高中物理奥林匹克竞赛专题4.动量和角动量习题
高中物理动量定理解题技巧及经典题型及练习题(含答案)含解析
高中物理动量定理解题技巧及经典题型及练习题(含答案)含解析一、高考物理精讲专题动量定理1．如图所示，粗糙的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R =0.1 m ，半圆形轨道的底端放置一个质量为m =0.1 kg 的小球B ，水平面上有一个质量为M =0.3 kg 的小球A 以初速度v 0=4.0 m / s 开始向着木块B 滑动，经过时间t =0.80 s 与B 发生弹性碰撞．设两小球均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且已知木块A 与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，求：（1）两小球碰前A 的速度； （2）球碰撞后B ,C 的速度大小；（3）小球B 运动到最高点C 时对轨道的压力；【答案】（1）2m/s （2）v A ＝1m /s ，v B ＝3m /s （3）4N ，方向竖直向上 【解析】 【分析】 【详解】（1）选向右为正，碰前对小球A 的运动由动量定理可得： –μ Mg t ＝M v – M v 0 解得：v ＝2m /s（2）对A 、B 两球组成系统碰撞前后动量守恒，动能守恒：A B Mv Mv mv =+222111222A B Mv Mv mv =+ 解得：v A ＝1m /s v B ＝3m /s（3）由于轨道光滑，B 球在轨道由最低点运动到C 点过程中机械能守恒：2211222B Cmv mv mg R '=+ 在最高点C 对小球B 受力分析，由牛顿第二定律有： 2CN v mg F m R'+= 解得：F N ＝4N由牛顿第三定律知，F N '＝F N ＝4N小球对轨道的压力的大小为3N ，方向竖直向上．2．半径均为52m R =的四分之一圆弧轨道1和2如图所示固定，两圆弧轨道的最低端切线水平，两圆心在同一竖直线上且相距R ，让质量为1kg 的小球从圆弧轨道1的圆弧面上某处由静止释放，小球在圆弧轨道1上滚动过程中，合力对小球的冲量大小为5N s ⋅，重力加速度g 取210m /s ，求：（1）小球运动到圆弧轨道1最低端时，对轨道的压力大小; （2）小球落到圆弧轨道2上时的动能大小。
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“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值，其中α是质点的动量与质点相对参考αsin p r L ⋅=点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量等于外力的冲量L ∆矩（M 为外力对参考点O 的力矩），即。
若t M ∆⋅t M L ∆⋅=∆M=0，得=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
L ∆1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M i ∆⋅∑。
同样当时，质点系对该参考点的角动量守恒。
t M L i ∆⋅=∆∑0=∑i M 如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守0=∑i M 恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。
2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
动量与角动量习题解答
动量与角动量习题解答(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章 动量与动量守恒定律习题一选择题1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ）A. 必为零；B. 必不为零，合力方向与行进方向相同；C. 必不为零，合力方向与行进方向相反；D. 必不为零，合力方向是任意的。
解：答案是C 。
简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=md v +v d m =v d m 。
因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。
2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（）A. 地面给予两球的冲量相同；B. 地面给予弹性球的冲量较大；C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。
解：答案是B 。
简要提示：)(12v v -=m I3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（）A ．mg tm +∆vB ．mgC ．mg tm -∆vD ．tm ∆v解：答案是D 。
简要提示：v m t F =∆⋅4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（）选择题4图3A. 静止不动；B. 朝质量大的人行走的方向移动；C. 朝质量小的人行走的方向移动；D.无法确定。
解：答案是B 。
简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒：02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --='如果m 1> m 2，则v ′< 0。
5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0解：答案是B 。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
物理竞赛分类汇编 动量 能量 角动量(教师版)
竞赛题汇编5 动量 能量 角动量 质心系1、 角动量定理2、 角动量守恒定律3、 质心系①质心加速度②质心系中动量③质心系中动能 一、（23届）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。
求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
参考解答：1． 求刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度设刚碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A v 、B v 、C v 、D v ，并设它们的方向都与0v 的方向相同．由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的系统的质心处，所以小球C 的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有0A C 3M M m =+v v v（1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有C D 02ml ml =+v v（2）这里角动量的参考点设在与B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v （3）因为杆是刚性杆，小球B 和D 相对于小球C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有B C C D --v v =v v（4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 C v =0（5）和C 0456MM m=+v v（6）因为C v 也是刚碰撞后由B 、C 、D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A 、B 、D 三球的速度 A 05656M mM m -=+v v（7）B 01056M M m =+v v（8）D 0256MM m =-+v v（9）2．讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B 、C 、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（6）式的速度即C 0456MM m=+v v 沿0v 方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为656B M l M m ω-==+C v v v l（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，下面就M 、m 取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：（i ）A 0v =，即碰撞后小球A 停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 560M m -=即65M m = （11）（ii ）A 0v <，即碰撞后小球A 反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是65M m < （12）（iii ）A 0v >但A C <v v ，即碰撞后小球A 沿0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C 的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 560M m ->和m M M 654->即665m M m << （13）（iv ）A C >v v ，即碰撞后小球A 仍沿0v 方向运动，且其速度大于小球C 的速度，发生这种运动的条件是6M m >（14）（v ）A C =v v ，即碰撞后小球A 和小球C 以相同的速度一起沿0v 方向运动，发生这种运动的条件是6M m = （15）在这种情形下，由于小球B 、D 绕小球C 作圆周运动，当细杆转过180 时，小球D 将从小球A 的后面与小球A 相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A 继续沿0v 方向运动．根据质心运动定理，C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是()056πππ6M m l l t Mω+===v v（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C 走过的路程C 2π3ld t ==v （17）3．求第二次碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180 ，这时，小球B 的速度为D v ，小球D 的速度为B v ．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A 'v 、B 'v 、C 'v 和D 'v ，并假定它们的方向都与0v 的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得0A C 3M M m ''=+v v v （18） CB 02ml ml ''=+v v （19）222220A B C D 11111+22222M M m m ''''=++v v mv v v（20）由杆的刚性条件有D C C B''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解C0'=v （22） 和C0456MM m'=+v v（23）对于由B 、C 、D 三小球组成的系统，在受到A 球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得A 0'=v v（24）B 0'=v （25）D 0'=v（26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A 以速度0v 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B 、C 、D 则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离2π3ld =，而且小球D 和B 换了位置．评分标准： 本题25分．二、（29届）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
中学物理竞赛讲义角动量例题
5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
高中物理奥林匹克竞赛专题4.动量和角动量习题
第 1 页习题4-1. 如下图的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。
在质点旋转一周的过程中，试求：〔1〕质点所受合外力的冲量I ；〔2〕质点所受张力T 的冲量I T 。
解：〔1〕根据冲量定理：⎰⎰∆==tt P P d dt 00P P F 其中动量的变化：0v v m m -在此题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以此题中质点所受合外力的冲量I 为零〔2〕该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。
重力产生的冲量=mgT=2πmg /ω；所以拉力产生的冲量=2πmg /ω，方向为竖直向上。
4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。
其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。
求：〔1〕力F 在1s 到3s 间所做的功；〔2〕其他力在1s 到s 间所做的功。
解：〔1〕由做功的定义可知：〔2〕由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。
4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为j i r t b t a ωωsin cos +=，求：〔1〕质点在任一时刻的动量；〔2〕从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。
解：〔1〕根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j〔2〕从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动第 2 页量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M =2.0kg 的物体〔不考虑体积〕，用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。
今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的程度速度射穿物体。
刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。
（高考系列）高中物理竞赛教程（超详细）_第九讲_动量_角动量..
