质点力学习题课1
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6.质点力学习题课
v = u − v′ = u − 2gl (1− cosϕ)
以地面为参考系，对系统（小球与地球） 以地面为参考系，对系统（小球与地球）应用功能 原理， 原理，则摆线对小球作的总功为
1 2 1 2 A = mv − mu + mgl (1 − cosϕ) 2 2 = − mu 2 gl (1 − cosϕ )
(2 )
= acosωti + bsinωtj × − mωasinωti + mωbcosωtj 2 2 = mωab cos ωtk − (− m ω ab sin ω t k )
(
L = r × mv
)(
)
= mωabk
i a cosωt
j k bsinωt 0
−ωa sinωt ωbcosωt 0
2 2
[
(
)
](
(
)
)
t 的时间内， t r 在 >0 的时间内，当 = 2时， ⋅ a = 0 υ ⋅ a = 2 i − 2 tj ⋅ − 2 j = 4 t 所以， t 的时间内， 所以，在 > 0 的时间内， ⋅ a ≠ 0. υ
[
](
)
)
(
)
(
)(
牛顿定律部分
牛顿定律部分
1.如图所示，用一斜向上的力F (与水平成300 角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F都不能使 木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数µ的大小为：
υ 船，岸 = ui + Vj V = V0 x
t
x=
∫ y = ∫ vdt = ∫
0 t
udt = ut
t
质点力学第9讲——质点力学习题课
方向的分量方程： 沿 υ 0 方向的分量方程：
r
r r + (1 − α ) Mυ . M υ 0 = αM υ 1 2 r
r 垂直于
解出： 解出：
Mυ 0 = αMυ 1 cos θ + (1 − α ) Mυ 2 cos θ , 0 = αMυ 1 sin θ − (1 − α ) Mυ 2 sin θ .
f 1 = Ma 0
r N1 r Mg
r mg
f1
r a0
X 以物体B为参考系 对物体 A ,以物体 为参考系 假设它有向右的加速度 以物体 为参考系, v 受力分析如右图， 牛顿第二定律有 受力分析如右图 a ' ，B受力分析如右图，由牛顿第二定律有： r
r r r r ) = ma ′ mg + N 2 + f 2 + ( − ma 0 即： − mg + N 2 = 0 , _ f 2 + ( - ma 0 ) = ma '
的最小值， 求 ∆ E 的最小值，即求 f (α) = α(1−α) 的最 大值。 大值。
df 令 = 1 − 2α = 0 , dα
2
故
2
1 得α = , 2
∆Elim = (sec θ −1)E = E tan θ
2
1 d f = −2 , f (α ) α = 1 = 确是最大值 由于 2 2 4 dα (0 < α < 1)
v v dr v = dt
v v = -aω sin ωti + bω cos ωtj
(2)由 由
x = a cos ωt 和 y = b sin ω t 2 2 x y 消去t得轨道方程 消去 得轨道方程 + 2 =1 2 a b
质点力学练习题(C1练习册)
力学练习题（一）学习目标1． 掌握描述质点运动和运动变化的物理量——位置矢量、位移、速度、加速度，理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性。
2． 理解运动方程的物理意义及作用，掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法。
一、 选择题1． 一运动质点在某瞬时位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）d d r t ；（2）d d r t ；（3）d d s t ；（4 ） A 只有（1）（2）正确 B 只有（2）正确 C 只有（2）（3）正确 D 只有（3）（4）正确2． 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245t t S -+=（SI ），则小球运动到最高点的时刻是（ ）。
A t = 4s.B t = 2s.C t = 8s.D t = 5s.3．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量） 则该质点作（ ）。
A 匀速直线运动. B 变速直线运动. C 抛物线运动. D 一般曲线运动. 4．下列说法哪一条正确？（ ）A 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变.B 平均速率等于平均速度的大小.C 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成2/)(21v v v +=D 运动物体速率不变时，速度可以变化.二、 填空题1．质点p 在一直线上运动，其坐标x 与时间t 有如下关系： x = A sin ω t （SI ） Ａ为常数）（1）任意时刻t 时质点的加速度 a =___________________；（2）质点速度为零的时间t =___________________________。
2．一人自原点出发，25s 内向东走30m ，又10s 内向南走10m ，再15s 内向正西北走18m ，设X 轴指向正东，Y 轴指向正北，求在这50s 内，（1）位移r ∆= ；（2）平均速度v = ；（3）平均速率v = 。
经典力学习题课1-质点运动学
y
v
a’τ
θ
θ
v0
g
θ0 o
题1.3图
ds dy
θ dx
x
【解】设驱动力与阻力所产生的加速度为a’，火箭的
加速度为 ar ar ' gr
其切向分量和法向分量分别为
a a ' g sin , an g cos
因为火箭的速率恒定，故有
a
dv dt
0
（1）
即有
a
a ' g sin 0, an
法向加速度 an a2 a2
得到 an
bv02
b2 y2 v02
(8)
3
Q
an
v2
(b2 y2 v02 ) 2 bv02
(9)
题1.5 一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转， 角速度为ω。在杆上套有一小环（可看作质点） 相对于杆作匀速运动，速率为u。时间t＝0时小 环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时 刻小环的速度和加速度。
v2
g cos
（2）
式中ρ是火箭所在处的曲率半径。
Q ds , cos dx
d
ds
d d ds 1 dx ds dx cos
代入（2）式得
d g
dx v2
（3）
将（3）式积分，考虑初始条件，当t＝0时，x＝0，
θ＝ θ0。可得
0
g v2
x
又因为
tan
dy , dy dx dx
(2r&& r&&)r 0
dt
Q &r& 0,&& 0 ar r&2rr 0 2r&&r 0
理论力学--质点力学习题
x
tan
g
tan
2v02
cos2
,
y
tan
g
tan
2v02
cos2
tan
d x2 y2 x 1 tan2
tan
g
tan
2v02
cos2
1 cos
2v02 cos sin
g
cos2
