2018年江西省上饶县中学高中奥林匹克数学竞赛训练试题195Word版缺答案

数学奥林匹克高中训练题(195)

第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1. 设p q ∈+R 、，且满足91216log log log ()p q p q ==+.则

q

p

=. 2. 已知函数2

()cos sin 2f x x a x =-+的最大值为5.则实数a 的值为.

3. 设数列{}n a 满足[]{}

111

n n n a a a a +==+

，其中，[]{}n n a a 、分别表示正数n a 的整

数部分、小数部分.则2015a =.

4. 在三棱椎P ABC -中，已知3,4,5BC CA AB ===.若三个侧面与底面所成的二面角均 为0

45，则三棱椎P ABC -的体积为.

5. 已知双曲线221:21C x y -=，椭圆22

2:41C x y +=.若M N 、分别为双曲线1C 、椭

圆2C 上的动点，O 为坐标原点，且OM ON ⊥，则点O 到直线MN 的距离 为.

6. 设a b 、均为正整数，且2015

(1a +=+.则ab 的个位数字为.

7. 设椭圆22

221x y m n

+=经过定点(1,2)P .则m n +的最小值为.

8. 一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出的概率分别为111

a b c

、、，其中，a b c 、、均为个位数.现甲、乙、丙同时独立解答此题，若他们中恰有一人解出此题的概率为7

15

，则他们三人均未解出此题的概率为.

二、解答题（共56分）

9.（16分）已知正项数列{}n a 满足

1=且121,8a a ==.求{}n a 的通项公式.

10.（20分）设2

()(2)f x ax bc c a =++>.证明：集合{}

1()1x f x -≤≤中至多包含两个整数.

11.（20分）求内接于抛物线22y px =的正三角形中心的轨迹方程.

加 试

一、（40分）给定正整数()n k n k >、，及12,,

,0k x x x >.求出12,,,0k k n x x x ++>，使得

1i

i j n j

x x ≤≤∑、取最小值.

二、（40分）如图1，半径为1212r r r r <、（）的两圆交于A B 、两点，R 是半径为1r 的圆上任

意一点（不在另一圆内），RA RB 、与另一圆分别交于点P Q 、.

（1）用12r r 、及ARB ∠表示PQ 的长度；

（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为22PQ r =.

三、（50分）试确定平面上是否存在满足下述条件的两个不相交的无限点集X Y 、：

（1）在X Y中，任何三点不共线，且任何两点的距离至少为1；

（2）任何一个顶点在Y中的三角形，其内部均存一个X中的点，任何一个顶点在X中的三角形，其内部均存在一个Y中的点.

四、(50分)已知n 为正整数.证明：

1210

n

n n n l n l i C

C -+-+=∑为奇数.