-学高二期中联考数学模拟试题及答案
陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期11月期中校际联考数学试题(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中校际联考试题高二数学注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I 卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（ ）A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.（0，1）3.过点，的直线的倾斜角为（ ）A. B. C.D.4.圆心为（-2，-1），且与轴相切的圆的方程是（ ）A. B.C. D.5.从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ）A.B.C.D.6.已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）A. B. C.2D.7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.（-6，1）D.i 1i =+11i 22+11i 22-+11i 22--11i 22-{11}M xx =-<<∣{02}N x x =≤≤∣M N = [0,1)(1,2]-(1,2]()1,2P ()3,4Q π4-π3-π4π3x ()()22211x y -+-=()()22211x y +++=()()22214x y -+-=()()22214x y +++=13231234()2,1,1A -y B AB()()12,1,52lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩R a [6,1)-(),1-∞(),6-∞-8.已知过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.10二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线，则下列选项中正确的有（ ）A.直线在轴上的截距为2B.直线的斜率为C.直线的一个方向向量为D.直线不经过第一象限10.关于，的方程表示的曲线可以是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线11.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为、，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则（ ）A.双曲线B.焦点到渐近线的距离为C.四边形OMAN 可能为正方形D.四边形的面积为定值第II 卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若圆与圆交于，两点，则直线的方程为______.13.已知正四棱台的体积为14，若，，则正四棱台的高为______.14.已知/都是锐角，，，则的值为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知直线和直线.（I ）当时，求实数的值；（II ）当时，求两直线，间的距离.16.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.22:194y x C +=C A B F C ABF △:2l y =-y ()v =x y 22142x y m m +=--xOy 22:1C x y -=1F 2F C A M N C 12OMAN 122240x y y ++=224240x y x y ++--=A B AB ABCD A B C D ''''-2AB =4A B ''=ABCD A B C D ''''-αβ4sin 5α=()5cos 13αβ+=cos β1:10l x y ++=2:260l x my ++=12l l ⊥m 12l l ∥1l 2l 111ABC A B C -D E 11B C AB AB a = AC b = 1AA c =（第16题图）（I ）用，，表示向量；（II）若，，，求.17.（本小题满分15分）已知椭圆，且过点.（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值.18.（本小题满分17分）已知圆过三点，，.（I ）求圆的标准方程；（II ）斜率为1的直线与圆交于，两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.19.（本小题满分17分）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.（I ）求点的轨迹的方程；（II ）设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长.a b cDE 11AB AC AA ===160A AB BAC ︒∠=∠=190A AC ︒∠=DE BC ⋅()2222:10x y E a b a b +=>>)E :l y x m =+E m C ()1,3()2,2-()4,2C C M N CMN △P 3,02⎛⎫⎪⎝⎭P 32x =-P C M N C MN 50x y +-=MN2024~2025学年度第一学期期中校际联考试题高二数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.B3.C4.B5.C6.D7.A8.D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）9.BCD10.ABC11.ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.13.14.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（I ）直线和直线.当时，，得.（II ）当时，，得，此时直线和直线的距离.16.解：（I ）.（II），，，则.17.解：（I ）椭圆过点，解得椭圆的方程为：.2320x y --=3263651:10l x y ++=2:260l x my ++=12l l ⊥20m +=2m =-12l l ∥20m -=2m =1:10l x y ++=2:30l x y ++=d ==()1111111111222DE DA A A AE A B A C AA AB b c =++=-+-+=--11AB AC AA ===160A AB BAC ︒∠=∠=190A AC ︒∠=()2111111110111122222224DE BC b c b a b b c a b a c ⎛⎫⋅=--⋅-=--⋅+⋅+⋅=--+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()2222:10x y E a b a b+=>>)222261,c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎪⎩2226,2,4,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴E 22162x y +=（II ）由（I ）知椭圆的方程为：，联立得，由，得18.解：（I ）设圆的方程是，其中，圆过三点，，，解得圆的一般方程为，故圆的标准方程为.（II ）由（I ）知圆的圆心为（1，-2），半径为5，设直线的方程为：，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，即，得或-8，直线的方程为：或.19.解：（I ）设点，根据题意有上式两边同时平方得：，化简得，点的轨迹的方程为.（注：学生若用其它方法解答，只要解答正确，可参照给分.）（II ）设，，线段的中点，线段的中垂线方程为，E 22162x y +=221,62,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2246360x mx m ++-=()223644360m m ∆=-⨯-=m =±C 220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +-> C ()1,3()2,2-()4,21030,8220,20420,D E F D E F D E F +++=⎧⎪∴-++=⎨⎪+++=⎩2,4,20,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴C 2224200x y x y +-+-=C ()()221225x y -++=C 0x y c -+=CMN △∴C 5d =35c +=2c =∴20x y -+=80x y --=(),P x y 32x +=2223322x x y ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26y x =∴P C 26y x =()11,M x y ()22,N x y MN ()00,A x y MN 50x y +-=直线的斜率，由点，在抛物线上，可知，即，，故，直线的方程为，即，联立方程消去整理得，易知，，即线段的长为.∴MN 21211y y k x x -==-()11,M x y ()22,N x y 2:6C y x =2112226,6,y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212126y y y y x x ∴+-=-126y y +=03y ∴=02x =∴MN 32y x -=-10x y -+=26,10,y x x y ⎧=⎨-+=⎩y 2410x x -+=0∆>12124,1x x x x +==MN ∴===MN。
2023-2024学年(上)期中学业质量联合调研抽测高二数学试题[含答案]
![2023-2024学年(上)期中学业质量联合调研抽测高二数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/3590ed6fbb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28bf8.png)
故选：A． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线 相交问题常常采用此法，注意体会．
6.
C:
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
的上顶点为 A，离心率为 e，若在 C 上存在点 P，使得
PA
6b
，
则 e2 的最小值是（ ）
52 6 A. 36
得到直线方程，根据方程特点可得答案.
【详解】当直线 AB 的斜率为 0 时，直线 AB 与抛物线只有 1 个交点，不符合题意，
所以直线 AB 的斜率不为 0，设其方程为 x ky m ，因为点 A, B 在抛物线 y2 x 上，
A
所以设
y
2 A
,
yA
,B
yB2 , yB
，所以 OAOB
b, c, z
x, y, a b c
；③
；④
，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】以
A
为顶点作
AB
a
，
AD
b
，
AA1
c
，作出平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
，根据空间向
量的加法法则作出， x, y, z, a b c ，然后判断各组向量是否共面可得结论．
由于直线与圆恒有公共点，所以点 (1,1) 在圆内或圆上，
所以 (1 2)2 (1 2)2 m2 ，解得 m 10 或 m 10 ，
故选:D
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，涉及直线系方程属于基础题.
湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题含答案
湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,10)P -关于Oxy 平面的对称点为（）A.(1,2,10)--B.(1,2,10)-C.(2,1,10)--D.(1,2,10)--【答案】A 【解析】【分析】根据平面对称的特征求解.【详解】(1,2,10)P -关于平面Oxy 的对称点的特征为,x y 坐标不变，z 取相反数，故所求坐标为(1,2,10)P --.故选：A.2.若直线1:(1)210l m x y +++=与直线2:210l x y -+=平行，则m 的值为（）A.2±B.2C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数.【详解】由题设1212121m m +=≠⇒=--.故选：C3.近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A.15B.310C.12 D.25【答案】D 【解析】【分析】根据0，1，2，3，4表示高温橙色预警，在10组随机数中列出3天中恰有2天发布高温橙色预警的随机数，根据古典概型的公式计算即可得解.【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是42105=.故选：D.4.某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A 为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A 互为对立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有两人中奖B.甲、乙、丙都不中奖C.甲、乙、丙至少有一人不中奖D.甲、乙、丙至多有一人不中奖【答案】C 【解析】【分析】根据题设及对立事件的定义写出A 事件的对立事件即可.【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5.已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有[AB k ∈-，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B6.如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1,1,3,AD AB AA BAD '===∠=90,60BAA DAA ︒''︒∠=∠=，则BD '的长为（）A.B.C.D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量加减的几何意义得到BD AA AD AB ''=+-，应用向量数量积的运算律求长度.【详解】由题设BD BB B D AA BD AA AD AB ''''''=+=+=+-，所以22222()222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AA AB AD AB'''''=+-=+++⋅-⋅-⋅91133011=+++--=，所以BD '=.故选：B7.已知实数x ，y 满足22280x y x +--=，则22x y +的取值范围是（）A.[4,10]B.[8,10]C.[4,16]D.[8,16]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据22x y +表示圆上点到原点距离的平方求范围.【详解】将22280x y x +--=化为22(1)9x y -+=，即圆心为(1,0)，半径为3，由22x y +表示圆上点到原点距离的平方，而圆心(1,0)到原点的距离为1，又()0,0在圆内，所以圆上点到原点距离范围为[2,4]，故22x y +的取值范围是[4,16].故选：C8.如图，边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A. B.C.273D.4143【答案】D 【解析】【分析】由题设得,OB AC OD AC ⊥⊥且()()AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+，结合已知条件求得3cos 4BOD ∠=-，再利用棱锥体积公式求体积.【详解】若O 为正方形的中心，由题设知,OB AC OD AC ⊥⊥，所以()()14AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+=，且OA OC OB OD ====，所以14AO BO AO OC OD BO OD OC ⋅+⋅+⋅+⋅= ，即14AO OC OD BO ⋅+⋅=，所以88cos(π)14BOD +-∠=，则3cos 4BOD ∠=-，则7sin 4BOD ∠=，所以三棱锥D ABC -的体积为11414sin 323OD BOD AB BC ⨯⨯∠⨯⨯⨯=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:20l kx y -+=和圆22:(3)(4)16M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点(0,2)B.直线l 与圆M 相交C.圆M 与圆22:1C x y +=有三条公切线D.直线l 被圆M 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D.【详解】对于A ，由直线的方程:20l kx y -+=，当0x =时，2y =，可知直线恒经过定点(0,2)P ，故A 正确；对于B ，因为直线恒经过定点(0,2)，且22(03)(24)16-+-<，定点在圆内，所以直线l 与圆M 相交，故B 正确；对于C ，由圆的方程22:(3)(4)16M x y -+-=，可得圆心()3,4M ，半径14r =，又由直线:20l kx y -+=，圆22:1C x y +=，圆心()0,0C ，半径21r =，此时541CM ===+，所以圆M 与圆相外切，有三条公切线，故C 正确；对于D ，由PM ==，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故D 错误，故选：ABC.10.柜子里有3双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（）A.“取出的鞋成双”的概率等于25B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于15C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于25D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于12【答案】BC 【解析】【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.【详解】记3双不同的鞋子按左右为121212,,,,,a a b b c c ，随机取2只的样本空间为()()()()(){1211121112,,,,,,,,,a a a b a b a c a c ()()2122,,,,a b a b ()()()()()()()()}2122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,a c a c b b b c b c b c b c c c ，共15种，则“取出的鞋成双”的概率等于31155=，A 错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于31155=，B 正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于62155=，C 正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于62155=，D 错.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若0,1λμ==，则1//D P 平面1A BDB.若11,2λμ==，则⊥PO 平面1A BD C.若12λμ==，则P 到平面1A BD 3D.若1,01λμ=≤≤时，直线DP 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定P 的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A ；线面垂直的判定定理判断B ；由P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，几何法求点面距离判断C ；应用向量法求线面角，进而求范围判断D.【详解】A ：1BP BB =，即1,P B 重合，故1D P 即为11D B ，又11//D B DB ，即1//D P DB ，由1D P ⊄面1A BD ，DB ⊂面1A BD ，则1//D P 面1A BD ，对；B ：112BP BC BB =+，易知P 为1C C 的中点，此时1CP =，且2OC OD ==所以3,5OP PD ==222OP OD PD +=，即OP OD ⊥，根据正方体的结构特征，易得11//DA CB ，若E 为BC 的中点，则1//PE C B ，又11CB C B ⊥，则1CB PE ⊥，显然OE ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1OE CB ⊥，由PE OE E = 且在面POE 内，则1CB ⊥面POE ，OP ⊂面POE ，则1CB OP ⊥，所以1DA OP ⊥，又1DA OD D = 都在面1A BD 内，则OP ⊥面1A BD ，对；C ：11122BP BC BB =+，即P 是面11BCC B 的中心，易知P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，根据正方体的结构特征，11C A BD -为正四面体，且棱长为22，所以1C 到平面1A BD 22238(22)(22)83233-⨯⨯=-=所以P 到平面1A BD 的距离为23，错；D ：1BP BC BB μ=+，则P 在线段1CC 上运动，如图构建空间直角坐标系，所以1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,)A B P t ，且02t ≤≤，故(0,2,)DP t =，令面1A BD 的一个法向量为(,,)m x y z =，且()()12,0,2,2,2,0DA DB == ，所以1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则(1,1,1)m =- ，故2||2sin ||||34m DP m DP tθ⋅==⨯+ ，令2[2,4]x t =+∈，则2t x =-，所以2211sin 841113138()42x x x θ==⨯-+⨯-+111[,42x ∈，故36sin ,33θ∈，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应P 点的位置为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过(0,2),(1,4)A B -两点的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数.【详解】由题设422101kk -=⇒=---.故答案为：2-13.已知空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则mn 的最小值为__.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】先利用题给条件求得,m n 之间的关系，再利用二次函数即可求得mn 的最小值.【详解】空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则可令(,R)a b c λμλμ=+∈，则427562m n μλμλμ=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解之得2122m n μλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩则2(22)22mn n n n n =+=+二次函数222y x x =+的最小值为12-，则222mn n n =+的最小值为12-.故答案为：12-14.由1,2,3,,2024 这2024个正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则12a b >的概率为___.【答案】34##0.75【解析】【分析】利用古典概型即可求得12a b >的概率.【详解】12a b >即2b a <，当1a =时，b 可以取1，有211⨯-种取法；当2a =时，b 可以取1，2，3，有221⨯-种取法；当3a =时，b 可以取1，2，3，4，5，有231⨯-种取法；当1012a =时，b 可以取1，2，3，L ,2023，有210121⨯-种取法；当10132024a ≤≤时，b 可以取1，2，3，L ,2024，有2024种取法；()()()211221210121101220241220242024a P b ⨯-+⨯-++⨯-+⨯⎛⎫>=⎪⨯⎝⎭ 759310124==故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的顶点(1,3)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为10x y +-=，边AC 上的高BH 所在直线方程为21y x =+.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,6-（2）74110x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；（2）结合（1）先求H 点坐标可得H 与A 重合，再利用AB 中点M 在直线10x y +-=上，即可求出B 点坐标，进而得出直线BC 的方程.【小问1详解】由题知，BH AC ⊥，C 在直线CM 上，设(),C m n ，则321110n m m n -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+-=⎩，解得56m n =-⎧⎨=⎩，即点C 坐标为()5,6-.【小问2详解】设()00,B x y ，则000013102221x y y x ++⎧+-=⎪⎨⎪=+⎩，解得0011x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,1B --，所以直线BC 的方程为()()()()611151y x ----=+---，即74110x y ++=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB BC E ⊥为PD 的中点.（1）若CD AC ⊥，证明：EA EC =；（2）若224,1AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面ECD 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证PA AD ⊥、CD PC ⊥，结合直角三角形性质即可证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，,CD AD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，PA AD ⊥，而CD AC ⊥，PA AC A = 且都在面PAC 内，则CD ⊥面PAC ，由PC ⊂面PAC ，则CD PC ⊥，即,△△PAD PCD 均为直角三角形，且PD 为斜边，由E 为PD 的中点，故12AE CE PD ==，得证.【小问2详解】由题意，易知ABCD 为直角梯形，且AB BC ⊥，//AD BC ，且PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)C D P E ，所以(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1),(1,2,0)AE AC CE CD ===-=- ，若(,,),(,,)m x y z n a b c == 分别是面ACE 、面ECD 的法向量，则2020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，则(2,1,2)m =- ，且020n CE a c n CD a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1b =，则(2,1,2)n = ，所以7cos ,9m n m n m n ⋅== ，故平面ACE 和平面ECD 的夹角余弦值为79.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为12m n 、、，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为124，至少进入一个兴趣小组的概率为34，且m n <.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.【答案】（1）1143m n ==，（2）14【解析】【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.【小问1详解】由题意得：()()1122413111124mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎩，解得：1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X ，则()11114143212P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()1111514328P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1111643224P X ==⨯⨯=，所以()11114128244P X ≥=++=.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为14.18.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124,,AB A B E F ==分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45︒.（1）求证：1//B D 平面1C EF ；（2）求点1D 到平面1C EF 的距离；（3）在线段1BD 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）5或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，判断10BD n ⋅= 即可；（2）应用向量法求1D 到平面1C EF 的距离即可；（3）假设在1BD 上存在点M ，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；【小问1详解】由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，故111(4,4,0),(0,2,0),(2,4,0)A B D C E F ，所以11(2,2,0),(3,3,EF EC D B === ，若平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF x y n EC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则(1,1,0)n =- ，显然10BD n ⋅= ，而1⊄BD 面1C EF ，所以1//BD 面1C EF ；【小问2详解】由（1）知：11(0,2,0)D C =uuuu r ，所以1D 到平面1C EF的距离为11||||n D C n ⋅== 【小问3详解】假设在1BD 上存在点M，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，则1111(1,3,(3,3,)(13,33A M A B MB A B D B λλλλλ=-=-=-=--，直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，故11||2||||n A M n A M ⋅= ，所以22(13)11(1)4λλ-+-=，即2572(52)(1)0λλλλ-+=--=，可得2=5λ或1λ=，2=5λ时，66(,,55MB =，则455BM ==，1λ=时，(3,3,MB =，则BM ==，综上，BM 长为455或19.已知动点M 与两个定点(1,1),(1,4)A B --的距离的比为12，记动点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程，并说明其形状；（2）已知(1,0)D -，过直线5x =上的动点(5,)P p 分别作曲线Γ的两条切线PQ ，(,PR Q R 为切点），连接PD 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ADN △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点为1(,0)3-；（ⅱ）存在，(5,0)P .【解析】【分析】（1）根据已知及两点距离公式有2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，整理即可得曲线方程；（2）（ⅰ）根据题设知,R Q 在以PD 为直径的圆上，并写出对应方程，结合,R Q 在22(1)4x y ++=上，即可求直线RQ ，进而确定定点坐标；（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为1(,0)3T -，易知N 在以DT 为直径的圆上，根据圆的性质判断ADN △面积最大时N 的位置，即可确定P 的坐标.【小问1详解】设(,)M x y ，则22||1||4MA MB =，即2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，所以2223(1)4(1)(4)x y y ++-=-，整理得22(1)4x y ++=.【小问2详解】（ⅰ）由题设，易知,,,P R D Q 四点共圆，即,R Q 在以PD 为直径的圆上，而,P D 的中点坐标为(2,2p ，||PD =以PD 为直径的圆为222(2)()924p p x y -+-=+，又,R Q 在22(1)4x y ++=上，即RQ 为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线RQ 为620x py ++=，显然该直线恒过定点1(,0)3T -，得证.（ⅱ）存在，(5,0)P ，理由如下：由（i ）及题设，易知N 在以DT 为直径的圆上，即2(,0)3-为圆心、半径为13，且AD x ⊥轴，则|1AD =|，且2(,0)3-到直线AD 的距离为13，故N 到直线AD 的最大距离为23，所以，当N 与1(,0)3T -重合时，ADN △面积最大，此时(5,0)P .。
2023-2024学年山东省普高联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ ．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ ． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 ．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)． 故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内， 再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小， 因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4． 故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1， 它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ， 设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1）， 则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底 解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确； 又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)， 所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确； 因为|OA →|=√1+4+1=√6， 所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误； 假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ）， 所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确． 故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角， 又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确； 选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ， 因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33， 故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ， 则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误； 若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直， 则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确； 当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0， 圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2， 因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4， 又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误； 对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)， 因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2， 因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4； 当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确． 对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1， 则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|， 所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)， 同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ． 解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°， 则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1． 故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →， 又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)， 所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0）， 所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点， 所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆， 所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆， 所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)， 因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214． （2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0． （2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形， 故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2）， 设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以BF ∥CE ， 所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ， 所以BF ⊥平面BCG ， 因为BF ⊂平面BFD ， 所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)， 设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ． （ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3， 所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆， 焦距2c =|EF|=2√3， 此时b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ）， 由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页） 则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6， 因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2， 所以m =2y 1x 1−2， 所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112， 故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， 由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4， 由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112， 即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112， 整理得n 2−44n 2+16n+16=−112， 解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)