2014/3/13
第一章 习题课
8
d
2v02 g
cos sin
cos2
求极值。一阶导数为零
2v02 g
sec2
4
2
解： mx 0,
y
my mg
v
两次积分
x tv0 cos ,
y
tv0
sin
1 2
gt
2
x
2014/3/13
第一章 习题课
7
消去t，得轨道方程
y
x tan
1 2
v02
g
cos2
x2
（1）
斜面方程为 y x tan
（2）
(1)、(2)两式联立,求得枪弹落在斜面上的点：
2mg cos ,式中为水平线和质点运动方向
之间的夹角.已知圆滚线方程为
x a2 sin 2 , y a 1 cos 2
解: 切向方程 m dv mg sin
dt
法向方程 R mg cos m v2
几何关系 sin dy / ds
（1） （2） （3）
2014/3/13
第一章 习题课
解： x r cos, y r sin
x r cos r sin y r cos r sin
质点和刚体力学 习题
2G(M + m ) = r
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
质点力学习题课
E = 5000 × 0.02 = 100 J
如果把石块换成钢板，那么钢板获得的动能增大 警告：没有经过训练的人，切勿去尝试， 以免造成伤害！
6、习题1-5
v0
h
y O
l
x
v
x
θ
r
分析：绳上各点的速度相同吗？ 思考：小船越走越快吗？
h v0 a=− 3 i x
2 2
7、一艘小船在静止水中的速度为3m/s，一 个船夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时的 距离最短，若水流速度为4m/s，问船夫应选 择向哪个方向划行？假设水流的速度在各处 都相同。
1 1 2 2 mgh = MvM + mvm 2 2
动量在水平方向上守恒
m(vm )x + M (vM )x = 0
vm = vr + v M
αm
m M h M
(vm )x = vM − vr cos α
vM 2 gh = m cos α 2 (M + m) M + m sin α
∆r
v
r′
o r
A
2、斜抛运动，求最高点处的曲率半径
v0
P A
o
θ
3、轻弹簧，k，原长 l0 ，吊天花板， 将弹簧由长 l1 为变为 l2 ，此过程中弹 性力作的功是多少？
4 、 m1 、 m2 ， 两块水平木板， B 放在地面上，若以 A 在弹 簧（ k ）上的平衡位置为重 力和弹性势能的零点，试 写出系统（A、弹簧、地球） 的总势能表达式. 设弹簧原长时A处于x0位置
v0 = 2 gh
1 2 Ek = Mv 2
m m ∴v = v0 ≈ v0 M +m M
质点力学习题课
Fdt mdv
设t1时刻t质t12点F的dt速度为vv12v1m, 设dvt2时刻m质v点2 的m速v度1 为v2，则
I P2 P1
此式说明：物体在运动过程中，所受合外力的冲量等 于该物体动量的增量。
第十一页，编辑于星期五：五点 四十六分。
8．有一质点作直线运动，其运动方程 为x=6t2-2t3 (SI制)，试求：
4．一子弹以水平速度v0射入一静止于光滑水平面上的 木块后，随木块一起运动。对于这一过程正确的分 析是 (A)子弹、木块组成的系统机械能守恒； (B)子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；
(C)子弹所受的冲量等于木块所受的冲量；
(D)子弹动能的减少等于木块动能的增加。 [B]
第九页，编辑于星期五：五点 四十六分。
（1）第二秒内的平均速度； （2）第三秒末的速度； （3）第一秒末的加速度； （4）质点作什么类型的运动？
解：(1)先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知 t=1s，x1=6×12-2×13=4m t=2s，x2=6×22-2×23=8m
第二秒内的平均速度为:
v x2 x1 8 4 4m s1
i0
i0
i0
i0
第六页，编辑于星期五：五点 四十六分。
1．某质点的运动方程为 x=3t-5t3+6(SI) ， 则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿X正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X负方向； (C) 变加速直线运动，加速度沿X正方向； (D) 变加速直线运动，加速度沿X负方向。
[D]
解：设三角形木块相对地面的加速度 为a1，小木块相对地面的加速度为a2 ，小木块相对三角形木块的加速度为 a2’，小木块与三角形木块之间的作 用力为N1和N，地面对三角形木块的支 持力为N2。
质点力学习题课
v v v P = P0 = C
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质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
（3）力的空间累积 ） 变力的功： 变力的功： = A 势能： 势能：
∫
b
a
v v b F ⋅ d r = ∫ F cos θdr
a
动能定理： 动能定理：A = E k − E k 0
E p ( x, y, z) =
M
B
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质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
点时相对M的速度为 解: (1)设m在B点时相对 的速度为 ，M 设 在 点时相对 的速度为v， 对地的速度为V， 对地的速度为 ，对m,M系统水平方向动 系统水平方向动 量守恒， 地系统机械能守恒. 量守恒，对m,M,地系统机械能守恒 地系统机械能守恒 m ( v − V ) − MV = 0
0
x ∫0 2vdv = −∫l2 g1− l dx m 1 1 v v = 3gl2 =1.21 m/s m g 1 2
v
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v T
3
1
v T′
l2
o
v x mg
质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
7. 如图所示，已知：半径为 的光滑球面， 如图所示，已知：半径为R的光滑球面 的光滑球面， 质量为M的滑块 质量为m 水平速度v 的滑块， 质量为 的滑块 ， 质量为 、 水平速度 0的 油灰球。 油灰球 。 求 ： （ 1） 它们滑至何处 ） 它们滑至何处(θ=？ )脱 ？ 脱 离球面？ 离球面 ？ （ 2） 如欲使二者在 处就脱离球 ） 如欲使二者在A处就脱离球 则油灰球的入射速率至少为多少？ 面，则油灰球的入射速率至少为多少？ v v0 M
大学物理习题课1 质点动力学
∴
v
6k /(mA )
大学物理习题课（一）
6.一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上 装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固 定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时， 弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f ＝f0，求ω与f的函数 关系． 解：设弹簧原长为 l ，劲度系数为 k ，r 为运动半径
