质点力学习题课1

➢ 碰后，子弹与木块以vA共同的速度从A点
运动B点的过程
3、根据定理、定律，列方程
vB
❖首先考虑守恒，
o ●
B
L
求速度（运动）
L0
碰撞过程，水平方向动量守恒 m v0
M
mv0 (M m)vA
A
vA
系统在水平方向上不受
A-B过程，系统机械能守恒 外力 ，系统动量守恒
1 2
(M

m)vA2
vB
mv0 (M m)vA 方向？ o●

B
L0vA LvB sin
解得：
sin L0vA
Lv B
ຫໍສະໝຸດ BaiduL0
v0
m
M
A
L f
vA

mv0 L0
arcsin
L m2v02 k(M m)(L L0 )2
5、通过量纲 判正误 6、记住最后要讨论
初4速．度一为质点从，O如点v图0 出所发示作。抛请体回运答动以（下忽问略题空：气在阻运力动）过，
程中，
y
1）dv/dt是否变化？
v0
t
2）| dv / dt | 是否变化？
3）a n 是否变化？
θ αn
x
o
4）轨道何处曲率半径最大？其值是多少？
解 1） a g g sin t g cos n
动能不守恒。
机械能守恒。
一段长度为l 的均匀绳子，总质量为m，其一端固定于o点， 在光滑水平面内沿逆时针方向围绕o 点以角速度ω作整体 转动，求：绳子内部距o 点为x处的张力T 。
已知：m r l
const.
求：T T ( x)
滑 0
dx
o
解：
x
研究对象：《绳子》
l
方法1：将绳子“分小”为许多个质量为dm的质元

v02
g cos
最高点( 0)
an g最大, v v cos最小, 最小

v2
(v0 cos ) 2
an
g
5．一质点沿着半径为R的圆周运动，在t=0时经过P点， 此后的速率按v=A+Bt（A,B为已知常数）变化，则质 点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度 at=___________，法向加速度an=_____________。
ω
——将质元视为 “质点”
《大学物理习题讨论课辅导书》p46
对dm进行受力分析：
T ( x)
T(x dx)
施力：x和l-x
对dm “质点”运用牛顿第二定
律：T(x) T(x dx) dm 2 x
dT dm x2dx
其中：dT T(x dx) T(x)
dx
o
xl
1 2
(M

m)vA2

1 2
(M

m)vB2
m
v0
1k 2
(
M A
L L0
vA
)2
解得：
vB
m2v02 k(L L0)2 (m M )
vB

B
子弹和小木块 一起运动只受 弹簧的弹力作 用始终都指向 o点
由：vB m2v02 k(M m)(L L0 )2 (m M )
2l
思考：如果绳子的另一端系一个质量为m 的小球，
如何求T？
方法2： 选 l－x 段绳子为研究对象
“绳子内部距o
点
为x处的张力T ” T (l x)
0xl
lx
o
•
xc
ω
此时，绳子为一质点系。利用质心运动定理求解

Fi

maC
T maC

在光滑水平面内 T 为 l－x 所受合外力
T (l x)
at g sin
an g cos
at

dv dt
g sin
dv a
变化
dt
2)a d v g dt
不变化
3)an g cos
变化
v2
v2
v2
4)an g cos
an g cos
起点,终点( ) an最 小, v v0最 大, 最 大 max
fB
Mg
mAg fA 0
mAg fB mBaB
aA 0 aB 2g
A、B组成系统所受外力为
N mB g
F mA g N mB g F mA g 0
Fx=0，水平方向上系统动量守恒
1)m Av A 2)m Av A