武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（ ）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（ ）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。
2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|1B x x =≤≤，则A B = （）A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}2,1,0,1,2--【正确答案】B【分析】根据集合,A B ，按照交集的定义直接运算即可.【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，{}|1B x x =≤≤，所以{}1,0,1A B =- .故选：B.2．设复数z 满足()12i 5z ⋅+=，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．2-D ．2i-【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】因为()12i 5z ⋅+=，所以()55(12i)12i 12i 12i (12i)z -===-++-，所以z 的虚部是2-，故选:C.3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A ．12小时B ．78小时C ．34小时D ．23小时【正确答案】B【分析】根据题意，问题转化为求V V V -小大大，根据圆锥体积公式计算即可.【详解】如图，依题意可知2R r =，2214ππ33V R h r h==大22111ππ326V r h r h =⋅=小，所以78V V V -=小大大，1小时7788⨯=小时．故选：B ．4．平面向量a 与b 相互垂直，已知(6,8)a =- ，5b = ，且b 与向量(1，0)的夹角是钝角，则b=（）A ．(3,4)--B ．(4,3)C ．(4,3)-D ．(4,3)--【正确答案】D【分析】先设出向量b的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．【详解】设(,)b x y =,0,680,a b a b x y ⊥∴⋅=∴-=①，5b ==，②，b与向量(1，0)夹角为钝角，0x ∴<，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- ，故选：D ．5．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2xf x x =的图象向左平移(0)m m >的单位后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．73π【正确答案】C【分析】由题意可得()cos 2sin(2226x x x f x π=-=-，再根据平移得到的函数为偶函数，利用对称轴即可解出.【详解】因为12142334a a a a a a a a =-，所以()cos 2sin()2226x x x f x π=-=-，其图象向左平移(0)m m >个单位，得到函数()2sin()26x m f x m π++=-的图象，而图象关于y 轴对称，所以其为偶函数，于是0,262m k k Z πππ+-=+∈，即42,3m k k Z ππ=+∈，又0m >，所以m 的最小值是43π．故选：C.6．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A ．甲48枚，乙48枚B ．甲64枚，乙32枚C ．甲72枚，乙24枚D ．甲80枚，乙16枚【正确答案】C【分析】根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案．【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率111132224P =+⨯=，乙获取96枚金币的概率2111224P =⨯=，则甲应该获得396724⨯=枚金币；乙应该获得196244⨯=枚金币；故选：C ．本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.7．已知2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．c b a<<【正确答案】D【分析】对a ，b ，c 进行变形，构造()()ln 1ln x f x x+=，2x ≥，求导后得到其单调性，从而判断出a ，b ，c 的大小.【详解】2ln 3log 3ln 2a ==，3ln 4log 4ln 3b ==，4ln 5log 5ln 4c ==，令()()ln 1ln x f x x+=，2x ≥，则()()()()()22ln 1ln ln 1ln 11ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x+--+++'==+，因为2x ≥，所以()21ln 0x x x +>，令()ln g x x x =，2x ≥，()ln 10g x x '=+>在2x ≥上恒成立，故()()ln 1ln 10x x x x -++<，所以()()()()2ln 1ln 101ln x x x x f x x x x-++'=<+在2x ≥上恒成立，故()()ln 1ln x f x x+=在2x ≥上单调递减，所以ln 3ln 4ln 5ln 2ln 3ln 4>>，即a b c >>故选：D构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到2ln 3log 3ln 2a ==，3ln 4log 4ln 3b ==，4ln 5log 5ln 4c ==，所以构造()()ln 1ln x f x x+=，2x ≥，达到比较大小的目的.8．已知函数()ex x f x =，若关于x 的方程()()210f x mf x m --+=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．1,1e 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22e 111e ,⎛⎫+ ⎪-⎝⎭D ．22e 1,1e e ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭【正确答案】D【分析】利用导数研究函数()f x 并画出图象，设()t f x =，要使关于x 的方程()()210f x mf x m --+=恰有4个不相等的实数根，等价为方程210t mt m --+=有两个不同的根12,t t ，且11et >，210e t <<，设2()1g t t mt m =--+，列式求解即可.【详解】∵(),0e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，当0x ≥时，()0f x ≥（0x =时取等号），()1e xxf x -'=，当01x ≤<时，()0f x '>，即()f x 在[0,1)上为增函数，当1x >时，()0f x '<，即()f x 在(1,)+∞上为减函数，()f x 在1x =处取得极大值()11ef =.当0x <时，1()0e xx f x -'=<，即()f x 在(,0)-∞上为减函数，作出函数()f x的图象如图所示：设()t f x =，当1et >时，方程()t f x =有1个解，当1t e=时，方程()t f x =有2个解，当10et <<时，方程()t f x =有3个解，当0=t 时，方程()t f x =有1个解，当0t <时，方程()t f x =有0个解，方程()()210f x mf x m --+=等价为210t mt m --+=，要使关于x 的方程()()210f x mf x m --+=恰有4个不相等的实数根，等价为方程210t mt m --+=有两个不同的根12,t t ，且11et >，210e t <<，设2()1g t t mt m =--+，则2221(0)1011e 1()10e e e e e 002m g m m g m m m m ⎧<⎧⎪=-+>⎪⎪+⎪⎪=--+<⇒>⎨⎨+⎪⎪->⎪⎪⎩->⎪⎩，解得221e e 1e m +<<+，故选：D ．二、多选题9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（）A ．若112,1+==++n n a a a n ，则37a =B ．若111,32n n a a a +==+，则453a =C ．若12n n S =3+，则数列{}n a 是等比数列D ．若()*1121,N 2n n n a a a n a +==∈+，则515a =【正确答案】AB【分析】对于A ，根据数列递推式可求得3a ，判断A ；对于B ，根据数列递推式可推出数列{1}n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列，从而求得4a ，判断B ；根据等比中项性质可判断C ；对于D ，利用取到数的方法可求得112n n a +=，即可求得5a ，判断D.【详解】选项A.由112,1+==++n n a a a n 得213224,73a a a a =+=+==，故A 正确；选项B.由111,32n n a a a +==+，得()1131n n a a ++=+，所以数列{1}n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列，则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以3423153a =⨯-=，故B 正确；选项C.由12n n S =3+，得当1n =时，111322a =+=，当2n =时，22111(9)(3)622a S S =-=+-+=当3n =时，33211(27)(9)1822a S S =-=+-+=，显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误；选项D.由122n n n a a a +=+，可得11112n n a a +-=，所以数列1{}na 是1为首项12为公差的等差数列，所以1111(1)22n n n a +=+-=，则515132a +==，故513a =，D 错误，故选：AB10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为DB 的中点，直线1AC 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．1C ，M ，O 三点共线B ．1AC ⊥平面1C BDC ．直线11AC 与平面11ABCD 所成角的为6πD ．直线1AC 和直线1BC 是共面直线【正确答案】ABC【分析】根据正方体的特性，依次分析各项正误.【详解】由正方体的特性可知，1AC 为正方体1111ABCD A B C D -的体对角线，1AC⊂平面11ACC A ，平面11ACC A ⊥平面11BDD B 于1C O ，又1AC 交平面1C BD 于点M ，故点M 在1AC 上，故A 项正确；由正方体的特性可知，BD ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，故1AC BD ⊥，同理，11A C BC ⊥，1BD BC 于点B ，故1A C ⊥平面1C BD ，故B 项正确；设正方体的边长为1，直线1AC 与平面11ACC A 的夹角为θ，则11AC =1A 到平面11ACC A 的距离为1122A D =，故1sin 2θ=，6πθ=，C 项正确；直线1AC 与直线1BC 为异面直线，故D 项错误.故选：ABC.11．已知顶点在原点O 的抛物线22x py =，()0p >，过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，当直线l 垂直于y 轴时，ABO 面积为8.下列结论正确的是（）A ．抛物线方程为28x y =.B ．若12AB =，则AB 的中点到x 轴距离为4.C ．ABO 有可能为直角三角形.D ．4AF BF +的最小值为18.【正确答案】ABD【分析】直线l 垂直于y 轴时，ABO 面积为8，可求得4p =，得到抛物线方程，验证选项A ，利用抛物线焦点弦的性质求AB 的中点到x 轴距离验证选项B ，设出直线l 的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理和向量数量积求ABO 内角的范围验证选项C ，利用韦达定理和基本不等式证明选项D.【详解】当直线l 垂直于y 轴时，ABO 面积为282p =，4p =，故A 正确；若12AB =，有A 、B 两点到准线距离之和为12，则AB 的中点到准线距离为6，故AB 的中点到x 轴距离为624-=，B 正确；设直线AB ：2y kx =+，联立28x y =可得28160x kx --=，由韦达定理知1216x x =-，()22212121248864x x x x y y =⋅==，1212120OA OB x x y y ⋅=+=-< ，故90AOB ∠>︒.一定是钝角三角形，C 错误；()121242424101018AF BF y y y y +=+++=++≥+=，D 正确.故选：ABD12．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()()0,0,3,0O A ，圆()()222:20C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】AC【分析】设动点P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程，由题意可得两圆相切，进而可求得r 的值．【详解】设动点(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，表示圆，圆心坐标为()1,0-，半径为2，又圆()()222:20C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，所以两圆相切.圆C ：()()22220y x r r +=->的圆心坐标为()20,，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，23r +=，得1r =，当两圆内切时，23r -=，0r >，得=5r ．故选：AC.三、填空题13．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且36240,10a a S +==，则1a =_______________.【正确答案】52【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组计算即可.【详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，则1112540212102a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：152a =，5d =.故答案为.5214．写出一个满足下列条件的正弦型函数：()f x =_____________.（1）最小正周期是π；（2）()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增；（3）x ∀∈R ，都存在0x 使得()()02f x f x ≤=.【正确答案】π2sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一，()()2sin 2,22,Z 2f x x k k k πϕπϕπ=+-+≤≤∈都可以）【分析】设()sin(),0,0f x A x A ωϕω=+>>，根据x ∀∈R ，都存在0x 使得()()02f x f x ≤=，可得2A =，根据最小正周期为π，可得2ω=，由()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增得到π02ϕ-≤≤，取π4ϕ=-即可.【详解】设()sin(),0,0f x A x A ωϕω=+>>，因为x ∀∈R ，都存在0x 使得()()02f x f x ≤=，所以max ()2f x =，所以2A =，因为()f x 最小正周期为π，所以2π,2T πωω===，则()()2sin 2f x x ϕ=+，ππ0,,2,42x x ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以πππ,,2π,2π222k k k ϕϕ⎡⎤⎡⎤∃∈+⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，所以π2π2π2k k ϕ-+≤≤，当0k =时，π02ϕ-≤≤，不妨取π4ϕ=-，此时()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故π2sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一，()()2sin 2,22,Z 2f x x k k k πϕπϕπ=+-+≤≤∈都可以）15．点1F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_______________.1-/1+－【分析】不妨设()()000,,0A x y y >,由2AF 与抛物线相切求得01x =，求得椭圆中的,a c ，从而得到椭圆的离心率.【详解】由题意知()()121,0,1,0,F F -不妨设()()000,,0A x y y >,则A在函数y =故y '=所以20001AF y k x ===+,解得01x =，所以()1,2A，122,AF AF ==又点A 恰好在以1F ，2F为焦点的椭圆上，所以1222a AF AF =+=+，22c =,所以，212c e a ==，116．已知EAB ∆所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，且满足3,2,60EA EB AD AEB ===∠=︒，则多面体E ABCD -的外接球的表面积为__________．【正确答案】16π取AB 中点F ，G 是矩形ABCD 对称线交点，连接EF,FG ，作OG EF //，可设O 是外接球球心．求出半径即可得面积．【详解】取AB 中点F ，G 是矩形ABCD 对称线交点，连接EF,FG ，作OG EF //，由已知EAB ∆是等边三角形，EF AB ⊥，又平面EAB ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面EAB ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，∴EF ⊥平面ABCD ，则OG ⊥平面ABCD ．设O 是E ABCD -外接球球心，由EF ⊥平面ABCD 和OG ⊥平面ABCD 得OG AG ⊥，OGFE 是直角梯形，设OE OB R ==，而112FG AD ==，BG 2EF =，∴222(EF GF OE +=，即22212R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2R =，∴2416S R ππ==．故16π．本题考查四棱锥外接球表面积，解题关键是确定外接球的球心位置，从而求得球半径．棱锥的外接球球心一定在过各面外心用与此面垂直的直线．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c ==，∠B ＝45°．(1)求边BC 的长以及三角形ABC 的面积；(2)在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求tan ∠DAC 的值．【正确答案】(1)3BC =；32ABC S = ；(2)211【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解3BC =，结合面积公式求得面积；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出sin C ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解，从而求解tan ∠DAC 的值．【详解】（1）在ABC 中，因为b =c 45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2522a a =+-所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =，113sin 3222ABC S ac B ==⨯=△（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C =，sin C=.所以sin C =在ADC △中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故cos 5C =因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠3455==由题可知∠DAC 为锐角，cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠．18．为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h ），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：(1)试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；(2)为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．【正确答案】(1)26(2)815【分析】（1）根据题意频率分布直方图中的矩形面积和为1得样本落在[)160,200的频率为0.13，再根据频率，频数关系求解即可；（2）根据古典概型列举基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【详解】（1）解：由直方图可得，样本落在[)0,40，[)40,80，[)80,120，[)120,160的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在[)200,240，[)240,280，[)280,320，[]320,360的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01．因此，样本落在[)160,200的频率为：()10.020.150.270.230.090.060.040.010.13-+++++++=所以样本中用电量在[)160,200的用户数为2000.1326⨯=．（2）解：由题可知，样本中用电量在[)0,40的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在[]320,360的用户有2户，设编号分别为a ，b ，则从6户中任取2户的样本空间为：()()()()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,,1,,2,3,2,4,2,,2,,3,4,3,,3,,4,,4,,,a b a b a b a b a b Ω=，共有15个样本点．设事件A =“走访对象来自不同分组”，则()()()()()()()(){}1,,1,,2,,2,,3,,3,,4,,4,A a b a b a b a b =，所以()8n A =，从而()()()815n A P A n ==Ω．所以走访对象来自不同的组的概率为815.19．已知数列{}n a 满足()1123123(1)22n n a a a na n n N +*++++=-⋅+∈ .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)*1=12,2n n n a n n N⎧=⎨≥∈⎩，且(2)131=1021n n S +-+【分析】（1）1n =时，可得11a =，2n ≥时，代入n 1-，两式相减可得通项公式；（2）利用裂项相消法可求.【详解】（1）因为()1123123(1)22n n a a a na n n N +*++++=-⋅+∈ ，当1n =时，可得11121a a +==， ；当2n ≥时，可得1231123(1)(2)22nn a a a n a n -++++-=-⋅+ ，()1123123(1)22n n a a a na n n N +*++++=-⋅+∈ 两式相减得1(1)2(2)22n n nn na n n n +=-⋅--⋅=⋅，即2(2)n n a n =≥，所以数列{}n a 的通项公式为*1=12,2n n n a n n N ⎧=⎨≥∈⎩，且（2）当1n =时，()()()()112121111101121a b a a ===++++，当2n ≥时，()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a b a a +++===-++++++，则23341111111212121212121110n n n S +-+-++-+++=++++ 1111131()105211021n n ++=+-=-++.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点1B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ，D 是AC 的中点，且满足DA DB =．(1)求证：AB ⊥平面11BCC B ；(2)已知22AC BC ==，直线1BB 与底面ABC 所成角的大小为π3，求二面角1C BD C --的大小．【正确答案】(1)证明见解析；(2)4π.【分析】（1）分别证明出1B C ⊥AB 和BC ⊥AB ，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，1,,CA Cy CB为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【详解】（1）因为点1B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ，所以1B C ⊥面ABC .因为AB ⊂面ABC ,所以1B C ⊥AB .因为D 是AC 的中点，且满足DA DB =．所以DA DB DC ==，所以,DAB DBA DCB DBC ∠=∠∠=∠.因为DAB DBA DCB DBC π∠+∠+∠+∠=，所以2DBA DBC π∠+∠=，即2ABC π∠=,所以BC ⊥AB .因为1B C BC C ⋂=,BC ⊂面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B ,所以AB ⊥平面11BCC B .（2）∵1B C ⊥面ABC ，∴直线1BB 与底面ABC 所成角为1B BC ∠，即1π3B BC ∠=.因为1BC =，所以1tan 3B C BC π==由（1）知，2ABC π∠=，因为22AC BC ==，所以6BAC π∠=，3ACB π∠=.如图示，以C 为原点，1,,CA Cy CB为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0C,1,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()1,0,0D,(1B ,所以11,22BB ⎛=-- ⎝，1,2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设()1,,C x y z ，由11CC BB = 得，()1,,,2x y z ⎛=- ⎝，即11,2C ⎛- ⎝.则(11,BC =-.设平面BDC 1的一个法向量为(),,n x y z =，则1·01·0022n BC x n BD x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，不妨令x =)2n = .因为1B C ⊥面ABC ，所以面DBC的一个法向量为(1CB =记二面角1C BD C --的平面角为θ，由图知，θ为锐角.所以111cos cos ,2CB n n CB nθ==⨯,即4πθ=.所以二面角1C BD C --的大小为4π.21．已知双曲线2222:1x y C a b-=过点(M ，且右焦点为()2,0F .(1)求双曲线C 的方程：(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若,PA m AF PB nBF ==，求证：m n +为定值；(3)在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求三角形QAB 的面积的取值范围.【正确答案】(1)2213x y -=(2)证明见解析(3)⎫+∞⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据双曲线过点(M 及双曲线定义求得a ，写出双曲线方程；（2）联立直线l ：2,0x ty t =+<<C 方程得韦达定理，由,PA m AF PB nBF == 用,A B y y 表示,m n ，将韦达定理代入m n +后计算为定值；（3）将1212QAB APQ BPQ S S S PQ x x =-=⋅- 表示为t 的函数，分析单调性求范围.【详解】（1）依题意，双曲线C 的左焦点为()2,0F '-，由双曲线定义知，C 的实轴长22a MF MF =-='因此22221a b a ==-=，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.（2）由（1）知，双曲线C 的渐近线方程为y =，依题意，直线l 的斜率k 存在，且3k >，设直线l 的方程为：12,,0x ty t t k=+=<<由22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得：()223410t y ty ---=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122241,33t y y y y t t -+==--，而点20,P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()11112,,2,PA x y AF x y t ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ ，因为PA mAF = ，则有112y my t+=-，即121m ty =--，同理221n ty =--，所以212121224211223222613ty y t m n t y y t y y tt ⎛⎫+-+=--+=--⋅=--⋅= ⎪-⎝⎭-，为定值.（3）由（2）知，点20,Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4PQ t =，12y y -，1212121222QAB APQ BPQS S S PQ x x ty ty y y t =-=⋅-=-=-==因为0t <<()1,2u ，而函数4y u u =-在()1,2上单调递减，即403u u <-<，因此03<<21t>+.所以三角形QAB 的面积的取值范围⎫+∞⎪⎪⎝⎭.22．已知函数()1ln ,R f x a x a x=+∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由；(3)设函数()()g x f x x =-的两个极值点分别为12,x x ，且满足()()122122e 2e 1g x g x a x x -⎛⎫≤- ⎪--⎝⎭，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞(2)2a ≥或a<0；2a =或a<0时，有且仅有一条切线；2a >时，存在两条切线，理由见解析(3)1e ea ≥+【分析】（1）求导，根据导数的正负求解；（2）设切点为()00,x y ，由导数的几何意义可得()000002001ln 1a x ax y x f x x x x +-'===，整理得0002ln x x x a =-，设()ln ,0g x x x x x =->，根据()g x 的图象，判断方程0002ln x x xa=-根的个数，得出结论；（3）求得()221x ax g xx -+'=-，由题意12,x x 是方程210x ax -+=的两个正根，从而可得12122,,1a x x a x x >+==，不妨设1201x x <<<，计算得()()12112112ln 21g x g x a x x x x x -=-+--，由题意得111e 1111e nx x x ≤--，令()ln ,011xh x x x x=<<-，根据()h x 在()0,1上的单调性求得110e x <≤，进而得a 的范围.【详解】（1）当1a =时，()1ln ,0f x x x x=+>∴()22111x f x x x x -'=-=当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，∴单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞（2）()1ln ,0f x a x x x=+>，显然原点不在曲线上，设切点为()00,x y ，∵()2211a ax f x x x x -'=-=，∴()00000201ln 1a x ax y x f x x x x +-'===∴00011ln a a x x x -=+，即()0021ln a x x -=，显然0a ≠，∴0002ln x x x a =-，设()ln ,0g x x x x x =->，∴()()11ln ln g x x x ='-+=-，当1x >时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>，∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11g x g ==，且()e 0g =；当0e x <<时()0g x >；当e x >时()0g x <，作出()g x 的大致图象，如图，若()f x 有经过原点的切线，则直线2y a=与()g x 的图象有交点，由图可知，201a<≤或20a<，即a 的取值范围是：2a ≥或a<0.其中，当21a =或20a<，即2a =或a<0时，有且仅有一条切线，当201a<<，即2a >时，存在两条切线；综上：2a =或a<0时，有且仅有一条切线，2a >时，存在两条切线.（3）()()1ln ,0g x f x x a x x x x=-=+->，∴()222221111a x ax x ax g x x x x x -+--+=--==-'，∵12,x x 是函数()g x 的两个极值点，∴12,x x 是方程210x ax -+=的两个正根.∴21212Δ4001a x x a x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=⎩，即12122,,1a x x a x x >+==，不妨设1201x x <<<，则()()()()1212121211ln ln g x g x a x x x x x x -=-+---111111111112ln 2ln 2a x x x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()11121112111112ln 22ln 211a x x g x g x x a x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==-+---，由()()122122e 2e 1g x g x a x x -⎛⎫≤- ⎪--⎝⎭，得12112ln 2e221e 1a x a x x -+≤---，即111e 1111e nx x x ≤--，令()ln ,011x h x x x x =<<-，∴()2221111ln 01xx x h x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎛⎫ ⎪⎝⎭'-，∴()h x 在()0,1上单调递增，且e11111e e e e h -⎛⎫== ⎪⎝⎭--，∴()1e 1h x h ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴110e x <≤，函数e1,10y x x x <≤=+，因为2221110x y x x -'=-=<，则函数单调递减，所以，当1e x =时，min 1e e y =+.∴1211e 11e a x x x x =+=+≥+.。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
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42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。
