拉格朗日插值算法在工程中的应用(正式)

拉格朗日插值算法在工程中的应用

杜江涛

090402 090402104

【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MA TLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

【关键词】算法；作业；拉格朗日；插值；公式；算法程序；应用；科学。

1前言

约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。

2算法描述

2.1插值算法原理

已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,⋅⋅⋅,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,⋅⋅⋅,n, (1)

则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称-

x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。

2.2Lagrange 插值公式

（1）线性插值)1(1L

设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足

)(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ）

，（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0

101x x y y --（x-0x ）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式

)(1x L =0l （x ）0y +1l (x)1y .

其中，

0l （x ）=101x x x x --,1l (x)=0

10x x x x --。均为1次多项式且满足 l （x ）=1且1l (x)=0。或0l （x ）=0且1l (x)=1。

两关系式可统一写成)(i i x l =⎩⎨⎧≠=j

i j i 01 。 （3）

（2）n 阶Lagrange 插值)(x L n

设已知0x ，1x ，2x ，...,n x 及i y =f(i x )(i=0,1,.....,n),)(x L n 为不超过n 次多项式且满足i i n y x L =)(（i=0,1,...n ）.

易知)(x L n =0l （x ）0y +....+)(x l n n y .

其中，)(x l i 均为n 次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n ）,再由j x （j ≠i ）为n 次多项式)(x l i 的n 个根知)(x l i =c

∏≠=-n i

i j j x x 0.最后，由 ⇒=-=∏≠=1)()(0n i j j j i j i x x c x l c=

∏≠=-n i

j j j i

x x 0)(1,i=0,1,...,n. 总之，)(x L n =i n i i y x l ∑=0)(，)(x l i =.0∏≠=--n i

j j j i j

x x x x 式为n 阶Lagrange 插值公式，其中，)(x l i （i=0,1,...n ）称为n 阶Lagrange 插值的基函数。

2.3，Lagrange 插值余项

设0x ，1x ，2x ，...,n x ∈[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，)(x L n 为f(x)关于节点0x ，1x ，2x ，...,n x 的n 阶Lagrange 插值多项式，则对任意x ∈[a,b],

).()!

1()()()()()1(x n f x L x f x R n n n ωξ+=-=+其中，ξ位于0x ，1x ，2x ，...,n x 及x 之间（依赖于x ），ω(x)=∏=-n

j j

x x 0).( Eg1:已知函数表sin

6π=0.5000,sin 4π=0.7071,sin 3π=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin 9

2π的数值解，并由余项公式估计计算结果的精度。 解：（1）这里有三个节点，线性插值需要两个节点，根据余项公式，我们选取前两个节点，易知：

sin

92π≈1L (92π)=0.5000+6

45000.07071.0ππ--(92π-6π) =0.5000+0.207132⨯=0.6381 截断误差，

)92(1πR =)4

92)(692(2)(sinx ππππ--''310615.7361821-⨯=⨯⨯≤ππ， 得.105.010615.713--⨯<⨯=ζ知结果至少有1位有效数字。

（2）易知sin 92π≈+⨯=5000.0)3-6)(4-6()33-92)(4-92(

)92(2πππππππππL ⨯----））（（））（（3464392692ππππππππ 0.7071+8660.0436*******⨯----））（（））（（

ππππππππ=7071.0985000.092⨯+⨯⨯-910.8660=0.6434 截断误差为：

≤---'''==ξπππππππx x R )492)(492)(692(6)(sin )92(2210861..09

361861-⨯=⨯⨯⨯πππ 得.105.010861.824--⨯<⨯=ζ知结果至少有两位数字。

比较本题精确解sin

9

2π=0.642787609...,实际误差限分别为0.0047和0.00062。