大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲义)
高等代数(第三版)10.1线性函数
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任 一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数 对偶空间 二、双线性函数 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节 线性函数
线性函数的定义 线性函数的性质 结论
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一 个线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、 如果 是1，2， ，S
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
高等数学第十章线性代数基础
第一节 行 列 式
2. 几种特殊的n阶行列式
（1）对角行列式：只有在对角线上有非零 元素的行列式。
(2)下(上)三角行列式：主对角线以上(下)的 元素都为零的行列式。
第一节 行 列 式
三、 行列式的性质
1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将 三阶行列式转化为二阶行列式来计算，一般地， 可用递归法来定义n阶行列式。
第一节 行 列 式
2. 三阶行列式
类似地，对于三元一次方程组
为了简单地表达它的解，我们引进三阶行列式的概念。 三阶行列式也是一个数值，它可以通过转化为二阶行 列式的计算而得到。 三阶行列式可以用来解三元一次方程组。
第一节 行 列 式
若分别记三阶行列式
如果方程组（10-1-4）中的系数行列式Δ≠0，那么方程 组有唯一解，其解可以简洁地表示为：
第一节 行 列 式
二、 n阶行列式
1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将三阶 行列式转化为二阶行列式来计算，一般地，可用递 归法来定义n阶行列式。
第一节 行 列 式
定义1
将n2个数排列成n行n列，并在左、右两边各加 一竖线的算式，即
称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所 得到的数。
第一节 行 列 式
四、 行列式的计算
例1 计算三阶行列式
第一节 行 列 式
（1）对二阶、三阶行列式按定义展开，直接计算。 （2）对特殊的行列式，如上(下)三角行列式，其值为主对角线 元素的乘积。 （3）按照性质6，将行列式按某一行(或列)的展开式展开，把 行列式转化为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降到三阶或二 阶行列式，然后直接计算。 （4）利用性质5，将行列式转化成三角行列式或其他易计算的 行列式，然后再计算，这是计算行列式的常用的基本方法。
【线性代数】07-线性函数
【线性代数】07-线性函数1. 线性函数1.1 k重线性函数 前⾯讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。
度量⼀般表现为向量的函数，⽐如⾏列式可以看成是n个⾏（列）向量的函数，矩阵之积的每⼀个元素其实就是⼀个⾏向量和⼀个列向量的函数。
严格来讲，对域F上的线性空间V，映射V\times\cdots\times V\mapsto F（k个V）叫做线性空间V上的k元函数，⼀般记作f(\xi_i,\cdots,\xi_k)。
如果函数在每⼀个变量\xi_i上都满⾜线性等式（1），它也叫V上的k重线性函数。
由定义容易知道，如果选定V的⼀组基，k重线性函数可以由\xi_1,\cdots,\xi_k分别取遍这组基所唯⼀确定。
特别地，n维线性空间上的k重线性函数由n^k个独⽴变量完全确定。
所有k重线性函数可以组成F上的线性空间，严格定义你可以⾃⼰给出。
f(\cdots,\xi_{i-1},k_1\alpha+k_2\beta,\xi_{i+1},\cdots)=k_1f(\cdots,\xi_{i-1},\alpha,\xi_{i+1},\cdots)+k_2f(\cdots,\xi_{i-1},\beta,\xi_{i+1},\cdots)\tag{1} 前⾯举的⾏列式和⾏列向量乘法显然都是线性函数，观察这两个例⼦，我们发现线性函数还有⼀个性质可以继续讨论，那就是变量\xi_i,\xi_j位置的交换对函数值的影响。
当然我们只讨论最典型的情况，对任何向量，式（2）恒成⽴的函数叫对称线性函数，⽽式（3）恒成⽴的叫反对称线性函数，这两种情况都是⽐较常见的。
容易证明，对称线性函数变量的顺序可以随意改变，⽽不影响函数的值。
f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{2}f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=-f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{3} 反线性函数中，若\xi_i=\xi_j，则有f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=0，继⽽将某个变量的倍数加到另⼀个变量后，函数的值不变。
高等数学(上) 第3版教学课件6-3 一阶线性微分方程
;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − − +
= − − +
∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− 2
齐次方程 ′ + =
的解 = −
《高等数学》
第三节 一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节 一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()−
是非齐次的通解
把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () −
′ = ′ −
,
则
− () −
,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ −
= −
(න
+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数
线性关系和函数大班数学教案
线性关系和函数大班数学教案一、引言在数学教学中，线性关系和函数是基础的概念，对学生的数学素养和逻辑思维的培养具有重要意义。
本教案以大班数学教学为背景，旨在通过引入线性关系和函数的概念，帮助学生理解数学中的抽象概念，并应用于实际问题中。
二、教学目标1. 知识目标：理解线性关系和函数的概念，掌握线性关系的图象特征及表示方法，了解函数的基本概念和性质。
2. 能力目标：能够分析和解决与线性关系和函数有关的问题，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 情感目标：培养学生的数学兴趣，增强学生对数学的自信心。
三、教学准备1. 教学材料：教科书、练习册、纸张和铅笔等。
2. 教学环境：黑板、投影仪等。
四、教学过程1. 导入（5分钟）老师通过举例子引导学生思考线性关系和函数的概念，并与学生进行互动讨论。
例如：“你们知道什么是线性关系和函数吗？能给我举个例子吗？”2. 理论讲解（15分钟）老师通过投影仪展示线性关系和函数的定义和性质，并对其进行具体解释和说明。
同时，引导学生体会线性关系和函数的图象特征，如直线和曲线等。
3. 案例分析（20分钟）老师选取一些实际问题，如物品价格和数量的关系、速度和时间的关系等，通过图象和表格的方式展示线性关系和函数，并与学生一起分析解决问题的思路和方法。
4. 拓展练习（30分钟）老师给学生分发练习册，让学生自主完成一些线性关系和函数的练习题，以巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
5. 总结归纳（10分钟）老师引导学生回顾本节课所学内容，总结线性关系和函数的基本概念和性质，并与学生共同制定复习计划，为下一节课的学习打下基础。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对线性关系和函数的概念有了初步的了解，能够从图象和表格中找出规律，并运用所学知识解决问题。
但是，部分学生对于抽象概念的理解仍然有困难，需要加强巩固练习的机会。
在下次教学中，需要注重通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，并以更加形象生动的方式展示概念，提高学生的学习效果。
同济大学-高等数学微积分教案
第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1。
1。