2023-2024学年湖北省高二上学期11月期中月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省高二上册11月期中联考数学模拟试题一、单选题1．若(2,1,2)a b +=-- ，(4,3,2)a b -=-- ，则a b ⋅等于（）A ．5B ．5-C ．7D ．1-【正确答案】B【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.【详解】∵(2,1,2)a b +=-- ，(4,3,2)a b -=--，∴两式相加得2(2,4,0)a =- ，∴(1,2,0)a =-，∴(3,1,2)b a b a =+-=- ，∴1(3)(2)1025a b ⋅=⨯-+-⨯+⨯=-，故选：B ．2．已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）AB ．2C 1D 1【正确答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.1=．解得1a =-+1a =-0a > ，1a ∴=-故选：C.3．如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40百分位数是（）A ．2℃B ．-1℃C ．-0.5℃D ．2-℃【正确答案】C【分析】通过折线图，将这10天的最低气温按从小到大顺序，第4，第5个数据的平均数为第40百分位数.【详解】由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大排列为：3-，2-，1-，1-，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以1040%4⨯=是整数，则这10天的最低气温的第40百分位数是100.52-+=-(℃).故选：C4．设直线:3l y kx =+与椭圆22:194x yC +=相交于A B 、两点，且AB 的中点为11,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则k =（）A ．43B ．427C ．13-D ．34【正确答案】A【分析】设()()1122,,A x y B x y 、，进而根据点差法求解即可.【详解】解：设()()1122,,A x y B x y 、，故有2211194x y +=①，2222194x y +=②，所以，两式作差得22222121094x x y y --+=，即()()()()21212121094x x x x y y y y +--+=+，所以，()()1221211249AB x x y y k x x y y +-==--+，因为AB 的中点为11,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121222,3x x y y +=-+=，所以()21214242393AB y y k x x ⨯--==-=-⨯故选：A5．从2名男同学和3名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有2名女同学的概率为（）A ．0.6B ．0.5C ．0.3D ．0.2【正确答案】A【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ，则任选3人的种数为abA abB abC aAB aAC ,,,,，aBC bAB bAC bBC ABC ,,,,，共10种，其中恰有2名女生的有aAB aAC ,，aBC bAB bAC bBC ,,,，共6种，故恰有一名女同学的概率60.610P ==.故选：A ．6．已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【正确答案】D【分析】在四面体ABCD 中，取定一组基底向量，表示出AF ，CE，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体ABCD 的所有棱长均为2，则向量,,AB AC AD不共面，两两夹角都为60 ，则22cos 602AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，因点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则1()2AF AC AD =+ ，12CE AE AC AB AC =-=-，211()(2)(22)44AF CE AC AD AB AC AC AB AD AB AC AC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ 21(222222)24=+-⨯-⨯=-，所以2AF CE ⋅=-.故选：D7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01PE PD λλ=≤≤ ，下列结论错误的是（）A ．平面PAC ⊥平面PCD ；B ．点P 到直线CD 3C ．若二面角E ACD --的平面角的余弦值为33，则13λ=；D ．点A 到平面PCD 52．【正确答案】D【分析】A 选项，作出辅助线，证明出AC ⊥BC ，结合PA ⊥平面ABCD 可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B 选项，求出点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，利用勾股定理求出答案；C 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D 选项，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，证明AH 的长即为点A 到平面PCD 的距离，求出AH 的长.【详解】A 选项，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故∠PBA 即为PB 与底面ABCD 所成的角，π4PBA ∠=，因为π2∠=∠=ABC BAD ，所以PA =AB =1，因为2,1AD PA BC ===，取AD 中点F ，连接CF ，则AF =DF =AB =CF =BC ，则四边形ABCF 为正方形，∠FCD =∠FCA =45°，所以AC ⊥CD ，又因为AP AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ，A 正确；由A 选项的证明过程可知：CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC 所以CD ⊥PC ，故点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，其中1PA AB BC ===由勾股定理得：222,3AC PC AC PA ==+B 正确；以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，()0,2,1E λλ-，其中平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则()2100n AE y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩ ，令1y =得：2,11z x λλ==--，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设二面角E AC D --的平面角为θ，显然cos θ=33其中()220,0,11,1,31cos ,32111m n λλλλ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭=⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，解得：13λ=或1λ=-，因为01λ≤≤，所以13λ=，C正确；过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，AH⊂平面APC，所以AH⊥CD，因为PC CD C⋂=，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以3AP ACAHPC⋅==，D选项错误故选：D8．已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14【正确答案】D【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以PF2=F1F2=2c,由AP222tan sin cosPAF PAF PAF∠=∴∠∠=由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠,所以22214,π54sin()322c a c ea c PAF=∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（）A ．直线4120()+-=∈R mx y m 恒过定点(0,3)B ．已知直线0x y m +-=与直线(32)0+-=x m y 互相垂直，则2m =C ．圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2D ．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=【正确答案】AB【分析】将直线4120()+-=∈R mx y m 转化为()430mx y +-=对m R ∈恒成立，即可判断A 是否正确；根据直线垂直的关系可知(32)=011+1m ⋅-⋅，解出m 的值，即可判断B 是否正确；求出圆心坐标，再根据点到直线的距离公式即可判断C 是否正确；将两圆方程联立作差，即可求解两个圆的公共弦方程，进而判断D 是否正确；【详解】直线4120()+-=∈R mx y m ，即()430mx y +-=对m R ∈恒成立，所以直线恒过定点(0,3)，所以A 正确；因为0x y m +-=与直线(32)0+-=x m y 互相垂直，所以(32)=011+1m ⋅-⋅，所以2m =，所以B 正确；因为圆22:28130C x y x y +--+=的圆心坐标为()1,4，所以圆心()1,4到直线4330x y -+=的距离为412315-+=，所以C 错误；将两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程联立，作差可得260x y -+=，所以D 错误.故选：AB.10．已知圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=，直线l ：0kx y k --=，下面命题中正确的是（）A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 都相离；C ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相交；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切.【正确答案】ACD【分析】由题意求得圆M 与直线l 有公共点()1,0；求得圆心到直线l 的距离为d r ≤；即可得出答案.【详解】解：对于A ，圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=的圆心为()1cos ,sin θθ+，半径为=1r ；无论θ取何值，都有22(11cos )(sin )1θθ--+=，∴圆过定点()1,0；又直线l ：0kx y k --=可化为()10k x y --=，过定点()1,0；∴直线l 和圆M 有公共点()1,0，A 正确；对于B ，圆心M 到直线l 的距离为()sin 1d r θα==-≤=，其中tan k α=；∴d r ≤，故B 错误；根据B 的分析，可得C ､D 正确.故选：ACD11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．b =【正确答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，（*）a c m R ∴-=+，故A 正确；a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩，两式相乘可得()()22m R n R a c++=-222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当λμ=时，1//A P 平面1ACD B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当1λ=时，PBD △的面积为定值D ．当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】ABD【分析】对于A 选项，确定P 点在面对角线1BC 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B 选项，确定P 点在棱11B C 上，由等体积法，说明三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于C 选项，确定P 点在棱1CC 上，PBD △的底BD 不变，高PE 随点P 的变化而变化；对于D 选项，通过平移直线1A D ，找到异面直线1A D 与1D P 所成的角，在正11D B C △中，确定其范围.【详解】对于A 选项，如下图，当λμ=时，P 点在面对角线1BC 上运动，又P ∈平面11A C B ，所以1A P ⊂平面11A C B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，1AD ⊄ 平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD ∴平面11A BC ，同理可证//AC 平面11A BC ，1AD AC A = ，所以，平面11//AC B 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 正确；对于B 选项，当1μ=时，如下图，P 点在棱11B C 上运动，三棱锥1P A BC -的体积111113P A BC A BC P PBC V V S B A --==⋅⋅为定值，B 正确；对于C 选项，当1λ=时，如图，P 点在棱1CC 上运动，过P 作PE BD ⊥于E 点，则12PBD S BD PE =⋅△，其大小随着PE 的变化而变化，C 错误；对于D 选项，如图所示，当1λμ+=时，P ，C ，1B 三点共线，因为11//A B CD 且11A B CD =,所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ，所以11D PB ∠或其补角是直线1A D 与1D P 所成角，在正11D B C △中，11D PB ∠的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．【正确答案】13和3-.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为α，得到tan k α=，得出对角线所在直线的斜率为tan()4πα+，结合两角和的正切公式，求得1tan 3α=，再结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率tan k α=，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为4πα+，其斜率为tan()4πα+，根据题意值tan()24πα+=，可得tan tantan 1421tan 1tan tan 4πααπαα++==--，解得1tan 3α=，即正方形其中一边所在直线的斜率为13，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为3-.故13和3-.14．若向量()2,4,a m =-，()1,1,2b =-r ，()0,2,3c =- 共面，则m =______．【正确答案】7【分析】根据a b c λμ=+可构造方程组求得结果.【详解】,,a b c共面，(),a b c R λμλμ∴=+∈ ，204223m λλμλμ=+⎧⎪∴-=-+⎨⎪=-⎩，解得：217m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，m 7∴=.故答案为.715．已知函数()()2f x k x =--有两个不同的零点，则常数k 的取值范围是___________．【正确答案】⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】先求函数的定义域，再将原问题转换为半圆与直线存在2个交点.【详解】()f x 的定义域为210,11x x -≥-≤≤，原问题等价于()g x =与()()2k x k x =-有两个交点，求k 的取值范围，()k x 为过定点()2,0的直线，()()221,0g x x g x +=≥，所以()g x 为圆心在原点，半径为1的圆的x 轴的上半部分，()g x 与()k x的大致图像如下：考虑直线()k x 与半圆()g x相切的情况：1=，解得21,3k k ==（舍）或k =，∴k ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.故⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16．已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为___________.【正确答案】8+8,A B 到直线40x y ++=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.求出M 的轨迹即可求得该最大值.,A B 到直线40x y ++=的距离之和，其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.由题可知，OAB 为等边三角形，则OM ，∴AB 中点M 的轨迹是以原点O故点M 到直线40x y ++==+(2，∴112244x y x y +++++的最大值为(28+.故答案为.8+四、解答题17．已知直线l 过点(2,2)P .(1)若直线l 与360x y -+=垂直，求直线l 的方程；(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】(1)380x y +-=；(2)y x =或40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线l 的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为0x y m ++=，代入点P ，即可求得参数m【详解】（1）直线360x y -+=的斜率为3，则直线l 的斜率为13-，则直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=；（2）当截距为0时，直线l 的方程为y x =；当截距不为0时，直线l 设为0x y m ++=，代入(2,2)P 解得4m =-，故直线l 的方程为40x y +-=.综上，直线l 的方程为y x =或40x y +-=18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，BD 的中点，点G 在CD 上，且14CG CD =．（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（233【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明1EF B C ⊥；（2）直接利用向量法求EF 与CG 所成角的余弦值【详解】（1）建立以D 点为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，则111(,,)222EF =-uu u r ，1(1,0,1)B C =--，所以()()111101022EF B C ⎛⎫⋅=⨯-++-⨯-= ⎪⎝⎭，即1EF B C ⊥ ，所以1EF B C ⊥.（2）由（1）知，3(0,,0)4G ，1(0,,0)4CG =- ，则110024cos ,||||EF CG EF CG EF CG ⎛⎫+⨯-+ ⎪⋅<>==⋅，因为EF 与CG 所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．【正确答案】（1）36125；（2）1325.【分析】(1)把该选手进入第三轮才被淘汰的事件视为三个相互独立事件的积，再用概率的乘法公式计算即可；(2)把该选手至多进入第二轮考核的事件拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件的加法公式计算即得.【详解】记“该选手正确回答第i 轮问题”为事件(1,2,3)i A i =，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，(1)该选手进入第三轮才被淘汰的事件为123A A A ，其概率为123123()()()()P A A A P A P A P A ==43236(1)555125⨯⨯-=；(2)该选手至多进入第二轮考核的事件为112A A A +，其概率为11211244313()()()()(1)(1)55525P A A A P A P A P A +=+=-+⨯-=.20．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[)85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a ，b 的值；(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.【正确答案】(1)0.005,0.025a b ==；(2)众数为70，平均成绩为69.5分；(3)78分.【分析】（1）先算出第五组频率，可得a .后由前两组频率和为0.3可得b .（2）由众数，平均数计算公式可得答案.（3）中位数对应录取率为50%，本题即是求频率0.81所对应分数.【详解】（1）由题图可知组距为10.第三组，第四组频率之和为()0.0450.020100.65+⨯=，又后三组频率和为0.7，则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.得0.005,0.025a b ==.（2）由题图可知第三个矩形最高，故众数为6575702+=.平均数为()10500.005600.025700.045800.020900.00569.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）前三组频率之和为()100.0050.0250.0450.75⨯++=0.81<.前四组频率之和为0.75100.020.950.81+⨯=>.故频率0.81对应分数在75到85之间.设分数为x ，则有()750.020.750.81x -⨯+=，解得78x =.故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>右焦点为(2,0)F ，离心率6e =(1)求椭圆E 的方程；(2)过焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与圆222x y b +=相切，与椭圆E 相交于M 、N 两点，求椭圆的弦MN 的长度．【正确答案】(1)2213x y +=【分析】（1）根据离心率和焦点即可求解a =b ，（2）根据直线与圆相切求解得1k =，进而联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意可知：3c c a ===，解得a =1b ==，所以椭圆的方程为2213x y +=（2）设直线l的方程为(0y k x ,k =->，由于直线l 与圆221x y +=1=，解得1k =，1k =-（舍去），故直线l的方程为y x =-联立直线与椭圆的方程22243013y x x x y ⎧=⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,所以1212,324x x x x +=⋅=，由弦长公式得12MN x x =-22．已知半径为C 的圆心在y 轴的正半轴上，且直线20x y ++=与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程．(2)若圆C 的一条弦经过点()0,2M ，求这条弦的最短长度．(3)已知()0,2A -，P 为圆C 上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B （异于点A ），使得PB PA为定值？若存在，求点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22(8)50x y +-=；(2)(3)存在，点B 的坐标为(0,3).【分析】（1）由题意圆心坐标为(0，)(0)b b >，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径（2）先判断点M 在圆内，由圆的集合性质可得直线CM 与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案．（3）设(0B ，)(2)m m ≠-，(,)P x y ，分别表示出||PB ，||PA ，由||||PB PA 为定值得出答案．【详解】（1）由题意设圆心坐标为(0，)(0)b b >，则圆C 的方程为22()50(0)x y b b +-=>．因为直线20x y ++=与圆C 相切，所以点(0,)C b 到直线20x y ++=的距离d =因为0b >，所以8b =，故圆C 的标准方程为22(8)50x y +-=；（2）因为6CM =<，所以当直线CM 与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，故所求最短弦长为=（3）假设存在定点B ，设(0B ，)(1)m m ≠-，(,)P x y ，则22250(8)1614x y y y =--=-+-，则PB PA=当21416201020m m--=>-，即3(2m m ==-舍去）时，||||PB PA 为定值，且定值为12，故存在定点B ，且B 的坐标为(0,3)．。
天津市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023～2024学年度第一学期期中联考高二数学（答案在最后）一、选择题（共9题，每题5分，满分45分）1.直线10y ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】解：将直线一般式方程化为斜截式方程得：1y =-，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.与椭圆C ：2212516x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（）A.221167x y -= B.22163x y -= C.22136x y -= D.221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出2a 的值，结合222c a b =+可求b 的值，则双曲线方程可求.【详解】因为椭圆C 的焦点坐标为()，即()3,0±，所以3c =，记()()12,,,0330F F -，所以122PF PF a -=，所以a =b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=，故选：C.3.设R a ∈，则“32a =”是直线1l ：210x ay +-=和直线2l ：()110a x ay -++=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先根据12l l //求解出a 的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件.【详解】若12l l //，则有()121a a a ⨯=-，所以0a =或32a =，当0a =时，12:10,:10l x l x -=-+=，故12,l l 重合，舍去；当32a =时，1213:310,:1022l x y l x y +-=++=，满足条件，所以123//2l l a ⇔=，所以“32a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆C ，且椭圆C 与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆C 在平面直角坐标系中的方程为22221x y a b+=，则下列选项中满足题意的方程为（）A.2214x y += B.2213616x y += C.221169x y += D.221164x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据题意判断出椭圆的长轴长度乘以短轴长度等于矩形ABCD 的面积，然后逐项判断方程是否符合即可.【详解】由题意可知：2248a b ⨯=，所以12ab =，A ：2,1,2a b ab ===，不满足；B ：6,4,24a b ab ===，不满足；C ：4,3,12a b ab ===，满足；D ：4,2,8a b ab ===，不满足；故选：C.5.向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- ，a b ⊥，则2a b += （）A.9B.3C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据a b ⊥ 先求解出x 的值，然后表示出2a b +的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果.【详解】因为a b ⊥，所以()422120x -⨯+⨯-+=，所以5x =，所以()()()222,1,24,2,50,0,9a b +=-+-=，所以29a b +==，故选：A.6.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点(P -，1F ，2F 是C 的左右焦点，且12=PF ，若双曲线上一点M 满足152MF =，则2MF =（）A.12或92B.92C.12D.72【答案】B 【解析】【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据M 在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出2MF 的值.【详解】因为()1,0F c -，12=PF2=，所以2c =或0（舍），又因为双曲线的渐近线过点(P-，所以1b a -=-，所以b a =所以2222c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，所以1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22:13y C x -=，若M 在左支上，1512MF c a =>-=，符合要求，所以21592222MF MF a =+=+=，若M 在右支上，1532MF c a =<+=，不符合要求，所以292MF =，故选：B.7.已知点()2,0A ，()0,2B ，点C 为圆2266160x y x y +--+=上一点，则ABC 的面积的最大值为（）A.12B.C.D.6【答案】D 【解析】【分析】先求解出直线AB 的方程，然后将圆心到直线AB 的距离再加上半径作为ABC 的高的最大值，由此求解出ABC 的面积的最大值.【详解】因为()2,0A ，()0,2B ，所以:20AB x y +-=，又因为圆的方程为()()22332x y -+-=，所以圆心为()3,3，半径为r =，所以圆上点到直线AB +=所以ABC 的面积的最大值为162⨯=，故选：D .8.过点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆22162x y +=交于A 、B 两点，且满足0PA PB += .若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由0PA PB +=，得点P 为线段AB 的中点，然后利用点差法可求出直线AB 的方程，则OM 的最小值为点O 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】椭圆方程22162x y +=.因为22311221622⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=<，则31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内，可知直线AB 与椭圆总有两个交点.因为0PA PB +=，即P 为线段AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，显然12x x ≠，则12123,1x x y y +=+=，22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22222121062--+=x x y y ，则21212121()()3()()0+-++-=x x x x y y y y ，即21213()3()0y y x x -+-=，所以21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率1k =-，所以直线AB 为1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即20x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离d ==.故选：B.9.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 与圆C ：222124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有2MF x ⊥轴，则离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】首先求出M 的坐标，设直线1F M 与圆C 相切于点D ，即可求出1F C ，2MF ，12F F ，1F D ，2ac =，即可求出离心率.【详解】圆C ：222124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为1,02C c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r c =，对于双曲线22221x y a b -=，令x c =，解得2by a =±，则2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线1F M 与圆C 相切于点D ，则12CD c =，又132F C c =，22b MF a=，122F F c =，所以1F D ==，所以21212tan 2b c a MF F c ∠==，则2ac =)22c a ac -=，)21e e -=，解得e =2e =-（舍去）.故选：C二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.）10.椭圆C ：222211x y m m+=+（0m >）的焦点为1F ，2F ，短轴端点为P ，若122π3F PF ∠=，则m =________.【答案】3【解析】【分析】先根据椭圆方程求解出c 的值，再根据1tan F PO ∠的值求解出b 的值，由此求解出结果.【详解】记坐标原点为O ，因为221m m +>，所以焦点在x 轴上，且1c ==，因为122π3F PF ∠=，所以123F PO F PO π∠=∠=，所以1tan c F PO b ∠==3b =，所以()2231033m m ⎛==> ⎝⎭，所以3m =，故答案为：3.11.直线l 过点()1,1且被圆C ：()2225x y +-=截得的弦长最短，则直线l 的方程为________.【答案】y x =【解析】【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆C 的方程知圆心()0,2C 当圆被直线截得的弦最短时，圆心()0,2C 与()1,1的连线垂直于弦，由圆心()0,2C 与()1,1的连线斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，直线l 的方程为11y x -=-即y x =.故答案为：y x =.12.圆2280x y +-=与圆2234180x y x y +-+-=的公共弦的长为______.【答案】4【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆228x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆2280x y +-=与圆2234180x y x y +-+-=相减可得34100x y -+=，即两圆的公共弦所在的直线方程为34100x y -+=，又圆2280x y +-=圆心O 到直线34100x y -+=的距离2d ==，圆228x y +=的半径为4=.故答案为：4.13.如图所示，四边形ABCD 为正方形，ABEF 为矩形，且它们所在的平面互相垂直，24AB BE ==，M 为对角线AC 上的一个定点，且3AM MC=，则M 到直线BF 的距离为________.【答案】5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()4,2,0F ，()0,0,4C ，()4,0,0A ，因为3AM MC =，所以14AM AC =，所以()4,2,0BF = ，()()()114,0,04,0,43,0,144BM BA AC =+=+-= ，令()3,0,1a BM ==，4,2,0,55BF u BF ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，所以210a = ，655a u ⋅= ，则点M 到直线BF 的距离为()2236701055a a u-⋅=-=.故答案为：70514.直线l ：420mx y m --+=与24x y =-有两个不同交点，则m 的取值范围________.【答案】41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过()0,2-、直线与半圆相切，结合图象求解出m 的取值范围.【详解】24x y =-即为224,0x y x +=≥，表示圆心在原点半径为2的圆位于y 轴右侧的部分，直线420mx y m --+=即为()42m x y -=-，过定点()4,2A ，在平面直角坐标系中作出直线和半圆的图象如下图所示：圆与坐标轴交于()()()0,2,0,2,2,0-，且直线的斜率为m ，当直线经过()0,2-时，此时2420m -+=，解得1m =，2=，解得43m =或0m =（舍），根据图象可知，若直线与半圆有两个不同交点，则41,3m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15.已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，O 为原点，点M 是抛物线C 准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，则MA MO +的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先确定A 点坐标和准线方程，然后通过作A 关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.【详解】因为2AF =，所以22A py +=，所以1A y =，所以2A x =±，不妨取()2,1A ，()0,0O ，准线1y =-，作A 关于准线的对称点B ，则()2,3B -，所以MA MO +的最小值即为OB ，当且仅当,,O M B 三点共线时取最小值，所以MA MO +=，.三、解答题（共5题，满分75分.）16.已知圆心为C 的圆经过点()1,1A -和()4,2B ，且圆心C 在直线10x y -+=上，（1）求圆C 的标准方程.（2）过点()2,1M -作圆的切线，求切线方程（3）求x 轴被圆所截得的弦长MN【答案】（1）()()22129x y -+-=（2）2x =-或4350x y ++=（3）【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，根据AC BC =求解出圆心和半径，由此求得圆的标准方程；（2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算；（3）先计算出圆心到x 轴的距离d ，然后根据半径、d 、半弦长之间的关系求解出x 轴被圆所截得的弦长即可.【小问1详解】设圆心(),1C m m +，则AC BC =，=解得1m =，所以圆心为()1,2，半径3r ==，所以圆C 的标准方程为()()22129x y -+-=；【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为2x =-，圆心到直线的距离为()123r --==，满足条件；当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，3=，解得43k =-，所以直线方程为4350x y ++=，所以切线方程为2x =-或4350x y ++=；【小问3详解】因为圆心()1,2到x 轴(0y =)的距离为2d =，且2222MN r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以25MN =，所以x 轴被圆所截得的弦长为25.17.如图，⊥AE 平面ABCD ，AD AB ⊥，//CF AE ，//AD BC ，22AB CF AD ===，28AE BC ==（1）求证：BD ⊥平面ECF ；（2）求平面BCF 与平面ECF 夹角的余弦值；（3）求点B 到平面ECF 的距离.【答案】（1）证明见解析（225（3）455【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AD AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,1,0D ，()0,0,8E ，()2,4,2F ，所以()2,1,0BD =- ，()2,4,8CE =-- ，()0,0,2CF = ，所以0BD CE ⋅= ，0BD CF ⋅= ，所以BD CE ⊥ ，BD CF ⊥，即BD CE ⊥，BD CF ⊥，又CE CF C = ，,CE CF ⊂平面ECF ，所以BD ⊥平面ECF .【小问2详解】因为()0,4,0BC = ，()0,0,2CF = ，设平面BCF 的法向量为(),,m x y z = ，则4020m BC y m CF z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取()1,0,0m = ，又平面ECF 的法向量可以为()2,1,0BD =- ，设平面BCF 与平面ECF 的夹角为θ，则5cos 55m BD m BDθ⋅===⋅ ，所以平面BCF 与平面ECF 夹角的余弦值为55.【小问3详解】点B 到平面ECF 的距离555BC BD d BD⋅=== .18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA =，2AB AC ==.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为49，求线段AH 的长.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）12【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接,MF NF ，根据条件证明出平面//FMN 平面BDE ，由此可证明//MN 平面BDE ；（2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面BDE 的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果；（3）设出点H 的坐标，分别表示出直线,NH BE 的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出AH 的长度.【小问1详解】取AB 中点F ，连接,MF NF ，如下图所示：因为,M F 为,AD AB 中点，所以//MF BD ，又因为MF ⊄平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以//MF 平面BDE ，因为,N F 为,AB CB 中点，,D E 为,PA PC 中点，所以//,//NF AC DE AC ，所以//NF DE ，又因为NF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以//NF 平面BDE ，又因为NF MF F ⋂=，NF MF ⊂,平面FMN ，所以平面//FMN 平面BDE ，又因为MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面BDE .【小问2详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，又()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,2B C D E ，所以()()()0,1,2,2,0,2,0,1,0CE DB DE =-=-= ，设平面BDE 一个法向量为(),,n x y z = ，所以00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =，则0,1y z ==，所以()1,0,1n = ，设直线CE 与平面BDE 所成角为θ，所以sin cos ,5CE n θ== ，所以直线CE 与平面BDE所成角的正弦值为5.【小问3详解】设()()0,0,04H m m ≤≤，且()1,1,0N ，所以()()1,1,,2,1,2NH m BE =--=- ，所以4cos ,9NH BE == ，化简得22036230m m +-=，解得12m =或2310m =-（舍），所以12AH =.19.