2 0
大学物理习题课（一）
(2)根据功能原理有:
1 2 mgh mv fs 2 1 2 mv mgh mgh ctg
2
v 2 gh(1 ctg ) 8.16m / s
1
2
大学物理习题课（一）
l
v0
v M
m
大学物理习题课（一）
解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位 置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向， 故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平 速度为 v 有:
mv0 mv Mv
2
v m(v0 v) / M 3.13m / s T Mg Mv / l 26.5N
mrw2 k (r l ) mfw2 k ( f 1)
2
r fl
（1）
mf0 w0 k ( f0 1) （2）
ω与f的函数关系：
fw2 f 1 2 f0 1 f 0 w0
大学物理习题课（一）
7.质量为M的木块在光滑的固定斜面上，由A点从静止开始下滑， 当经过路程 l 运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子 弹立即陷入木块内．设子弹的质量为m，速度为 v ，求子弹射中 木块后，子弹与木块的共同速度．
v
6k /(mA )
大学物理习题课（一）
6.一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上 装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固 定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时， 弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f ＝f0，求ω与f的函数 关系． 解：设弹簧原长为 l ，劲度系数为 k ，r 为运动半径
2 0
大学物理习题课（一）
(2)根据功能原理有:
1 2 mgh mv fs 2 1 2 mv mgh mgh ctg
2
v 2 gh(1 ctg ) 8.16m / s
1
2
大学物理习题课（一）
l
v0
v M
m
大学物理习题课（一）
解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位 置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向， 故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平 速度为 v 有:
mv0 mv Mv
2
v m(v0 v) / M 3.13m / s T Mg Mv / l 26.5N
mrw2 k (r l ) mfw2 k ( f 1)
2
r fl
（1）
mf0 w0 k ( f0 1) （2）
ω与f的函数关系：
fw2 f 1 2 f0 1 f 0 w0
大学物理习题课（一）
7.质量为M的木块在光滑的固定斜面上，由A点从静止开始下滑， 当经过路程 l 运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子 弹立即陷入木块内．设子弹的质量为m，速度为 v ，求子弹射中 木块后，子弹与木块的共同速度．
大学物理 力学习题课1 哈尔滨工程大学
根据题意：
2
at = an
c b ct / R
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t
R b c c
质点力学习题课 3.已知某些条件给出速度和运动方程 作业2．以初速度 v0 向上抛出一小球，小球在运动过程中
受到阻力，其大小为
f kv ，k为常数，求：小球任
意时刻的速度及达到的最大高度。
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质点力学习题课 作业14. 质量为M=1.5kg的物体，用一根长为l=1.25m的 细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以 v0=500m/s的速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度 大小为v=30m/s, 设穿透时间极短，求（1）子弹刚穿出 时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲 量。
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质点力学习题课 1、力学中重要物理量的计算
作业4. 由楼窗口以水平初速度v 0射出一发子弹，求：（1） 子弹在任意时刻的位置及轨迹方程；（2）子弹在任意时 刻的速度、切向加速度和法向加速度；（3）任意时刻质 点所在轨迹的曲率半径。
作业11. 一物体按规律x=ct2作直线运动（c为常数）。设媒 质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，求： 物体由 x=0到 x=l过程中，阻力所作的功。
I p2 p1
（3）质点系的动量守恒定律
条件: F 0
f 内 F
m i v ix c 1 i m i v iy c 2 i m i v iz c 3 i
p2 p1 mi v i
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质点力学习题课
2
at = an
c b ct / R
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t
R b c c
质点力学习题课 3.已知某些条件给出速度和运动方程 作业2．以初速度 v0 向上抛出一小球，小球在运动过程中
受到阻力，其大小为
f kv ，k为常数，求：小球任
意时刻的速度及达到的最大高度。
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质点力学习题课 作业14. 质量为M=1.5kg的物体，用一根长为l=1.25m的 细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以 v0=500m/s的速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度 大小为v=30m/s, 设穿透时间极短，求（1）子弹刚穿出 时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲 量。
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质点力学习题课 1、力学中重要物理量的计算
作业4. 由楼窗口以水平初速度v 0射出一发子弹，求：（1） 子弹在任意时刻的位置及轨迹方程；（2）子弹在任意时 刻的速度、切向加速度和法向加速度；（3）任意时刻质 点所在轨迹的曲率半径。
作业11. 一物体按规律x=ct2作直线运动（c为常数）。设媒 质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，求： 物体由 x=0到 x=l过程中，阻力所作的功。
