求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：

1直接法：

若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。

例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。

解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐

标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0),

B (a,0)。

设动点C为(x, y),

••• | AC |2 |BC |2 |AB|2,

a)2y2]2h(x a)2y2]24a2,

即x2

由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点,

故所求方程为x2y2a2( x a )。

2•代入法(或利用相关点法)：

即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。

解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y),

一方面，. 另一方面,

36 , M分AB的比为

1

,

2

评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。

3.几何法：

求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。

求动点P 的轨迹方程。

解：设P (x, y)，由题 APO BPO ，由三角形角平分线定理有 L P A | ^A 0-1

|PB| |BO| ..(x 6)2 y 2 3

3 ,

(x 2)2 y 2

整理得x 2 y 2 6x 0,当x 0时，y 0, P 和O 重合，无 意义，••• x 0,

又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有

APO BPO 00 ,

• y 0 ( x 6或x 2)也满足要求。

综上，轨迹方程为 x 2 y 2 6x 0 ( x 0)或y 0 (x 6或x 2 )。

评注：本例利用平面几何的知识(三角形的角平分线定理进行解题) ，方便了求轨迹的方程。

4.参数法：

有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数) 联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

0 -b

_2_

1 -

-b 3 a x 2 b 3y ②代入①得:

3 2 2 (評(3y) 2 36，即一

16

例3 :如图，已知两定点

A ( 6,0 ),

B ( 2,0 ), O 为原点，动点 P 与线段AO 、BO 所张的角相等, ，使(x, y)之间的关系建立起

点P,求交点P的轨迹方程。

解：设P(x, y)，并设过M的动直线为：y b k(x a)，

由于与坐标轴交于A、B两点，所以k必存在，且k 0,

则 A ( 0,b ak)，B( a —,0)，所以p( a -,b ak)，k k

b a

—

k ，

b ak

消去参数k，即：(x a)( y b) ab。

评注：本题由k把x,y联系在一起，k称之为参数。由于P点是直线的交点，贝U P的坐标一定会满足

这两条动直线的方程，解出x, y，消去参数k就得到了x, y的关系，这种求曲线方程的方法称为参数法。

以上介绍了求曲线方法的几种主要方法，即直译法、相关点法、几何法及参数法。求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上任一点(动点)所满足的条件，然后把动点所适合的条件转化为动点坐标所适合的等式。其间要注意同解变形，并考虑一些特征点是否适合方程。