1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(—∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是［0,+∞）；当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在(0，+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是区间(—∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0，1)。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0〈a〈1，指数函数a x是单调减少的。
由于y=（1/a)—x=a—x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的(图1—21)。
[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0,a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+∞).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1—22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点（1，0)。
若a>1，对数函数log a x是单调增加的,在开区间（0，1)内函数值为负,而在区间（1，+∞)内函数值为正。
若0〈a〈1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间（1，+∞)内函数值为负。
[如图]1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[-1，1］。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
考研高数总复习第十章线性函数第三节(讲义)
n
n
推论 2
容易计算出
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩 阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的两组基： (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C.
则称 f ( , ) 为
对称双线性函数.
f ( , ) = - f ( , ) ，
如果对 V 中
任意两个向量 , 都有
则称 f ( , ) 为
反对称双线性函数.
设 f ( , ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性
函数，对 V 的任一组基 1 , 2 , … , n ，由于
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.A .
xi i , yi i ,
i 1 i 1
n
n
f ( , ) 有表达式 f ( , ) = d 1 x 1 y 1 + d 2 x 2 y 2 + … + d n x n y n . 这个表示式也是 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量 矩阵为对角形的充分条件.
( 4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的
度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
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则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1) = X1T(CTAC)Y1 .
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是 不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
(1)
a11 a21 A a n1
则
a12 a22 an 2
n n
a1n a2 n , ann
f ( X , Y ) aij xi y j .
i 1 j 1
(2)
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空 间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式. 事实上
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
, 是 V 中两个向量
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么 X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 , … , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 设 f1()， f2() 都是线性空间 V 上的
例3
性空间. 令
设 P n 是数域 P 上 n 维列向量构成的线
X , Y P n , 再设 A 是 P 上一个 n 级方阵.
f (X , Y ) =XTAY , 则 f (X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函数. 如果设 XT = (x1,x2, …,xn) , YT = (y1, y2,…,yn) , 并设
第三节
双线性函数
主要内容
双线性函数的定义 举例 度量矩阵 非退化双线性函数 对称双线性函数
一、双线性函数的定义
定义 5
V 是数域 P 上一个线性空间，f (, )
是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,
，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .
果 f (, ) 有下列性质： 1) f (, k11 + k22) = k1 f (, 1) + k2 f (, 2); 2) f (k11 + k22 , ) = k1 f (1, ) + k2 f (2, ), 其中 , 1 , 2 , , 1 , 2 是 V 中任意向量， k1 , k2
取 V 的一组基 1 , 2 , … , n . Nhomakorabea设
x1 x2 (1 , 2 ,, n ) (1 ,, n ) X , x n y1 y2 (1 , 2 , , n ) (1 , , n )Y , y n
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩 阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的两组基： (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C.
则
n n f ( , ) f x , y i i j j j 1 i 1
f ( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
(3)
令 aij = f (i , j) , i , j = 1 , 2 , … , n .
a11 a21 A a n1
则 (3) 就成为 (1) 或 (2) .
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
三、度量矩阵
定义 6
设 f ( , ) 是数域 P 上 n 维线性空
间 V 上的一个双线性函数.
1 , 2 , … , n 是 V 的
一组基，则矩阵
f ( 1 , 1 ) f ( 2 , 1 ) A f ( , ) n 1
f ( 1 , 2 ) f ( 2 , 2 ) f ( n , 2 )
f ( 1 , n ) f ( 2 , n ) f ( n , n )
( 4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
n 后，每个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵，
就是这个双线性函数在基 1 , 2 , … , n 下的度量
矩阵.
度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.
如
是 P 中任意数，则称 f ( , ) 为 V 上的一个双线
性函数.
这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数
f ( , )，将其中一个变元固定时是另一个变元的线
性函数.
二、举例
例1 例2
线性函数，则 f ( , ) = f1() f2()， , V 是 V 上的一个双线性函数.