设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为A ，B ，122F F =，23AF =.（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，O 为坐标原点，若四边形OPQA 与三角形OPB 的面积之比为3:2，求点P 坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）2,55⎛ ⎪⎝⎭或2,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据已知线段长度求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则P 的坐标可求.【小问1详解】因为122F F =，23AF =，所以22,3c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如下图所示：因为四边形OPQA 与三角形OPB 的面积之比为3:2，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122Q P AB y OB y ⨯⨯=⨯⨯，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Q y m=-，所以22512434m m m -=-+，解得223m =±，当223m =时，2:23BP x y =+，2122345P m y m =-=-+，所以226222355P x ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以262,55P ⎛- ⎝⎭，当223m =-时，22:23BP x y =-+，21262345P m y m =-=+，所以26222355P x =-⨯+=，所以262,55P ⎛ ⎪⎝⎭，综上可知，P 点坐标为262,55⎛ ⎪⎝⎭或262,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.20.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 过点()0,2N 且与椭圆有唯一公共点M ，O 为坐标原点，当OMN 的面积最大时，求椭圆的方程.【答案】（1）2（2）22182x y +=【解析】【分析】（1）依题意可得222a b =⨯，即可得到12b a =，从而求出离心率；（2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，设直线l 为2y kx =+，联立直线与椭圆方程，由Δ0=得到k 、b 的关系，再求出M x ，由12OMN M S ON x =利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的k ，从而求出2b ，即可得解.【小问1详解】依题意222a b =⨯，即12b a =，所以离心率2c e a ===.【小问2详解】由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，即22244x y b +=，直线l 的斜率存在且不为0，设斜率为k ，则直线l 为2y kx =+，由222244y kx x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()22214161640k x kx b +++-=，所以()()()222164141640k kb ∆=-+-=，即222440k b b +-=，又2814M k x k -=+，所以22888211122114424OMN M S k k k k k k x ON -===≤=++⨯=⨯+ ，当且仅当14k k=，即12k =±时取等号，此时22214402b b ⎛⎫⨯±+-= ⎪⎝⎭，解得22b =，所以椭圆方程为2248x y +=，即22182x y +=.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b + ，c b + ，a c- B ．2a b + ，b ，a c- C ．2a b +，2c b + ，a b c++r r r D ．a b + ，a b c ++r r r ，cA ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B3．设定点()10,2F -，()20,2F ，动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．射线D ．椭圆或线段4．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（）A ．23B C ．26D ．21故选：C .5．已知直线l ：3mx y ++和直线：，则“1m =-”是“l ∥A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时，(m m6．已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在M 上，Q 为2PF 的中点，且121,FQ PF FQ b ⊥=，则M 的离心率为（）A ．3B ．13C ．12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点，可得PQ12均过定点，且圆12均与轴、轴相切，则圆12的半径之积为（）A ．ab B ．2abC ．22a b+D ．222a b +为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127【答案】C【详解】连接AM ，由题意知：()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨，则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥C ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10．已知直线，圆00为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为5B ．00y x 的最大值为5C ．直线l 与圆C 相切时，k =D ．圆心C 到直线l 的距离最大为411．已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A ．若1k =，则椭圆的离心率为B ．若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C ．1//l FQ D ．若直线BQ 平行于x 轴，则k =对于A ，若1k =，则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ，设0,0，则(B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点()()4,0,0,2A B ，当PBA ∠最小时，PB =.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2；②直线l 过点()2,3-，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=；③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=；④经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3，P 是侧面11（包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是．.77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得：(m ，所以直线l 过定点()3,1M ．.....................51111平面11(1)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ；(2)设点P 为1AC 的中点，求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】（1）证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ，且1,AA AB ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ，且1,AC BC ⊂平面1A BC ，1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分（2）由（1）知11AB A B ⊥，所以四边形11ABB A 为正方形，即12AA AB ==，且有22AC =.以点A 为原点，以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ，所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-，设平面ABP 的一个法向量 =s s ，则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ，同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ，所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ，所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17．（15分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为22，离心率为22.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l：()302x ty t=+>交椭圆C于E，F两点，且AEF△的面积为2，求t的值.联立则12232ty yt+=-+，12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，AB AD⊥，PA PD=，1AB=，2AD=，AC CD==.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD⋂平面ABCD AD=，且AB AD⊥，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB PD⊥，又PD PA⊥，且PA AB A=，,PA AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB；.......................5分（2）取AD中点为O，连接,CO PO，19．（17分）已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程；(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB =（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
2024年高二下学期期中模拟考试数学(全解全析)
2023-2024学年高二数学期中模拟卷全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++（()f x ′是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．12−【答案】A【分析】通过对()f x 求导，结合赋值法求得()112f ′=，从而求得()f x ，再求结果即可. 【详解】由函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++，可得()()1312f x f x x−′′=+， 令1x =，可得()()1311f f ′′=−，解得()112f ′=， 则()231ln 22f x x x x =−++，所以()31110122f =−++=.故选：A.2．若5250125(12)x a a x a x a x −=++++ ，则24a a +=（ ） A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【分析】利用二项式定理分别求出24,a a 即可计算得解.【详解】在550125(12)x a a x a x a x −=+++ 中，2225C 240a =×=，4445C 280a =×=，所以24120a a +=. 故选：C3．现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件A ，B 不相互独立 B ．()12P A B =C ．()P B A 可能等于()P BD ．()1130P A B +=【答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=×≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===， 故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+−=+−=， 故D 正确； 故选：C4．已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A．(,1−∞ B．()1C．(,1∞−D．(0,1【答案】A【分析】根据题意()f x ′2=，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知()f x ′122x a x=++，曲线()y f x =在点,A B 处的切线斜率都是2， 所以关于x 的方程1222x a x++=有两个不相等的正实数根； 可得关于x 的方程()21102x a x −−+=有两个不相等的正实数根， 则()2101Δ1402a a −>=−−×>,解得1a <故选：A.5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则P =（ ）A ．716 B ．516 C ．316D ．116【答案】B【分析】根据条件概率计算公式求解.【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率()45124511C C 22P A =+×+6736111C 222×+×=， 乙获胜并且比赛进行了七局的概率()73615C 232P AB=×= ，∴()P B A =()()55321162P AB P A ==． 故选：B ．6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D【解析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C , 从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.7．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【分析】构造函数sin y x x =−，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x∈ ，因为sin y x x =−，则cos 10y x ′=−<，即函数sin y x x =−在π0,2 单调递减， 且0x =时，0y =，则sin 0x x −<，即sin x x <，所以sin0.50.5a <，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31>且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<， 又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B8．已知方程222e e 9e 0x x ax x −+=有4个不同的实数根，分别记为1234,,,x x x x ，则31241234e e e e e e e e x x x x x x x x −−⋅−− 的取值范围为（ ） A ．()40,16eB ．()40,12eC ．()40,4eD ．()40,8e【答案】A【分析】将问题转化为22e e 9e 0x x a x x −+=，进而构造函数()e x f x x =，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得6e 10e a <<，进而可求解.【详解】易知0x =不是方程222e e 9e 0x x ax x −+=的根，故当0x ≠时，222e e 9e 0x x ax x −+=可化为22e e 9e 0x x a x x −+=， 令e xt x=，得229e 0t at −+=．设()e xf x x =，则()()2e 1x xf x x −′=， 令()0f x ′<，可得0x <或01x <<，令()0f x '>，可得1x >，故()f x 在(),0∞−和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e f =， 作出()f x 的大致图象，如图，数形结合可得方程229e 0t at −+=有两个不相等的实数根，设为1t ，2t ， 则21212,9e t t a t t +==，且12e,e t t >>， 则2222Δ36e 0e 2e e 9e 0a aa =−> − > − −+> ，解得6e 10e a <<，不妨设3142121423e e e e ,x x x x t t x x x x ====，则()()312422121234e e e e e e e e e e x x x x t t x x x x −−−−=−− ()()22221212e e e 10e e t t t t a −−+−，由6e 10e a <<，可得()224010e e 16e a <−<.故选：A ．【点睛】方法点睛：处理多变量函数值域问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A =“零件为次品”，i B = “零件为第i 台车床加工” (1i =，2，3)，下列结论正确的有（ ） A ．()0.03P A = B ．31()1i i P B ==∑C ．12()()P B A P B A =D ．123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为()0.050.150.030.250.030.600.033P A =×+×+×=，故A 错误； 对于B ：因为13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=，故B 正确；对于C ：因为111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅×===， 222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅×===， 所以12()()P B A P B A =，故C 正确；对于D ：由上可得125()()11P B A P B A +=，又因为333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅×===，故D 错误， 故选：BC ． 10．若()()()()202422024012202423111x a a x a x a x −=+−+−++− ，则下列选项正确的有（ ）A ．01a =B ．20241232023202421a a a a a +++++=−C ．2024012202320242a a a a a +++++=D ．202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× 【答案】ABD【分析】分别令1,0x x ==可判断AB ，利用二项展开式的通项公式可确定展开式系数的正负，去掉绝对值号，再赋值即可判断C ，取导数后赋值即可判断D. 【详解】对于A ，令1x =，可得()20240231a −==，故A 正确；对于B ，令0x =，可得()1232023202420240230a a a a a a +++++−×+ ，又01a =，所以20241232023202421a a a a a +++++=− ，故B 正确；对于C ，因为()[][]202420242024233(1)113(1)x x x −−−=−−=，展开式的通项公式为()12024C (3)1kkk k T x +=−−，所以2024C (3)(0,1,22024)k k k a k =−= ， 所以0122023202401232014a a a a a a a a a a +++++=−+−++ ， 令2x =，则()20240123201420242324a a a a a −×−+=−++= ，故2024012202320244a a a a a +++++=，故C 错误； 对于D ，因为()202420232332024(23)x x −=−×−′2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−−−−−−−−2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−+−+−++− ，所以202322023123202432024(23)2(1)3(1)2024(1)x a a x a x a x ×−=+−+−++− ，令0x =，可得202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× ，故D 正确. 故选：ABD11．已知()()()2ln 20220x x x f x ax x x −−> = −−+≤，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =可能有三对“友好点”B ．若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”C ．若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0D ．当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=【答案】BD【分析】不妨设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论()y g x =的图象以及直线y a =的图象的交点个数情况即可逐一判断求解. 【详解】若(),x y 和(),x y −−互为友好点，不妨设0x >，则()2ln 2220x x ax x −−+−++=，即2ln x xa x +=， 令()2ln ,0x x g x x x +=>，则()()243112ln 12ln x x x x x x x g x x x +−+ −−=′=， 令()12ln h x x x =−−，则()210h x x=−−<′， 所以()h x 单调递减，注意到()h x 和()g x ′同号，且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x >即(0g x ′>，()g x 单调递增， 当1x >时，()0h x <即()0g x ′<，()g x 单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出()y g x =的图象以及直线y a =的图象，如图所示，当1a >时，()y f x =不存在友好点，当1a =或0a ≤时，()y f x =仅存在一对友好点， 当01a <<时，()y f x =存在两对友好点， 从而()y f x =不可能有三对“友好点”，若()y f x =仅有一对“友好点”，则1a =或0a ≤，故AC 错，B 对，当a<0时，()y f x =仅存在一对友好点，即对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=，D 对. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 【答案】89【分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n −−=+≥，依次计算即可. 【详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步：若最后一步小明上1个台阶，则前n 1−个台阶有1n a −种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n −个台阶有2n a −种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n −−=+≥，易知121,2a a ==， 可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种.故答案为：89.13．已知函数()[],0,πf x x x x ∈，则()f x 的最大值为 ． 【答案】π【分析】求导得出函数()f x 在[]0,π上的单调性，即可求得()f x 的最大值为π.【详解】由()[],0,πf x x x x ∈可得()1f x x =′，令()0f x ′=可得cos x = 又[]0,πx ∈，所以π4x =，当π0,4x ∈时，()0f x ′<，此时()f x 在π0,4上单调递减，当π,π4x∈时，()0f x ′>，此时()f x 在π,π4 上单调递增；易知()()00,ππf f ==； 因此()f x 的最大值为π. 故答案为：π14．已知函数()ln ,0,1,0,x x x f x x x x>= −< 若函数()()()()1g x f f x af x =−+有唯一零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】54a =−或11a −≤<【分析】()t f x =换元后转化为()1f t at =−，该方程存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，数形结合求解. 【详解】当0x <时，()f x 单调递减，图象为以y x =−和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当0x >时，有()ln 1f x x ′=+，可得()f x 在10,e单调递减，在1,e ∞+ 单调递增 且()min 11e e f x f ==−，0lim ()0x f x →=，画出图象如下:由题意，(())()10f f x af x −+=有唯一解，设()t f x =， 则1et <−，（否则至少对应2个x ，不满足题意）， 原方程化为()10f t at −+=，即()1f t at =−， 该方程存在唯一解0t，且0,t ∞∈−.转化为()y f t =与1yat =−有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ∞−−，画图如下：情形一：1yat =−与1y t t=−相切，联立得()2110a t t +−−=， 由Δ0=解得54a =−，此时01e t <−满足题意：情形二：1yat =−与1y t t=−有唯一交点，其中一个边界为1a =−(与渐近线平行)， 此时交点坐标为()1,0−，满足题意；另一个边界为1yat =−与ln y t t =相切，即过点()0,1−的切线方程，设切点为()000,ln x x x ，则0000ln 11ln 0x x a x x +=+=−，解得01x =，所以求得1a =，此时左侧的交点D 横坐标为12−满足条件，右侧存在切点E ，故该边界无法取到；所以a 的范围为[)1,1−.综上，a 的取值范围为54a =−或11a −≤<.故答案为：54a =−或11a −≤<【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令()t f x =，转化为方程()1f t at =−存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，作出()y f t =与1yat =−的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知m ，n 是正整数，()()()11m nf x x x =+++的展开式中x 的系数为7． (1)求m ，n 为何值时，()f x 的展开式中2x 的系数最小，并求出此时3x 的系数； (2)利用（1）中结果，求()0.003f 的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)3m =，4n =或4m =，3n =，3x 的系数为5 (2)2.02【分析】（1）由x 的系数为7得11C C 7m n +=，2x 的系数为22C C m n +，消元讨论最小值即可求；（2）()()()430.00310.00310.003f =+++，考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可【详解】（1）根据题意得11C C 7m n +=，即7m n +=．① ()f x 的展开式中2x 的系数为()()222211C C 222mnm m n n m n m n−−+−−+=+=．.......................................................2分 将①变形为7n m =−代入上式，得2x 的系数为2273572124m m m−+=−+，故当3m =，4n =或4m =，3n =时，2x 的系数取得最小值且为9；此时3x 的系数均为3334C C 5+=；........................................................6分 （2）当3m =，4n =或4m =，3n =时，()()()43010144330.00310.00310.003C C 0.003C C 0.003 2.02f =+++≈+×++×≈...........................................13分 16．（15分）已知函数()()()11ln f x ax a x a x=−−+∈R ．(1)求证：当0a =时，曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)(0,1)(1,)∪+∞.【分析】（1）当0a =时，对()f x 求导，分析函数单调性，确定()f x 图象，可证明曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.（2）将()f x 既存在极大值，又存在极小值，转换为()f x ′有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，函数1()ln f x x x=−−，求导得：21()xf x x −′=， 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x ′<，得1x >； 则函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 故max ()(1)1f x f ==−，所以曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.....................................................7分 （2）函数()()11ln f x ax a x x=−−+的定义域为(0,)+∞，求导得211()a f x a x x +′=+− 设()()2()(1)111g x ax a x ax x =−++=−−，令()0g x =，解得11x a=，21x =. 因为()f x 既存在极大值，又存在极小值，即()g x 在(0,)+∞有两个变号零点，则1011aa> ≠ ，解得0a >且1a ≠， 综上所述：a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.......................................................15分 17．（15分）某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．(1)第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是12，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是12．记事件A 为“小李通过第一关”，事件B 为“小李知道该成语”．①求小李通过第一关的概率()P A ；②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率()P BA ∣． (2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第n 局()15n ≤≤成语的概率仍为12，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为12n，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分2分4分7分11分若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 【答案】(1)①34②23(2)0.19【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可；利用全概率公式计算每一局过关的概率，在通过分析在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况，在求得所求概率 【详解】（1）①依题可知()()()()111,|,22P A B P A B P B P B ====， 由全概率公式可得1113()()()()()12224P A P B P A B P B P A B =+=×+×= ②所求概率()()()122|334P BA P B A P A ===......................................................7分 （2）在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，第四局答错，第五局答对,记事件n C (n 1,2,3,4,5)=为“小李通过第n 局”，事件B 为“小李知道该成语”． 题可知11()1,()(),()()22n n n P C B P C B P B P B ====， 由全概率公式可得1111113()()()()()12224P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 22221115()()()()()1()2228P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 33331119()()()()()1()22216P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 444411117()()()()()1()22232P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 555511133()()()()()1()22264P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为123451234512345()()()()()()()()()()()()()()()P P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C =++359173335917333591733(1)(1)481632644816326448163264=××××+××−××+×××−× 2014560.191048576≈.....................................................15分18．（17分）已知函数()1e 1−=−−x f xa x . (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()ln 0f x x x +−≥恒成立时，求a 的取值范围； (3)证明：11e ln(1)nii n n =>++∑.【答案】(1)答案见解析 (2)1a ≥(3)证明见解析【分析】（1）借助导数，对0a ≤及0a >进行分类讨论即可得；（2）令()()ln g x f x x x =+−，由()01e ln1110g a a =−−=−≥，即可得其必要条件1a ≥，再借助导数对1a =及1a >的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得1eln 1x x −≥+，令1n x n+=，可得()1e ln 1ln 1n n n >+−+，累加即可得证. 【详解】（1）()1e 1,xf x a x −−′=∈R ，当0a ≤时，易知()0f x ′<，所以函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，令()1e 10x f x a −′=−=，解得1ln x a =−， 令()0f x ′>，解得1ln x a >−，即()f x 在()1ln ,a ∞−+上单调递增， 令()0f x ′<，得1ln x a <−，即()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减， 综上，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减，在()1ln ,a ∞−+上单调递增；..............................................5分（2）令()()()1ln e ln 1,0,x g xf x x x a x x ∞−=+−=−−∈+， ()01e ln111g a a =−−=−，故10a −≥恒成立，即1a ≥，()11e x g x a x−=′−，令()()h x g x =′，则()121e x h x a x −′=+，所以()g x ′在()0,∞+上单调递增， 当1a =时，()11ex g x x−=′−，又()10g ′=， 有()()0,1,0x g x ∈′<，即()g x 单调递减，()()1,,0x g x ∞′∈+>，即()g x 单调递增，所以()()01e ln110g x g ≥−−，所以当1a =时，()ln 0f x x x +−≥成立；当1a >时，可得110a−<，11e 1a −∴<，所以11111e e 10a a g a a a a −− =−=−<′又()110,g a =−>′所以存在01,1x a ∈，使得()00g x ′=，即0101e x a x −=，()()()()000,,0,,,0x x g x x x g x ∞′′∈∈+，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()0100e ln 1x g x g x a x −∴≥=−−，由011e x x −=可得00ln 1ln a x x +−=−， ()0012ln 0g x x a x ≥+−+>， 综上，a 的取值范围为1a ≥；.......................................................11分 （3）由（2）知，当1a =时，有()ln 0f x x x +−≥，即1e ln 1x x −≥+， 令*1,n xn n +∈N ，得()11e ln 1ln 1ln 1n n n n n +>+=+−+， ()112e e e ln2ln1ln3ln2ln4ln3ln 1ln nn n n ∴+++>−+−+−+++−+ ， ()112e e e ln 1nn n ∴+++>++ ，即11e ln(1)nii n n =>++∑.......................................................17分【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得1e ln 1x x −≥+，再令*1,n xn n+∈N ，可得()1e ln 1ln 1nn n >+−+，再累加即可得证.. 19．（17分）设集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅，其中3n ≥，n N ∈，在M 的所有元素个数为K （K N ∈，2≤K ≤n ）的子集中，我们把每个K 元子集的所有元素相加的和记为K T （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最大元素之和记为K a （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最小元素之和记为K b （K N ∈，2≤K ≤n ）． (1)当n ＝4时，求3a 、3b 的值； (2)当n ＝10时，求4T 的值；(3)对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ，KKb a 是否为与n 无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)315a =，35b =；(2)4620 (3)K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程见解析. 【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出3a 、3b 的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出K a ，再求出K a 与k b 的和，进而求出k b 及比值.【详解】（1）当4n =时，{}1,4M =，则3元子集分别为{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，则3344415a =+++=，311125b =+++=........................................................3分（2）当n ＝10时，4元子集一共有410210C =个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有3984C =次，故()410118412108446202T ×=×+++=×= ....................................................9分 （3）K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程如下： 对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ， 集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有含K 个元素的子集个数为K n C ，这K n C 个子集中，最大元素为n 的有11K n C −−个，最大元素为()1n −的有12K n C −−个，……，最大元素为()n m −的有11K n m C −−−个，……，最大元素为1n K −+的有11K K C −−个，则()()()()1111112311121K K K K K K n n n n m K a nC n C n C n m C n K C −−−−−−−−−−−=+−+−++−++−+ ①，其中()11K K n m n m n m C KC −−−−−=，所以()12K K K K KKn n n n m K a K C C C C C −−−=++++++ ()111211K K K K K K n n n n m K n K C C C C C KC ++−−−++++++++= ，这K n C 个子集中，最小元素为1的有11K n C −−个，最小元素为2的有12K n C −−个，最小元素为3的有13K n C −−个，……，最小元素为（m +1）的有11K n m C −−−个，……，最小元素为K 的有11K K C −−个，则()1111112311231K K K K K K n n n n m K b C C C m C KC −−−−−−−−−−−=+++++++ ②，则①+②得：()()()()111111123111111K K K K K K K K K n n n n m K n n a b n C C C C C n C K C −−−−−+−−−−−−++=+++++++=+=+ ，所以()1111111K K K K n n n b K C KC C ++++++=+−=，故1K K b a K=，证毕........................................................17分 【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.。
