信号检测与估计理论简答

信号检测与估计理论简答题

1.维纳滤波器与卡尔曼滤波器的区别

维纳滤波器：

1)只用于平稳随机过程。

2)该系统常称为最佳线性滤波器。它根据全部过去和当前的观测信号来估计信号的波形，它的解是以均方误差最小条件所得到的系统的传递函数H(Z)的形式给出的。 3)信号和噪声是用相关函数表示的。

卡尔曼滤波器：

1)平稳随机过程和不平稳随机过程均适用。

2)该系统常称为线性最优滤波器。它不需要全部过去的观测数据，可根据前一个的估计值和最近的观察数据来估计信号的当前值，它是用状态方程和递推方法进行估计的，其解是以估计的形式给出的。

3)信号和噪声是用状态方程和测量方程表示的。

2.解释白噪声情况下正交函数集的任意性

设)0)(()()(T t t n t s t x ≤≤+=中，噪声n(t)是零均值、功率谱密度为2/)(0N w P n =的白噪声，其自相关函数)(2)(0

u t N u t r n -=

-δ。于是，任意取正交函数集)()},({t x t f k 的展

开系数

j

x 和

k

x (k=1,2,…)的协方差为

)])([(k k j j s x s x E --]

)()()()([00⎰⎰=T

k j T

du u f u n dt t f t n E

⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T T

k j dt du u f u n t n E t f 00)()]()([)(⎰

⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=T

T k j dt du u f u t t f N 0

00)()()(2

δjk k T

j N dt t f t f N

δ2

)()(2

=

=⎰

当k j ≠时，协方差0

)])([(=--k k j j s x s x E ，这说明，在n(t)是白噪声的条件下，取任

意正交函数集)}({t f k 对平稳随机过程k x (k=1,2,…)之间都是互不相关的。这就是白噪声条件下正交函数集的任意性。

3.请说明非随机参量的任意无偏估计量的克拉美-罗不等式去等号成立的条件和用途

克拉美-罗不等式]

)),(ln [(1

])ˆ[(2

2θ

θθ

θ∂∂≥-x p E E 或

)]

),(ln [(1

])ˆ[(22

2θθθ

θ∂∂-≥-x p E E 当且仅当对

所有的x 和θ

都满足

k x p )ˆ(),(ln θ

θθθ-=∂∂时，不等式去等号成立。其中k 是任意非零常

数。

用途：当不等式去等号的条件成立时，均方误差取克拉美-罗界，估计量θˆ

是无偏有效的。以此，随机参量下的克拉美-罗不等式和取等号的条件可用来检验随机参量θ的任意无偏估计量θˆ

是否有效。若估计量无偏有效，则其均方误差可由计算克拉美-罗界求得。

4.简述最小的均方误差估计与线性最小均方误差估计的关系。

在贝叶斯估计中讨论的随机矢量θ的最小均方误差估计，估计矢量mse θ可以是观测矢

量x的非线性函数，而线性最小均方误差估计，估计矢量mse

θ一定是观测矢量x的线性函数。所以，尽管二者都要求估计得均方误差最小，但前者可以是非线性估计，而后者仅限于线性估计，二者是不一样的。但是，如果被估计矢量θ与线性观测模型下的观测噪声矢量n是互不相关的高斯随机矢量，那么观测矢量x与被估计矢量θ是联合高斯分布的。在这种情况下，已知x和θ的前二阶距知识与已知它们的概率密度函数是一样的，因此，线性最先均方误差估计与最小均方误差估计是相同的，即线性最小均方误差估计也是所有估计中的最佳估计。

5.解释奈曼-皮尔逊准则解的存在性

关于奈曼-皮尔逊准则解得存在性，我们结合下图从概念上加以说明，图中，第一种

判决域的划分为R

01和R

11

保证P

1

（H

1

|H

）=α，并有相应的P

1

（H

1

|H

1

）；第二种判决域的划

分为R

02和R

12

，扔保证P

2

（H

1

|H

）= α,也有相应的P

2

(H

1

|H1);第三种判决域的划分为R

03

和R

13,还是保证P

3

(H1|H

)= α，它也有相应的P

3

(H

1

|H

1

)……。这就是说，原则上判决域

R 0和R

1

有无限多种划分方法，它们都可以保证错误判决概率P(H

1

|H

)= α,但每种划分所

对应的正确判决概率P(H

1|H

1

)一般是不一样的。既然这样，其中至少有一种判决域R

,R

1

的划分，既能保证P(H

1

|H0)= α,又能使P(H1|H1)最大，这意味着奈曼-皮尔逊准则的解是存在的。

6、请解释匹配滤波器的适应性

匹配滤波器岁振幅和时延参量不同的新号具有适应性，而对频移新号不具有适应性。若输入信号s(t)的匹配滤波器的系统函数为H(w)=kS* (w)e-jwt0,那么，它对所有与s(t)

波形相同，仅振幅A和时延不同的信号s

1

(t)=As(t- τ)而言，也是匹配的。设信号s(t)

的频谱函数为S（w）,则信号s

1 (t)=As(t-τ)的频谱函数S

1

(w)=AS(w)eτjw-,因而与信号

s 1(t),相匹配的滤波器的系统函数为H

1

(w)=kS (w)e=kAS

1

*(w)e =AH(w)e )

(1τ-

-t

jw ,式中，

t 0是匹配滤波器H（w）输出功率信噪比达到最大的时刻；t

1

是匹配滤波器H1(w)输出功率

信噪比达到最大的时刻。

如果输出达到最大的时刻都选在信号的末尾，由于信号s

1

(t)相对信号s(t)在时间

上延迟了τ，所以t

1相应地比t0在时间上延迟了。即t

1

=t

+τ。这样，式1变为H

1

(w)=AH(w).

这一结果说明，两个匹配滤波器的系数函数之间，除了一个表示相对放大量得系数A之外，它们的频率特性是完全一样的。所以，与信号s(t)相匹配的滤波器的系统函数H(w)对于信号s

1

(t)=As(t-τ)来说，也是匹配的，只不过最大输出功率信噪比出现的时刻延迟了τ。

匹配滤波器对频移信号不具有适应性。设输入信号为s(t)的匹配滤波器的系统函数为H(w)=kS*(w)e0jwt

-.若滤波器的频移输入信号s2(t)=s(t)e jwt其频谱函数为

S 2(w)=S(w+v)，其中，v为信号的频移。信号s

2

(t)的匹配滤波器的系统函数为H2（w）

=kS

2*(w)e0

jwt

-=kS*(w+v)e0

jwt

-.显然，当v≠0时，H

2

（w）的频率特性和H(w)的频率特性

是不一样的。所以匹配滤波器对频移信号不具有适应性。

7 信号检测与信号估计有何区别

信号检测：研究在噪声干扰背景下，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决的问题。

信号估计：研究在噪声干扰背景中，通过对信号的观测，如何构造带估计参数的最佳估计量。

区别：信号检测问题主要就是根据收到的信号在两个假设之中选择其中一个假设的问题。信号估计问题主要是求最优估计算子，即设计一个能处理各种观察数据而产生最优估计的滤波器。