最新人教版高中数学必修5第一章应用举例
高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
,
,
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,
最新人教版高中数学必修5第一章《应用举例(二)》自我检测
自我检测 基础达标 一、选择题1.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A.3400米 B.33400米 C.2003米 D.200米 解析:如图所示,设塔高为x m.由已知条件得BC=23200=33400,∵∠CBD=30°,∠BDC=120°,∴︒30sin x =︒120sin 33400. ∴x=3400. 答案:A2.如图,有长100 m 的斜坡AB,它的倾斜角是40°,现在要把斜坡的倾斜角改为25°,则伸长的坡底BD 的长大约为( )A.64 mB.63 mC.62 mD.61 m 解析:在Rt △ABC 中,AC=ABsin40°≈100×0.642 8=64.28, BC=AB·cos40°≈76.6. 在Rt △ADC 中,CD=︒25tan AC ≈4663.028.64≈137.8.∴BD=DC-BC≈61(m),即伸长的坡底BD 的长约为61 m . 答案:D3.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 北偏东40°,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( ) A.北偏东40° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析:如图所示.自B 处观察A,则目标方向线为BA.由已知可得A 在灯塔B 的北偏西10°. 答案:B4.如图,在山脚A 处测得山顶S 的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走100米到B,又测得S 的仰角为75°,则山高为__________________米.( )A.50B.502C.503D.506 解析:在△ABS 中,由条件得∠BAS=30°,∠SBA=120°. 由正弦定理得︒120sin SA =︒30sin 100,∴SA=1003.在Rt △ADS 中,SD=sin45°×SA=22×1003=506. 答案:D5.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150°,向新的方向走了3 km,结果他离出发点恰好为3 km,那么x 的值为( )A.3B.23C.23或3D.3 解析:画出示意图后,由余弦定理有(3)2=x 2+32-2·x·3·cos30°, 解得x=23或x=3.答案:C6.在一座20 m 高的观测台顶测得对面一水塔塔顶的仰角为60°,塔底的俯角为45°,那么这座水塔的高是( ) A.20(1+33) m B.20(1+3) m C.10(6+2) m D.20(6+2) m 解析:h=20+20·tan60°=20(1+3).答案:B7.一船自西向东航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船航行的速度为________________海里/时.( ) A.2617 B.346 C.2217 D.342 解析:如图所示,由题意知∠APM=75°,∠APN=45°,∠ANP=45°,在△MPN 中,︒45sin 68=)4575sin(︒+︒MN ,∴MN=346(海里),这只船航行的速度为4634=2617(海里/时). 答案:A8.如图,B 、C 、D 三点在地面同一直线上,DC=a,从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β、α(α<β),则A 点离地面的高AB 等于()A.)sin(sin sin αββα-a B.)cos(sin sin αββα-aC.)sin(cos sin αββα-a D.)cos(cos cos αββα-a解析:tanα=BC a AB +,tanβ=BCAB,联立两式解得AB=αββαtan tan tan tan -a=ααβββαβαcos sin cos sin cos cos sin sin -a -αβαββαsin cos cos sin sin sin -a =)sin(sin sin αββα-a . 答案:A 二、填空题9.有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要加长______km..解析:如图,AC=ABsin20°=sin20°,BC=AB·cos20°=cos20°,DC=︒10tan AC=2cos 210°.∴DB=DC-BC=1. 答案:110.外国船只除特许外,不得进入离我国海岸线d 海里以内的区域,如图所示,设A 及B 是我们的观测站,A 与B 之间的距离为s 海里,海岸线是过A 、B 的直线,一外国船只在P 点,在A 站测得∠BAP=α,同时在B 站测得∠ABP=β,则α与β满足的三角不等式为_____________时,就应当向此未经特许的外国船只发出警告,命令其退出我国海域.解析:在△ABC 中,)sin(βαπ--s =βsin AP .AP=)sin(sin βαβ+∙s .