2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学质量检测模拟试题 (含答案)
2023-2024学年浙江省高二下册期中联考数学模拟试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知数列{}n a 满足112,5n n a a a +-==-，则4a=（）A.-3B.-1C.1D.3【正确答案】C【分析】根据递推公式可知数列{}n a 为等差数列，结合首项求得4a 的值.【详解】因为数列{}n a 满足12n n a a +-=，所以数列{}n a 为等差数列，公差为2d =又因为1=5a -，所以()454121a =-+-⨯=.故选：C2.234(12)(1)(1)x x x +++++的展开式中2x 的系数是（）A.12B.13C.14D.15【正确答案】B【分析】根据二项展开式的通项及性质，即可求得展开式中2x 的系数.【详解】由二项展开式的通项，可得由多项式展开式中2x 的系数为2222234C 2C C 43613⋅++=++=.故选：B.3.2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（）A.14 B.34C.110D.310【正确答案】A【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】设事件A 为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB 为“两个青团子都为肉馅”，则事件A 包含的基本事件的个数为()231C n A +==4，事件AB 包含的基本事件的个数为()1n AB =，所以()()()14n AB P B A n A ==,故选：A4.下列导数运算正确的是（）A.()2023202320222022e 20232023e x x '+=+B.()20232021ln 2023xx x '⋅=C.(sin2023)2023cos2023x x'=D.222sin sin cos cos cos x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算律判断A,B,D 选项，根据简单的复合函数求导判断C 选项.【详解】()2023202320222022e 202302023x x x '+=+=,A 选项错;()202320222023202220221ln 2023ln 2023ln xx xx x x x x x ⋅⋅=⋅'⋅=++,B 选项错;(sin2023)2023cos2023x x '=,C 选项正确;2222sin cos sin 1cos cos cos x x xx x x '+⎛⎫== ⎪⎝⎭,D 选项错;故选:C.5.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位 ，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（）A.10种B.25种C.26种D.27种【正确答案】C【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：不含5，有05C 1=种；含1个5，有15C 5=种；含2个5，有25C 10=种；含3个5，有35C 10=种，所以，所有的可能情况共有01235555C C C C 26+++=种方法二：所有可能的情况有5232=种，其中不符合条件有含有4个5，有45C 5=种；含有5个5，有55C 1=种；所以，所有的可能情况共有545552C C 325126--=--=种故选：C .6.为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的25，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的45，若有95%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（）参考公式及数据：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附：()20P K k ≥0.050.0100k 3.8416.635A.7B.11C.15D.20【正确答案】C【分析】设男生的人数为：()*5N m m ∈，根据题意可列出22⨯列联表，由公式求出2K 53m =，由53.841 6.6353m≤<求出5m 的取值范围，可得答案.【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：()*5N m m ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢吃甜食2m4m 6m不喜欢吃甜食3mm 4m 合计5m5m10m()()()()222()10(243)564553n ad bc m m m m m m K a b c d a c b d m m m m -⋅⋅-⋅===++++⋅⋅⋅.由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，所以53.841 6.6353m≤<；解得：11.523519.905m ≤<，因为*m ∈N ，故5m 的可能取值为：12,13,14,15,16,17,18,19，即男生的人数可以是：12,13,14,15,16,17,18,19，所以选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C.7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，()11ef =，若()()f x f x '>-，则不等式()2e x f x +>的解集为（）A.(),0∞- B.(),1-∞- C.()1,-+∞ D.()3,+∞【正确答案】B【分析】根据函数的奇偶性和导数确定函数单调性即可求解.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴=--，则()()f x f x ''=-，即()f x '是偶函数，由()()()f x f x f x '='>-，可得()()0f x f x '->，构造()()e xf xg x =，则()()()0e xf x f xg x ''-=<，所以函数()g x 单调递增，不等式()2e xf x +>可化简为()()22211e e ex f x f ++>=，即()()21g x g +>，所以21x +<，解得1x <-.故选：B.8.已知数列{}n a 满足()*1111,N 21n n n a n a a n n na ++==∈+，若不等式2810n a n nλ++≥对任意的*N n ∈都成立，则实数λ的取值范围是（）A.44,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭B.[)15,-+∞C.)9,∞⎡--+⎣ D.[)18,-+∞【正确答案】A【分析】根据构造数列和等差数列定义，通项公式以及对号函数的性质即可求解.【详解】由数列{}n a 满足()*1111,N 21n n n a n a a n n na ++==∈+，可得216a =，易知0n a ≠，因为111n n n a n a n na ++=+，所以()111n n n na nn a a ++=+，所以()11111n nn a na +-=+，因为112a =，所以1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()11111n n n na a =+-=+，所以()11n a n n =+且0n a >，因为不等式2810n a n nλ++≥恒成立，所以整理得()()81n n n λ++≥-恒成立，因为()()()818999n n f n n nn⎛⎫++⎛⎫=-=-++≤-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当8n n n=⇒=.当2n =时，()452153f =-=-；当3n =时，()4433f =-，所以443λ≥-，即实数λ的取值范围是44,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，故选：A.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.9.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元）4235销售额y （万元）49263954若y 与x 线性相关，且线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，则下列说法正确的是（）A.ˆ9.1a=B.当x 增加1个单位时，y 增加约9.4个单位C.y 与x 正相关D.若广告费用为6万元时，销售额一定是65.5万元【正确答案】ABC【分析】由于线性回归直线过样本中心点，所以求出x y ，代入回归方程中可求出ˆa，即可得到回归直线方程，在一一判断即可；【详解】依题意()14235 3.54x =+++=，()149263954424y =+++=，样本中心点是()3.5,42，则ˆˆ429.4 3.59.1a y bx =-=-⨯=.所以线性回归方程为ˆ9.49.1yx =+，所以A 正确，对于B ，由ˆ9.49.1yx =+，可知当x 增加1个单位时，y 增加约9.4个单位，所以B 正确，对于C ，因为0.10>，所以y 与x 正相关，所以C 正确，对于D ，令6x =，则9.469..5ˆ165y=⨯+=，所以若广告费用为6万元时，销售额大约是65.5万元，故D 错误；故选：ABC10.已知函数()()321R 3f x x ax x a =--∈，则（）A.当0a =时，函数()f x 的极小值为23B.若函数()f x 图象的对称中心为()()1,1f ，则1a =C.若函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥或1a ≤-D.函数()f x 必有3个零点【正确答案】BD【分析】求导，由导数的正负，根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质､函数零点的定义逐一判断即可.【详解】对于A ：当0a =时，()313f x x x =-，则()21f x x '=-，令()01f x x '>⇒>或1x <-，易知()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,1-单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()f x 极小值为()121133f =-=-，故A 错误；对于B ：因为函数()f x 图象的对称中心为()()1,1f ，所以有()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒-=⇒=，故B 正确；对于C ：若函数()f x 在R 上单调递增，则()2210f x x ax =+-≥'恒成立，而2440a ∆=+>，显然()0f x '=必有两根()121212,,10x x x x x x <⋅=-<，则()f x 在()12,x x 递减，故C 错误；D 项：()211003f x x ax x x ⎛⎫=+-=⇒= ⎪⎝⎭或2110,3x ax +-=由于21103x ax +-=的2403a ∆+>=，且1210,3x x ⋅=-≠所以21103x ax +-=必有2相异非零根，故()f x 必有3个零点，故D 正确.故选：BD11.为了迎接杭州2022年第19届亚运会，某高校一学生会计划从6男4女共10名大学生干部中，选出3男2女共5名志愿者，安排到杭州奥体中心的A ，B ，C ，D ，E 五个场馆进行志愿者活动，每名志愿者安排去一个场馆且不重复，其中女同学甲不能安排在A ､B 两个场馆，男乙同学不能安排在B 场馆，并且男同学丙必须被选且必须安排在E 场馆，则（）A.甲､乙都不选的方案共有432种B.选甲不选乙的方案共有216种C.甲､乙都选的方案共有96种D.总的安排方案共有1440种【正确答案】ABC【分析】根据题意，可分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，结合排列数与组合数的公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，甲乙都不选的方案共有224434C C A 432=种，所以选项A 正确；选甲不选乙的方案共有12132433C C C A 216=种，所以选项B 正确；甲乙都选，则分两种情况：乙排A 或乙不排A ，乙排A 的方案共有11122432C C C A 48=种，乙不排A 的方案共有21122432A C C A 48=种所以甲乙都选的方案共有484896+=种，所以C 正确；由总的安排为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，其中选乙不选甲的方案，共有12134333C C C A 216=种所以总方案共有43221621696960+++=种，所以选项D 错误.故选：ABC.12.已知函数()e 1ln x f x ax a x x=++在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个单调区间，则实数a 的取值可以是（）A.e -B.-C.2e 2-D.72-【正确答案】BD【分析】将问题等价于()0f x '=在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭有两个不同的实数根，进一步转化为e 0x ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一不为1的根，构造函数()e xg x x=-，求导得单调性即可求解.【详解】由题意可知函数在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个单调区间，等价()0f x '=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有两个不同的根.()()()21e x x ax f x x-'+=，令()0f x '=，则11x=，即e 0xax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯不为1的一根，则有e xa x=-有唯一不为1的根，令()e x g x x =-，则()()21e x x g x x -'=-，故当()()11,0,2x g x g x '>>>单调递增，当()()21,0,x g x g x '>><单调递减，且()()2e 11e,2,22g g g ⎛⎫⎪⎝⎭=-=-=-即2e ,2a ⎛∈-- ⎝，故选：BD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知2nax⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则n =__________.【正确答案】7【分析】根据展开式的二项式系数之和公式即可求解.【详解】根据展开式的二项式系数之和为2n ，所以2128n =，解得7n =，故答案为.714.某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过,,A B C 每个项目测试的概率都是34.若用X 表示甲通过测试项目的个数，则()D X =__________.【正确答案】916【分析】根据题意得到随机变量X 服从二项分布3(3,)4X B ，结合方差的计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机变量X 的可能的取值分别为0,1,2,3，因为甲通过,,A B C 每个项目测试的概率都是34，且每个项目之间相互独立，所以随机变量X 服从二项分布3(3,4X B ，则()3393(14416D X =⨯⨯-=.故答案为.91615.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*1111,21n n n a S S a n n +==-+-∈N，若存在*m ∈N ，使得166m m S S +==，则m =__________.【正确答案】11【分析】根据递推关系式，逐个计算，即可得到结果；【详解】()*1221,2n n n n a a n n a a +++=-∈∴-=N ，逐个计算12345611,10,13,8,15,6a a a a a a ==-==-==-78910111217,4,19,2,21,0a a a a a a ==-==-==11m =故答案为:1116.已知函数()()3243f x t x x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，则实数t 的取值范围是__________.【正确答案】(](),01,-∞⋃+∞.【分析】由()0f x =，得到(2334x t x x =≠+，令()2334xg x x =+，求得()()4232434x x g x x =+'-，得出函数的单调性与极值，作出()g x 的图象，根据题意转化为()y g x =与y t =的图象有且仅有一个公共点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()3243f x t x x =+-，令()0f x =，可得(2334x t x x =≠+，令()(2334x g x x x =≠+，可得()()4232434x x g x x =+'-，令()0g x '=，解得x =或2x =或x =0当(()(),,,2,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又由x →-∞时，()0g x →；x →（左侧）时，()g x →-∞；x →（右侧）时，()g x ∞→+；x →+∞时，()0g x →，且()()00,21g g ==，所以函数()g x 的图象，如图所示，因为()f x 存在唯一的零点0x ，即()y g x =与y t =的图象有且仅有一个公共点，所以0t ≤或1t >，即实数t 的取值范围为(](),01,-∞⋃+∞.故答案为.(](),01,-∞⋃+∞四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n n n b a a a +=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）*2,N n n a n =∈（2）n T 21222;n n n +=++-【分析】（1）由等比数列基本量的计算以及等差中项即可求解，（2）由分组求和，结合等差等比的求和公式即可化简求值.【小问1详解】已知等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列，()32422a a a ∴+=+，()11124228a a a ∴+=+,解得12a =，1*222,N ;n n n a n -∴=⨯=∈【小问2详解】()12122log 222log 22212n n n n n n n b n ++=⋅+=+=++，()()()()221221222221212n n n T n n n n -∴=++++++++=+++++- .21222;n n n +=++-18.已知函数()3(1)121f x x x a =--++-.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[]22-,上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【正确答案】（1）递减区间是()(),1,3,∞∞--+，递增区间是()1,3-.（2）7-【分析】（1）求得()()()313f x x x '=-+-，结合()0f x '<和()0f x ¢>的解集，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）由（1）得到函数()f x 在[]22-,上的单调性，结合题意求得2a =-，进而求得函数的最小值.【小问1详解】解：函数()332(1)12139f x x x a x x x a =--++-=-+++的定义域为R ，可得()()()2369313f x x x x x '=-++=-+-由()0f x '<得1x <-或3x >，由()0f x ¢>得13x -<<，因此函数()f x 在()(),1,3,∞∞--+上单调递减，在()1,3-上单调递增，所以函数()f x 的递减区间是()(),1,3,∞∞--+，递增区间是()1,3-.【小问2详解】解：由（1）知，函数()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，又由()()22,222f a f a-=+=+因此()max ()22220f x f a ==+=，解得2a =-，所以()min ()157f x f a =-=-+=-所以函数()f x 在[]22-,上的最小值是7-.19.2022年11月30日美国OpenAI 研发的聊天机器人程序ChatGPT （全名：ChatGenerativePre-trained Transformer ）发布，再次引发了人类是否会被人工智能（AI ）取代的热议.目前为止，要机器人或人工智能系统完全达到人类的水平，有自发的情感和创造性是很难实现的.但在某些理性思维的领域机器人有着明显的优势，比如国际象棋方面.某国际象棋协会组织棋手与机器人进行国际象棋比赛，比赛规则如下：两位棋手组队挑战，两人各与机器人比赛一次为一轮比赛，每一轮比赛中两人的比赛结果相互独立，互不影响.在一轮比赛中两人都赢小组积分1分，两人都输小组积分-1分，两人一赢一输小组积分0分，两轮比赛后计算每组得分.现甲､乙两位棋手组队向机器人发起了挑战，甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5，记该小组在一轮比赛中的得分记为X ，在两轮比赛中的得分为Y .（1）求()0P X ≤的概率；（2）求Y 的均值.【正确答案】（1）0.7（2）0.2【分析】（1）得出随机变量X 的取值为1,0,1-，结合()()()010P X P X P X ≤==-+=，即可求解；（2）先得出随机变量Y 的可能取值为2,1,0,1,2--，结合题意求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得随机变量X 的取值为1,0,1-，可得(1)(10.6)(10.5)0.2P X =-=--=，(0)0.6(10.5)(10.6)0.50.5P X ==⨯-+-⨯=，(1)0.60.50.3P X ==⨯=所以()()()0100.20.50.7P X P X P X ≤==-+==+=.【小问2详解】解：由题意，随机变量Y 的可能取值为2,1,0,1,2--，可得(2)0.20.20.04P Y =-=⨯=，()10.20.50.50.20.2P Y =-=⨯+⨯=，(0)0.50.50.20.30.30.20.37P Y ==⨯+⨯+⨯=，(1)0.50.30.30.50.3P Y ==⨯+⨯=，(2)0.30.30.09P Y ==⨯=，所以随机变量Y 的分布列为Y2-1-012P 0.040.20.370.30.09所以期望为()()()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知函数()()ln ,0,1f x x ax a =-∈.（1）若12a =时，求()f x 的单调区间和极值；（2）求()f x 在[]1,2上的最小值.【正确答案】（1）递增区间为()0,2，递减区间为()2,+∞，极大值为ln21,-无极小值；（2）答案见解析【分析】（1）求导，由导函数的正负即可求解函数的单调性，进而可求解极值，（2）由函数的单调性，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题设()11222x f x x x-+=-=',令()002f x x '>⇒<<，()02f x x '<⇒>，()f x \的递增区间为()0,2，递减区间为()2,+∞，故()f x 的极大值为()2ln21,f =-无极小值；【小问2详解】()11a x a f x a x x'⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=，()100f x x a '>⇒<<，()10f x x a '<⇒>，由于()10,1,1a a ∈∴>，()f x \在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，①当12a ≥，即102a <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，()()min 1f x f a ∴==-，②当112a <<，即112a <≤时，函数()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()21ln2f f a -=- ，若1ln22a <<时，()()min 1f x f a ==-，若ln21a ≤<时，()()min 2ln22f x f a ==-，综上所述：当0ln2a <<时，()()min 1f x f a ==-；当ln21a ≤<时，()()min 2ln22f x f a ==-.21.在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【正确答案】：（Ⅰ）*98,;n a n n N =-∈（Ⅱ）【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列{}n a 的首项1a 与公差d ，进而可求出通项公式n a ；（2）首先根据要求列出关于,n m 的不等式，再根据,m n 都是正整数，即可判断出落入()29,9m m 内的项数m b ，从而求出数列{}m b 的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前m 项的和m S ．试题解析：（1）因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=，所以3454384a a a a ++==，即428a =，设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9d =．由413a a d =+，得12839a =+⨯，即11a =．所以*1(1)19(1)98,n a a n d n n n N =+-=+-=-∈，（2）对*m N ∈，若299m m n a <<，则298998m m n +<<+，因此121889999m m n --+≤≤+，故得21199m m m b --=-，于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++ 219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--．考点：1、等差数列；2、等差数列通项公式及前n 项和公式；3、等比数列前n 项和公式；4、分组求和法．22.已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++.（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞【分析】（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x a x =有两个相异实根，令()ln x G x x =求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为ln 1x x m e x x ≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x =-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.【详解】（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ，知0x >()f x \有两个零点ln x a x⇔=有两个相异实根.令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=，由()0G x '>得：0<<x e ，由()0G x '<得：>x e ，()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==，又()10G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >当x →+∞时，()0G x →()f x \有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）当1a =时，()xf x e x =-，∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立ln 1x x m e x x ⇔≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立.令()()ln 10x x F x e x x x =-->()minm F x ∴≤()222ln ln x xx x e x F x e x x +'=+=令()2ln xh x x e x =+，()0,x ∈+∞，则()2120x h x xe x e x'=++>()h x ∴在()0,∞+上单增又()10h e =>，1201110e h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =即0020e n 0l x x x +=①当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，()()000min 00ln 1x x F x F x e x x ∴==--由①知0200ln x x ex =-001ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ 函数()x x xe ϕ=在()0,∞+单调递增001ln x x ∴=即00ln x x =-()0ln 0min 000011111x x F x e x x x x --∴=--=+-=，1m ∴≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞.本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.。
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
2024—2025学年度高二年级11月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（ ）A.11B.10C.9D.82.已知直线：，：，且，则（）A.1B.-2C.2D.33.经过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.-2B.1C.3D.44.已知，，三点不共线，点不在平面内，（，），若，，，四点共面，则的最大值为（ ）A.B.C.1D.25.已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）A.32B.62C.64D.306.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）D.()1,1,3a = ()2,3,2b = a b ⋅=1l 220250x my +-=2l ()1320250m x y +++=12//l l m =()2,3A -()1,B m -()1,2-m =A B CO ABC 12OD OA xOB yOC =++x 0y >A B CD xy 18116{}31A x x =∈-≤N ()(){}120B x x x =∈+-<Z {}22,,C z z x y x A y B ==+∈∈111ABC ABC -14AA =6AB AC ==D BC E 11BC 1B DE 11ACC A 127.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）A. B.C.D.10.已知复数，则（ ）A.的虚部为B.C.在复平面内的对应点位于直线上D.为方程的一个根11.三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）A.5D.6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个过和的直线的两点式方程______.13.已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______.14.中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；212025x ax y -+=()4,7a (],4-∞(],8-∞[]4,8(],7-∞1111A B C D ABCD -P 10AP BP AP AP ⋅=⋅=ABP ∠ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin f x x x ωω=0ω>π()f x 2π3-π6-5π12π321iz =-z 2-z =z 0x y -=z 2220x x -+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=3AB =2BD =4CD =ABD BCD 3πAC ()3,1-()2,2-α()3,5,4m =- O α∈P α∉10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αABC △A B C a b c ABC △S sin 2sin cos cos A BA B=2Sa ()1,3A()4,7B AB（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.16.（本小题满分15分）已知，.（1）求在方向上投影向量的坐标；（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.17.（本小题满分15分）如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值；（3）求的长度.18.（本小题满分17分）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.（1）求的取值范围；（2）求的面积取得最小值时对应的周长；（3）若，也为“整数点”，求直线的一般式方程.19.（本小题满分17分）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus ）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.π3l ()2,1l ()1,2AB =-()0,AC =A B A CAB AC 12DD DE = 2DB DF = 3C D C G =12GC GH = 1E F BC ⊥EF 1CG 1BH xOy ()52,0A a +520,1a B a +⎛⎫⎪+⎝⎭a AOB △A B AB S V l V Sl =Oxyz ()0,0,1P(),,Q a b c若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.a 0b >1c >Q ABC ABC △()()()2222000x x y y z z r -+-+-=()000,,x y z r ()()()0000Ax x B y y C z z -+-+-=()0000,,P x y z (),,u A B C =2024—2025学年度高二年级11月联考数学参考答案及解析一、选择题1. A 【解析】.故选A.2. C 【解析】由题意可得，故，解得.故选C.3. C 【解析】由题干条件可得，解得 3.故选C.4. B 【解析】因为，，，四点共面，所以，所以，当且仅当时取“＝”.故选B.5. B 【解析】由题意可得，，故，故集合的非空真子集个数为.故选B.6. C 【解析】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故，因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，则，即直线与平面.故选C.7. B 【解析】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即.故选B.8. B 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，12133211a b ⋅=⨯+⨯+⨯=12//l l 21131m m -=≠+2m =32121m +-=--m =A B C D 112x y ++=21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭14x y =={}2,3,4A ={}0,1B ={}{}22,,4,6,9,11,16,18C z z x y x A y B ==+∈∈=C 62262-=A AB AC 1AA x y z ()3,3,0D ()4,2,4E ()1,1,4DE =-x ⊥11ACC A 11ACC A ()1,0,0n =cos ,DE n DE n DE n ⋅===DE 11ACC A 2025xy =212025x ax y -+=()4,721y x ax =-+()4,721y x ax =-+2a x =42a≤8a ≤设，、、，则有、、，设中点为，中点为，则有，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故由可得，故，故.故选B.二、选择题9. ABD 【解析】易知，其最小正周期为，所以，即，令（），解得（）.故选ABD.10. BCD 【解析】对于A ，，故，其虚部为，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直(),,Px y z x y []0,2z ∈()2,0,0A ()2,2,0B ()12,0,2A AB ()12,1,0O 1AA ()22,0,1O 11PO =()()222211x y z -+-+=10AP AP ⋅=21PO =()()222211x y z -++-=()()()()222222211211x y z x y z ⎧-+-+=⎪⎨-++-=⎪⎩22222242404240x y z x y x y z x z ⎧++--+=⎨++--+=⎩y z =2224240x y x y +--+=()2,2,BP x y z =-- ()0,2,0BA =-()()22222222244824BP x y z x y x y y =-+-+=+--+=-+ cos ,BP BA BP BA BP BA ⋅====()()222211x y z -++-=[]0,1y ∈cos ,BP BA ⎤⎥⎦π0,4ABP ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π3x k +=k ∈Z ππ26k x =-k ∈Z ()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i z =-1a -z ==z ()1,1线上，故C 正确；对于D ，易得，故D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】三棱锥中，由可得，，则是二面角的平面角，如图，，而，，，，因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以.故选BC.三、填空题12.（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.