第四讲动量角动量和能量§4.1动虽与冲量动童定理4. 1. 1.动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv来星度物体的“运动量”，称之为动量。
4. 1. 2.冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间也的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F△，叫做冲量。
4. 1. 3.质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：FAi=ma^t=/nAv=mv x-mv Q FZ=Np即冲量等于动量的增量，这就是质点动定理.在应用动量:定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一宣线上时，可将矢景投影到某方向上，分量式为：F4=mv tt-mv Qs气&=-mv Qy F=Z=mv c-mv0:对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个，外+L内=扪十1，一川+|。
第2个匕外+4内='"2四一华玲0第n个/“外+/”内=""”一〃"”0由牛顿第三定律：，内+匕内+....+A»内=0因此得到：L外+】2外+……+.外=(WiV l/+zn2v2/+......+m n v n,)_(w,v,0+/n2v20+......m…v nQ)即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
§4,2角动虽角动虽守值定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。
它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为J=rxP(尸=OB)以下介绍两个定理：O（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动景矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即dJ u出（M为力矩）。
物理奥林匹克竞赛试题
物理奥林匹克竞赛试题一. 选择题1. 下列哪个物理定律描述的是静电场中电势的变化情况？A. 波尔定律B. 焦耳定律C. 库伦定律D. 爱因斯坦关系式2. 在弹性碰撞中，除了动量守恒外，还满足下列哪个条件？A. 能量守恒B. 力守恒C. 加速度守恒D. 角动量守恒3. 下列哪个物理量描述的是物体转动的惯性？A. 质量B. 动量C. 力D. 速度4. 一颗质量为2kg的物体，以1m/s的速度和一颗质量为1kg的物体发生碰撞，碰撞后两物体的速度分别是2m/s和？A. 2m/sB. 3m/sC. 4m/sD. 5m/s5. 是谁提出了相对论？A. 爱因斯坦B. 牛顿C. 麦克斯韦D. 高斯二. 填空题1. 牛顿第一定律也被称为___________。
2. 牛顿第二定律的数学表达式是___________。
3. 下列哪个公式描述的是功的定义？功 = ___________4. 波长与频率的关系由___________定律描述。
5. 物体的密度等于物体的___________除以物体的体积。
三. 解答题1. 描述一下牛顿第三定律，并给出一个实际的例子。
2. 一台电视机的重量是500N，如果放在木板上，木板支持住了电视机的质量，木板对电视机的支持力是多大？3. 一辆汽车在匀加速的情况下行驶，初始速度为20m/s，加速度为2m/s²，求汽车在3秒后的速度和位移。
4. 一个质量为2kg的物体以4m/s的速度沿着光滑水平面运动，撞上了一面质量为5kg的墙壁并弹回，求墙壁对物体的冲量。
四. 应用题1. 一个物体从高度5m自由落下，假设匀加速度为10m/s²，求物体落地所需的时间以及落地时的速度。
2. 一个长为3m、宽为2m、高为1m的箱子，质量为100kg，求箱子的密度。
3. 有一根长为2m、质量为1kg的细杆，细杆的一个端点连接一个质量为1kg的小球，细杆另一端固定在墙上。
小球和杆组成一个单摆，求该单摆的周期。
高二物理竞赛动量矩和角动量课件
w
13 rad/s
利用平衡位置Ｘ０
R
v
θ
m
h
P
h
P
h
Q
h
Q
P
Q
O
在 P — Q 过程中机械能守恒
Q
h
Q
m
h
P
g
m
g
+
1
2
m
v
2
··· (1)
在 Q 点处脱离球面时，质点动力学方程为
··· (2)
m
v
2
cos
m
g
q
R
——对 z 轴的转动惯量
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
球体
细棒
细棒
——平行轴定理
——理想气体状态方程
对Mkg的理想气体
理想气体状态方程
若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数约减少了_____%
分子的平均平动动能
理想气体的温度公式
速率小结
三种速率小结
最概然速率
v
p
1
.
4
1
=
k
T
2
m
=
R
T
m
平均速率
v
1
.