在Rt △APM 中,h=sinα·AP=sinα·)sin(sin βαβ+∙s =)sin(sin sin βαβα+∙s . 答案:d≥)sin(sin sin βαβα+∙s三、解答题11.一舰艇在海上巡逻,沿岸自西向东航行,在A 处见岸边一灯塔C 在船的北偏东60°,一小时后在B 处见灯塔在船的北偏东30°.若舰艇每小时航行30海里.当舰艇至D 点处,可见灯塔在船的西北方向,求舰艇从A 到D 的航行距离.解法一:在△ABC 中, ∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°, ∴∠ACB=180°-120°-30°=30°. ∵AB=30×1=30,∴BC=AB=30. 在△BDC 中,∠CBD=90°-30°=60°, ∴∠BCD=180°-60°-45°=75°. 由正弦定理有︒45sin BC =︒75sin BD.∴BD=2sin75°·BC=302·sin75°≈40.98. ∴AD=AB+DB=30+40.98=70.98(海里). 解法二:在△ACD 中,易知AC=303,∠ACD=180°-30°-45°=105°, 由正弦定理,得︒105sin AD =︒45sin AC,∴AD=2×303sin105° =306sin105°≈70.98(海里）.答:A 、D 两地相距约70.98海里.12.如图,在一个山坡上的一点A,测得山顶上一个微波塔顶端C 对于山坡的坡度的斜度为20°,向山顶前进80米后的B 点,又测得斜度为40°,设塔高为60米,求此山对于地面的倾角θ的余弦值.解:在△ABC 中,∠BAC=20°,∠ABC=180°-40°=140°,AB=80, ∴∠ACB=20°. 由正弦定理,得︒20sin 80=︒20sin BC,∴BC=80.在△BDC 中,∠BDC=90°+θ,∠DBC=40°, ∴由正弦定理,得︒40sin 60=)90sin(80θ+︒.∴cosθ=68sin40°≈0.857.答:此山对于地面的倾角θ的余弦值约为0.857.更上一层1.在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 为(3-1)海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°方向,距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向可最快追上走私船?并求出所需要的时间.解:如图所示,设缉私船追上走私船的时间为t h,则有CD=103t,BD=10t,在△ABC 中,∵AB=3-1,AC=2,∠BAC=45°+75°=120°.∴BC=︒-∙∙-+-120cos )13(222)13(22=6. 根据正弦定理可得sin ∠ABC=BC AC ︒∙120sin =22.∴∠ABC=45°,而∠CBD=90°+30°=120°. 又sin ∠BCD=CD CBD BD ∠∙sin =21.∴∠BCD=30°,∠BDC=30°. ∴BD=BC=6,则有10t=6,t=106=0.245(h)=14.7(min). ∴缉私船沿北偏东60°方向,需14.7 min 能追上走私船.2.在一大河边上高a m 处的A 点,测得对岸一铁塔顶点M 的仰角为θ,而在河中铁塔倒影的俯角为φ,求铁塔的高度.解:如图所示,设直线A′M′在河面上,点N 是塔顶点M 在水中的倒影,M′是MN 与A′M′的交点,由于塔顶点M 与它在河中的倒影关于河面对称,故MN ⊥A′M′,且MM′=M′N. 由点A 向MN 作垂线,设垂足为B,且设AB=x, 则由题设条件知∠MAB=θ,∠BAN=φ. 于是在Rt △ABM 中,MB=xtanθ, 由于A′A=a,且MM′=M′N,∴由BN-MB=2a,可得xtanφ-xtanθ=2a. ∴x=θϕαtan tan 2-.∴MB=xtanθ=θϕθαtan tan tan 2-.∴BN=xtanφ=θϕϕαtan tan tan 2-.∴塔高M′M=2BNMB + =)sin()sin(θϕϕθ-+a .。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
高一数学人教A必修5课件：1.2 应用举例(一)
规律方法
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理
解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转 换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模 型来求解.
跟踪演练1 如图，在相距2千米的A、B两点处 测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°， 则A、C两点之间的距离为________千米.
6
解析 由题意知C＝180°－A－B＝45°，
AC 2 2 3 由正弦定理得sin 60° ＝sin 45° ，∴AC＝ ·2 ＝ 6. 2 2
要点二 测量两个不可到达点间的距离
例2 在某次军事演习中，红方为了准确分 析战场形势，在两个相距为
3a 的军事基 2 地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在 A处
把求不可到达的两点 A， B之间的距离转化为应用余弦定 理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定 理计算其他边.