【解析】经过点和点直线两点式方程是：.故答案为.【解析】由题可知平面的一个法向量为，又，故点到平面的距离为.14. 【解析】由，可得，即，所以，所以，0x y -=()()21i 21i 22i 22i 20+-++=--+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=AB BD ⊥CD BD⊥,BA DCA BD C --AC AB BD DC BA BD D C =++=-++ 3AB =2BD =4CD =22222AC BA BD DC BA DC=++-⋅9416234cos ,2924cos ,BA DC BA DC =++-⨯⨯=-ABD BCD π3π,3BA DC = AC = 2π,3BA DC =AC =AC 132123y x -+=--+()3,1-()2,2-132123y x -+=--+132123y x -+=--+α()3,5,4m =- 10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αOP m d m⋅===38sin 2sin cos cos A B A B=222222222a b b c a a c b bcac=+-+-22233a b c =+2233b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111sin 222S bc A bc bc ===故令，，则，，所以，等号成立条件为.故答案为.四、解答题15.解：（1）由题意可得，，所以线段的中点为，，所以直线的垂直平分线的斜率为，故线段垂直平分线的斜截式方程为，即.（2）设直线的截距式方程为，则①，.由①②解得，，故直线.16.解：（1）因为，，所以，，所以在方向上投影向量为.（2）因为，，222S bc a a ==2b m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭2c n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭33m n +=2S a 238S a ≤=58m =38()1,3A()4,7B AB 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭734413AB k -==-AB 34-AB 35542y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭35548y x =-+l 1x ya b+=211a b +=tan 3b k a π-===2a =-1b =-l 1=()1,2AB =- ()0,AC =08210AB AC ⋅=++=3AC = A B A C 101099AB AC AC AC ACAC ⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭()1,2AB =- ()0,AC = AB =所以，又，所以，故以，为邻边的平行四边形的面积为17.解：（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意得，，，，，，因为，，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅()0,πCAB ∠∈sin CAB ∠==AB AC sin 3S AB AC CAB =∠== D DA DC 1D D x y z Dxyz ()0,0,1E()1,1,0F ()12,2,2B ()0,2,0C ()10,2,2C 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,13H ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--()()11210120EF B C ⋅=⨯-+⨯-⨯-=1EF BC ⊥1E F BC ⊥()1,1,1EF =- 120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111cos ,EF C G EF C G EF C G⋅==.故异面直线与（3）由（1）可得，故.18.解：（1）由题意可得，解得.（2）由（1），，则，当且仅当，即时等号成立，此时，，所以的周长为.（3）由题意可知，均为整数，所以均为整数，又因为，，，.所以，即.所以，，0或2，所以直线的一般式方程为或或或.19.解：（1）考虑提示：球体体积，半圆面积，==EF 1CG 112,,13B H ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭1B H ==5205201a a a +>⎧⎪+⎨>⎪+⎩1a >-10a +>()()152195*********AOBa S a a a a +⎡⎤=⨯+⨯=+++⎢⎥++⎣⎦△112122⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦()9411a a +=+12a =()6,0A()0,4B AOB △4610+=+52a +523211a a a +=+++352,1a a ++1a >-22a k =>-k ∈Z 3361212k a k ==+++21,2,3,6k +=1,0,1,4k =-12a =-12AB 280x y +-=23120x y +-=50x y +-=390x y +-=34π3r V =2π2r S =设几何重心到圆心的距离为，由于几何重心在对称轴上，则运动的轨迹长度为，运用巴普斯定理有：，解得，代入即.注：开始时代入计算也给分.（2）由题知：球面方程为，故.另一方面：.则切面方程为：：，代入得到：，于是，运用等体积法：设的面积为，（当且仅当取等）.x 2πx 23π4π2π23r r x V ⨯==43πr x =3r =4πx =()22211x y z ++-=()22211a b c ++-=(),,1PQ a b c =- L ()()()()1a x a b y b c z c -+-+--()()()222111ax by c z a b c c ⎡⎤=++--++---⎣⎦()10ax by c z c =++--=,0,00,,00,0,1c A a c B b c C a ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎩()31131261C OAB c c c c V c a b ab c -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪--⎝⎭ABC △A B C S △333C OAB C OAB C OAB ABC O L V V V S cd c---→===△()()()()()222222211111c c c ab c a b c c c =≥=-⎡⎤+----⎣⎦()()213221323cc c c c c c c ===≥=+---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a b ==c =。
2023-2024学年浙江省高二下学期4月期中联考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省高二下学期4月期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则789a a a ++等于（）A ．32B ．45C ．51D ．56【正确答案】B【分析】直接利用2n S n =，将所求结果转化成96S S -，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则22789969645a a a S S ++=-=-=,故选：B.2．如果直线1l ：10x ty ++=与直线2l ：1640tx y +-=平行，那么实数t 的值为（）A ．4B ．4-C ．4或4-D ．1或4-【正确答案】A【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为直线1l ：10x ty ++=与直线2l ：1640tx y +-=平行，所以()2116141t t ⎧⨯=⎪⎨⨯-≠⨯⎪⎩，解得4t =.故选：A3．若曲线()e sin xf x x m =++在0x =处的切线方程为210x ny -+=，则（）A ．1m =，1n =-B ．1m =-，1n =C ．0m =，1n =-D ．0m =，1n =【正确答案】D【分析】由导数的几何意义可求得n 的值，可得出切线方程，将切点坐标代入切线方程，可得出()0f 的值，再结合函数解析式可求得m 的值.【详解】因为()e sin xf x x m =++，则()e cos x f x x '=+，则()020e cos 02f n'==+=，可得1n =，所以，曲线()e sin xf x x m =++在0x =处的切线方程为210x y -+=，将切点()()0,0f 的坐标代入切线方程可得()01f -=，解得()01f =，又因为()011f m =+=，解得0m =，因此，0m =，1n =.故选：D.4．等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 和n S 满足10n S S ≤，则12313a a a a ++的取值范围为（）A ．89,910⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．910,1011⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．89,910⎡⎤⎢⎣⎦D ．910,1011⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】由题意得出10S 是{}n S 的最大值，从而有10,0a d ><，且100a ≥，110a ≤，由此得出1d a 的范围，推导出结论．【详解】等差数列{}n a 的公差d 不为0，其前n 和n S 满足10n S S ≤，因此10S 是{}n S 的最大值，显然10,0a d ><，从而101100a a ≥⎧⎨≤⎩，即1190100a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，11910a ad -≤≤-，111910d a -≤≤-，123111111()(2)133a a a a a d a d d a a a ++++++==+89[,]910∈．故选：C ．5．若正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为CD ，CB 的中点（如图1），沿AE ，AF 将△ADE ，△ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合于点P （如图2），则直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为（）A．2B．4CD．2【正确答案】A【分析】由题设条件易证PA ，PF ，PE 三线两两垂直，以P 为坐标原点，PE ，PF ，PA 分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，求直线PA 的方向向量与平面PCE 的法向量，用向量法求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【详解】由AD DE ⊥，AB BF ⊥，可得PA PE ⊥，PA PF ⊥，2222222EF CE CF DE BF PE PF =+=+=+，则PE PF ⊥，PA ，PF ，PE 三线两两垂直，以P 为坐标原点，PE ，PF ，PA 分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，可得()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,22a a P E F A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,C x y z，由AC =，2aCE FC ==，有()22222222222222424x y z a a a a x y z a a x y z ⎧⎪++-=⎪⎪⎪⎛⎫+-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-++= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得333a x a y a z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，即得,,333a a a C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以可得,0,02a PE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,,333a a a PC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PCE 的一个法向量(,,)n x y z '''=，03332ax ay az n PC ax n PE ⎧⋅=+-=''''⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令1y '=，则0,1x z ''==，所以平面PCE 的一个法向量为(0,1,1)n =，又()0,0,PA a =，设PA 与平面PCE 所成角为θ，所以sin cos ,2PA n PA n PA nθ⋅====⋅ .故选：A6．已知函数()2ln f x x t x =-存在两个零点，则实数t 的取值范围为（）A ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．()2e,∞+D ．()3e,+∞【正确答案】C 【分析】将问题转化为ln 2x x t=有两个不同的实数根，构造函数()ln xg x x ，=利用导数求解单调性即可求解最值.【详解】()2ln f x x t x =-存在两个零点，则()2ln 0f x x t x =-=有两个不同的实数根，当0=t 时，只有一个零点，不符合题意，故0t ≠，即ln 2x x t=有两个不同的实数根，记()()2ln 1ln x xg x g x x x ，-'=∴=，当e x >时，()0g x '<，此时()g x 单调递减，当0e x <<时，()0g x '>，此时()g x 单调递增，故当e x =时，()g x 取极大值也是最大值()1e eg =，又当01x <<时，()0g x <，如图为()g x 的图象要使()ln 2x g x x t ==有两个不同的实数根，则210et <<，所以2e t >，故选：C7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 分别交双曲线C的左、右两支于A 、B .若112::3:2:1BF AF BF =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y =【正确答案】B【分析】由211::1:2:3BF AF BF =，设2BF k =，12AF k =，13BF k =,根据双曲线的定义可得12122,4,3,AF a AF a BF a BF a ====，利用余弦定理列出方程，结合222c a b =+求出ba，从而可求出渐近线方程.【详解】因为211::1:2:3BF AF BF =，设2BF k =，12AF k =，13BF k =,其中0k >，由双曲线的定义可知，12212,2BF BF a AF AF a -=-=，即232,22k k a AF k a -=-=，得2,4k a AF k ==，所以12122,4,3,AF a AF a BF a BF a ====，而122F F c =，在12AF F △中，由余弦定理得2222222212121222124164204cos 21616AF AF F F a a c a c F AF AF AF a a +-+--∠===，在1AF B △中，由余弦定理得2222221112214991cos 2123AF AB BF a a a F AF AF ABa +-+-∠==，所以2222041163a c a -=，得22311c a =，又222c ab =+，所以2238b a =，得b a =双曲线的渐近线方程为3y x =±.故选：B．8．已知1e a -=，242ln2e b -=，10ln10c =，其中e 是自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小为（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【正确答案】C【分析】通过变形得到lne e a =，22e ln2e 2b =，ln1010c =，再构造函数ln ()x f x x =，利用其单调即可得出结果.【详解】因为1e e e ln a -==，22222e ln42ln2lne ln22e e e 22b --===，又由10ln10c =，得到ln1010c =，令ln ()x f x x=，则21ln ()xf x x -'=，所以，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，当()x ,∈∞e +时，()0f x '<，即ln ()xf x x=在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+)∞上单调递减，又因为2e e 102<<，所以2e (e)()(10)2f f f >>，即a b c >>，故选：C.二、多选题9．已知函数()2e xf x x =，R x ∈.下列结论正确的是（）A ．函数()f x 不存在最大值，也不存在最小值B ．函数()f x 存在极大值和极小值C ．函数()f x 有且只有1个零点D ．函数()f x 的极小值就是()f x 的最小值【正确答案】BCD【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可.【详解】2()e ,R x f x x x =∈，则()(2)e x f x x x '=+，令()020f x x '<⇒-<<，令()02f x x '>⇒<-或0x >，所以函数()f x 在(2,0)-上单调递减，在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，且(0)0f =，2()e 0x f x x ≥=，如图，所以min ()(0)0f x f ==，函数在2x =-处取得极大值，在0x =处取得极小值，极小值(0)f 即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选：BCD.10．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，84S 17S =．下列结论正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则12448S S =B ．若{}n a 是等比数列，则124273S S =C ．若{}n a 是等比数列，则公比一定为2D ．若{}n a 是等比数列，则公比是2或－2【正确答案】AB【分析】由等差数列、与等比数列的前n 项和的定义与性质求解．【详解】84S 17S =，则88416()S S S =-，若{}n a 是等差数列，则484128,,S S S S S --成等差数列，因此12884442()31S S S S S S -=--=，所以12448S S =，A 正确；若{}n a 成等比数列，当1q =-时，840S S ==，满足84S 17S =，此时也满足124273S S =，但CD 显然错误，当1q ≠-时，0n S ≠，则484128,,S S S S S --成等比数列，28412844()256S S S S S S --==，所以1244425617273S S S S =+=，B 正确．故选：AB ．11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，动点N 在平面ABCD 内的轨迹为曲线Γ.下列结论正确的有（）A ．当1MNB N ⊥时，Γ是一个点B ．当动点N 到直线1DD ，1BB的距离之和为Γ是椭圆C ．当直线MN 与平面ABCD 所成的角为60︒时，Γ是圆D ．当直线MN 与平面11ADD A 所成的角为60︒时，Γ是双曲线【正确答案】ACD【分析】对于选项ACD ，通过建立空间直接坐标系，利用向量法逐一对选项ACD 进行分析判断即可得出结果；对于选项B ，利用正方体中的线面关系，动点N 到直线1DD ，1BB 的距离转化成,DN BN 的长，利用几何关系即可得出结果.【详解】如图建立空间直角坐标，因为正方形的棱长为2，则有11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2),(0,0,2)D A B C B D ，又M 为1DD 的中点，所以(0,0,1)M ，设(,,0)N x y，选项A ，因为(,,1)MN x y =-，1(2,2,2)B N x y =--- ，又1MN B N ⊥，所以1(2)(2)20MN B N x x y y ⋅=-+-+=，即222220x y x y +--+=，也即22(1)(1)0x y -+-=，所以1x y ==，此时，曲线Γ为点(1,1,0)N ，故选项A 正确；选项B ，连接,DN BN ，易知动点N 到直线1DD ，1BB 的距离即为线段,DN BN的长，而又易知BD =，当点N 不在线段BD 上时，有DN BN BD +>=所以当动点N 到直线1DD ，1BB的距离之和为N 在线段BD 上，此时曲线Γ为线段BD ，故选项B 错误；选项C ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，(,,1)MN x y =- ，所以当直线MN 与平面ABCD 所成的角为60︒时，有sin60cos ,2MN n MN n MN n ⋅︒===，化简得2213x y +=，此时曲线Γ为2213x y +=，故选项C 正确；选项D ，易知平面11ADD A 的一个法向量为(0,1,0)n =，(,,1)MN x y =- ，所以当直线MN 与平面11ADD A 所成的角为60︒时，有sin60cos ,2MN n MN n MN n ⋅︒===，化简得2213y x -=，此时曲线Γ为2213y x -=，故选项D 正确；故选：ACD.12．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C 上的两个不同的动点，点A 关于x 轴的对称点为A '，抛物线C 的准线交x 轴于点P .下列结论正确的是（）A ．若直线AB 过点F ，则121=x x ，且124y y =-B ．若直线AB 过点F ，则P ，A '，B 三点共线C ．若直线AB 过点P ，则121=x x ，且124y y =D ．若直线AB 过点P ，则AF BF +的最小值为4【正确答案】ABC【分析】设直线AB 的方程为1x ky =+，与抛物线方程联立利用韦达定理可判断A ；结合A 分21x =、21x ≠讨论，利用韦达定理、斜率公式可判断B ；设直线AB 的方程为1x ty =-，与抛物线方程联立利用韦达定理可判断C ；由,A B 在x 轴的同侧，由122+=++AF BF x x 利用基本不等式可判断D.【详解】对于A ，若直线AB 过点()1,0F ，设直线AB 的方程为1x ky =+，与抛物线方程联立214x ky y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ky --=，易得0∆>，所以124y y =-，则221212116y y x x ==，故A正确；对于B ，若直线AB 过点()1,0F ，由A 知124y y =-，则221212116y y x x ==，()1,0P -，当21x =时，22y =±，不妨设()1,2B ，则()1,2A -，()1,2A '，所以此时A '与B 重合，所以,,P A B '三点共线；当21x ≠时，()22220,01=+>≠BP y k y x x ，()()()()()2222222221222222212222224444111411'======--+-+-+-+++--BA y y x y y y y k x y x y x x x x x y x x x x ，所以'=BP BA k k ，且B 为线段、'BP BA 的共同起点，所以,,P A B '三点共线，故B正确；对于C ，若直线AB 过点P ，设直线AB 的方程为1x ty =-，与抛物线方程联立214x ky y x=-⎧⎨=⎩可得2440y ky -+=，则216160k ∆=->，解得1k <-或1k >，所以124y y =，则221212116y y x x ==，故C正确；对于D ，若直线AB 过点P ，则,A B 在x 轴的同侧，即12x x ≠，则121124+=+++≥=AF BF x x ，而12x x ≠，等号不成立，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i （i 等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i ＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为_____________里.（取81.1 2.14=）【正确答案】5700【分析】根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】......第八匹马、第七匹马、…...,第一批马构成首项为500，公比为1.1的等比数列，所以这8匹马的最长日行路程之和为()8500111500114==570011101....´-´-，故570014．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，4AP =，AP 与AB ，AD 的夹角都是60°，若M 是PC 的中点，则直线MB 与AP 所成角的余弦值为_____________.2341723417【分析】记,,AB a AD b AP c === ，由题意可得0,6a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，易得()12BM a b c =-++ ，再由数量积的运算性质求出cos ,BM AP，即可求解【详解】记,,AB a AD b AP c ===，因为3,4AB AD PA ===，所以||||3,||4a b c ===.又因为,60AB AD PAB PAD ⊥∠=∠=︒，所以0,34cos606a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=.易得()12BM a b c =-++ ，所以()2222211||()244BM a b c a b c a b a c b c ⎡⎤=-++=+++⨯-⋅-⋅+⋅⎣⎦ ，()222134103672642⎡⎤=⨯+++⨯-+=⎣⎦所以BM = 又()18,2BM AP a b cc ⋅-=++⋅=cos ,BM AP BM AP BM AP⋅=⋅15．已知椭圆1C ：()222210x ym n m n+>=>和双曲线2C ：()222210,0x y s t s t -=>>的焦点相同，1F ，2F 分别为左、右焦点，M 是椭圆1C 和双曲线2C 在第一象限的交点.已知12120F MF ∠=︒，双曲线2C 的离心率为2，则椭圆1C 的离心率为_____________.【分析】根据焦点三角形结合椭圆和双曲线的定义可得两类曲线离心率之间的关系，从而可求椭圆的离心率.【详解】设半焦距为c ，由椭圆的定义和双曲线的定义可得121222MF MF m MF MF s ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，故12MF m s MF m s ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，由余弦定理可得()()()()2222cos1204m s m s m s m s c ++--+-︒=，整理得到22234m s c +=，所以222234m s c c⨯+=，因为双曲线2C 的离心率为2，故2c s =，故221344m c ⨯+=，所以2254m c =，故c m =故答案为16．若函数()1ln exx xf x x ++=极值点为0x ，则()0f x 的值为______.【正确答案】1【分析】求出导函数，令导函数等于0，判断函数的极值点，进而求出极值即可.【详解】因为()1ln e x x xf x x ++=，所以()()()21ln e xx x x f x x -++'=，由0x >知210e x x x +-<，令()ln ,0h x x x x =+>，则1()10h x x'=+>，故函数l (n )h x x x =+在(0,)+∞上单调递增，又1110e eh ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()e e 10h =+>，设000()ln 0h x x x =+=，则01e ex <<，所以当00x x <<时，()0h x <，从而()0f x ¢>，当0x x >时，()0h x >，从而()0f x '<，所以函数()1ln e xx xf x x ++=在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，故函数()1ln exx xf x x ++=有极大值点0x ，所以()00000000ln 01ln 1ln 1e e x x x x x x x f x x +++++===.故1四、解答题17．已知21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为1-.(1)求n 和a 的值；(2)求22112nx ax x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项.【正确答案】(1)72n a =⎧⎨=-⎩(2)448【分析】（1）根据结论得到方程组2128(1)1n na ⎧=⎨+=-⎩，解出即可；（2）首先对原式整理为()()72221211222nx ax x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，写出()7212x x --+展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案.【详解】（1）∵由条件可得2128(1)1n na ⎧=⎨+=-⎩，∴解得72n a =⎧⎨=-⎩.（2）()()72221211222nx ax x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵()7212x x --+展开式的通项为：()()()7721143177C 2C 2kkkk k k k T x x x ----+=-=-.∴①当1431k -=-即5k =时，()25172C 2168x x-⋅-=；②当1432k -=即4k =时，()32427C 2280x x --⋅-=；∴所求的常数项为168280448+=.18．盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球.(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？(2)随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸球结果？(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【正确答案】(1)12(2)10(3)150【分析】（1）先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，结合插空法可求得结果；（2）对摸出的黑球的个数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果；（3）先将这5个小球分为3组，确定每组球的个数，然后再将这三组小球分配给三个不同的盒子，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】（1）解：将2个不同的白球和3个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，只需先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为3232A A 12=种.（2）解：随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，则黑球得个数可以是1或2或3，由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为1221332323C C C C C 36110++=++=种.（3）解：先将这5个小球分为3组，则这三组小球的个数分别为3、1、1或2、2、1，再将这三组小球分配给三个盒子，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为2233535322C C 103C A 106150A 2⎛⎫⨯⎛⎫+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种.19．已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求2n T .【正确答案】(1)25n a n =或2n a n=(2)2221n n T n =-+【分析】（1）根据题意，利用等差数列的通项公式和等比中项的应用求出1d a 、，即可求出n a ；（2）根据题意，由（1）可得2n a n =，根据等差数列前n 项求和公式计算可得()1n S n n =+，则()11111n n b n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用裂项相消求和法计算即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =.（2）因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111nnnn n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∴21234212n n nT b b b b b b -=++++++ 11111111111111111112233445212221n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111112233445212221n n n n =---+++---+++----+++-+ 11111113352121n n =-+-+--+-+ 11121n =-++221n n =-+.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的体积为2，侧面11ACC A 是矩形，CA CB ⊥，122AB AA AC ===，且已知二面角1A AC B --是钝角.(1)求1A B 的长度；(2)求二面角111A B C A --的大小.【正确答案】(2)4π【分析】（1）在平面11C CBB 中作1C H 垂直BC 的延长线于H ，利用线面垂直的判定得AC ⊥平面1BCC ，AC ⊥平面11C CBB ，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，最后证明出1C H ⊥平面ABC ，再利用椎体体积公式求出11C H =，最后利用余弦定理和勾股定理即可得到答案.（2）以C 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面11AB C 和平面111A B C 的法向量，利用二面角的空间向量求法即可得到答案.【详解】（1） 侧面11ACC A 是矩形，则1C C AC ⊥，又∵AC CB ⊥且1CB CC C = ，1,CB CC ⊂平面1BCC ，∴AC ⊥平面1BCC ，∵11//AC AC ，∴11A C ⊥平面1BCC ，1C B ⊂平面1BCC ，∴111AC C B ⊥，∴1A B =∵可知二面角1C AC B --的平面角1C CB ∠是钝角，∴在平面11C CBB 中作1C H 垂直BC 的延长线于H而1C H ⊂平面11C CBB ，1C H AC ∴⊥，AC BC ⊥Q ，且BC AC C ⋂=，,BC AC ⊂平面ABC ，∴1C H ⊥平面ABC ，CA CB ⊥ ，22AB AC ==，则1AC =，BC =，1122ABC S ∴=⨯=，∴1111122ABC A B C ABC V S C H C H -=⋅==，∴11C H =，∴1Rt C CH 中，11sin 2C CH ∠=，∴130C CH ∠= ，∴1150BCC ∠=.∵1BCC 中，CB =，12CC =，∴由余弦定理可求得1C B =∴1A B ===（2）以C 为坐标原点，以CA 、CB 分别为x 、y 轴，过C 作平面BAC 的垂线作为z 轴，建立空间直角坐标系.∵()0,0,0C ，()1,0,0A，()B，()10,C ，∴111(1,AC C B CB ⎧=-⎪⎨==⎪⎩ ，设平面11AB C 的法向量为(),,m x y z =，则1110AC m x z C B m ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，则0y =，令1x =，则1z =，∴可得平面11AB C 的法向量为()1,0,1m =.又可知平面111A B C 的法向量为()0,0,1n =.设所求角为θ，∵可知所求二面角为锐角，∴cos cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，∴二面角111A B C A --为4π.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>()2,2P 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点A 、B 在双曲线C 的左、右两支上，直线PA 、PB均与圆(222:0O x y r r +=<<相切，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，ABP 的面积为S .①12k k 是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.②已知圆O 的面积为8π5，求S .【正确答案】(1)221312x y -=(2)①是，且121k k =；②704175.【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线C 的方程；（2）①设点P 且斜率存在的直线l 的方程为()22y k x -=-，利用圆心到直线l 的距离等于圆的半径可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可得出12k k 的值；②根据圆的面积公式可得出2r 的值，解出1k 、2k 的值，可得出直线PA 、PB 的方程，将这两条直线的方程与双曲线的方程联立，求出点A 、B 的横坐标，可求得PA 、PB ，以及sin APB ∠的值，利用三角形的面积公式可求得APB △的面积.【详解】（1）解：由题意可得22222441ca c ab a b⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以，双曲线C 的方程为221312x y -=.（2）解：设过点P 且斜率存在的直线l 的方程为()22y k x -=-，当直线l 与圆Or =，转化整理为()()2224840r k k r -++-=.（※）①因为1k 、2k 是方程（※）的两个根，所以，2122414r k k r -==-为定值；②因为圆O 的面积为28ππ5r =，所以，285r =，代入方程（※），可得231030k k -+=，解得113k =，23k =.所以，直线PA 、PB 的方程分别为()1223y x -=-和()232y x -=-，联立221433412y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得23581240x x --=，()2184351240∆=-+⨯⨯>，所以，124235A P A x x x ==-，可得6235A x =-，联立2234412y x x y =-⎧⎨-=⎩可得2524280x x -+=，2242445285765600∆=⨯-⨯⨯=->，所以，2814255B P B B x x x x ⋅=⋅=⇒=.所以，214411035P A PA k x x =+-=2241105P B PB k x x =+-.设PA 、PB 切圆O 于M 、N ，则21055sin 522r MPO OP ∠==所以，225cos 1sin 5MPO MPO ∠=-∠=所以，4sin sin 22sin cos 5MPN MPO MPO MPO ∠=∠=∠∠=，则()4sin sin πsin 5APB MPN MPN ∠=-∠=∠=，所以，114444704sin 1010223555175S PA PB APB =∠=⨯⨯⨯=.方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知函数()()222ln 3e 125x f x x x a x -=-++-，()()2ln 31g x ax x a x =+-+，R a ∈.(1)当2a =时，求函数()g x 的单调性；(2)若不等式()()f x g x ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)()g x 在定义域()0,∞+内单调递减(2)3,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的导数，再次求导，判断导数的正负，即可判断函数的单调性；另解：根据切线不等式，判断导数正负，可判断函数单调性.（2）将()()f x g x ≤变形为()()2ln 23e ln 2ln 3e x x x a x x x x x------≤=对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()ln t h x x x ==-，继而化为23e 2t a t--≤对任意的[)1,t ∈+∞恒成立，从而转化为函数最值问题，求得答案.【详解】（1）2a =时，()22ln 1g x x x x =+-，定义域为()0,∞+,∵()2ln 22g x x x '=+-，令()()2ln 22,0u x g x x x x '=+->=，∴()()21x u x x-'=，当01x <<时，()0u x '>，当1x >时，()0u x '<，∴()g x '在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，∴()()10g x g ''≤=，仅在1x =时取等号，∴()g x 在定义域()0,∞+内单调递减.另解：()()'2ln 222ln 1g x x x x x =+-=+-,∵ln 1≤-x x （切线不等式），∴ln 10x x +-≤∴()0g x '≤恒成立，∴()g x 在定义域()0,∞+内单调递减.（2）将()()f x g x ≤整理、转化为：()()22ln 2ln 3e 3e ln 2ln 3e e x x x x x a x x x x x -------≤==对任意的()0,x ∈+∞恒成立，（※）设()ln t h x x x ==-，()0,x ∈+∞,∵()1x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()()11t h x h ==≥,∴（※）转化为223e t at t --≤，即23e 2t a t--≤对任意的[)1,t ∈+∞恒成立.设()2e t t tϕ-=，其中[)1,t ∈+∞，则()23a t ϕ-≤.∵()()22e 10t t t tϕ--'=≥对任意的[)1,t ∈+∞恒成立，∴()t ϕ在[)1,t ∈+∞时单调递增,∴()()min 11e t ϕϕ==，∴()min 323ea t ϕ-≤=,∴32ea ≤+.∴所求a 的范围范围为3,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.关键点睛：解答不等式()()f x g x ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立时，关键一步在于变形，即()()22ln 2ln 3e 3e ln 2ln 3e ex x x x x a x x x x x -------≤==，从而可构造函数，将问题转化为函数最值问题解决.。
