等边三角形的判定和性质习题及答案

等边三角形的判定和性质

(参考用时:30分钟)

1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )

(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个

2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )

(A)4 (B)6 (C)4(D)8

第2题图

3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.

第3题图

4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且

PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .

第4题图

5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.

第5题图

6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.

证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,

AB=AC,

所以∠BAE=∠ACD=120°.

因为AE=CD,

所以△ABE≌△CAD.

所以AD=BE.

7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.

证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.

在△MDF与△CEF中,

因为∠MFD=∠CFE,

FD=FE,∠MDF=∠E,

所以△MDF≌△CEF,

所以DM=CE.

因为△ABC为等边三角形,

所以∠A=∠B=60°.

因为DM∥BE,

所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,

所以△ADM为等边三角形,

所以DM=AD,

所以AD=CE.

8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.

证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直

线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.

9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.

解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.

因为∠ACB=90°,DE⊥AB,

所以∠ACD=∠AED.

在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,

∠EAD=∠CAD,AD=AD,

所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.

因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,

所以△ACE是等边三角形,

所以CE=AC=3.

10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠

ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.

(1)求证:△ADE≌△CDB;

(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.

(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,

所以BC=AB,E为AB边的中点,

所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.

因为△DEB是等边三角形,

所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.

所以∠DEA=∠DBC=120°,

所以△ADE≌△CDB.

(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H

即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.

所以∠BEB′=90°.

所以BH+EH的最小值为

EB′==3.