跟踪演练 2
如下图， A 、 B 两点都在河的对岸 ( 不可到达 ) ，
若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA＝60°， ∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A、 B两点间的距离是多少？
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos 45°
32 32 3 6 2 32 ＝ a ＋ a －2× a× a× ＝ a . 4 8 2 4 2 8
6 ∴AB＝ 4 a.
∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为
6 a . 4
规律方法
测量两个不可到达的点之间的距离问题 . 首先
第一章——
1.2
应用举例(一)
[学习目标]
1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题. 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.
最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
数学人教B 必修5第一章解三角形知识建构综合应用专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，b 2＋c 2－a 2a 利用余弦定理的推论如cos A ＝把角的余弦化边，或利用sin A ＝把角的正弦化2bc 2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°；π④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝.2应用1在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．应用1在△ABC 中，求证：a 2＋b 2sin 2A ＋sin 2B (1)2＝；c sin 2C(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．应用2已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .a 2＋b 2＋c 2求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝.4S提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：111(1)S △ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c .222111(2)S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ．222a ＋b ＋c (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝)．2应用在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．2提示：由已知可把角A 算出来，再求tan A ，并求出sin A ，直接代入面积公式即可求面积．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．cos C 2a －c 应用1在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.cos B b(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．应用2在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；33(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为，求a ＋b 的值．2提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解概括演算应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧抽象推理还原远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．应用2如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()．A ．3366B ．C ．D ．36362．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．→→3．(2011·上海高考)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB ·AD＝______.4．(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．(1)求角C 的大小；π(2)求3sin A －cos(B ＋)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．45．(2011·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b1＝2，cos C ＝.4(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．6．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .b (1)求；a(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B ．7．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C1＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝b 2.45(1)当p ＝，b ＝1时，求a ，c 的值；4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．答案：综合应用专题一应用1：钝角∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m ＞0),∵c ＞b ＞a ，∴∠C ＞∠B ＞∠A .a 2＋b 2－c 24m 2＋9m 2－16m 21∴cos C ＝＝＝－＜0.2ab 42×2m ×3m∴∠C 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形．应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°.∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C ，31展开，整理得sin C ＋cos C ＝1.22∴sin(C ＋30°)＝1.∴∠C ＋30°＝90°.∴∠C ＝60°.故∠A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c ∵∠B ＝60°，b ＝，2a ＋c 2∴()＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.2整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c .从而a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．专题二a b c 应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k ，sin A sin B sin Ck 2sin 2A ＋k 2sin 2B sin 2A ＋sin 2B 显然k ≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．k 2sin 2C sin 2Cb 2＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2＋b 2－c 2(2)根据余弦定理，右边＝2(bc ·＋ca ·＋ab ·)＝(b 2＋c 2－a 2)2bc 2ca 2ab222222222＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )＝a ＋b ＋c ＝左边，即原等式成立．222b 2＋c 2－a 2cos A b ＋c －a 应用2：证明：由余弦定理，得cos A ＝，所以cot A ＝＝＝2bc sin A 2bc sin Ab 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2，同理可得cot B ＝，cot C ＝，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝4S 4S 4Sb 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＋c 2＋＋＝.4S 4S 4S 4S专题三2应用：解：∵sin A ＋cos A ＝2cos (A －45°)＝，21∴cos (A －45°)＝.2又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝105°.tan 45°＋tan 60°∴tan A ＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，1－tan 45°tan 60°2＋6sin A ＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.4又∵AC ＝2，AB ＝3，2＋6311∴S △ABC ＝AC ·AB ·sin A ＝×2×3×＝(2＋6)．2244专题四cos C 2a －c 2sin A －sin C 应用1：解：(1)由＝＝，得cos B b sin Bcos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C .∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A .1∵sin A ≠0，∴cos B ＝.2(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7.