能量与振动合成

两边对时间求导： 两边对时间求导：
a= d2 x = −ω 2 x → ω → T = 2π ω dt 2
1 1 1 1 v Ek = mv 2 + Jω ′ 2 = mv2 + J 2 2 2 2 R
滑轮转动角速度
2
教材 P12 [例 [例5]
1 1 E p = kx 2 + E p滑轮 = kx 2 + c 2 2
上讲内容： 上讲内容： 一.简谐振动运动方程（ 简谐振动运动方程（以平衡位置为坐标原点） 以平衡位置为坐标原点）
F = − kx
d2 x +ω 2x = 0 dt 2
角频率
x = A cos( ω t + φ 0 )
ω = k m
ω2 v ϕ 0 = arctg ( − 0 ) ωx0
2 A = x0 + 2 v0
本节要求
掌握： 掌握：同一直线上同频率 一直线上同频率谐振动的合成 同频率谐振动的合成 了解： 了解： 1.同一直线上 1.同一直线上不同频率 同一直线上不同频率的谐振动的合成 不同频率的谐振动的合成 ，“拍” 2.频谱分析 2.频谱分析 3.互相垂直的谐振动合成 互相垂直的谐振动合成（ 互相垂直的谐振动合成（物理实验课） 物理实验课）
A1
A2
O
x
A2
3
讨论2 讨论2： 多个同一直线上, 多个同一直线上,同频率谐振动的合成
——多边形法则
An
A = A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + An
特例： 特例：
例： 教材 P19 [例 [例1] 同一直线上 n 个同频率谐振动， 个同频率谐振动，其振幅相等而 初相依次相差一个恒量， 初相依次相差一个恒量，求合振动。 求合振动。
1 1 1 Ek = mv 2 = mA2ω 2sin 2 ( ω t + ϕ 0 ) = kA2sin 2 ( ω t + ϕ 0 ) 2 2 2
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点 以弹簧振子所在水平面为重力势能零点
1 1 E p = kx 2 = kA 2 cos 2 (ω t + ϕ 0 ) 2 2
同学们好！ 同学们好！
科学并不可能揭开自然界的最终 秘密。因为归根到底我们自身也是 自然界的一部分，或者说，我们自 身就是我们设法要去揭开的秘密的 一部分。在某种程度上，音乐和艺 术也是试图去揭示这种秘密，至少 是去表现它吧。我想，我们在这两 方面所取得的进展愈大，我们就愈 能深刻地同大自然取得和谐一致。
2kπ
Amax = A1 + A2
x1
(2k + 1)π Amin = A1 − A2
A = A1 + A2
( k = 0,±1,±2 ⋅ ⋅⋅)
x
A1
O
A = A1 + A2
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
x
ϕ = arctg
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
1 2 kx 2
1 2 kA 2
准弹性势能（ 准弹性势能（包括重力势能、 包括重力势能、弹性势能） 弹性势能） 振动系统总能量
• 能量法求谐振动的振幅 能量法求谐振动的振幅 机械能守恒： 机械能守恒：
1 1 1 mv 2 + kx 2 = kA 2 2 2 2
m
已知： 已知： 求：
x
k , R ,J ,m T
2 A12 − A2 − A2 = 52.47o 2A2 A
∆ϕ = α +
π
6
= 82 . 47
o
同一直线上不同频率的谐振动的合成 不同频率的谐振动的合成 2. 同一直线上不同频率
x 1 = A1 cos( ω 1 t + ϕ 1 ) x 2 = A 2 cos( ω 2 t + ϕ 2 ) ω1 ≠ ω 2
= 1 1 2 k ( x + x0 ) 2 − kx0 x − kx0 2 2
比较 回复力
水平放置的弹簧振子 弹簧的弹力
竖直悬挂的弹簧振子 准弹性力： 准弹性力：弹力与重力的合力
F = − kx
弹簧的伸长 势能 总能
F = − kx
离系统平衡位置的位移
k
EP=0
x0
k m
O
k x
x
kx 2 2 弹性势能
x = A cos( ω t + φ 0 )
角频率 特征量 （旋转矢量法） 旋转矢量法） 振幅 初相
d2x +ω 2x = 0 dt 2
ω = k m
ω2 v ϕ 0 = arctg ( − 0 ) ωx0
2 A = x0 + 2 v0
得：
k ; ω= m + J R2
m + J R2 T = = 2π k ω
A
ϕ
ω
A1
o
ϕ2
ϕ1
x2
x1
x
ω
ω
A2
合振动仍为该直线上同 一频率的谐振动