I p2 p1
（3）质点系的动量守恒定律
条件: F 0
f 内 F
m i v ix c 1 i m i v iy c 2 i m i v iz c 3 i
p2 p1 mi v i
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质点力学习题课
质点力学习题课
质点力学习题课
【例3】已知质点运动方程 r 2ti (4 t 2 ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。
(3)、因为任一时刻的速度大小为
2 2 v vx vy 2 1 t2
解：设子弹穿过后两物体的速度分别为vA、 vB， 子弹穿过物体A时有: A B
F t1 ( m A m B )v A F t 1 vA m A mB
子弹继续穿过物体B时有
F t 2 m B v B m B v A F t 2 vB v A mB
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地 面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引 力的功是多少？ a 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h R b A F d r Rh R R Mm G dr 2 o Rh r
u
（1）在地面上的人认为刚抛出 瞬时小球的动能
1 1 2 2 对不对？ Ek mu mv 2 2 1 1 1 2 2 2 Ek mu地 mu mv mu v 2 2 2
（2）当车上的人沿车前进的方向抛出小球，车上和地上的 人看抛出小球过程所作的功是否一样？
v
GMm
R Rh
GMmh R (R h)
dr 1 1 GMm 2 r R h R
【例3】已知质点运动方程 r 2ti (4 t 2 ) j (SI)，求： ①质点的初速度和加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。 dr 解：（1）、 v 2 i 2 tj , a 2 j dt -1 故v 0 2i (m s ), a 0 2 j (m s - 2 ) (2)、r1 2i 3 j r2 4i r r2 r1 2i 3 j (m) r v 2i 3 j (m s -1 ) t
习题课质点力学和刚体力学
[ C ]
A）不受外力作用的系统，动量和机械能必然守恒。 B）合外力为零，系统的动能和动量同时为零。 C）只受保守内力作用的系统，其动量和机械能必同时守恒。 D）合外力为零，内力为保守力，则系统的动量和机械能必然 同时守恒。 13、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 不一 定 为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、 机械能三个量中一定守恒的量是
B ) m 2 ( A 2 B 2 ) D) 1 m 2 ( B 2 A 2 ) 2
[C]
7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为：
2 2 r at i bt j ，则该质点作：
A）匀速直线运动。 B）变速直线运动。 C）抛物线运动。 D）一般曲线运动。
[B]
v
r f
f
6、质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为，
r A costi B sin tj
式中A、B、ω都是正的常数，则力在 t = 0 到 t = π/ (2ω) 这段时间内所作的功为：
1 m 2 ( A 2 B 2 ) 2 1 C ) m 2 ( A 2 B 2 ) 2 A)
L mgbtk
y
16、质量为0. 25kg的质点，受力 F ti 的作用， t 为时间。
t = 0 时该质点以 v 2 j 的速度通过坐标原点，则该质
点任意时刻的位置矢量为（ 2 t 3 i 2tj）。
17、炮车以仰角 θ 发射一炮弹，炮弹与炮车质量分别为m 和 M ，炮弹相对于炮筒出口速率为v，不计炮车与地面间的 摩擦，则炮弹出口时炮车的反冲速率为（ ）。
d dt
d dt
dv a dt
质点力学习题课
B m2
T2 m3
质点力学习题课
a 2 a a1
解上述方程得：
a3 a a1
a 为m2 相对B的加速度
(m1 2m2 ) g (m1 2m2 )a1 2 a 3.92 m/s 2m2 m1m2 m1m3 4m2 m3 2 a1 g 1.96m/s (下) m1m2 m1m3 4m2 m3
质点力学习题课
一、内容小结
1.运动学
r xi yj zk r r2 r1
dr v dt d r a 2 dt
2
2
v dv a an a n dt
质点力学习题课
dv 由 a 可求： v v0 a dt S S 0 vdt dt
角量与线量的关系：
d d 2 dt dt dr R d
2
v R a R an R
2
质点力学习题课 2.动力学 （1）牛顿运动定律： 自然坐标系
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
同理
a2 1.96 m/s (下) a3 5.88 m/s 2 (上)
2
T1 m1 ( g a1 ) 1.57N T2 T1 / 2 0.784N
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
质点力学习题课
（2）力的时间累积。
动 量：
P mv
I
冲
量：
动量定理：
I P P0
F dt
力学习题课
2 2 2 2 0
No.1 一、B、D、C、B 、 、 、
dv dv 2 = −kv t ⇒ 2 = − ktdt 3. dt v v dv t 1 1 1 2 ∫v0 v 2 = ∫0 − ktdt − v + v0 = − 2 kt
4.
∵ vB = vA +vAB
hv 2. h − h 1 2
三、1. a = dv = dv dx = v dv
2
dt
dx dt
x 0
dx
dv 2 + 6x = a = v dx
∫
v
0
vdv = ∫ 2 + 6 x 2
1 2 v = 2x + 2x3 ∴ v = 2 x + x3 2
2. 解：由已知条件定常数
v = Rω = Rk t 2
t = 2时, v p = 32 ∴ k = 4
力学习题课
一、质点力学 1、运动学 、 基本内容： 基本内容： 位矢： 位矢： r 位移： 位移：
∆ r = r2 − r1
路程： 路程：实际轨迹
位移的大小与路程仅在 直线运动中相同。 直线运动中相同。
∆t = 0和单向
∆r 速度： 速度： 平均 v = ∆t
方向： 方向：
∆r
∆s v= ∆t
v ≠v
o r
T
a = rω gt 2 2 J = mr − 1 2s 联立得： 联立得： 2.受力分析 坐标如图列方程： 受力分析,坐标如图列方程 受力分析 坐标如图列方程：
m
mg
y
2mg − T1 = 2ma
m, r T
T2 − mg = ma
(T1 − T ) r = Jβ (T − T2 ) r = Jβ
No.1 一、B、D、C、B 、 、 、
dv dv 2 = −kv t ⇒ 2 = − ktdt 3. dt v v dv t 1 1 1 2 ∫v0 v 2 = ∫0 − ktdt − v + v0 = − 2 kt
4.