2023-2024学年浙江高二下学期期中联考数学质量检测模拟试题(B卷)(含答案)
2023-2024学年浙江高二下学期期中联考数学模拟试题（B 卷）一、单选题1．若集合{|ln(2)1}A x Z x =∈-≤，则集合A 的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【正确答案】B【分析】根据对数的运算性质，求得集合{3,4}A =，进而求得集合A 的子集个数，得到答案.【详解】由ln(2)1x -≤，可得202x x e->⎧⎨-≤⎩，解得22x e <≤+，所以集合{|22}{3,4}A x Z x e =∈<≤+=，所以集合A 的子集个数为224=.故选：B.2．已知复数z 满足()1i 2i z +=，则复数z 在平面内对应点所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据给定条件结合复数的除法运算求出复数z 即可判断作答.【详解】因()1i 2i z +=，则2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z -+====+++-，则复数z 在平面内对应点坐标为(1,1)，所以复数z 在平面内对应点所在象限是第一象限.故选：A3．把函数sin 3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（）A ．sin(3)6y x π=+B ．sin(3)6y x π=-C ．cos3y x =D ．cos(36y x π=+【正确答案】C【分析】根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解.【详解】把函数sin 3y x =的图象向左平移6π可得sin 3+=sin 3+62y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由诱导公式化简可得sin 3+= cos32y x xπ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:C本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.4．已知()()25e ,3log 1,3x x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()126f f 等于（）A ．5log 2B ．1eC ．eD ．1【正确答案】C【分析】根据函数解析式先求出()1263f =，再求出(3)f 即可.【详解】∵1263>，()()5126log 12613f =-=，又33≤，∴()()()321263e e f f f -===.故选：C.5．已知向量)a =，向量)1a b -=，则a 与b的夹角大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【正确答案】D【分析】计算可得(1,b →=-，利用数量积公式计算即可得出结果.【详解】向量)a =，向量)1a b -=，(1,b →∴=-，cos ,222a b <>==⨯，且0,a b π≤<>≤ ，,a b →→∴的夹角为51506π=︒.故选：D.6．在6x ⎛⎝展开式中，常数项为（）A ．192-B ．160-C ．60D ．240【正确答案】D【分析】根据通项公式求出k ，再代入通项公式可得结果.【详解】二项展开式的通项为616C kk kk T x -+⎛=⋅ ⎝()3626C 2k k k x -=⋅-⋅，0,1,2,3,4,5,6k =，令3602k -=，得4k =，所以展开式中常数项为()446C 2240⋅-=.故选：D7．在100张奖券中，有4张中奖，从中任取两张，则两张都中奖的概率是A ．150；B ．125；C ．1825；D ．14950【正确答案】C【详解】所求事件的概率为2421001825C P C ==.8．已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则12a b+的最小值是（）A ．6B．C ．8D．【正确答案】C【分析】设切点为（m ，n ），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n ＝0，进而得到2a +b ＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】设切点为（m ，n ），y ＝ln （x +b ）的导数为1y x b'=+，由题意可得1m b+=1，又n ＝m ﹣2a ，n ＝ln （m +b ），解得n ＝0，m ＝2a ，即有2a +b ＝1，因为a 、b 为正实数，所以12124=()(2)22428b a a b a b a b a b +++=+++≥+，当且仅当122a b ==时取等号，故12a b+的最小值为8．故选：C ．二、多选题9．已知函数()323f x x x =-+，则（）A ．()f x 在()0,1上单调递增B ．()f x 的极小值为2C ．()f x 的极大值为－2D ．()f x 有2个零点【正确答案】AD【分析】由导数判断单调性后对选项逐一判断【详解】由()323f x x x =-+可得()()23632f x x x x x =-'+=--，由()0f x ¢>可得02x <<，由()0f x '<可得0x <或2x >，故()f x 在(),0∞-和()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，()f x 有极小值()00f =，极大值()24f =，故A 正确，B ，C 错误．()0f x =有两解，10x =，23x =，则()f x 有2个零点，故D 正确．故选：AD10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（）A ．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B ．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C ．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D ．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则12E ξ=【正确答案】BCDA 选项考查了排列组合的内容；B 选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；C 选项利用条件概率的公式代入求解；D 选项利用二项分布的公式求解.【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有36216=种，故A 错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为363120521966A ==，故B 正确；已知甲不选择课程“御”的概率为56，甲乙丙都不选择“御”的概率为3316652521=，所以条件概率为125252165366=，故C 正确；三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则ξ服从二项分布1(3,6B ξ ，则11362E ξ=⨯=，故D 正确.故选：BCD.方法点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．11．函数1()cos (0)2f x x x x =+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．4176a π=C ．20211sin 2S =D ．()37tan 3a a +=【正确答案】BC【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：1()sin 2f x x '=-，令()0f x '=可得26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈，易得函数的极值点为26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈，从小到大为5,66ππ，136π⋯，不是等差数列，A 错误；4517266a πππ=+=，B 正确；2021122021513172020266666S a a a πππππ=++⋯+=++++⋯++⨯，135175(20202)(20182)666666ππππππππ=++⋯++⨯+++⋯++⨯，则根据诱导公式得202151sin sin62S π==，C正确；3713tan()tan(6)tan 663a a ππππ+=++==D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，L ，n P （2n ≥且*N n ∈）满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP nπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（）A ．2n =时，12112PF P F +=B ．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9C ．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D ．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8【正确答案】BC【分析】以12PP 为抛物线通径，求得1211PF P F +的值，判断A;当3n =时,写出焦半径123,,PF P F P F 的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B;当4n =时,求出1234,,,PF P F P F P F 的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.【详解】当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P -，，，则121111=+122PF P F +=，故A 错误；当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,2PFx παα∠=∈,则12||1cos PF α=-，则2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+，故123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos )2ααα+=+-+，令113cos ,(,)222t t α=+∈，则123242332t PF P F P F t t +++=+-，令242332()t t tf t +=+-，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=--，当112t <<时，()0f t '>，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '<，()f t 递减，故min ()(1)9f t f ==，故当1t =，即1cos ,23παα==时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx πθθ∠=∈,则12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+，即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-，故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++，当2sin 21θ=时，216sin 2θ取到最小值16，即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误；故选：BC本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径||1cos pPF α=-的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.三、填空题13．已知函数()651x ag x =+-为奇函数，则实数=a ___________.【正确答案】12【分析】利用奇函数的性质列方程去求实数a 的值.【详解】依题意知()651xag x =+-为奇函数，∴()()110g g -+=，即116605151a a-+++=--，∴12a =.经检验符合题意.故1214．已知抛物线C ：240x my +=恰好经过圆M ：()()22121x y -+-=的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为____________.【正确答案】10,8⎛⎫⎪⎝⎭/(0,0.125)【分析】将圆M 的圆心代入抛物线的方程可求得m ，进而可求焦点坐标.【详解】由题可得圆M 的圆心为()1,2，代入240x my +=得2m =-，将抛物线C 的方程化为标准方程得212x y =，故焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为.10,8⎛⎫⎪⎝⎭15．若双曲线C 的方程为22145x y -=，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为________．【分析】设P 0x 0y 、M （x ，y ），根据直线的点斜式方程表示出直线PA 、QB 的方程，整理两直线方程可得22022044y y x x =---，结合点P 0x 0y 在双曲线22145x y -=上可得2020544y x =-，进而得出曲线T 的方程，即可求出离心率.【详解】设P 0x 0y ，则Q （0x ，-0y ），设点M （x ，y ），又A （-2，0），B （2，0），所以直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++①，直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--②．由①得0022y yx x =++，由②得0022y y x x =---，上述两个等式相乘可得22022044y y x x =---，∵P 0x 0y 在双曲线22145x y -=上，∴2200145x y -=，可得2200454y x -=，∴2020544y x =-∴22544y x =--，化简可得22145x y +=，即曲线T 的方程为22145x y +=故答案为.5516．已知函数1()x f x xe +=，若关于x 方程2()2()20()f x tf x t R -+=∈有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为_______________．【正确答案】32,2⎫⎪⎭【分析】作出()g x 与()f x 的图像，()11f -=，令()(0)k f x k =>，则方程2()2()20()f x tf x t R -+=∈为2222k t k k k+==+，令()2g k k k =+，作出()g k 的图像，结合图形，即可得出答案．【详解】令1()x g x xe +=，111()(1)x x x g x e xe x e +++'=+=+，所以在(1,)-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(,1)-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以11()(1)1min g x g e -+=-=-=-，又(0)0g =，所以作出()g x 与()f x 的图像如下：()11f -=，令()(0)k f x k =>，则方程2()2()20()f x tf x t R -+=∈为2220()k tk t R -+=∈，则2222k t k k k+==+，令()2g k k k=+，作出()g k 的图像：当022t <<02t <<2y t =与()2g k k k =+没有交点，所以方程22t k k=+无根，则()(0)k f x k =>无解，不合题意．当22t =2t =时，2y t =与()2g k k k=+有1个交点，所以方程22t k k=+有1个根为2k =()(0)k f x k =>有1个解，不合题意．当2t >t >2y t =与()2g k k k =+有2个交点，所以方程22t k k=+有2个根为10k <2k >，若11k =时，则1()(0)k f x k =>有2个解，2()(0)k f x k =>有1个解，所以()k f x =有3个解，不合题意．若101k <<时，则1()(0)k f x k =>有3个解，2()(0)k f x k =>有1个解，所以()k f x =有4个解，不合题意．11k >>时，则1()(0)k f x k =>有1个解，2()(0)k f x k =>有1个解，所以()k f x =有2个解，合题意．因为22t k k=+，所以23t <<32t <，综上所述，t的取值范围为3)2．故3)2．四、解答题17．从10名同学（其中6女4男）中随机选出3人参加测验，每个女同学通过测验的概率均为45，每个男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3个同学中，至少有一个男同学的概率；(2)10个同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【正确答案】(1)56；(2)4125【分析】（1）先计算对立事件没有男同学的概率，再得出至少一个男同学的概率；（2）先计算甲、乙被选中的概率，再集合相互独立事件计算选中且通过测验的概率.【详解】（1）记选出的同学中至少有一个男同学为事件A ，则()()363105116C P A P A C =-=-=；（2）甲、乙被选中且通过测验的概率1831043455125C P C =⨯⨯=.18．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD，AB =，CD =cos A =1cos 3ADB ∠=.（1）求cos BDC ∠；（2）求BC 的长.【正确答案】（1）9；（2.【分析】（1）计算出sin A 、sin ADB ∠，利用两角和的余弦公式可求得cos cos BDC ABD ∠=∠的值；（2）在ABD △中，利用正弦定理可求出BD 的长，然后在BCD △中利用余弦定理可求得BC 的长.【详解】（1）因为cos 3A =，1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，所以，sin A ==，sin 3ADB ∠==，()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADBπ∠=--∠=-+∠=∠-∠133==//AB CD Q ，则BDC ABD ∠=∠，因此，cos cos 9BDC ABD ∠=∠=；（2）在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠，可得sin 3sin 3AB ABD ADB==∠，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=，因此，BC =方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.19．已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足*(2)1()n n n a S a n -=∈N .(1)求证：数列{}2n S 是等差数列，并求出n S 的表达式；(2)数列{}n a 中是否存在连续三项k a ，1k a +，2k a +，使得1k a ，11k a +，21k a +构成等差数列？请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析，n S (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”建立n S 与1n S -的关系即可推理作答.（2）由（1）求出n a ，利用反证法导出矛盾，推理作答.【详解】（1）依题意，正项数列{}n a 中，211a =，即11a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即[]11()2()1n n n n n S S S S S -----=，整理得2211n n S S --=，又22111S a ==，因此，数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =，因为{}n a 是正项数列，即0n S >，所以n S .（2）不存在，当2n ≥时，1-=-n n n a S S 11a =，即*N n ∀∈，都有=n a则1na ==假设存在满足要求的连续三项12,,k k k a a a ++，使得12111,,k k k a a a ++构成等差数列，则==两边同时平方，得112k k k k +++=-+++(1)(1)(2)k k k k +=-+，整理得：222k k k k +=+-，即02=-，显然不成立，因此假设是错误的，所以数列{}n a 中不存在满足要求的连续三项.20．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为，经过点()2,1P -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM PN ，分别交椭圆于A ，B ．PQ AB ⊥，Q 为垂足．是否存在定点R ，使得QR 为定值，说明理由．【正确答案】（1）22182x y +=；（2）存在；答案见解析．【分析】（1）利用=c ，椭圆经过点()2,1P -列出方程，解出a,b,c 即可.（2）设出直线AB 方程为x my l =+，联立椭圆方程解出点M ，N 的坐标，题中OM NO =可得l与m 关系式(2)(2)0l m l m -++=，求出直线AB 过定点(0,2)D -，结合图形特点得PD 中点R 满足QR 为定值，即可求出定值及点R 坐标.【详解】（1）由题意可知=c ，又椭圆经过点()2,1P -知2241+=1a b 解得228,2a b ==，所以22182x y +=；（2）设直线AB 方程x my l =+,与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y 222221(4)28082x y m y mly l x my l ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，0∆>得2228m l +>12224ml y y m +=-+,212284l y y m -=+直线111:1(2)2y PA y x x --=++，即1111(2)2y y x my l --=+++因此M 坐标为1122(0,12y my l -+++，同理可知2222(0,1)2y N my l -+++由OM NO =知：1212222211022y y my l my l --+++=++++化简整理得221212(2)(2)(+)20m m y y ml m l y y l l +++++++=则2222282(2)()(2)()2044l mlm m ml m l l l m m -+++++-++=++整理：(2)(2)0l m l m -++=若20l m ++=则直线:2AB x my m =-+，过点P 不符合题意若20l m -=则直线():22AB x my m m y =+=+符合题意直线AB 过点(0,2)D -于是PD 为定值且PQD △为直角三角形且PD 为斜边所以PD 中点R 满足QR 为定值122QR PD ====此时点R 的坐标为1(1,)2--.（1）注意题目条件的利用，解方程的准确性;（2）根据直线AB 的特点来确定PD 为定值，以及PD 的中点R 满足题目要求，要注意应用图形的几何特征.21．已知函数()()1e ln xf x x a x =-+．(1)当0a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 存在大于1的零点0x ，设()f x 的极值点为1x ；①求a 的取值范围；②证明：1032x x >．【正确答案】(1)e e 0x y +-=(2)①()e,+∞；②证明见解析【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率()1f '，结合()10f =可得切线方程；（2）①求导后，当0a ≤时，可知()f x 单调递减，不合题意；当0a >时，根据()f x 存在极值点可确定()10f x '=，得到121e x a x =，并得到()f x 单调性；通过零点可确定101x x <<，结合()10f x >恒成立可确定121e xa x =只需有解即可；利用导数可求得()()2e 1x m x x x =>的单调性和值域，由此可得a 的范围；②将问题转化为证明()1032f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证明1302f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭；根据132f x ⎛⎫⎪⎝⎭的形式，可构造函数()()22331e ln 122xx h x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，利用导数可说明()h x 单调性，并得到()0h x <，从而说明1302f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由此可证得结论.【详解】（1）当0a =时，()()1e xf x x =-，则()()e 1e e x x x f x x x '=-+-=-，()1e f '∴=-，又()10f =，()f x \在()()1,1f 处的切线方程为：()e 1y x =--，即e e 0x y +-=.（2）①由题意知：()f x 定义域为()0,∞+，()e xa f x x x'=-+；令()()g x f x '=，则()()21e xa g x x x '=-+-；当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x \在()0,∞+上单调递减，不合题意；当0a >时，()0g x '<恒成立，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，()f x 存在极值点1x ，()1111e 0xaf x x x '∴=-+=，即121e x a x =；且当()10,x x ∈时，()0f x ¢>；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '<；()f x \在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减；()10f = ，()f x 存在大于1的零点0x ，101x x ∴<<；则需()()11111e ln 0x f x x a x =-+>，又121e xa x =，()1121111e e ln 0x x x x x ∴-+>，即2111ln 10x x x +->，又11x >，121111ln 0x x x ∴+->，令11t x =，则()0,1t ∈，2ln 0t t t -->；令()()2ln 01t t t t t ϕ=--<<，则()()()2111210t t t t t tϕ+-'=--=<，()t ϕ∴在()0,1上单调递减，()()10t ϕϕ∴>=，即当11x >时，()10f x >恒成立；令()()2e 1x m x x x =>，则()()2e 0xm x x x '=+>，()m x ∴在()1,+∞上单调递增，()()1e m x m ∴>=，∴当e a >时，方程121e x a x =有解；∴实数a 的取值范围为()e,+∞；②由①知：11x >，121e xa x =，则1111322112211111333331e e ln e 1e ln 22222xxxx x x f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()()22331e ln 122xx h x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()222233133332e 1e 2ln 1e 2ln 132222422x x xx x h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∴=-+---⋅=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3104x +> ，2e 0x >，332ln 12ln 1022x +>+>，()0h x '∴<，()h x ∴在()1,+∞上单调递减，()()12131e ln 022h x h ∴<=--<，又11x >，()1212111331e ln 022x x h x x x ⎛⎫∴=--< ⎪⎝⎭，1302f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，又()00f x =，()1032f x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，1132x x > ，01x x >，()f x 在()1,x +∞上单调递减，1032x x ∴>，即1032x x >.关键点点睛：本题考查导数几何意义的应用、导数在求解函数中的应用；本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数的两个函数值大小关系的比较问题，结合导数的知识可求得函数值的大小关系，从而得到结论.22．已知函数2()e ln()e (0,1)x f x x x a a x x a =-+-≥≥，()f x 的导函数为()g x ．(1)若()g x 存在极值点，求a 的取值范围；(2)设()f x 的最小值为m ，()g x 的最小值为n ，证明： m n <．【正确答案】(1)12a ≤≤(2)证明见解析【分析】(1)先求()f x 的导数，得到()g x 的解析式，再求()g x 的导数，由()g x 存在极值点，可知()0g x '=有实数根，把()0g x '=转化为两个函数e x 和()()21ah x x a x a =+++有交点的问题，通过求导讨论单调性可知，只需()0e h x ≤即可有交点，得到不等式解出a 的取值范围；(2)由(1)可得()g x '的单调性，由(0)0g '≤，(1)0g '>可设()g x '的零点[)00,1x ∈，从而得到()g x 的单调性，得出()g x 的最小值0()g x ，再由()00g <，()20g <可设()g x 的零点()12,x ∈+∞，从而得到()f x 的单调性，得出()f x 的最小值1()f x ，由1()(2)f x f <把证明01()()g x f x >转化为证明0()(2)g x f >，通过作差，讨论()e x x x x a ϕ=-+的单调性可得()e 0xx x x aϕ=->+，即可证明结论.【详解】（1）因为函数2()e ln()e (0,1)x f x x x a a x x a =-+-≥≥，所以21()e ln()e x f x x a x a x a ⎡⎤'=-++⋅-⎢⎥+⎣⎦，即2()e ln()e xx g x x a a x a=-+--+.则()()2211()e e x xx a x a g x x a x a x a x a +-'=--=--++++，()g x 存在极值点，即()0g x '=有实数根，即()21e 0xa x a x a --=++有实数根，即()21e xa x a x a =+++有实数根，令()()[)21,0,a h x x x a x a =+∈+∞++，则()()()()()232312120a ah x x a x a x a x a⎡⎤'=--=-+<⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦，所以()h x 在[)0,∞+上单调递减.因为e x 在[)0,∞+上单调递增，所以要使()21e xa x a x a =+++在[)0,∞+上有实数根，只需()0e h x ≤，即()201e 00a a a ≤+++即可，解得2a ≤，所以a 的取值范围为12a ≤≤.（2）由(1)知，()()21ah x x a x a =+++在[)0,∞+上单调递减，e x在[)0,∞+上单调递增，所以()21()e x a g x x a x a ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[)0,∞+上单调递增，因为()0212(0)e 1000a g a a a ⎡⎤'=-+=-≤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，()()211(1)e e 11011a g a a ⎡⎤'=-+>-+>⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以存在[)00,1x ∈，使00()g x '=.则当00x x ≤<时，00()g x '<，当0x x >时，0()0g x '>，所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在[)0,x ∞+上单调递增，所以()02000min 0()e ln()e xx g x g x x a a x a==-+--+，即02000e ln()e xx n x a a x a=-+-+，[)00,1x ∈.因为()20200e ln(0)e l 1n e 00g a a a a a=-+---+=<-，()2222222e ln(2)e e e ln(2)22g a a a a a a ==-+--+-++-()202e ln(221)a a a+-=+--<，所以存在()12,x ∈+∞，使1()0g x =.则当10x x ≤<时，()0g x <，当1x x >时，()0g x >，所以()f x 在[)10,x 上单调递减，在[)1,x +∞上单调递增，()221min ()(2)e 2ln(2)2e f x f x f a a =<=-+-，即22e 2ln(2)2e m a a <-+-令22e 2ln(2)2e k a a =-+-，要证m n <，只需证k n <.因为0202200e ln()e e 2ln(2)2e x x n k x a a a a x a-=-+⎦-----+⎡⎤⎣+022002e ln()e e 2ln(2)2e x x x a a a a x a=-+--++-++02002e ln()e 2ln(2)e x x x a a a x a=++--+-++()[]02000e 2ln(2)ln()e 1x x a x a x a a ⎛⎫+-++- ⎪+⎝-+⎭=令()e xx x x aϕ=-+，[)0,1x ∈，则()()()22e e e 10x x x x a x a x x a x a ϕ+-'=-=->->++，所以()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，()()01x ϕϕ>=，所以00e 0xx x a->+，所以()[]0200010e 2ln(2)ln()e x x n k a x a x a a ⎛⎫-+-+++=-- ⎪⎝⎭+>，即k n <，即m n <.难点点睛：本题的难点在于零点不能直接求出，对于题目中出现隐零点的一般思路是：先用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点；再虚设零点并确定取范围，利用导数讨论单调性及最值，其中可能需要构造函数进行二次求导.。
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2023-2024学年浙江省温州高二下学期期中联考数学模拟试题A．6π
⊥；
(1)求证：1A B AC
AA C C所成角的正弦值
(2)求直线AB与平面11
21．党的二十大报告中提出：“我们要坚持以推动高质量发展为主题，推动经济实现质的有效提升和量的合理增长”.为了适应新形势，满足市场需求，某企业准备购进新型机器以提高生产效益
(1)根据样本估计总体的思想，求该产品的质量指标值m
(2)整理该企业的以往销量数据，获得信息如图表3：
图表3
产品等级一等品二等品三等品
6．D
【分析】利用指数函数的值域与对数函数的性质判断得利用对数的运算法则与对数函数的性质判断得
【详解】因为2log a=
17．(1)()ππππZ 36,,k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）根据三角恒等变换公式以及正弦函数增区间的求解方法求解；
⊥交AC于点G，连接1A G 作BG AC
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求。
