一个方法——解决80%的代几综合题

1 MC ，作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E，问是否存在这样的点 E，使 4
得 PE=PD，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
【2013 年石景山一模】 25．如图，把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△ECD 分别置于平面直角坐标系 xOy 中，使点 E 与点 B 重合，直角边 OB、BC 在 y 轴上．已知点 D (4，2)，过 A、D 两点的直线交 y 轴于点 F．若△ECD 沿 DA 方向以每秒 2 个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为 t （秒） ， 记△ECD 在平移过程中某时刻为△ E ' C ' D ' ， E ' D ' 与 AB 交于点 M，与 y 轴交于点 N，
2. 为什么要会这些小问题？ 【2014 朝阳一模 25 题】 1．在平面直角坐标系中，点 A(2 3 , 0) 、点 B (0 , 2) ， C 是线段 OA 的中点 （1） P 是直线 AB 上的一个动点，当 PC PO 的值最小时，
1
画出符合要求的点 P（保留作图痕迹） ；
② 求出点 P 的坐标及 PC PO 的最小值；
4. 和 90°相关的相似是这样在近几年各区的模拟题中大发神威的 【2013 年西城一模】 25．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y 和点 B(0,-1)，抛物线 y
3 x m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 4
1 2 x bx c 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n)． 2
① 已知直线 l: ② 已知直线 l: ③ 已知直线 l: 小问题 3.
点旋转 90°后的对应点的坐标
① 已知点 A（1，2） ，B（3,3） ，点 A 绕点 B 逆时针旋转 90°至点 A’，求点 A’坐标； ② 已知点 A(1，2)，点 A 绕点 B 逆时针旋转 90°至点 A’（3,3） ，求点 B 的坐标。
一个方法、一类题型、一种思想! 解决 80%的代几综合题 一.一个方法：
1 . 几个小问题,来看看你会嘛?（小问题不简单哦！ ） 小问题 1. 点到直线的问题 , 已知点 A（2,0） ，求点 A 到直线 l 的距离； , 已知点 A（2,2） ，求点 A 到直线 l 的距离； , 已知点 A（2,1） ，求点 A 到直线 l 的距离。
【2014 年海淀一模】 25． 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P（a，b），若点 P 的坐标为（ a
b ， ka b ）（其 k
中 k 为常数，且 k 0 ），则称点 P 为点 P 的“k 属派生点”． 4 例如：P（1，4）的“2 属派生点”为 P （1+ ， 2 1 4 ），即 P （3，6）． 2 （1）①点 P（-1，-2）的“2 属派生点” P 的坐标为____________； ②若点 P 的“k 属派生点” P 的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点 P 的坐标 ____________； （2） 若点 P 在 x 轴的正半轴上， 点 P 的“k 属派生点”为 P 点， 且△ OPP 为等腰直角三角形， 则 k 的值为____________； （3）如图, 点 Q 的坐标为（0， 4 3 ），点 A 在函数 y
（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,B,M,N 四点构成的四边 形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 以上问题到底如何解决？ 小问题 1：
小问题 2：
A O D C B
4. 我到底要讲什么？
把一个平行四边形随意的扔到平面直角坐标系中 若点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4）
【2014 年丰台一模】 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax c 与 x 轴交于点 A（-2,0）和点 B，与 y 轴
2
交于点 C（0, 2 3 ） ，线段 AC 上有一动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度 向点 C 移动，线段 AB 上有另一个动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向 点 A 移动，两动点同时出发，设运动时间为 t 秒. （1）求该抛物线的解析式； （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在，请求出对应的 t 的值;如果不存在，请说明理由. （3）在 y 轴上有两点 M（0，m）和 N（0，m+1） ，若要使得 AM+MN+NP 的和最小， 请直接写出相应的 m、t 的值以及 AM+MN+NP 的最小值.
图1
图2
【2013 年东城一模】 25.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x 2mx m 9 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A
2 2
在点 B 的左侧，且 OA＜OB） ，与 y 轴的交点坐标为（0，-5）.点 M 是线段 AB 上的任意 一点，过点 M（a，0）作直线 MC⊥x 轴，交抛物线于点 C，记点 C 关于抛物线对称轴 的对称点为 D（C，D 不重合） ，点 P 是线段 MC 上一点，连结 CD，BD，PD. （1）求此抛物线的解析式； （2）当 a 1 时，问点 P 在什么位置时，能使得 PD⊥BD； （3）若点 P 满足 MP
C ' D ' 与 AB 交于点 Q，与 y 轴交于点 P(注：平移过程中，点 D ' 始终在线段 DA 上，且不
与点 A 重合). （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形 MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求 出这个最大值及 t 的取值；若不存在，请说明理由； （3）以 MN 为边，在 E ' D ' 的下方作正方形 MNRH，求正方形 MNRH 与坐标轴有两个 公共点时 t 的取值范围． y B(E ) C J D A x
MK ，求 DN NM MK 和的最小值.