∴ac ＝3.11333∴S △ABC ＝ac sin B ＝×3×＝.2224应用2：解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a 2sin A sin A ＝＝.c sin C 33∵sin A ≠0，∴sin C ＝.2∵△ABC 是锐角三角形，π∴∠C ＝.3π(2)∵c ＝7，∠C ＝.由面积公式，得31π33ab sin ＝，∴ab ＝6.①232π由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②3由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.专题五应用1：解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，AB sin ∠BAC 5sin 15°得BC ＝＝≈7.452 4(km)，sin 10°sin ∠ACBCD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.应用2：解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，222∴(14x )＝9＋(10x )－2×9×10x cos 120°，2化简，得32x －30x －27＝0.39解得x ＝或x ＝－(舍去)．216∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21.BC sin 120°15353又∵sin ∠BAC ＝＝×＝，AB 21214∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送31．D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝a .2在△ABD 中，由余弦定理，得33(a )2＋(a )2－a 222222AB ＋AD －BD 1cos A ＝＝＝.2AB ·AD 3332×a ·a 2222又∵∠A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝.3BC AB 在△ABC 中，由正弦定理，得＝.sin A sin C3a 222AB 6∴sin C ＝·sin A ＝·＝.BC 2a 361132．2在△ABC 中，由面积公式得S ＝BC ·CA ·sin C ＝×2·AC ·sin60°＝AC ＝3，∴AC 2221＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×＝4.∴AB ＝2.23．15如图，在△ABD 中，由余弦定理得2AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD ＝7，AB 2＋AD 2－BD 29＋7－15∴cos ∠BAD ＝＝＝.2AB ·AD 2×3×727515于是，AB ·AD ＝|AB ||AD |cos ∠BAD ＝3×7×＝.2724．解：(1)因为c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0.从而sin C ＝cos C .π又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则∠C ＝.43π(2)由(1)知，B ＝－A .于是4π3sin A －cos(B ＋)4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos Aπ＝2sin(A ＋)．63πππ11π因为0＜A ＜，所以＜A ＋＜.46612ππππ从而当A ＋＝，即A ＝时，2sin(A ＋)取最大值2.6236ππ5π综上所述，3sin A －cos(B ＋)的最大值为2，此时∠A ＝，∠B ＝.431215．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，4∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.1(2)∵cos C ＝，4115∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－()2＝.44154a sin C 15∴sin A ＝＝＝.c 28∵a ＜c ，∴∠A ＜∠C .故∠A 为锐角．1527)＝.88∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C71151511＝×＋×＝.8484166．解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .b 故sin B ＝2sin A ，所以＝ 2.a(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，(1＋3)a 得cos B ＝.2c由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.12可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，22所以∠B ＝45°.5a ＋c ＝，47．解：(1)由题设和正弦定理，得1ac ＝，4∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(⎧⎨⎩1a ＝1，⎧⎧⎪⎪a ＝4，解得⎨1或⎨c ＝，⎪⎪⎩4⎩c ＝1.11(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，2231即p2＝＋cos B，223因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．2由题设知p＞0，所以6＜p＜ 2. 2。
高中数学必修5：1.2应用举例( 人教版高中数学必修5第一章解三角形 )
分析
在△AOP中，OA
OP tan 30
3h
在△BOP中，OB
OP tan 45
h
在△ABO中，AB2 OA2 OB2 2OAOB cos60
即 400 4h2 3h2
解得 h 400 4 3
题型四 求角度问题
例4 如图，在海岸A处发现北偏东45o方向，距A处 ( 3 1) 海里的B处有 一艘走私船. 在A处北偏西75o方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉 命以 10 3 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度， 从B处向北偏东30o方向逃窜. 问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走 私船？并求出所需时间.
2. 方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所 形成的水平角.如图所示的θ1、θ2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范 围是[0o，360o).
测量中的有关概念、名词、术语
3. 方向角：以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小 于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式. 如图，左图中表示北偏 东30°，右图中表示南偏西60°.
6. 坡角、坡比：坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的竖直高度与水平宽 度的比称为坡比.
解三角形应用题
解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几 个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实 际问题转化为解三角形问题.
题型一 测量一个不可到达点的距离
例1 海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角， 从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
ABC 45
题型四 求角度问题
分析 设缉私船应沿CD方向行驶 t 小时，才能最快 截获（在D点）走私船，则CD=10 3t ，BD=10t.
人教版高中数学必修5第一章解三角形 1.2 应用举例
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形， 求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解.
第2课时 解三角形的实际应用举例 —高度、角度问题
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有 关底部不可到达的物体高度测量的问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有 关计算角度的实际问题.
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高 度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的 海拔高度呢？
2.在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题：在浩瀚 无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航 速和航向呢？
今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
探究一、测量底部不可到达的建筑物高度
4.自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵 顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与 车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角形？
答：三角形的面积为 3
3 或 3-
3 .