∵ vB = vA +vAB
hv 2. h − h 1 2
三、1. a = dv = dv dx = v dv
2
dt
dx dt
x 0
dx
dv 2 + 6x = a = v dx
∫
v
0
vdv = ∫ 2 + 6 x 2
1 2 v = 2x + 2x3 ∴ v = 2 x + x3 2
2. 解：由已知条件定常数
v = Rω = Rk t 2
t = 2时, v p = 32 ∴ k = 4
力学习题课
一、质点力学 1、运动学 、 基本内容： 基本内容： 位矢： 位矢： r 位移： 位移：
∆ r = r2 − r1
路程： 路程：实际轨迹
位移的大小与路程仅在 直线运动中相同。 直线运动中相同。
∆t = 0和单向
∆r 速度： 速度： 平均 v = ∆t
方向： 方向：
∆r
∆s v= ∆t
v ≠v
o r
T
a = rω gt 2 2 J = mr − 1 2s 联立得： 联立得： 2.受力分析 坐标如图列方程： 受力分析,坐标如图列方程 受力分析 坐标如图列方程：
m
mg
y
2mg − T1 = 2ma
m, r T
T2 − mg = ma
(T1 − T ) r = Jβ (T − T2 ) r = Jβ
质点力学习题课
3 m> M； 2
条件下， （2）在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线 ） 满足上述条件下 与竖直线的夹角。 与竖直线的夹角。
m
m
θ
O M
9. 如图所示，半径为 R、质量为 M、表面光滑的半 如图所示， 、 、 球放在光滑的水平面上， 球放在光滑的水平面上， 在其正上方置一质量为 m 的 小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后， 小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示的 角位置处开始脱离半球， 已知 cosθ ＝0.7， M/m。 ， 求 。 θ 角位置处开始脱离半球，
v v v 3 2 r =[(− +2 )i +(t −3 ) j](m 。求： t t t ) v （1）t=2（s）时质点所受的合力 F； ） （） r v （2）t=2（s）时力 F对坐标原点的力矩 M； ） （） v （3）t=2（s）时力 F的功率 P； ） （） ； r v （4）t=0（s）至 t=2（s）时间内 F的冲量 I ； ） （） （） v （5）t=0（s）至 t=2（s）时间内 F所作的功 A。 ） （） （）
O l/2 m A l/2 m B
D
m
M
θ
v
பைடு நூலகம்
10. 如图， 如图， 长为 2l， ， 质量可忽略的杆的两端固 质量可忽略的杆的两端固 的两端 、 。开始时系 定有两质量均为 m 的小球 A、B。开始时系 竖直放在光滑的水平桌面上。 统竖直放在光滑的水平桌面上。系统受外界 微扰而在竖直面内倒下。 微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与水平面 质心的速度和细棒 细棒绕质心转动的 夹角为θ 时质心的速度和细棒绕质心转动的 角速度。 角速度。
2
m1 m2 m3
质点力学第9讲——质点力学习题课1
课堂讲解
第7题 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动 过程中，卫星对地球中心的 ( A ) （Ａ）角动量守恒，动能也守恒． （Ｂ）角动量守恒，动能不守恒． （Ｃ）角动量不守恒，动能守恒． （Ｄ）角动量不守恒，动量也不守恒． （Ｅ）角动量守恒，动量也守恒．
课堂讲解
第8 题 如图示，两木块质量为 m1 和 m2 ，由一轻弹 簧连接，放在光滑水平桌面上，先使两木块靠近而将弹 簧压紧，然后由静止释放．若在弹簧伸长到原长时，m1 的速率为 v1 ，则弹簧原来在压缩状态时所具有的势能 是(D )
O w
0
r2 a/2
m3 m2
2 3
课堂讲解
பைடு நூலகம்
第2题 一人造地球卫星到地球中心的最大距离和最小 距离分别是 R A 和 R B．设卫星对应的角动量分别是 L A 、 LB ，动能分别是 E kA、E kB ，则应有 ( E )
E E L L （Ａ） B L A ， kB EkA．（Ｂ） B L A ， kB EkA ．
（Ｃ）LB L A ， kB EkA．（Ｄ） B L A ， kB EkA ． L E E （Ｅ）LB L A ， kB EkA ． E
B RB
RA
A
课堂讲解
第3题 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的 水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌 面中心的小孔，该物体原以角速度 w 在距孔为 R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体 ( E ) （Ａ）动能不变，动量改变． （Ｂ）动量不变，动能改变． （Ｃ）角动量不变，动量不变． （Ｄ）角动量改变，动量改变． （Ｅ）角动量不变，动能、动量都改变．
mgl sin
习题课(质点力学)
α
F
mg
f
F
α
N
F
由牛顿二定律列方程： 由牛顿二定律列方程：
x方向:
α
mg
f
α
x
mg sin α − F cos α + f = 0
− µN < f < µN
y
y方向:
N − mg cos α − F sin α = 0
代入 µ = tgε ,
结果： g 结果： m ⋅ tg(α − ε) < F < m ⋅ tg(α + ε) g
0