6
0
=
R
T
m
=
k
T
m
8
p
方均根速率
a
A
F
b
a
d
r
h
b
E
p
初态势能
末态势能
E
p
系统势能增量的负值
变质量问题 微分形式 动量定律 动量守恒
高中物理动量定理常见题型及答题技巧及练习题(含答案)
高中物理动量定理常见题型及答题技巧及练习题(含答案)一、高考物理精讲专题动量定理1．2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．某滑道示意图如下，长直助滑道AB 与弯曲滑道BC 平滑衔接，滑道BC 高h =10 m ，C 是半径R =20 m 圆弧的最低点，质量m =60 kg 的运动员从A 处由静止开始匀加速下滑，加速度a =4.5 m/s 2，到达B 点时速度v B =30 m/s ．取重力加速度g =10 m/s 2． （1）求长直助滑道AB 的长度L ；（2）求运动员在AB 段所受合外力的冲量的I 大小；（3）若不计BC 段的阻力，画出运动员经过C 点时的受力图，并求其所受支持力F N 的大小．【答案】（1）100m （2）1800N s ⋅（3）3 900 N 【解析】（1）已知AB 段的初末速度，则利用运动学公式可以求解斜面的长度，即2202v v aL -=可解得:221002v v L m a-==（2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的该变量所以01800B I mv N s =-=⋅（3）小球在最低点的受力如图所示由牛顿第二定律可得：2Cv N mg m R-= 从B 运动到C 由动能定理可知：221122C B mgh mv mv =-解得;3900N N =故本题答案是：（1）100L m = （2）1800I N s =⋅ （3）3900N N =点睛：本题考查了动能定理和圆周运动，会利用动能定理求解最低点的速度，并利用牛顿第二定律求解最低点受到的支持力大小．2．如图甲所示，物块A 、B 的质量分别是m A ＝4.0kg 和m B ＝3.0kg 。
用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B 右侧与竖直墙壁相接触。
另有一物块C 从t ＝0时以一定速度向右运动，在t ＝4s 时与物块A 相碰，并立即与A 粘在一起不再分开，C 的v －t 图象如图乙所示。
15竞赛练习 动量角动量(第1~3讲 )(B4共27份,正反两面)
第一讲动量定理1．如图所示，质量为M长为L的一根铁链竖直悬挂着，下端正好碰到台秤。
铁链从静止开始下落，试问台秤的最大读数是铁链重量的多少倍?2．将一空盒放到电子秤上，将秤的读数调整到零，然后在高出盒底h=1.8m处将小弹珠以n=100个/秒的速率注入盒中．若每个弹珠的质量为m=10g，且落到盒内后停止运动，则开始注入后10s时，秤的读数应为多少?(取g=10m/s2)3．用光滑的细条做成的正方形卷轴窗帘的面积为l×l=1.5×1.5m2，质量为m=3kg，沿着墙壁悬挂在屋檐板下．将窗帘的最下边抬起与上边缘对齐，使之对折起来，然后让它落下，如图所示．求出作用于屋檐板上的力F随时间t的函数变化关系．4．由喷泉中喷出的竖直水柱把一个质量为M的垃圾筒倒顶在空中．若水以恒定的速度v0从面积为S 的小孔中喷出射向空中，在冲击垃圾筒底后以原速竖直溅下，如图所示，求垃圾筒停留的高度h．5．一只盛水较浅的大容器的底部有一小孔，距小孔距离h为20cm的下方有一块水平放置的玻璃板．当打开小孔后，水通过小孔形成均匀水柱竖直冲向玻璃板，水碰到玻璃板以后形成张角为120°的漏斗状水花向四周溅出，如图所示．设水花飞离玻璃板的速率v2=2.0m/s，且水跟玻璃板接触的面积等于水柱的横截面积．g=10m/s2，试求刚开始放水时，水柱对玻璃板的压强．6．一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？7．一根绳子穿过滑轮，并且绳子一部分盘在桌子上，另一部分盘在地板上，当绳子释放后，它开始运动，求绳子形成匀速运动的速度．桌子高度为h．8．半径为r的管子里装有密度为ρ0的疏松物质，恒力F作用在轻活塞上，当活塞在管里移动时，使物质稠密到密度为ρ(如图)．如果稠密突变式进行，即在管里仿佛有一个“分界面”以某一速度移动，该面右侧密度为ρ0，左侧密度为ρ，那么活塞将以多大速度运动？开始时“分界面”与活塞面重合．9．(第13届复赛第3题)如图所示，四个质量均为m 的质点用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD ；静止放在水平光滑桌面上，若突然给质点A 一个历时极短、沿CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A 的速度为v ，其他质点也获得一定的速度，2()4BAD παα∠=<，求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总动能。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量例题
“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值a sin p r L ×=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量L D 等于外力的冲量矩t M D ×（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L D ×=D 。
若M=0，得L D =0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
的角动量守恒。
1．2质点系对参考点的角动量守恒定律质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t MiD ×å，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t ML iD ×=D å。
同样当0=åi M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。
时，质点系对该参考点的角动量守恒。
如果n 个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，处于非惯性系中，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，只要把质点系的质心取作参考点，上上述结论仍成立。
述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零，即0=åiM时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
高中物理奥林匹克竞赛专题——动量与角动量(39章)
v2
RL1 RL2
v1
[例3-11]
如图, 小球在光滑桌面上作匀速率圆周运 动，速率为v0，圆周半径为R. 现将绳缓慢 往下拉, 则小球速率v与下拉距离x之间的 函数关系为.