2023-2024学年湖北省鄂高二下册期中联考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省鄂高二下册期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim 2x f x f x∆→+∆-=∆，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】根据导数的定义，即可求出结果．【详解】0(3)(3)lim (3)2x f x f f x∆→+∆-'==∆，故选：A ．2．已知23A C n n n -=，则n =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据排列组合公式得到()()!!!32!!3n n n n =-⨯-，解得答案.【详解】23A C n n n -=，即()()!!!32!!3n n n n =-⨯-，故23!6n -==，故8n =.故选：C3．下列导数运算正确的是（）A ．'ππsin cos33⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()331lo e=g log x x '⋅C ．()22e e xx'=D ．'【正确答案】B【分析】根据求导公式逐项求导验证即可【详解】因为'πsin 03⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以A 错,因为()33ln 111log log e ln 3ln 3x x x x''⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭,所以B 对,因为()22e 2e '=x x ,所以C 错,因为132212x x ''--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭所以D 错.故选：B4．已知直线l 是曲线e x y =的切线，切点横坐标为1-，直线l 与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，则OAB 面积为（）A ．12B ．1C ．2eD ．4e【正确答案】C【分析】由已知可得切点坐标，利用导函数求出切线l 的斜率，根据点斜式得到切线方程，进而得到A 、B 两点的坐标，即可求出OAB 的面积.【详解】解：当=1x -时，11e ey -==，而e x y '=，111e ex k y -=-==='，所以切线l ：()111e ey x -=+，即e 20x y -+=，当0y =时，2x =-，即()2,0A -；当0x =时，2e y =，即20,e B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12222e eOAB S =⨯⨯=V ，故选：C.5．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（）（单位：万元）参考数据：910111.02 1.1951.02 1.2191.02 1.243≈⋅≈⋅≈A ．2.438B ．19.9C ．22.3D ．24.3【正确答案】C【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为()10210.02+万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为()9210.02+万元，2032年存的2万元共存了1年，本息和为()210.02+万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为()()()()101091.02 1.021210.02210.02210.022 1.021⋅-++++++=⨯- ()2.04 1.219122.30.02⨯-≈≈万元，故选：C.6．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有()A ．36种B ．78种C ．87种D ．90种【正确答案】B【分析】由题意得1名主唱只能从3人里面选13C ,然后根据多面手进行分类即可得到结果.【详解】根据题意有三种情况:(1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:121342C C C 36=种;(2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:2143C C 18=种;(3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:111342C C C 24=种;共有:36182478++=种.故选:B.7．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(2)f x +为偶函数，4(0)e f =，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．(),4-∞B ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．()4,+∞【正确答案】D 【分析】令()()ex f x g x =，由()()f x f x '<，得到()g x 单调递减，再根据(2)f x +为偶函数，得到()f x 的图象关于2x =对称，进而得到4(0)()e 4f f ==，然后将不等式()e x f x <化为()1e xf x <求解.【详解】解：令()()e xf xg x =，因为()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e '-'=<，所以()g x 单调递减，因为(2)f x +为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，所以()f x 的图象关于2x =对称，则4(0)()e 4f f ==，所以4(4)(4)1e f g ==，又不等式()e x f x <可化为()1e xf x <，即()()4g x g <，所以>4x ，故选：D8．已知函数()1e xf x x kx k +=-+，有且只有一个负整数0x ，使()00f x ≤成立，则k 的取值范围是（）A ．21,3e 2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】将问题转化1e x x kx k +≤-有且只有一个负整数解，构造函数()1ex g x x +=与()h x kx k =-，利用导数法求函数()g x 的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.【详解】已知函数()1e xf x x kx k +=-+，则()10e x f x x kx k +≤⇔≤-有且只有一个负整数解.令()1ex g x x +=，则()()11ex g x x +=+'，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，当=1x -时，()g x 取得最小值为()()11111e g -+-=-=-⨯.设()()1h x kx k k x =-=-，则()h x 恒过点()1,0在同一坐标系中分别作出()y g x =和()y h x =的图象，如图所示显然01x =-，依题意得()()11g h -≤-且()()22g h ->-即12k -≤-且23e k ->-，解得213e 2k <≤，所以实数k 的取值范围是21,3e 2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.关键点睛：将问题转化为1e x x kx k +≤-有且只有一个负整数解，构造函数()1e x g x x +=与()h x kx k =-，利用导数法求函数()g x 的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.二、多选题9．在612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，下列说法正确的有（）A ．常数项为第三项B ．展开式的二项式系数和为729C ．展开式系数最大项为第三项D ．展开式中系数最大项的系数为240【正确答案】CD【分析】写出612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A ，求出展开式的二项式系数和可判断B ，解出不等式组6156661766C 2C 2C 2C 2r r r rr r r r -+----⎧≥⎨≥⎩可判断CD.【详解】612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()66621661C 2C 2,0,1,2,3,4,5,6rrrr r rr T x x r x ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以常数项为第四项，故A 错误；展开式的二项式系数和为6264=，故B 错误；由6156661766C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r -+----⎧≥⎨≥⎩可得4733r ≤≤，所以2r =，所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为426C 2240=，故C 、D 正确；故选：CD.10．对于数列{}n a ，把它连续两项1n a +与n a 的差记为1n n n b a a +=-得到一个新数列{}n b ，称数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列.若1+=-n n n c b b ，则数列{}n c 是{}n a 的二阶差数列，以此类推，可得数列{}n a 的p 阶差数列.如果某数列的p 阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p 阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列{}n a 满足12a =，且1(2)3n n S a n =+，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a 为二阶等差数列B ．数列{}n S 为三阶等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1n n -D ．若数列{}n b 为k 阶等差数列，则{}n b 的前n 项和{}n T 为(1)+k 阶等差数列【正确答案】ABD【分析】根据前n 项和与通项之间的关系可得12n n n a a n++=，利用累积法可得()1n a n n =+.对于A 、B 、D ：根据题意分析运算即可；对于C ：利用裂项相消法运算即可.【详解】因为()123n n S a n =+，则()11133n n S a n ++=+，两式相减得：()()11113233n n n a a n a n ++=+-+，整理得12n n n a a n ++=，注意到120a =≠，则12n n a n a n++=，当2n ≥时，则()13211221143211221n n n n n a a a a n n a a n n a a a a n n ---+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=+-- ；显然当1n =，1212a ==⨯符合上式；故()1n a n n =+.对于A ：()()()112122n n n b a a n n n n n +=-=++-+=+，()()1212222n n n c b b n n +=-=++-+=为非零常数，故数列{}n a 为二阶等差数列，故A 正确；对于B ：对数列{}n S ，它的一阶差数列为{}1n a +为二阶等差数列，故{}n S 为三阶等差数列，故B 正确；对于C ：因为()111111n a n n n n ==-++，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111122311n nT n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=++，故C 错误；对于D ：对数列{}n T ，它的一阶差数列为{}1n b +，若{}1n b +为k 阶等差数列，故{}n T 为()1k +阶等差数列，故D 正确.故选：ABD.11．已知函数()332f x x px q =++，其中320p q +=且0pq ≠，则下列说法正确的有（）A ．()f x 的对称中心为()0,2qB ．()f x 恰有两个零点C ．若方程()f x k =有三个不等的实根，则04k q<<D ．若方程()f x k =的三个不等实根分别为123,,x x x ，则33313263x x x q k++=-+【正确答案】ABD【分析】根据题意得到()()4f x f x q +-=，可判定A 正确；求得()233f x x p =+'，得出函数的单调性，结合极值，可判定B 正确；转化为()y f x =和y k =的图象有三个交点，分0q >和0q <时，可判定C 错误；根据()()()()123f x k x x x x x x -=---，得到1230x x x ++=，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，由()332f x x px q =++，可得()()3332324f x f x x px q x px q q +-=++--+=，所以对称中心为()0,2q ，所以A 正确；对于B 中，因为0pq ≠且320p q +=，即320p q =-<，所以0p <，由()233f x x p =+'，令()0f x '=时，解得x =当(,x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以x x =为极大值点，且(22,22fq f q ==-，当0q >时0f=；当0q <时(0f =，两种情况下均只有两个零点，所以B 正确；对于C 中，要使得方程()f x k =有三个不等的实根，即()y f x =和y k =图象有三个交点，当0q >时，可得(4,0f q f ==，则满足04k q <<，当0q <时，可得(0,4f fq ==，则满足40q k <<，所以C 错误；对于D 中，由()f x k =的三个零点分别为123,,x x x ，可设()()()()123f x k x x x x x x -=---，即()()33212312233112332x px q k x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-+++++-，可得1230x x x ++=因此333123123123333633(6)363x x x px px px q k p x x x q k q k ++=----+=-++-+=-+，所以D正确.故选：ABD方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由ln y x =在点(0,1)处的切线1y x =-写出不等式ln 1≤-x x ，进而用1n n+替换x 得到一系列不等式，叠加后有111ln(1)123n n +<++++ ．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）A ．()12!en n n -<B ．111ln 23nn+++< C ．3422212111e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．231121231en n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BC【分析】选项A ，可用特殊值法，令1n =，可知不等式不成立；选项B ，将ln 1x x ≤-中的x替换为1x -，用赋值法可得()1ln ln 1n n n-->，然后根据同向不等式相加可判断B 选项的正误；选项C ，将ln 1x x ≤-中的x 替换为21i n +，可得22ln 1i i n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D ，将ln 1x x ≤-中的x 替换为1n n -，可得11enn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，然后再根据同向不等式相加可判断D 的正误，另外，也可用特殊值法即由231211232e⎛⎫⎛⎫+>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可说明选项D 的正误．【详解】令()1ln f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，故()1ln f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1ln f x x x =--在1x =处取得极小值，也是最小值，min ()0f x =，故ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时等号成立，A 选项：1n =时不等式左右两端相等，故A 错误；B 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为1x -，可得()ln 111,1x x x x -≤--=-<，当且仅当0x =时等号成立，令10x n =≠，可得11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n n-->，故()111ln2ln1ln3ln2ln ln 123n n n-+-++-->+++ ，其中()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln ln1ln n n n n -+-++--=-= ，所以111ln 23n n>+++ ，B 正确；C 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为21i n +，显然211in+≠，则22ln 1i i n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故()2222112ln 1ln 1ln 12n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，()211132224n n n n +=+≤，故3422212111e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立；当1n =时，()1313444216e e =<=显然成立，故3422212111e ,C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭正确；D 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为1n n -，其中，*N n ∈且2n ≥，则11ln n n n-<-，则1ln 1n n n -<-，故11e nn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则23112231e n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又231211232e⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：BC ．三、填空题13．已知函数f （x ）=f′（2π）sinx+cosx ，则f （4π）=_______【正确答案】0【详解】试题分析：由原函数可得()cos sin cos sin 1222222f x f x x f f f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴=-∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'()sin cos sin cos 0444f x x x f πππ⎛⎫∴=-+∴=-+= ⎪⎝⎭函数求导数求值14．已知某等比数列首项为4，其前三项和为12，则该数列前四项的和为__________.【正确答案】16或-20【分析】根据等比数列通项公式表示出前三项和解出公比，将公比代入数列前四项的和计算即可.【详解】设等比数列公比为q ，14n n a q -=⋅，2231111213S a a q a q q q =++=⇒++=，化简可得()()120q q -+=，解得1q =或2q =-，当1q =时，4n a =，43412416S S a =+=+=，当2q =-时，()144232n n a a -=⨯-⇒=-，434123220S S a =+=-=-.故16或-2015．用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有__________个．【正确答案】45【分析】将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．【详解】设123,,a a a 对应个位到百位上的数字，则()*3N ,N 1,2i a a i ∈∈=且1239a a a ++=，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，11111111100,这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为3a ，第二组数的和作为2a ，第三组数的和作为1a ，故共210C 45=种，故45．16．函数2()ln e 484xa f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】(],4∞-【分析】由函数()f x 的值域是实数集R ，得真数()2e 484xa g x a x =⋅-+-能取遍()0,∞+内所有的数.分成0a ≤,0a >两种情况讨论()g x 的单调性及取值情况得出结果.【详解】函数()2ln e 484x a f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭的值域是实数集R ，则()2e 484xa g x a x =⋅-+-能取遍()0,∞+内所有的数.()e 4x g x a =⋅'- ，当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减．当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()g x →-∞．这表明，()g x 的值域为R ，当然可取遍()0,∞+的所有值．当0a >时，令()e 40xg x a '=⋅-=，则4lnx a=，由()0g x '>解得4lnx a >；由()0g x '<解得4ln x a <.所以()g x 在4,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在4ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 的最小值为244ln 4ln 44ag a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以244ln 404a a --≤成立，令()244ln 44a h a a =--，()h a 在()0,∞+上单调递增且()40h =，故04a <≤.综上.4a ≤故答案为.(],4∞-四、解答题17．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.(1)若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？(2)郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？【正确答案】(1)40(2)30240【分析】（1）该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车.（2）排序问题中，不相邻问题考虑用插空法.【详解】（1）八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共12C 种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共36C 种选法，因此共有1326C C 40=种分配方式.（2）先让6名学生排队，共66A 种方法，然后两名老师插入7个空隙，共27A 种方法，因此共有6267A A 30240=种站法.18．已知函数()22e x af x -=的一个极值点是1-.(1)求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 在区间[2,4]-上的最值.【正确答案】(1)()f x 极小值为2e -，极大值为36e (2)()f x 最大值为2e ，最小值为2e-【分析】（1）根据()f x 有一个极值点求出a ，再利用导数确定单调区间，即可求出极值；（2）由（1）根据函数的单调性求出最值.【详解】（1）()()2222e e xxx x axx a f x ---'++== ，()f x 有一个极值点是()21.(1)2103a a -∴--+⋅-+=∴=，即()23e xx f x -=又()()()21323e e x x x x x x f x -+='--++=，x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-0+-()f x 单调递减()12ef -=-单调递增()363e f =单调递减∴当=1x -时，()f x 有极小值，极小值为()12e f -=-；当3x =时，()f x 有极大值，极大值为()363e f =；（2）由（1）知，()f x 在[]2,1--上递减，[]1,3-上递增，[]3,4上递减，又()()2346132e ,42e e e f f -=>=>-，()f x \在[]2,4-上的最大值为()22e f -=，()f x \在[]2,4-上的最小值为()12e f -=-.19．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足：()*21(N )nn n n b n a a +-=∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【正确答案】(1)21n a n =-(2)()()211624143nT n n =-+++【分析】（1）利用2n ≥时,n n a S 关系求通项公式，注意验证1n =情况，即可得通项公式；（2）应用分组、裂项相消法求2n T .【详解】（1）由2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-又1n =时111a S ==也满足该等式，故21n a n =-.（2）由()()2(1)1(1)11(1)212342123n n nn n n b a a n n n n +--⎛⎫==-=- ⎪-+-+⎝⎭，则211111111111111455943414377114143n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-+-+-++- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ 1111114414343n n ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()111111644143624143n n n n ⎛⎫=-+⋅-=-+ ⎪++++⎝⎭.因此()()211624143n T n n =-+++.20．在探究()n a b +的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将()21nx x ++的展开式按x 的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）.上表图2中第n 行的第m 个数用1D m n -表示，即()21nx x ++“展开式中m x 的系数为2D n mn-.(1)类比二项式系数性质11C C C k k kn n n -+=+表示()1*1D 121,,N k n k n k n ++≤≤-∈（无需证明）；(2)类比二项式系数求和方法求出三项式()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和.【正确答案】(1)1111D D D D k k k k n n n n+-++=++(2)16-【分析】（1）二项式系数性质类比到三项式即可;（2）类比二项式系数求和方法，使用赋值法即可.【详解】（1）1111D D D D k k k k n n n n+-++=++（2）由题意，设()521090191032x x a x a x a x a --=++++ ，当1x =时0129100a a a a a =+++++ ①当=1x -时，50129102a a a a a =-++-+ ②①-②得：()13579232a a a a a ++++=-，1357916a a a a a ∴++++=-即()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和为16-.21．已知正项数列{}n a 满足11a =且()()()22*11110N n n n n a a a a n ++++-=∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在p 、q 使12n n pS qn +=-恒成立，若存在，求出p 、q 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)1n a n=(2)存在，1,12p q ==-【分析】（1）由已知条件可得()()1110n n n n n n a a a a a a +++++-=，从而110+++-=n n n n a a a a ，即1111n na a +-=，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用错位相减法求出n S ，根据题中条件得出,p q 满足的条件，求得答案.【详解】（1）()()22222211111110,0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++-=∴++-= ，()()()()()11111110,0n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++++++∴+++-=∴++-=，{}n a 为正项数列，110n n n n a a a a ++∴+-=，即1111n na a +-=，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，以1为公差的等差数列，()1111,n n n n a a n∴=+-=∴=.（2）22n nnn a =⋅ ，231222322n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，2311212222nn n S n +∴-=⨯+⨯+++-⋅ ()1212212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅，()1122n n S n +∴=-⋅+，()()1122221222n n n n np n p q pS q p qp n +⋅-++++∴==-+，又12n n pS qn +=-恒成立，2120p p q =⎧∴⎨+=⎩，解得：1,12p q ==-，∴存在1,12p q ==-满足条件.22．已知函数()212ln xf x x +=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若方程()f x k =的两个实根分别为12,x x （其中12x x <），求证.1212112x x x x +>>+【正确答案】(1)()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负得到单调区间.（2）设()()()2,(01)g x f x f x x =--<<，证明()g x 在()0,1上递增，得到122x x +>，1x是函数()()212ln F x x x =-的零点，转化为2m n +<，令()()()2h x F x F x =--，(01)x <<，根据单调性得到证明.【详解】（1）()()2432212ln 4ln x x x x x f x x x '⋅-+-==，()0,x ∈+∞，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >时，ln 0x >，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.（2）()f x 在()0,1上递增，()1,+∞上递减，()f x k =的两个零点，则1201x x <<<，下面先证明122x x +>：要证122x x +>，只需证212x x >-，21x >，121x ->，只需证()()212f x f x <-，即证()()112f x f x <-，设()()()2,(01)g x f x f x x =--<<，()()334ln 24ln (2)x x g x x x ---=+-'，当()0,1x ∈时，02x x <<-，4ln 0x ->，()()()3334ln 24ln 24ln (2)(2)(2)x x x x g x x x x '⎡⎤-----⎣⎦>+=---，()221(1)1x x x -=--<，()ln 20x x -<⎡⎤⎣⎦，故()0g x '>，即()g x 在()0,1上递增，()()10g x g <=，即()()2f x f x <-，故()()112f x f x <-成立，故122x x +>.下面证明12112x x +<：()2212ln 1112ln x f x k x xx +⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，1x 是方程()()212ln F x x x k =-=的解，设()F x k =的解为m n ､，要证：12112x x +<，即证2m n +<.()()22212ln 4ln F x x x x x x x=--⋅=-'，()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；()1,x ∈+∞时，()0F x '<，函数单调递减，故01m n <<<，则12n m <<-.要证2m n +<，即证()()2F n F m >-，即()()2F m F m >-，令()()()2(01)h x F x F x x =--<<，()()()4ln 42ln 2h x x x x x =----'，设()()()4ln 42ln 2k x x x x x =----()()24ln 44ln 244lnxk x x x x-'=--+-+=，01x <<，故21xx->，即()0k x '>，即()h x '单调递增，又()10h '=，()0h x '<，故()h x 单调递减，()10h =，()0h x >，即()()2F x F x >-，()()2F m F m >-，2m n +<成立，即12112x x +<成立，综上所述.1212112x x x x +>>+关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调性，利用导数证明极值偏移问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中对称构造()()()2g x f x f x =--，再根据单调性证明题目是解题的关键.。
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江苏省常州市武进区四校2008-2009学年第一学期期中联考高二数学试题（2008.11）命题单位：江苏省武进高级中学 出卷人：程红梅 审核人：张运江本试卷参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式： 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填在答卷纸的相应位置上） 1.①命题：“对顶角相等”逆否命题为__________________________ ②命题：“01,2>++∈∀x x R x ”的否定为_________________________________ 2.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n =__________ 3.根据伪代码，写出运算结果 则a =__________，b =__________4.如果程序执行后输出的结果是7920，那么在程序Until 后面的“条件”（对i 的限制）应为_________________。
DoUnitl “条件” End Do Print S5.用3种不同颜色给下图的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则 （1）3个矩形颜色都相同的概率为_______________ （2）3个矩形颜色都不同的概率为_______________6.已知：命题p ：R x ∈∃，使tan x =1，命题q :0232<+-x x 的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“g p ∧”是真命题；②命题“g p ⌝∧”是假命题；③命题“g p ∨⌝”是真命题；④命题“g p ⌝∨⌝”是假命题，其中正确的是_____________ 7.用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分又不必要”填空 ①若p ：243>-x ，q :0212>--x x ，则p 是q 的_______________条件。
②直线l 1：ax -y -2=0与l 2：x -ay +1=0平行的______________条件是a =1 8.在面积为S 的∆ABC 的边AB 上任取一点P ，则∆PBC 的面积大于4s的概率为___________ 9.容量为100的样本的频率分布直方图，如图所示，试根据图形中的数据填空： （1）样本数据落在范围[6,10）内的频率为________________ （210.（1________________（2）从袋中有放回的每次取出一个球，则取出的2个球颜色相同的概率是______________ 11.12.设有两个命题：①关于x 的不等式0422>++ax x 对一切R x ∈恒成立；②函数x a x f )25()(--=是减函数，若命题有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______________13.图中箭头b S=_____________14.泊位的时间分别为_____________江苏省常州市武进区四校2008-2009学年第一学期期中联考高二数学试题答卷纸（2008.11）一、填空题：（5’×14=70’）1.①__________________________________________ ②_________________________________________2.________________3.a =_____________ b=_______________4.____________5._______，_______6._________________7.________________，______________8._____________9.___________，_________ 10._____________，___________ 11.____________，________________ 12.__________ 13._____________，_______________ 14.____________二、解答题：（共90分）15.(14分)某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中，（1）射中10环或7环的概率； （2）不够7环的概率。
16.(15分)已知算法（伪代码）如下：①指出其功能（用算式表示）②将该算法用流程图描述Read xIf x ≤0 Then ElseIf x ≤1 Then Else End If End If Print y17.(15分)某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：（1）假定y 与x 之间有线性相关关系，求其回归直线方程。
（2）若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？18.(15分)（1）若以连续两次掷骰子分别得到的点数m,n 作为点P 的坐标（m,n ），求：点P 落在圆1822=+y x 内的概率。
（2）在区间[1,6]上任取两实数m,n ，求：使方程022=++n mx x 没有实数根的概率。
19.（15分）已知：数列{a n }中，21=a 且n a a n n 21+=+（n ∈N*）求：这个数列的第m 项a m 的值，现给出此算法流程图的一部分。
（1）请将空格部分（两个）填上适当的内容 （2）用“For ”循环语句写出对应的算法（3）若输出S=32，则输入的m 的值是多少？20.(16分)已知：p ：11<<x － q ：(ax -1)(x -2)>0非p 是非q 的必要不充分条件，求：实数a 的取值范围江苏省常州市武进区四校2008-2009高二数学试题参考答案与评分标准一、填空题：（每小题5分，共70分）1.①若两个角不相等，则这两个角不是对顶角 ②R x ∈∃，012≤++x x 2.192 3.91,32-4.7≤i5.92,91 6.①②③④7.必要不充分，充分不必要8.43 9. 0.32 36 10.9553， 11. 79 82.3 12.2-≤a 13. 6，20 14.1152139（或0.121）二、解答题16．解：①⎪⎩⎪⎨⎧--=12121x x y 1100>≤<≤x x x ……………………………………………………6’②YN17.（1）设线性回归直线方程为：138051=∑=i ii yx145512=∑=i ix…………………………6’ ∴5.175.625145525025138052==-⨯⨯-⨯=a b 5.175.6+=∧x y …………………………………………9’ （2）605.175.6≥+x ∴65425≥x54.665425=………………………………13’ 答：（1）回归直线方程为5.175.6+=∧x y（2）广告费支出应约不少于6.54百万元…………………………15’18.（1）解：掷两次骰子共包括36个基本事件每个基本事件的发生是等可能的………………………………3’ 记“点P 落在圆1822=+y x 内”为事件A事件A 包括下列10个基本事件：（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（4,1）1853610)(==A P ………………………………………………………………7’ 答：点P 落在圆1822=+y x 内的概率为185………………………………8’（2）解：记“方程022=++n mx x 没有实数根”为事件A 每个基本事件的发生是等可能的……………………………………9’ 区域D ：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤≤≤≤6161|),(n m n m区域d ：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤≤≤n m n m n m 26161|),(………………………………………12’2521)(==的面积的面积D d A P …………………………………………14’答：方程022=++n mx x 没有实数根的概率为2521………………15’ 19.（1）1,m …………………………5’ （2）Read m S ←2For T From 1 To m-1 Step 1 S ←S+2T End ForPrint m,s …………………………………………………………………12’（全对全错） （3）m=6…………………………………………15’ 20.∵非p 是非q 的必要不充分条件 ∴q p ⇒ p q ≠设}11|{<<-=x x A }0)2)(1(|{>--=x ax x B则B A≠⊂…………………………………………………………………………4’（1）a =0，)2|(<=x x B 满足B A ⊆，符合……………………………………6’（2）0>a ①21>a }12|{a x x x B <>=或 ∵B A ≠⊂ ∴11≥a ∴121≤<a ………………………………………………………………………8’ ②21=a },2|{R x x x B ∈≠=满足B A ≠⊂符合…………………………10’③210<<a }21|{<>=x a x x B 或满足B A ≠⊂符合……………………12’ （3）0<a }21|{<<=x a x B ∵B A ≠⊂ ∴11-≤a ∴01<≤-a ……………………………………………………14’综上所述，a 的取值范围为11≤≤-a …………………………………………16’。