2
2
1.三角形面积公式：
2.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角
为边”.
1.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据 题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽 取主要因素，进行适当的简化.
2.实际问题处理 实际问题
实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
第3课时 三角形中的几何计算
最新高中数学必修5《应用举例》教案
最新高中数学必修5《应用举例》教案高中数学必修5《应用举例》教案【一】教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一. 基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
一. 小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1) 已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80 闯关训练高中数学必修5《应用举例》教案【二】教学准备教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：.com测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学重难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;二、例题讨论一)利用方向角构造三角形四)测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。
人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件23
一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在 一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的 三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
解析：
设快艇驶离港口 B 后，最少要经过 xh，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇．如图，连接 CD.则快艇沿线段 BC，CD 航行．
在△OBC 中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°. 又 BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 3.故快艇从港口 B 到 小岛 C 需要 1h. 在△OCD 中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)． 由余弦定理知，CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD， ∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60 3)2－2·20x·60 3cos30°，解得 x ＝3 或 x＝38. ∵x>1，∴x＝3. 故快艇驶离港口 B 后，最少要经过 3h 才能和考察船相遇．
分析：边读题，边画图形，如图，将条件中的角、长度 标上，求轮船离港口 A 还有多远，即求 AD 的长，在△ACD 中，已知一角(A)一边(CD)，待求 AD，结合已知条件△BCD 三边长已知，由余弦定理可求三角，考虑沟通已知和未知， 可利用∠ADC 与∠BDC 互补，求∠BDC.
解析：
在△BDC 中，由余弦定理知， cos∠CDB＝BD2＋2BCDD·C2－D BC2 ＝－17，
测量距离的问题
[例 1] (2011·东北三校二模)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站 为 31n mile，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21n mile，问此时轮 船离港口 A 还有多远？
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课教案_29
《海伦——秦九韶公式》教案【教学内容】人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶.【教学对象】高一学生.【教材分析】本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美.【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式.【教学目标】∙知识与技能：（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题.∙过程与方法：（1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力.∙情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力.【教学重点】秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用.【教学难点】秦九韶公式与海伦公式的本质.【教学方法】引导探究、实力应用.【教学过程】（一）旧知回顾1.三角形的面积公式：（1）ah S ABC 21=∆（h 为边a 上的高）； （2）==∆C ab S ABC sin 21 = . 2.余弦定理的推论：bca cb A 2cos 222-+=；=B cos ；=C cos . 3.同角三角函数的平方关系：+α2sin 1=.[师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式.(二)新课引入【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。
高中数学人教版必修5应用举例 课件PPT
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(m)．
4
又∵AD＝CD，∴CD＝800( 3＋1)(m)．
答案：800( 3＋1)m
探究一 测量底部不可到达的高度 [典例 1] 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以 选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点 C 和 D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在 点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ，求塔高 AB.
[解析] 在△ABC 中，BC＝50 米，∠ABC＝105°，
∠BCA＝45°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA
＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理得sin∠ABBCA＝sin∠BCBAC，
所以 AB＝BCs×ins∠inB∠ABCCA＝50×sinsi3n0°45°
50× ＝1
此类问题的关键是把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已 知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
地上画了一个角，∠BDA＝60°，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边 DA 行走 10 m 后，拐弯往另一方 向行走 14 m 正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一 点，我们将该点记为点 B，则点 B 与 D 之间的距离 为________ m.
∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BDC 中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD 中，由正弦定理，得
BC＝
s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2 .
