为向量的坐标。
分量表示法将向量表示为两个实数或复数，分别表示向量在x轴方向和y轴方向上的分量。
三、平面向量的运算1. 加法：向量之间的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，向量→a=(a1, a2)，向量→b=(b1, b2)，它们的和向量→c=(a1+b1, a2+b2)。
2. 数乘：向量与一个实数或复数相乘，可以理解为将向量的每个分量都乘以这个数。
例如，向量→a=(a1, a2)，实数k，则k×→a=(ka1, ka2)。
3. 减法：向量减法可以通过向量加法和数乘运算来定义。
向量→a减去向量→b等于向量→a加上向量→b的负向量。
即→a-→b=→a+(-→b)。
4. 数量积/点积：向量→a和→b的数量积/点积（也称为内积）表示为→a·→b，等于它们对应分量的乘积之和，即→a·→b=a1b1+a2b2。
5. 向量积/叉积：向量→a和→b的向量积/叉积（也称为外积）表示为→a×→b，等于一个新的向量，该向量垂直于→a和→b所确定的平面，并且其大小等于以→a和→b为两条边所构成的平行四边形的面积。
四、平面向量的性质和定理1. 零向量：零向量是长度为零的向量，表示为→0=(0, 0)。
它与任何向量的数量积都为零。
2. 平行向量：两个向量的方向相同或相异，它们就是平行的。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
平面向量知识点归纳总结图
平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。
平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。
1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。
1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。
二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。
三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。
4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。
(2) 垂直若，则它们垂直。
4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。
五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。
5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。
（2）判断垂直若，则垂直。
（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。
六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。
高中数学平面向量知识点归纳
高中数学平面向量知识点归纳1、向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向。
有向线段的三要素是起点、方向和长度。
零向量是长度为0的向量，单位向量是长度为1的向量。
平行向量是方向相同或相反的非零向量，零向量与任何向量平行，相等向量是长度相等且方向相同的向量。
2、向量加法有三种运算法则：三角形法则，平行四边形法则和三角形不等式。
三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。
三角形不等式是a-b≤a+b≤a+b。
向量加法的运算性质包括交换律、结合律和a+0=a。
坐标运算中，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。
3、向量减法有两种运算法则：三角形法则和坐标运算。
三角形法则的特点是共起点，连终点，方向指向被减向量。
坐标运算中，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
设A和B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则AB=(x1-x2,y1-y2)。
4、向量数乘是实数与向量的积，记作λa。
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.向量数乘的运算律包括分配律、结合律和数乘1的性质。
坐标运算中，设a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
5、向量共线定理：向量a和b不共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa。
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且b≠0，则当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a和b共线。
6、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底。
7、分点坐标公式：设点R是线段R1R2上的一点，R1、R2的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)，则R的坐标为[(x2-x1)×(R-R1)的长度/R1R2的长度 + x1.(y2-y1)×(R- R1)的长度/R1R2的长度 + y1]。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量知识点归纳
向量板块公式1.向量的基本概念(1)向量:有大小,有方向的量. (2)向量是可以任意平移的. (3)向量的表示:①小写字母法(印刷体:a ;手写体a ) ②有向线段法:AB (终点指向起点) (4)向量的大小:即为向量的长度,常叫向量的模.记为||a 或||(5)向量的角:两向量起点相同,两向量a 与b 所形成的夹角,记为><b a ,.向量的角的取值范围为]180,0[︒︒,当︒>=<0,b a 时,两个向量方向一致,当︒>=<180,b a 时,两个向量的方向相反,当︒>=<90,b a 时,两个向量垂直.(6)单位向量:长度为1的向量.即1||=a ,则a 为单位向量.(7)零向量:长度为0的向量.即0||=a ,则a 为零向量.(规定零向量的方向任意的) (8)共线向量:共线向量也角平行向量,即方向相同或相反的向量.(规定:零向量与任意向量平行)(9)相等向量:大小相等方向相同的两个向量. (10)反向量:大小相等方向相反的两个向量.2.向量的坐标: 若),(),,(2211y x B y x A ,则),(1212y y x x --=3.向量的运算 =a ),(11y x ,=b ),(22y x (1)向量加向量 b a + (结果为向量)①几何法: 三角形法则:首尾顺次向量,和向量为最初起点指向最后终点. 平行四边形法则:起点相同,和向量为两向量所夹的一条对角线. ②坐标法:=+b a ),(2121y y x x ++ (2)向量减向量 b a - (结果为向量)①几何法:加上反向量(或者加法的逆运算) ②坐标法:=-b a ),(2121y y x x -- (3)实数乘向量a λ(结果为向量):①几何法:||||||a a λλ=,0>λ,与a 同向,0<λ,与a 同向,0=λ,方向任意.②坐标法:=a λ),(11y x λλ (4)向量乘向量 b a ⋅ (结果为实数)①几何法: ||||b a b a =⋅cos ><b a , ②坐标法: =⋅b a 2121y y x x + 4.实数与向量的转化:22||a a =5.向量的模 (1)几何法:2||a a = (2)坐标法:=||a 2121y x +6.向量的夹角余弦:cos ||||,b a ba b a ⋅>=<222221212121y x y x y y x x +++=7.向量的投影:向量a 在向量b 上的投影x : (1)几何法:x ||,cos ||b ba b a a ⋅>=<= (2)坐标法: x =⋅=||b b a 22222121y x y y x x ++8.向量的平行: (1)几何法: b a b a //⇒=λ (2)坐标法:⇒=2121y yx x b a // 9.向量垂直 (1)几何: b a b a ⊥⇒=⋅0 (2)坐标:02121=+y y x x b a ⊥⇒ 10.平面向量基本定理: (1)基底:两个不共线的非零向量21,e e ;(2)基本定理:对于平面内的一组基底21,e e ,对于平面内的任意一个向量p ,存在唯一一组实数21,λλ,使得2211e e p λλ+=11.在三角形中或在平行四边形中的做题技巧:坐标化,特殊化(1)若直接或者间接告诉直角,则在直角处建立坐标系,通过坐标法完成;(2)若对于任意三角形(没有直接或间接提供直角),则将某个角特殊为直角,建系找点,通过坐标法找到结果,然后逐个验证选项的正确性;若对于任意平行四边形,则将四边形变为矩形,建系找点,通过坐标法找到结果,然后逐个验证选项的正确性. 12.常用的结论:(1)=,则M 为AB 中点; (2)2=,则M 为AB 三等分点.。
高二数学平面向量知识点
高二数学平面向量知识点一、向量的表示与运算平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量AB的起点为A，终点为B。
向量的表示可以用坐标形式，也可以用向量符号表示。
1. 向量的坐标表示：设向量AB的起点为A(x₁, y₁)，终点为B(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