讨论1 讨论1：合振动的强弱与两分振动相位差的关系
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2cos( ϕ 2 − ϕ 1 )
A
ϕ
ω
A1
o
ϕ2
A = A1 + A 2
x
ϕ1
x2
x = A cos( ω t + ϕ )
∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 =
E = Ep + Ek =
1 kA 2 = 恒量 2
孤立谐振动系统机械能守恒
E-t曲线
1 kA 2 cos 2 (ω t + ϕ 0 ) 2 1 E k = kA 2 sin 2 ( ω t + ϕ 0 ) 2 x Ep =
T/2 T E E Ep Ek E
E- x 曲线
Ep A Ek A x
•竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能 弹簧原长处为重力势能、 为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 以平衡位置为坐标原点
A = A1 + A2
A 与 A1 相差 π 6
A1 = 8cm
A = 10 cm
A
δ
ϕ = (π −δ ) − (π − nδ ) =
求： A 2 及 A1， A2的相差 ∆ ϕ 解： 作平行四边形如图
A2 = A12 + A 2 − 2 A1 A cos
O
ϕ
a1
a2 P
δ
x
x = A cos( ω t + ϕ )
设
大小变化， 大小变化，不表示谐振动。 不表示谐振动。
A1 = A2 = A,
ϕ1 = ϕ 2 = ϕ
ω2 − ω1
2 t ) ⋅ cos(
第一项缓慢变化， 第一项缓慢变化，第二项快速变化 ：“拍”
x = x1 + x2 = 2 A cos(
ω 2 + ω1
2
振动
t +ϕ)
调制
振幅随时间变化
4
x = x1 + x2 = 2 A cos(
ω 2 − ω1
2
t ) ⋅ cos(
ω 2 + ω1
2
t +ϕ)
拍频: 拍频:单位时间中合振动最强（ 单位时间中合振动最强（或最弱） 或最弱）准弹性势能， 准弹性势能，
重力势能和弹性势能的总和
mg-kx0=0
1 = kx 2 2
1 1 1 mv 2 + kx 2 = kA 2 2 2 2
统一描述： 统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点
Ep =
E=
1 1 1 E = E k + E p = mv 2 + kx 2 = kA 2 2 2 2
2π
能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点） 以平衡位置为坐标原点和势能零点） 1 1 1 E = E k + E p = mv 2 + kx 2 = kA 2 2 2 2
2
§13.3 振动的合成
频谱分析
特点： 特点：
若 x（ 1 t ), x 2 ( t ) 是方程的解 则 x = c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) 也是方程的解
振动系统机械能守恒： 振动系统机械能守恒：
小结
2
§13.1
简谐振动
E = Ek + Ep =
1 1 v 1 mv 2 + J + kx 2 + c = 恒量 2 2 R 2
运动方程
F = − kx
Jva 两边对时间求导： ： mva + 两边对时间求导 + kxv = 0 R2
a= d2 x kx =− = −ω 2 x dt 2 m + J R2
二.特征量
振幅 初相
——普朗克
“星座”系列《 系列《有神奇鸟的风景》 有神奇鸟的风景》 米罗（ 米罗（1893－1983，西班牙） 西班牙）
?
三.旋转矢量法
四、孤立谐振动系统的能量 孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失——辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗——摩擦阻尼 •水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点
自学 教材 P12 [例 [例5] • 能量法求谐振动的周期 能量法求谐振动的周期
1 1 1 机械能守恒： 机械能守恒： mv 2 + kx 2 = kA 2 2 2 2
解：以平衡位置为坐标原点和零势点， 以平衡位置为坐标原点和零势点，向下为正， 向下为正， 任意时刻 t 系统的机械能为： 系统的机械能为：