解：在下拉过程中，小球对桌面小孔的角动
量守恒.
m0R vm(R vx)v
R Rx
牛Ⅱ
：
F
dp
F d t dp
t2 t1
F dtdpt2p1动量定理(积分形式)
[例3-1]质量为m的物体以初速 v0 从地面抛出,
抛过射程角中为, 3p0,则从抛出到刚；要p落的地方的向
为 ．
解：A－B系统，在水平面内 ptotal con. st
mBv
mAv
tg v/v1 2
mBv
26.6
[例3-6]
质量为M的船静止.现以水平速度
v0
将一质量为m的砂袋抛到船上,此后两
者一起运动.设阻力大小与速率成正比，
比例系数为k, 试求：船从开始运动到
停止所走过的距离.
v
2、3的速度大小相等， v1
记之为v，又设碰撞后
v
球1的速度大小为v1 .
动量守恒： m0 vm1 v 2mcvo 3s0①
能量守恒： 1 2m0 2v 1 2m1 2 v21 2m2v②
由①②得:
v1
1 5
v0,
v
23 5
v0
Chap.3 SUMMARY
⒈力的冲量(SI单位：Ns)
Notes: ⑴动量定理和动量守恒定律只是在惯 性系中成立．
⑵冲在量碰的撞 影、响爆, 认炸为等p情tot形al ,c可o忽n.．略st外力
高中物理奥林匹克竞赛专题---刚体习题(共47张PPT)
角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正 比，即M＝－kω (k为正的常数)，求：圆盘的角速
度从ω0变为
1 2
0
时所需的时间．
解：根据转动定律： Jd / dt = -k
∴
d k dt
J
两边积分： 0/21dt kdt
0
0J
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ln2 = kt / J
∴ t＝(J ln2) / k
4、 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A滑轮挂一 质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、B两滑轮的 角加速度分别为βA和bB，不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) βA＝βB． (B) βA＞βB． (C) βA＜βB． (D) 无法确定．
A M
B
答案：C
F
5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上， 平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕 通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（18）
角动量守恒m：v0l (mM)l0V
角动量守恒：m（ M)l0V (mM)(l0 l)usin
机械能守恒 1(： mM)V2 1kl2 1(Mm)u2
2
2
2
解得：u
(mv)2 kl2 (Mm)2 mM
5、质量为M＝0.03 kg，长为l＝0.2 m的均匀细棒，在一水 平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动．
Ml 2 1 ml 2
－－－刚体习题
刚体的定轴转动
1、基本物理量 （1）、角速度与角加速度
d
dt
d
dt
d2
dt2
高中物理奥林匹克竞赛专题--04角动量守恒习题解答
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:20:5109:20:5109:209/12/2020 9:20:51 AM
•
11、人总是珍惜为得到。20.9.1209:20: 5109:2 0Sep-2 012-Se p-20
•
12、人乱于心，不宽余请。09:20:5109:20:5109:20Saturday, September 12, 2020
所受的合外力矩的大小M =
3 2
mgl
，此时该系统角加速度的
大小β= 2g 3l 。
解 M 2mg l mg l 3 mgl
2 22
M J
2m
o
mg
2mg
m
M J
3 2
mgl
2mg
l 2
2
mg
l 2
2
2g 3l
第7页
二、填空题
2.半径为R、具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质 量为m的物体，绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动， 若物体下落的加速度为a，则定滑轮对轴的
ml 2 3
mx2
O
1l m m
2
第9页
三、计算题
1. 如图所示，一质量为M的均匀细棒，长为l，上端可绕水平轴O自 由转动，现有一质量为m的子弹，水平射入其下端A而不穿出，此 后棒摆到水平位置后又下落。棒的转动惯量J= Ml2/3 ，如不计空气 阻力并设 mM。求 （1）子弹射入棒前的速度v0； （2） 当棒转到与水平位置的夹角为30时，A点的速度及加速度。
Байду номын сангаас刚体力学-角动量习题
第1页
一、选择题
1. 已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R
高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)
15 – 8
多普勒效应
m 1.20 10 kg
4
第十五章 机械波
已知
h 100km
u 1.00 10 m s g 1.62m s 2
4
1
R 1700km 求 所需消耗燃料的质量 m .
vB
R O h B
解 设飞船在点 A 的 速度 v0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律
L
r
X
mv d
第十五章 15 – 8 多普勒效应 质点系的角动量 L Li r i p i
i i
机械波
二 、力矩
r F M Fd Fr sin 二、力矩
定义：力对某点O的力矩等于力的 作用点的矢径r与力F的矢量积.