2.设有水平力 作用于斜面上的质点 .为了使 F m 物体不滑动，对 的大小有何限制？ 物体不滑动， F的大小有何限制？
α µ 为斜面的摩擦角。 已知斜面倾角 ，且 = tgε, ε为斜面的摩擦角。 µ为质点与斜面间的摩擦 系数。 系数。 m 解：研究
m
受力分析如图： 受力分析如图： N
(A )
dυ = a dt
(B )
dr = υ dt
(C )
ds =υ dt
(D )
dυ = at dt
(c 答案： 答案：)
2. 质点在 质点在xoy平面内运动，运动方程为： 平面内运动， 平面内运动 运动方程为： x=2t , y=19-2t2 (SI) 求： （1）质点运动的轨迹方程； ）质点运动的轨迹方程； 时的速度和加速度； （2）t=1 s时的速度和加速度； ） 时的速度和加速度 （3）t=2 s时的位置矢量； 时的位置矢量； ） 时的位置矢量 时的位移矢量； （4）t=1 s到t=2 s时的位移矢量； ） 到 时的位移矢量 （5）何时位置矢量与速度相互垂直？ ）何时位置矢量与速度相互垂直？
3质点力学习题课
v La
移项后两边积分 ∫ vdv = ∫
0
0
g (a + x )sin αdx L
2 2
即得
v=
(g L)(L a )sinα
的二滑块， 质量分别为 m1 及 m2 的二滑块，分别穿于二平 行水平光滑的导杆上， 行水平光滑的导杆上，二导杆间的距离为 d，再以一劲度系数 ， 的轻质弹簧连接二滑块。 为 k，原长为 d 的轻质弹簧连接二滑块。设开始 时 m1 位于x1 = 0 ， 且其速度均为零， 处， m2 位于 x2 = l 处，且其速度均为零，求释放后两滑块 的最大速度分别是多少？ 的最大速度分别是多少？
m1 : T + f 1 = T + m1 g = m1ω 2 x
(1)
m2 : T f 2 = T m2 g = m2 a2 = m2ω 2 (l x )
得
(2)
ω=
(m1 + m2 )x m2l
(m1 + m2 )g
[m2l (m1 + m2 )x]
长为 L，重量为 P 的柔性链子开始静止于一光 ， 滑表面 ABC 上，其 D 端至 B 点的距离为 L-a，试用牛顿第 ， 二定律证明： 点时， 二定律证明：当 D 端滑到 B 点时，链子的速度大小为
v T
v f 1
m1
m1 : T + f 1 = T + m1 g = m1a1 = m1ω ′2l
）、（2） 解（1）、（ ）得 ）、（
(2)
v f2
′ ω max =
(m1 + m2 )g
m1l
′ Q m1 m2 ∴ω max ω max
一边运动， （3）若系统向 m2 一边运动，则 ）
移项后两边积分 ∫ vdv = ∫
0
0
g (a + x )sin αdx L
2 2
即得
v=
(g L)(L a )sinα
的二滑块， 质量分别为 m1 及 m2 的二滑块，分别穿于二平 行水平光滑的导杆上， 行水平光滑的导杆上，二导杆间的距离为 d，再以一劲度系数 ， 的轻质弹簧连接二滑块。 为 k，原长为 d 的轻质弹簧连接二滑块。设开始 时 m1 位于x1 = 0 ， 且其速度均为零， 处， m2 位于 x2 = l 处，且其速度均为零，求释放后两滑块 的最大速度分别是多少？ 的最大速度分别是多少？
m1 : T + f 1 = T + m1 g = m1ω 2 x
(1)
m2 : T f 2 = T m2 g = m2 a2 = m2ω 2 (l x )
得
(2)
ω=
(m1 + m2 )x m2l
(m1 + m2 )g
[m2l (m1 + m2 )x]
长为 L，重量为 P 的柔性链子开始静止于一光 ， 滑表面 ABC 上，其 D 端至 B 点的距离为 L-a，试用牛顿第 ， 二定律证明： 点时， 二定律证明：当 D 端滑到 B 点时，链子的速度大小为
v T
v f 1
m1
m1 : T + f 1 = T + m1 g = m1a1 = m1ω ′2l
）、（2） 解（1）、（ ）得 ）、（
(2)
v f2
′ ω max =
(m1 + m2 )g
m1l
′ Q m1 m2 ∴ω max ω max
一边运动， （3）若系统向 m2 一边运动，则 ）
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动能不守恒。
机械能守恒。
一段长度为l 的均匀绳子，总质量为m，其一端固定于o点， 在光滑水平面内沿逆时针方向围绕o 点以角速度ω作整体 转动，求：绳子内部距o 点为x处的张力T 。
已知：m r l
const.
求：T T ( x)
滑 0
dx
o
解：
x
研究对象：《绳子》
l
方法1：将绳子“分小”为许多个质量为dm的质元
vB
mv0 (M m)vA 方向？ o●
B
L0vA LvB sin
解得：
sin L0vA
Lv B
L0
v0
m
M
A
L f
vA
mv0 L0
arcsin
L m2v02 k(M m)(L L0 )2
5、通过量纲 判正误 6、记住最后要讨论
fB
Mg
mAg fA 0
mAg fB mBaB
aA 0 aB 2g
A、B组成系统所受外力为
N mB g
F mA g N mB g F mA g 0
Fx=0，水平方向上系统动量守恒
1)m Av A 2)m Av A
MvB m Av A
vB MvB
2l
T maC m (l 2 x2 ) 2
2l
T (l x) 受力？
0
x
•
l
Fi
maC
o
l
●
●
xC
m0
ω
思考： 如果绳子的另一端系一个质量
T maC
动量守恒 mv 0 (m M )v
1 2
m v02
1 2
Ek
Ek
1 mv2
1
2 mv
2
2
v c 动能守恒。
机械能守恒。
2)动量守恒条件 F i 0, F i T m g 0
动量不守恒