总结：压轴题无非就是由一个个小问题组合而成。不断积累细小而经典的难点，在面对压
轴题时分解成一个一个的小问题，往下深挖，压轴题不过如此哟！
3. 以上问题到底如何解决？ 跟着小北老师，谈笑间，压轴题灰飞烟灭。 小问题 1：
小问题 2：
小问题 3：
你的总结———
2. 为什么要会这些小问题？ 【2014 年东城一模】 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y
1 x 1 分别与 x 轴，y 轴交于过点 A，B，点 C 是 2
经过 A，C 两点，
第一象限内的一点，且 AB=AC，AB⊥AC，抛物线 与 轴的另一交点为 D. （1）求此抛物线的解析式； （2）判断直线 AB 与 CD 的位置关系，并证明你的结论；
2 （2）当经过点 O 、C 的抛物线 y ax bx c 与直线 AB 只有一个公共点时，求 a
的值并指出公共点所在的象限．
2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y
3 2 x bx c 的图象与 x 轴交于 A （-1,0）， 2
B （3,0）两点, 顶点为 C .
【2014 年昌平一模】 25. 无论 k 取任何实数，对于直线 y kx 都会经过一个固定的点 (0, 0) ，我们就称直线
y kx 恒过定点 (0, 0) .
y0 ，直接 （1）无论 m 取任何实数，抛物线 y mx (1 3m ) x 2 恒过定点 A x0 ，
y B B O x y
2 2 x 2 x 与 x 轴负半轴交于点 A, 顶点为 B, m
A
C
A
C
O
x
三.一种思想：
转换思想：求角度转换成求长度；不会做的转换成能做的；最主要的是把作用？ 【2013 年顺义一模】 25．如图，已知抛物线 y ax bx 3 与 y 轴交于点 A ，且经过 B (1, 0)、C (5,8) 两点，
2
写出定点 A 的坐标； （2）已知△ ABC 的一个顶点是（1）中的定点 A x0 0 ，且 B ， C 的角平分线分 别是 y 轴和直线 y x ，求边 BC 所在直线的表达式； （3）求△ ABC 内切圆的半径.
[来源:学*科*网]
【点睛】图像画了吗？图像画出来以后，想想角平分线有什么用吗？
2
点 D 是抛物线顶点， E 是对称轴与直线 AC 的交点， F 与 E 关于点 D 对称． （1）求抛物线的解析式； （2）求证： AFE CFE ； 【点睛】要证明相等的角它们的度数我们并没有办法求出来，既然这样，我们就要把直接证 角度相等转换为证别的和角度相关的东西相等，比如：角度的锐角三角函数。
① 已知直线 l: ② 已知直线 l: ③ 已知直线 l: 小问题 2.
点关于直线的对称点的坐标 , 已知点 A（2,0） ，求点 A 关于直线 l 的对称点坐标； , 已知点 A（2,2） ，求点 A 关于直线 l 的对称点坐标； , 已知点 A（2,1） ，求点 A 关于直线 l 的对称点坐标；
(1) 求此二次函数解析式； (2) 点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，过点 A 作直线 l ： y 3 x 3 交 BD 于点 E，过 3 3 点 B 作直线 BK ∥ AD 交直线 l 于 K 点.问：在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P，使得它 到四边形 ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在 （2） 的条件下， 若 M 、N 分 别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点， 连结 DN 、NM 、
那么必有结论：x1+x3 = x2+x4；y1+y3 = y2+y4
Why？
。
5. 如何轻松搞定以往一切组成平行四边形的问题！ 【2012 年海淀一模】 24. 如图, 在平面 直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y 且对称轴与 x 轴交于点 C. （1）求点 B 的坐标 (用含 m 的代数式表示)； （2）D 为 BO 中点，直线 AD 交 y 轴于 E，若点 E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 M 在直线 BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上， Q 在直线 BC 上，若以 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐 标.
(1) 求 n 的值和抛物线的解析式； (2) 点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0< t <4） ．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2） ．若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值； (3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△A1O1B1，点 A、 O、B 的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上， 请直接写出点 A1 的横坐标 ． ．．．
O F
【2012 年西城一模】
2 25．平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax 4ax 4a c 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴
的正半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ， 求点 Q 的坐标和此时△ QAA 的面积．
备用图
二.一类题型：
1 . 几个小问题,来看看你会嘛?（小问题不简单哦！ ） 小问题 1. 点 A（1,3） 、B（2,5） 、C（-2,3） 、D（-3,1） ，请判断四边形 ABCD 的形状 （方法越多越好哟！ ） 小问题 2. ①点 A（1,3） 、B（3,1）两点间的中点坐标是多少？ ②点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）两点间的中点坐标是多少？