中学时学过的力矩概念
o
r
d
v
O h A
u
而 (m)u mv
m mv u 120 kg
t时间内扫过的面积
所以
A / t 恒量 （证毕）
第十五章 机械波 15 例 – 28 计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角 多普勒效应
动量。
L
M
已知： me 9.11031 kg
rHale Waihona Puke vme求：L
r 5.29 1011m 4.13 1016 s 1
解：以原子核为参考点
vA
v0
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 R
2 0
v
A
u
15 – 8
多普勒效应
2
第十五章 机械波
R g 12 1 ) 1612 m s 得 v0 ( Rh
物理奥赛辅导：第5讲_动量与角动量.
第5讲 动量与角动量一、知识点击 1．动量定理⑴ 质点动量定理：0t F ma mtυυ-==合，即0t F t m m υυ=-合I P =∆合 即合外力的冲量等于质点动量的增量．⑵质点系动量定理：将质点动量定理推广到有n 个质点组成的质点系，即可得到质点系的动量定理．令I 外和I 内分别表示质点系各质点所受的外力和内力的总冲量，则t P 和0P 表示质点系中各质点总的末动量和初动量之矢量和，则： 0t I I P P P +=-=∆外内 而0I =内，因质点系内各质点之间的相互作用力是成对出现的，且等值反向0t I P P =-外。
即所有外力对质点系的总冲量等于质点系总动量的增量2．动量守恒定律⑴内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的动量就保持不变．⑵表达式：系统内相互作用前总动量P 等于相互作用后总动量P '：P P '=。
系统总动量的变化量为零：0P ∆=对于两个物体组成的系统可表达为：相互作用的两个物体的动量的变化量大小相等，方向相反12P P ∆=-∆。
或者作用前两物体的总动量等于作用后的总动量：12121212m m m m υυυυ''+=+ ⑶适用范围：动量守恒定律适用于宏观、微观，高速、低速．⑷定律广义：质点系的内力不能改变它质心的运动状态—质心守恒．质点系在无外力作用或者在外力偶作用下，其质心将保持原来的运动状态。
质点系的质心在外力作用下作某种运动，则内力不能改变质心的这种运动。
质心运动定理：作用在质点系上的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积，即c F ma =，其质心加速度：iic m aa M=∑。
定理只给出质心运动情况，并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。
3．碰撞问题⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．1102201122m m m m υυυυ+=+ ①2222110220112211112222m m m m υυυυ+=+ ② 由①②可得：12102201122m m m m m υυυ-+=+（），21201102122m m m m m υυυ-+=+（）（2）非弹性碰撞：碰撞时有动能损失。
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习题4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。
在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I ；（2）质点所受张力T 的冲量I T 。
解：（1）根据冲量定理：⎰⎰∆==tt P P d dt 00ϖϖP P F其中动量的变化：0v v m m -在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I 为零（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。
重力产生的冲量=mgT=2πmg /ω；所以拉力产生的冲量2πmg /ω，方向为竖直向上。
4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。
已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。
求：（1）力F 在1s 到3s 间所做的功；（2）其他力在1s 到s 间所做的功。
解：（1）由做功的定义可知：（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。
4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为j i r t b t a ωωsin cos +=，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。
今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。
刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。
求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 10Mv mv mv += 代入数据 123002.060002.0v +⨯=⨯ 可得：s m v /7.51=根据圆周运动的规律：T-G=2v M R2184.6v T Mg M N R =+= （2）根据冲量定理可得： s N mv mv I •-=⨯-=-=4.1157002.004-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m /s kg 102.122⋅⨯-，中微子的动量为236.410kg m/s -⨯⋅，两动量方向彼此垂直。
（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为kg 108.526-⨯，求其反冲动能。
由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：所以221.410/P kg m s -=⨯• ο9.151=-=απθ（2）反冲的动能为：2180.17102k P E J m-==⨯ 4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为3/1044005t F ⨯-=，子弹从枪口射出时的速率为m/s 300。
设子弹离开枪口处合力刚好为零。
求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ；（3）子弹的质量。
解：（1）由3/1044005t F ⨯-=和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：03/1044005=⨯-=t F 算出t=0.003s 。
（2）由冲量定义：（3）由动量定理：0.00300.60.6/3000.002I Fdt P mv N s m kg==∆==•==⎰所以： 4-7. 有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。
如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。
其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。