角动量守恒条件M 0,
M r T R mg Rmgsin
r
T
T cos mg M 0
mg
WT 0 WG 0
vB
《大学物理习题讨论课辅导书》
o●
p47
L
B
L0
m v0
M
A
已知：M m k
vB
t 0时,子弹和木块在 A点发生碰撞
v子弹 v v0 碰前 : v木块 V 0
o ●
L
L0
B
A L0
碰后:
v子弹
A
V木块 L0
vA
求：V (t) vB
A2
4RB
R
思考讨论题
1、分析以下各种情况中物体A和B的受力：
（1）A、B为均质球体，静止放置。
N’ A N
BN N’
mg
mg
判断有无N’：
1）有无施力物
2）有无加速度
fA
A
B
mg
N
1)A、B静止
fA mAg fA fB
NB fB mB g (mA mB )g
2）C抽出瞬间，N=0
初4速．度一为质点从，O如点v图0 出所发示作。抛请体回运答动以（下忽问略题空：气在阻运力动）过，
程中，
y
1）dv/dt是否变化？
v0
t
2）| dv / dt | 是否变化？
3）a n 是否变化？
θ αn
x
o
4）轨道何处曲率半径最大？其值是多少？
解 1） a g g sin t g cos n
ω
F dman
用变量 x 表示 “质点” dm的质量
dT dm x
dm l dl
即：dm
ml ddxx
l dx
m dx l
l dT m xdx
两边积分：
得：
0 dT
lm
l
xdx
T (x)
lx
T m (l 2 x2 )
at
dv dt
B
v2 an R
v ds dt
ds vdt
2R
T
0 ds 0 ( A Bt)dt
2R AT 1 BT 2
2
BT 2 2AT 4R 0 A A2 4BR
T B
v A BT A2 4BR
an
v2 R
m M
vA vB
2m M
vA
Ae Aid 0
1）外力：N，T，AN=0，AT≠ 0 Ae ≠ 0 机械能不守恒 2）外力：N，T，T‘，AN=0， AT≠ 0， AT’≠ 0 AT+ AT’=0 Ae = 0 机械能守恒 3）T，-T，T‘，- T‘均为内力，N及R 不作功
Ae = 0 机械能守恒
m v0
M
A
vA
t时刻:
v子弹
B
V木块 L
vB
解： 1、选取对象，查受力：
vB
对象：《子弹、木块》 受力：
o ●
B
L
L0
内力——弹力、碰撞力及摩擦力
v0
外力——弹力、重力、支持力
m
2、分析过程，看运动
M A
vA
➢ 子弹与木块发生的碰撞过程。时间极短，弹 两个过程 ： 簧未发生形变，碰前、碰后均在A点发生
➢ 碰后，子弹与木块以vA共同的速度从A点
运动B点的过程
3、根据定理、定律，列方程
vB
❖首先考虑守恒，
o ●
B
L
求速度（运动）
L0
碰撞过程，水平方向动量守恒 m v0
M
mv0 (M m)vA
A
vA
系统在水平方向上不受
A-B过程，系统机械能守恒 外力 ，系统动量守恒
1 2
(M
m)vA2
1)动量守恒条件 F i 0, 动量不守恒
Fi T mg 0
O
角动量守恒条件M 0,
对O点 M R T R m g
设小球逆时针旋转为正
M RT sin Rmg RT cos Rmg
T cos mg
M 0
角动量守恒
E
1 2
(M
m)vB2
1 2
k(L
L0
)2
系统在光滑水平 面内运动,只有弹
簧弹力做功，系 统机械能守恒
LA0-BL0过(vmA程，ML系v)B统vsAi对n0L点的(m角动M量o)●守vB恒 L
4、分析变量，解方程，
L0
f
不忘解题技巧来应用
由：mv0 (M m)vA
1 2
(M
m)vA2
1 2
(M
m)vB2
m
v0
1k 2
(
M A
L L0
vA
)2
解得：
vB
m2v02 k(L L0)2 (m M )
vB
B
子弹和小木块 一起运动只受 弹簧的弹力作 用始终都指向 o点
由：vB m2v02 k(M m)(L L0 )2 (m M )
2l
思考：如果绳子的另一端系一个质量为m 的小球，
如何求T？
方法2： 选 l－x 段绳子为研究对象
“绳子内部距o
点
为x处的张力T ” T (l x)
0xl
lx
o
•
xc
ω
此时，绳子为一质点系。利用质心运动定理求解
Fi
maC
T maC
在光滑水平面内 T 为 l－x 所受合外力
T (l x)
0
x
•
l
T maC
C为 l－x 段绳子质心距o 点距离为
1
xl
xc x 2 (l x) 2
lx
o
•
xc
C 随绳子绕o 点以角速度ω 作圆周运动
ω
aC
xl 2
2
m m (l x) l
aC r 2 xc 2
解得： T
maC
m (l 2 x2 ) 2
v02
g cos
最高点( 0)
an g最大, v v cos最小, 最小
v2
(v0 cos ) 2
an
g
5．一质点沿着半径为R的圆周运动，在t=0时经过P点， 此后的速率按v=A+Bt（A,B为已知常数）变化，则质 点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度 at=___________，法向加速度an=_____________。
at g sin
an g cos
at
dv dt
g sin
dv a
变化
dt
2)a d v g dt
不变化
3)an g cos
变化
v2
v2
v2
4)an g cos
an g cos
起点,终点( ) an最 小, v v0最 大, 最 大 max
(m
M
)v 2
1 2
kxm2
p47
（3）
机械能守恒。
一段长度为l 的均匀绳子，总质量为m，其一端固定于o点， 在光滑水平面内沿逆时针方向围绕o 点以角速度ω作整体 转动，求：绳子内部距o 点为x处的张力T 。
已知：m r l
const.