2. 向量的向量符号表示：设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的向量符号表示为→AB。
3. 向量的加法与减法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点连接起来，然后连接两个向量的终点，所得向量为其和向量。
向量的减法即为加法的逆运算。
二、向量的数量运算向量的数量运算包括向量的数乘和向量的数量积。
1. 向量的数乘：向量的数乘即将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数的乘积，方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
若向量a = (x, y)，实数k，则向量ka = (kx, ky)。
2. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设向量a = (x₁, y₁)，向量b = (x₂, y₂)，则向量a与b的数量积为a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
数量积的性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb) （k为实数）- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c三、向量的模与单位向量向量的模即为向量的大小，用符号|a|表示。
设向量a = (x, y)，则向量a的模为|a| = √(x² + y²)。
单位向量是模等于1的向量。
设向量a = (x, y)，则向量a的单位向量为a/|a| = (x/|a|, y/|a|)。
四、向量的夹角设向量a与向量b的夹角为θ，则有以下公式成立：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)- 若cosθ = 0，则称向量a与向量b垂直。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
物理学中又叫做矢量。
2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a、b、c 等来表示向量，手写时可写成带箭头的小写字母。
3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作或。
4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的。
5、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量就是与的和。
（3）运算性质：交换律；结合律。
2、向量的减法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 O，作，，则向量叫做与的差，记作，即。
（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。
3、向量的数乘（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。
（2）运算律：结合律；分配律，。
三、平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。
2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。
向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。
平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。
一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。
平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。
二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。
记作→AB+→BC=→AC。
向量加法满足交换律、结合律、分配律。
2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。
记作→AB-→AC=→CB。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。
记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。
记作→a×→b，其中a、b是两个向量。
五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。
2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。
3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。
六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。
投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。
记作pr→a。
2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。
单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。
平面向量知识点归纳
第一章 平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．2.2平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作baC BAa b C C-=A -AB =B为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =.（6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c = . 结果：1322a b -. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e =D.1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则A B B C ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠； （2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b A B B C A C +=+=；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为 .结果：120.2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--. 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1). （2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ . 结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+；④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系 （1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； （2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13M P M N =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a =. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x xh y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=. 说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数s i n 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+； （3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||ABAC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得P A P B P C αβ=+且1αβ+=． 举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
平面向量知识点整理
平面向量知识点整理平面向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面是关于平面向量的知识点整理。
一、平面向量的定义和表示平面向量是指在平面上一个具有大小和方向的量。
平面向量可以表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量通常表示为有序对(a,b)，其中a和b是实数。
二、平面向量的运算1.加法：平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。
加法运算满足交换律和结合律。