问第二块碎片落在何处。
解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为x c 。
112212c m x m x x m m +=+ 因为12m m m ==，12c x x = 故 2223,42c c c mx mx x x x m +== 4-8. 两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。
A 紧靠墙。
今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。
（已知m m =1，m m 32=）求：（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。
所以mk x v 3430=（2）22122022212121v m m kx v m ）（++= 那么计算可得：021x x =4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。
（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数5.0=e .解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv mv 20= 所以：021v v =（2）假设碰撞是完全弹性的，两球交换速度， 01=v 02v v =（3）假设碰撞的恢复系数5.0=e ，也就是 所以：0141v v = ， 0243v v =4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为ο30=α，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为kg0.1=M的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑cm 30=x 时，恰好有一质量kg 01.0=m 的子弹，沿水平方向以速度m/s 200=v 射中木块并陷在其中。
设弹簧的劲度系数为N/m 25=k 。
求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：22111sin 22Mv kx Mgx α+= 10.83v ⇒= (碰撞前木快的速度)4-11. 水平路面上有一质量kg 51=m 的无动力小车以匀速率0m/s 2=运动。
小车由不可伸长的轻绳与另一质量为kg 252=m 的车厢连接，车厢前端有一质量为kg 203=m 的物体，物体与车厢间摩擦系数为2.0=μ。
开始时车厢静止，绳未拉紧。
求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。
(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s 2)解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得（2）t g m μv m 33=' s g μv t 1.0102.02.0=⨯='= 4-12. 一质量为M 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k .一质量为m 的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L .(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s ，求子弹所受的平均阻力。
解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得， 计算得到：）（M m k mL v +=0 （2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s ，所以：221v M x f '=' 其中s x x ='- 所以：msMkL f 22=4-13. 质量为M 、长为l 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m 的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u 从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。
设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即kv f -=.求在整个过程中船的位移x ∆.4-14． 以初速度0将质量为m 的质点以倾角θ从坐标原点处抛出。
设质点在Oxy 平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩M ；（2）质点的角动量L 解：（1）k t mgv F r M ϖϖϖϖθcos 0-=⨯=（2）k t mgv dt M v m r L t ϖϖϖϖϖ200cos 2θ-==⨯=⎰ 4-15． 人造地球卫星近地点离地心r 1=2R ，（R 为地球半径），远地点离地心r 2=4R 。
求：（1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g 来表示）；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。
解：利用角动量守恒：2211mv r mv r L == 2142v v =⇒ 同时利用卫星的机械能守恒，所以：所以： 321Rg v = 62Rg v = （2）ρρ220v m Mm G = 可得到：R 38=ρ 4-16火箭以第二宇宙速度22v Rg =沿地球表面切向飞出，如图所示。
在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R 的A 处的速度。
解：第二宇宙速度0E =，由机械能守恒:22v Rg =代入：30θ⇒=o思考题44-1. 一α粒子初时沿x 轴负向以速度v 运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x 轴成ο120的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出α粒子所受到的冲量I 的大小和方向。
见图4-25。
4-2. 试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。
可用动量定理来解释。
设风沿与航向成α角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，m Δ表示这块空气的质量，1v 和2v 分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于m Δ的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，m Δ必然对帆有一个反作用力f '，此力的方向偏向船前进的方向，将f '分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
4-3. 两个有相互作用的质点1m 和2m （212m m =），已知在不受外力时它们的总动量为零，1m 的轨迹如图，试画出2m 质点的运动轨迹。
见图4-26。
4-4. 当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。