求：T T ( x)
滑 0
dx
o
解：
x
研究对象：《绳子》
l
方法1：将绳子“分小”为许多个质量为dm的质元
vB
mv0 (M m)vA 方向？ o●
B
L0vA LvB sin
解得：
sin L0vA
Lv B
L0
v0
m
M
A
L f
vA
mv0 L0
arcsin
L m2v02 k(M m)(L L0 )2
5、通过量纲 判正误 6、记住最后要讨论
fB
Mg
mAg fA 0
mAg fB mBaB
aA 0 aB 2g
A、B组成系统所受外力为
N mB g
F mA g N mB g F mA g 0
Fx=0，水平方向上系统动量守恒
1)m Av A 2)m Av A
MvB m Av A
vB MvB
2l
T maC m (l 2 x2 ) 2
2l
T (l x) 受力？
0
x
•
l
Fi
maC
o
l
●
●
xC
m0
ω
思考： 如果绳子的另一端系一个质量
T maC
动量守恒 mv 0 (m M )v
1 2
m v02
1 2
Ek
Ek
1 mv2
1
2 mv
2
2
v c 动能守恒。
机械能守恒。
2)动量守恒条件 F i 0, F i T m g 0
动量不守恒
角动量守恒条件M 0,
M r T R mg Rmgsin
r
T
T cos mg M 0
mg
WT 0 WG 0
vB
《大学物理习题讨论课辅导书》
o●
p47
L
B
L0
m v0
M
A
已知：M m k
vB
t 0时,子弹和木块在 A点发生碰撞
v子弹 v v0 碰前 : v木块 V 0
o ●
L
L0
B
A L0
碰后:
v子弹
A
V木块 L0
vA
求：V (t) vB
A2
4RB
R
思考讨论题
1、分析以下各种情况中物体A和B的受力：
（1）A、B为均质球体，静止放置。
N’ A N
BN N’
mg
mg
判断有无N’：
1）有无施力物
2）有无加速度
fA
A
B
mg
N
1)A、B静止
fA mAg fA fB
NB fB mB g (mA mB )g
2）C抽出瞬间，N=0
初4速．度一为质点从，O如点v图0 出所发示作。抛请体回运答动以（下忽问略题空：气在阻运力动）过，
程中，
y
1）dv/dt是否变化？
v0
t
2）| dv / dt | 是否变化？
3）a n 是否变化？
θ αn
x
o
4）轨道何处曲率半径最大？其值是多少？
解 1） a g g sin t g cos n
ω
F dman
用变量 x 表示 “质点” dm的质量
dT dm x
dm l dl
即：dm
ml ddxx
l dx
m dx l
l dT m xdx
两边积分：
得：
0 dT
lm
l
xdx
T (x)
lx
T m (l 2 x2 )
at
dv dt
B
v2 an R
v ds dt
ds vdt
2R
T
0 ds 0 ( A Bt)dt
2R AT 1 BT 2
2
BT 2 2AT 4R 0 A A2 4BR
T B
v A BT A2 4BR
an
v2 R
m M
vA vB
2m M
vA
Ae Aid 0
1）外力：N，T，AN=0，AT≠ 0 Ae ≠ 0 机械能不守恒 2）外力：N，T，T‘，AN=0， AT≠ 0， AT’≠ 0 AT+ AT’=0 Ae = 0 机械能守恒 3）T，-T，T‘，- T‘均为内力，N及R 不作功
Ae = 0 机械能守恒
m v0
M
A
vA
t时刻:
v子弹
B
V木块 L
vB
解： 1、选取对象，查受力：
vB
对象：《子弹、木块》 受力：
o ●
B
L
L0
内力——弹力、碰撞力及摩擦力
v0
外力——弹力、重力、支持力
m
2、分析过程，看运动
M A
vA
➢ 子弹与木块发生的碰撞过程。时间极短，弹 两个过程 ： 簧未发生形变，碰前、碰后均在A点发生
➢ 碰后，子弹与木块以vA共同的速度从A点
运动B点的过程
3、根据定理、定律，列方程
vB
❖首先考虑守恒，
o ●
B
L
求速度（运动）
L0
碰撞过程，水平方向动量守恒 m v0
M
mv0 (M m)vA
A
vA
系统在水平方向上不受
A-B过程，系统机械能守恒 外力 ，系统动量守恒
1 2
(M
m)vA2
1)动量守恒条件 F i 0, 动量不守恒
Fi T mg 0
O
角动量守恒条件M 0,
对O点 M R T R m g
设小球逆时针旋转为正
M RT sin Rmg RT cos Rmg
T cos mg
M 0
角动量守恒
E
1 2
(M
m)vB2
1 2
k(L
L0
)2
系统在光滑水平 面内运动,只有弹
簧弹力做功，系 统机械能守恒
LA0-BL0过(vmA程，ML系v)B统vsAi对n0L点的(m角动M量o)●守vB恒 L
4、分析变量，解方程，
L0
f
不忘解题技巧来应用
由：mv0 (M m)vA
1 2
(M
m)vA2
1 2
(M
m)vB2
m
v0
1k 2
(
M A
L L0
vA
)2
解得：
vB
m2v02 k(L L0)2 (m M )
vB
B
子弹和小木块 一起运动只受 弹簧的弹力作 用始终都指向 o点
由：vB m2v02 k(M m)(L L0 )2 (m M )
2l
思考：如果绳子的另一端系一个质量为m 的小球，
如何求T？
方法2： 选 l－x 段绳子为研究对象
“绳子内部距o
点
为x处的张力T ” T (l x)
0xl
lx
o
•
xc
ω
此时，绳子为一质点系。利用质心运动定理求解
Fi
maC
T maC
在光滑水平面内 T 为 l－x 所受合外力
T (l x)
0
x
•
l
T maC
C为 l－x 段绳子质心距o 点距离为
1
xl
xc x 2 (l x) 2
lx
o
•
xc
C 随绳子绕o 点以角速度ω 作圆周运动
ω
aC
xl 2
2
m m (l x) l
aC r 2 xc 2
解得： T
maC
m (l 2 x2 ) 2
v02
g cos
最高点( 0)
an g最大, v v cos最小, 最小
v2
(v0 cos ) 2
an
g
5．一质点沿着半径为R的圆周运动，在t=0时经过P点， 此后的速率按v=A+Bt（A,B为已知常数）变化，则质 点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度 at=___________，法向加速度an=_____________。
at g sin
an g cos
at
dv dt
g sin
dv a
变化
dt
2)a d v g dt
不变化
3)an g cos
变化
v2
v2
v2
4)an g cos
an g cos
起点,终点( ) an最 小, v v0最 大, 最 大 max
(m
M
)v 2
1 2
kxm2
p47
（3）