2.数乘：将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量，标量可以是实数。
数乘的结果是将向量的大小和方向进行相应的调整。
3.减法：将一个向量减去另一个向量等于将第二个向量取相反数后与第一个向量相加。
减法运算可以转化为加法运算。
三、平面向量的性质1.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向量的大小可以不同。
2.零向量：大小为零的向量称为零向量，用0表示。
任何向量与零向量相加的结果仍为原向量本身。
3.负向量：一个向量的大小和方向相同但方向相反的向量称为它的负向量。
4.共线向量：两个或更多个向量都平行于同一条直线时，它们是共线向量。
5.非共线向量：不在同一直线上的向量是非共线向量。
6. 数量积：两个非零向量a和b的数量积（也称为点积或内积）是一个标量，定义为a·b= ，a，，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
7. 向量积：两个非零向量a和b的向量积（也称为叉积或外积）是一个向量，定义为 a × b = ，a，，b，sinθ n，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n为一个与a和b都垂直的单位向量。
8.向量共线条件：两个向量共线的充要条件是它们的向量积等于零向量。
四、平面向量的应用1.几何问题：平面向量可以用于解决距离、角度等几何问题，如计算点的坐标、计算直线的夹角等。
2.物理问题：平面向量常用于物理学中的力学问题，如计算物体的合力、分解力等。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
平面向量知识点归纳
平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||ABAB ±）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b = ，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB D C =，则ABCD 是平行四边形.（4）若ABCD 是平行四边形，则AB D C =.（5）若a b = ，b c = ，则a c =.（6）若//a b ，//b c则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j为基底，则平面内的任一向量a可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)xy 为向量a 的坐标，(,)a x y = 叫做向量a的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+ .（1）定理核心：1122a λe λe =+ ；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+ 为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a = ，(1,1)b =- ，(1,2)c =- ，则c =. 结果：1322a b -.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e = ，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =- ，2(5,7)e = C.1(3,5)e = ，2(6,10)e = D.1(2,3)e =- ，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,A D B E分别是ABC△的边BC，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC可用向量,a b表示为 . 结果：2433a b + . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB = ，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；平面向量基础知识复习（2）方向：当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反，当0λ=时，0a λ= ，注意：0a λ≠. 五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a，b的夹角.当0θ=时，a，b同向；当θπ=时，a，b反向；当2πθ=时，a，b垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB = ，||4AC = ，||5BC = ，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-. （2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c a kb =+ ，d a b =- ，c 与d的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a = ，||5b = ，3a b ⋅=-，则||a b += ____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a上的投影：||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a = ，||5b =，且12a b ⋅= ，则向量a 在向量b上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的模||a与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅ ，特别地，22||||a a a a a =⋅=⇔ ；||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅ ，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅> ，且a、b 不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅< ，且a、b 不反向；0a b ⋅< 是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF F Q ⋅= ，若12S <，则OF ，FQ夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足|||ka b a kb +-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a与b的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ= .六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.平面向量基础知识复习运算形式：若AB a = ，BC b = ，则向量AC 叫做a 与b的和，即a b AB BC AC +=+= ；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a = ，AC b = ，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --=；③()()AB C D A C B D ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a = ，BC b = ，AC c = ，则||a b c ++=.结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120 .2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y = ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =- ，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 .结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==. （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)A B x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13A CA B =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-.（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x = ，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-.（1）若3x π=，求向量a、c的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a bλ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150 ；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||a a x y a ==+⇔举例11 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|3|a b +=＝ .