则在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝(
3)2＋
高二数学人教A版必修5第一章1.2 应用举例 教案
1.2 应用举例【课题】：1.2.3解三角形在三角形面积计算上的应用【学情分析】:在学习本节之前学生能解决直角三角形以及已知三角形的一边和这边上的高的三角形面积计算问题。
学生学了正弦定理和余弦定理并积累了一些解三角形的知识后，对三角形的面积的计算就可以向学生提出更高的要求了。
因此，在学生已掌握了正弦定理、余弦定理的基础上，让学生探讨解决“已知二边及夹角和已知三边求三角形面积”的问题，就有了可能。
【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握在“已知二边及夹角”和“已知三边”的条件下求三角形面积的方法；提高计算和使用计算工具的能力；进一步领会方程的思想，提高解决问题尤其是实际问题的能力（2）过程与方法：通过合作与探究，加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高方程思想在实际中的运用能力（3）情态与价值：体验探求的乐趣，体会正弦定理、余弦定理的结构美，激发并提高学生学习数学的热情和兴趣【教学重点】：（1）公式的发现和它的灵活应用（2）方程思想的运用【教学难点】：在不同的条件下灵活的应用公式【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图创设情景问题1：在三角形ABC中，a=4，b=3，C = 60°，则ABCS∆=______ 生：求出对应边上的高，再利用12S a h=⋅求解∵AC=b，BC=a，作AD⊥BC，则AD为三角形BC边上的高∴AD=bsinC1sin2ABCS ab C=创设情景，引出问题，让学生主动学习，积极思考，由浅入深，寻求答案，灵活应用例1：在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）(1)已知a=14.8cm，c=23.5cm， B=148.50；(2)已知B=62.70，C=65.80，b=3.16cm；(3)已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.例2：如图，在某市进行环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68cm ,88cm，127cm，这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm2)例3：在△ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=（2）2222(cos cos cos)a b c bc A ca B ab C++=++例1，2是在不同条件下求三角形的面积问题，归根到底是灵活运用正弦定理和余弦定理，应让学生归纳总结方法并提高计算能力，例3是边化角或角化边思想的体现练一练1.在△ABC中，A=600，b=1，3ABCS=，则△ABC外接圆的半径是_________________.2. 在△ABC中，已知B=600，cosC=13,AC=36，则△ABC的面积是____3．在ABC∆中，193,32,222==++=acbbccba，求ABC∆的面积4.在△ABC中，2sin cos2A A+=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积是_________________.通过练习进一步熟悉公式，灵活地针对不同的条件解决问题，从而增加学生学好数学的兴趣和信心基础练习：1、在△ABC 中，a=2，A=030，C=045，则△ABC 的面积是_________________ 解：由正弦定理sin sin a bA B=有sin 2sin1051)sin sin 30a B b A === ∴11sin 21)1222ABC S ab C ∆==⋅⋅= 2、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C的对边，且tan tan tan A B A B +=⋅，a=4，b+c=5，则△ABC 的面积为________________________35. 3 C.D.222A 解：由tan tan tan A B A B ++=⋅得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅∴ A+B=23π C=3π又 ∵ 22222cos 1645c a b ab C b bb c ⎧=+-=+-⎨+=⎩∴ b=32113sin 4sin 2223ABCS ab C π==⋅⋅⋅=∴选C3、在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦是32，则△ABC 的面积是____________________解：由已知可知A 是最大角，所以3sin 2A =A=0060120或 又222(4)(2)2(2)cos c c c c c A +=++-⋅⋅+当A=0120时，上式化为260c c --=，解得c=3或c=-2（舍去） 当A=060时，上式无意义∴ 113153sin 532224ABCSbc A ==⋅⋅⋅= 4、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C 的对边的长，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5,S=53,求c 的长度。
高中数学人教A版必修5 第一章 1.2 应用举例 第1课时 课件(48张)
【解析】 在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝ 60°，CD＝6 000，∠ACD＝45°.
根据正弦定理有 AD＝CDsinsi6n04°5°＝ 23CD， 同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°， CD＝6 000，∠BCD＝30°.
根据正弦定理有
探究 1 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把 求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长 转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．
思考题 1
我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 DC＝6 000 米，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现 于地面点 B 处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图所示)， 求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．
【思路分析】 综合应用正弦定理、余弦定理．
【解析】 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝
3 2 a.
在△BCD 中，∠DBC＝180°，得sin∠DBBCD＝sin∠CDDBC.
6＋ 2
BD＝CD·ssiinn∠ ∠BDCBDC＝
思考题 3 甲船在 A 处观察乙船在它的北偏东 60°的 B 处， 此时两船相距 a 海里，乙船向正北行驶，若甲船的速度是乙船的
3倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了 多少海里？
【解析】
如图所示，AC 为甲船的航行路线，BC 为乙船的航行路线， 设甲船取北偏东 θ 的方向去追赶乙船，在 C 点处追上，若乙船行 驶的速度是 v，则甲船行驶的速度是 3v，由于甲、乙两船到达 C 点的时间相等，都为 t，则 BC＝vt，AC＝ 3vt.∠ABC＝120°.