MvB m Av A

vB MvB
1)动量守恒条件 F i 0, 动量不守恒
Fi T mg 0
O
角动量守恒条件M 0,

对O点 M R T R m g
设小球逆时针旋转为正
M RT sin Rmg RT cos Rmg
T cos mg
M 0
角动量守恒
E

(m

M
)v 2

1 2
kxm2
p47
（3）
1 (m M )v2 2

1 2
k
xm2

1 mv2 2

1 Mu2 2
(m M )v mv Mu
在光滑水平桌面上，放有质量为 M 的小木块，一弹簧 （弹性系数 k ）一端固定于o 点，另一端与木块相连， 开 弹始以时初弹速簧度处v0于，原沿长垂L直0 的于位弹置簧，长现度有的一方质向量射为入mA的处子的 木块（如图），已知当木块（含子弹）运动到B点时， 弹簧长为L ，求：此时木块的运动速度的大小和方向
vB
《大学物理习题讨论课辅导书》
o●
p47
L
B
L0
m v0
M
A
已知：M m k
vB
t 0时,子弹和木块在 A点发生碰撞
v子弹 v v0 碰前 : v木块 V 0
o ●
L
L0
B
A L0
碰后:
v子弹

A
V木块 L0

vA
求：V (t) vB
0
x
•
l
T maC
C为 l－x 段绳子质心距o 点距离为
1
xl
xc x 2 (l x) 2
lx
o
•
xc
C 随绳子绕o 点以角速度ω 作圆周运动
ω
aC

xl 2
2
m m (l x) l
aC r 2 xc 2
解得： T
maC
m (l 2 x2 ) 2
Ek
Ek
1 mv2
1
2 mv
2
2
v c 动能守恒。
机械能守恒。
2)动量守恒条件 F i 0, F i T m g 0
动量不守恒
角动量守恒条件M 0,
M r T R mg Rmgsin
r

T
T cos mg M 0
mg
WT 0 WG 0
m M
vA vB

2m M
vA
Ae Aid 0
1）外力：N，T，AN=0，AT≠ 0 Ae ≠ 0 机械能不守恒 2）外力：N，T，T‘，AN=0， AT≠ 0， AT’≠ 0 AT+ AT’=0 Ae = 0 机械能守恒 3）T，-T，T‘，- T‘均为内力，N及R 不作功
Ae = 0 机械能守恒
2l
T maC m (l 2 x2 ) 2
2l
T (l x) 受力？
0
x
•
l
Fi

maC
o
l
●
●
xC
m0
ω
思考： 如果绳子的另一端系一个质量为m 的小球，
如何用质心运动定理求T？
?
T maC
动量守恒 mv 0 (m M )v
1 2
m v02

1 2

A2
4RB
R
思考讨论题
1、分析以下各种情况中物体A和B的受力：
（1）A、B为均质球体，静止放置。
N’ A N
BN N’
mg
mg
判断有无N’：
1）有无施力物
2）有无加速度
fA
A
B
mg
N
1)A、B静止
fA mAg fA fB
NB fB mB g (mA mB )g
2）C抽出瞬间，N=0
at

dv dt

B
v2 an R
v ds dt
ds vdt
2R
T
0 ds 0 ( A Bt)dt
2R AT 1 BT 2
2
BT 2 2AT 4R 0 A A2 4BR
T B
v A BT A2 4BR
an

v2 R

1 2
(M

m)vB2

1 2
k(L

L0
)2
系统在光滑水平 面内运动,只有弹
簧弹力做功，系 统机械能守恒
LA0-BL0过(vmA程，ML系v)B统vsAi对n0L点的(m角动M量o)●守vB恒 L
4、分析变量，解方程，
L0
f
不忘解题技巧来应用
由：mv0 (M m)vA
ω
F dman
用变量 x 表示 “质点” dm的质量
dT dm x
dm l dl
即：dm


ml ddxx
l dx
m dx l

l dT m xdx
两边积分：
得：
0 dT
lm
l
xdx
T (x)
lx
T m (l 2 x2 )
m v0
M
A
vA
t时刻:
v子弹

B
V木块 L

vB
解： 1、选取对象，查受力：
vB
对象：《子弹、木块》 受力：
o ●
B
L
L0
内力——弹力、碰撞力及摩擦力
v0
外力——弹力、重力、支持力
m
2、分析过程，看运动
M A
vA
➢ 子弹与木块发生的碰撞过程。时间极短，弹 两个过程 ： 簧未发生形变，碰前、碰后均在A点发生