（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e分别为与x 轴、y 位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ= ，a b b a ⋅=⋅ ；平面向量基础知识复习2.结合律：()a b c a b c ++=++ ，()a b c a b c --=-+ ，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+ ，()a b a b λλλ+=+ ，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅= ，则a = 或b = ；⑤若a b c b⋅=⋅ 则a c= ；⑥22||a a = ；⑦2a b b a a⋅= ；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-= .举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a = ，(4,)b x = ，2u a b =+ ，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k = ，(4,5)PB = ，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b = 向量n m ⊥ ，且||||n m =，则m = 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； （2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB所成的比为34，则A 分BP所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩.平面向量基础知识复习特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M，且2AM MB = ，则a =. 结果：２或4-.十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k = 平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k = 平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-.十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ⇔-=+； （3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔ 为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ 为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+ ，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MPMP +⇔=.平面向量基础知识复习7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
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a
b
a b C C
⑵坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2,为 x1, y1 ， x2, y2 ，则 x1 x2, y1 y2 ．
19、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①建立适当的坐标系．
②设平面 的法向量为 n (x, y, z) ．
③求出平面内两个不共线向量的坐标 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3) ．
④根据法向量定义建立方程组
n
a
0
.
n b 0
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量.
（如图）
4
1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行
⑷坐标运算：设两个非零向量 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1x2 y1y2 ．
3
若 a x, y ，则 a 2 x2 y2 ，或 a x2 y2 ． 设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，
则 a b x1x2 y1y2 0 ．
x1,
y1
， x2,
y2
，当
1
2
时，点
的坐标是
x1 x2 1
,
y1 y2 1
．（当
1时，就为中点公式。）
2.3 平面向量的数量积
23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。）：
⑴ a b a b cos a 0,b 0,0 180 ．零向量与任一向量的数量积为 0 ．
即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平 面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行
若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ∥ ，只需证 u ∥ v ，即证 u v .
即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l1 l2 ，只需证明 a b ，即 ab 0 .
设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l1 ∥ l2 ，只需证明 a ∥ b ，即 a kb(k R) .
即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行
①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是 u ，则要证明 l ∥ ，只需证明 a u ，即 a u 0 .
21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使
a 1e1 2e2 ．（不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点 是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是
① a a ；
②当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相
反；当 0 时， a 0 ．
⑵运算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ．
⑶坐标运算：设 a x, y ，则 a x, y x, y ．
2
20、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使
b a ．
设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，其中 b 0 ，则当且仅当 x1 y2 x2 y1 0 时，向量
a 、 b b 0 共线．
2.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若 A、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与 AB 平 行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量 n 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作
n ，如果 n ，那么向量 n 叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量，则① a b a b 0 ．②当 a 与 b 同向时， a b a b ；当 a 与 b 反向时， a b a b ； a a a2 a 2 或 a a a ．③
ab a b ．
⑶运算律：① a b b a ；② ab a b a b ；③ a b c a c b c ．
平面向量知识点归纳
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第一章 平面向量
2.1 向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平 行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：
a b ab a b ．
⑷运算性质：①交换律：
ab b a； C
②结合律： a b c a b c ；③ a 0 0 a a ．
⑸坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1 x2, y1 y2 ．
18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
设 a 、 b 都是非零向量， a x1, y1 ， b x2, y2 ， 是 a 与 b 的夹角，则
cos a b x1x2 y1y2 ．
ab
x12 y12 x22 y22
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几
何中证明，求值的应用进行总结归纳.