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_25
c
B
1 a2c2 4
1 4
a
2c
2
a2
c2 b2 2ac
2
1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1
a2
c2 2ac
b2
2
C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
高中数学人教A版必修5第一章-应用举例1课件
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
作业布置： 1. 预习教材P13—P15 2. 完成好《全优课堂》
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
• [解题过程] 如图所示，若“黄山”舰以最少 时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三 角形．
• 设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t. • 又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，
• 根 据 余 弦 定 理 ， AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2·AC·BCcos∠ACB.
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB ＝ AC sinC sinB
B
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
A
C
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
• 变式训练：已知两座灯塔A和B与海洋观 察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察 站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的 南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为
即： a2b2c22 bcco As
b2a2c22 acco Bs c2a2b22 ac bo Cs
一、复习引入
4. 运用余弦定理能解怎样的三角形？
①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
高中数学人教A版必修5第一章-应用举 例1课 件（公 开课课 件）
二、新课讲解：
解三角形的应用 ——测量距离问题
人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件10
(2)求塔的高AB.
解 (1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝
180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，
CD＝6 000×610＝100(米)，
∠D＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得sin∠CDDBC＝sinB∠C D，
• (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知 量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需 作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得 出所要求的解．
教你审题 4——破解实际应用中的方向角问题 【典例】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向❶的 B 处，
• 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的 问题．然后
• 把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达 的两点距离
• 测量问题，然后运用正弦定理解决．
• (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间 的距离问
• 题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的 问题，从而
• 运用正弦定理解决．
求AB：(1) α＋β＋B＝π ； (2)sAinBβ＝sinb B 求AB：(1)△ACD中， 用 正弦 定理求AC； (2)△BCD中，用 正弦 定 理求BC；
(3)△ABC中，用 余弦 定
理求AB
• 2.高度的测量
背景 可测元素
图形
底部可 a，α
到达
底部不 a，α，β
可到达
目标及解法
求AB：AB＝ atanα
•
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为B2C＝14(海里/时)．
人教B版高中数学必修五第一章应用举例(一)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）§1.2 应用举例(一)课时目标 1.了解数学建模的思想.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507 分钟 B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．8．如图，A 、N 两点之间的距离为________．9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．能力提升13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为() A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(一)答案知识梳理2．顺时针 作业设计 1．C2．B [∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ，由余弦定理得AB ＝3a .]3．D [在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.] 4．A [由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝50 2 (m)．]5．B [由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．]6．A [设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．] 7．32－ 28．40 39．60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 m.作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． 由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m. 10.36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得， BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．11．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°，解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile. 12．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 13．B [设t 小时时，B 市恰好处于危险区， 则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0， ∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.] 14．解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102， A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2， 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答 乙船每小时航行302海里．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量 两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在 的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， o o ∠BAC＝51 ，∠ACB＝75 . 求A、B两点的距 离．(精确到0.1m)
B
A
C
两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等
于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30 ，
3. 什么是余弦定理？
3. 什么是余弦定理？ 三角形中任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦 的积的两倍. 即：
a = b + c - 2bccosA
b = a + c - 2accosB c = a + b - 2abcosC
2 2 2 2 2 2
2
2
2
4. 运用余弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三边求三角；
o
灯塔B在观察站C南偏东60 ，则A、B之
间的距离为多少？
o
例2. 如图，A、B两点都在河的对岸(不
可到达)，设计一种测量A、B两点间距
离的方法.
A B
可见，在研究三角形时，灵活根据 两个定理可以寻找到多种解决问题的方 案，但有些过程较繁复，如何找到最优 的方法，最主要的还是分析两个定理的 特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式.
②已知两边及它们的夹角，求第三边.
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量 两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在 的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， ∠BAC＝51o，∠ACB＝75o. 求A、B两点的距 离(精确到0.1m)
B
A
C
1. 在△ABC中，根据已知的边和对应角， 运用哪个定理比较适当？ 2. 运用该定理解题还需要哪些边和角呢？
1. 什么是正弦定理？
A C
B
1. 什么是正弦定理？
在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
A
a b c = = sin的三角形？
2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜 三角形的数学模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从 而得出实际问题的解.
课本对应习题