大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲义)

1 , 2 , … , n 是 V 的
一组基，则矩阵
f ( 1 , 1 ) f ( 2 , 1 ) A f ( , ) n 1
f ( 1 , 2 ) f ( 2 , 2 ) f ( n , 2 )
f ( 1 , n ) f ( 2 , n ) f ( n , n )
则
n n f ( , ) f x , y i i j j j 1 i 1
f ( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
(3)
令 aij = f (i , j) , i , j = 1 , 2 , … , n .
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩 阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的两组基： (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C.
(1)
a11 a21 A a n1
则
a12 a22 an 2
n n
a1n a2 n , ann
f ( X , Y ) aij xi y j .
i 1 j 1
(2)
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空 间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式. 事实上
第三节
双线性函数
主要内容
双线性函数的定义 举例 度量矩阵 非退化双线性函数 对称双线性函数
一、双线性函数的定义
定义 5
V 是数域 P 上一个线性空间，f (, )
是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,
，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .
果 f (, ) 有下列性质： 1) f (, k11 + k22) = k1 f (, 1) + k2 f (, 2); 2) f (k11 + k22 , ) = k1 f (1, ) + k2 f (2, ), 其中 , 1 , 2 , , 1 , 2 是 V 中任意向量， k1 , k2
( 4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
n 后，每个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵，
就是这个双线性函数在基 1 , 2 , … , n 下的度量
矩阵.
度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.
a11 a21 A a n1
则 (3) 就成为 (1) 或 (2) .
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
三、度量矩阵
定义 6
设 f ( , ) 是数域 P 上 n 维线性空
间 V 上的一个双线性函数.
, 是 V 中两个向量
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么 X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 , … , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 设 f1()， f2() 都是线性空间 V 上的
例3
性空间. 令
设 P n 是数域 P 上 n 维列向量构成的线
X , Y P n , 再设 A 是 P 上一个 n 级方阵.
f (X , Y ) =XTAY , 则 f (X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函数. 如果设 XT = (x1,x2, …,xn) , YT = (y1, y2,…,yn) , 并设
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1) = X1T(CTAC)Y1 .
取 V 的一组基 1 , 2 , … , n .
设
x1 x2 (1 , 2 ,, n ) (1 ,, n ) X , x n y1 y2 (1 , 2 , , n ) (1 , , n )Y , y n
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是 不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
如
是 P 中任意数，则称 f ( , ) 为 V 上的一个双线
性函数.
这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数
f ( , )，将其中一个变元固定时是另一个变元的线
性函数.
二、举例
例1 例2
线性函数，则 f ( , ) = f1() f2()， , V 是 V 上的一个双线性函数.