《方程的根与函数的零点》优秀公开课教案 (比赛课教案)

《方程的根与函数的零点》教学设计

一、学情分析 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．

二、设计思想

教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣． 教学原则：注重各个层面的学生．

教学方法：三学一导．

三、教学目标

1.知识与技能：

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；

②培养学生的观察能力；

2.过程与方法：

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；

②让学生归纳整理本节所学知识．

3.情感、态度与价值观：

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

四、教学重点、难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．

五、教学过程设计

1．指导学生进行课前学习

预习教材，完成以下习题：

2．指导学生进行课堂学习

（1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1

①方程0322=--x x 与函数322--=x x y

②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y

③方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y

图1

[师生互动]

师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．

零点概念：对于函数y ＝f （x ）（x ∈D ），把使f （x ）＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f （x ）（x ∈D ）的零点．

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关

系？

生：经过观察表格，得出第一个结论

师再问：根据概念，函数y ＝f （x ）的零点与函数y ＝f （x ）的图象与x 轴交点有什么关系

生：经过观察图像与x 轴交点完成解答，得出第二个结论

师：概括总结前两个结论（请学生总结）．

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数322--=x x y 的零点为x =-1,3

2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．

3）方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．

师：引导学生仔细体会上述结论．

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程0)(=x f 而得到（代数法）；

可以利用函数)(x f y =的图象找出零点．（几何法）

问题3：是不是所有的二次函数都有零点？

师：仅提出问题，不须做任何提示．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：看△

１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力．

（2）零点存在性的探

你能将结论进一步推广到()y f x =吗？

新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？

2()(16)f x x x =-例1：求函数的零点

ln 260x x +-=思考：方程是否有实数根？有几个实数根?

一般地，我们有：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f （a ）·f （b ）<0，那么函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根． 函数y ＝f （x ）在哪几个区间内必有零点？为什么？

探究1：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f （b ）>0时，函数在区间（a ，b ）内没有零点吗?

探究2：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0时，函数在区间（a ，b ）内有零点，但是否只一个零点？

探究3：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a ，b ）内有零点时一定有f （a ）·f （b ）<0 ？

探究4：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a ，b ）内有零点时一定有f （a ）·f （b ）<0 ？

图3（反例）

师：总结两个条件：

1）函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；