23 24直线的参数方程及渐开线与摆线 课件36980
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渐开线与摆线 课件
令 r(1－cosφ)＝0 可得 cosφ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1. 所以 r＝21kπ. 又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r＞0. 所以，应有 k＞0 且 k∈Z，即 k∈N＋.
所以ห้องสมุดไป่ตู้所求摆线的参数方程是yx＝＝2211kkππφ1－－csionsφφ，
[思路点拨]
[解题过程] 令 y＝0，可得 a(1－cosφ)＝0， 由于 a＞0，所以 cosφ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝a(φ－sinφ)，得 x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，所以 a(2kπ－sin2kπ)＝2，解得 a＝k1π(k∈Z)． 又由实际可知 a＞0，所以 a＝k1π(k∈N＋)， 易知当 k＝1 时，a 取最大值π1代入，
除了我们已经了解的平摆线、内外摆线，还有各种各样的 摆线，它们已经被应用在图案设计、摆线齿轮、少齿差行星减 速器、摆线转子油泵、旋转活塞发动机的缸体曲线以及多边形 切削等方面．如果你有兴趣，可以查找相关资料，进一步了解 摆线的知识．
2．渐开线和摆线参数方程中参数的几何意义
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字 母a是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定 点P相对于圆心的张角．
x＝cosφ＋φsinφ， y＝sinφ－φcosφ
(φ 为参数)
当 φ＝π2时，yx＝＝scionsπ2π2－＋π2π2csoinsπ22π＝＝1π2，，
∴Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，， ∴B－32π，－1.∴|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12＝2 π2＋1.
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件36237
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ . (1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一： (1)由ρ= 2 s5inθ ，得x2+y2- y2 =50， 即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
|-3 -=0 |1.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ . (1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一： (1)由ρ= 2 s5inθ ，得x2+y2- y2 =50， 即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
|-3 -=0 |1.
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37170
1
-
1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
3
【解析】
6.直线 xy==2-1-t+ctossin1100(t为参数)的倾斜角为(
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
|-3 -=0 |1.
1+(-2 2 )2
8.(2019·天津高考)已知圆C的圆心是直线
x y
= =
t 1
+
（t为参数）
t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___
_______.
【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0.
由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
么曲线.
(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.
【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程? 提示:消去参数即得曲线的普通方程. (2)如何求线段的长度? 提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
(t为参数)即为
(t为参数)
答案:
(t为参数)
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?
提示:设e表示直线向上方向上的单位向量,
当
参数t>0时, 与e同向;
有向线段
|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的 的长.
2.方程组变形为
①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程
可得
倾斜角
普通方程为
①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
所以
|t|是定点M0(3,1)到t对应
的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.
【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为α,点M(x,y) 为 直线l上任意一点,则 直线l的参数方程为 (t为 参数) ①
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
【自主预习 】
1.直线的参数方程
已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为
点M(x,y)
为 直线l上任意一点,则 直线l的普通方程和参数方程分
别为
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) ___________ (t为 参数)
渐开线与摆线 课件
(5)抛物线
x＝ta2np2α，
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_y_＝__t_a2_np_α______(α__为__参__数__)__
或__xy_＝ ＝__22_pp_tt2_，___(_t_为__参__数__)_.
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
x＝cos θ－4sin θ， (1)y＝2cos θ＋sin θ
(t 为参数，a，b>0).
x＝aet＋2 e－t， 解 由y＝bet－2 e－t，
2ax＝et＋e－t， ① 解得2by＝et－e－t， ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
∴ax22－by22＝1(x>0).
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最 小值.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标 方程； 解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
参数方程
复习课
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个的变点数Mt的(x 函，数y)都xy＝＝在fgt这t，，条①并曲且线对上于，t的那每么一个方允程许组值①，就由方叫程做组这①条所曲确线定 的 参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中 的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意 义的变数.
直线的参数方程
Байду номын сангаас
直线参数方程的应用-1.求（线段）弦长，直线与曲线交点的距离-2.线段的中点问题-3.求轨迹问题
作业讲评-课本P39-x=1+-1解：1直线的参数方程为-2-t为参数-y=5+-2将直线的参数方程中的， 代入x-y-2√3=0-得t=-10+6V3.所以，直线和直线x-y-2V3=0-的交点到点M的距离为t= 0+6v3
设MM2它们所对应的参数值分别为t1t2-1MM=t1-t2-2）M是MM2的中点，求M对应的参-t1+t -t=
练习-①直线-x=3+tsin20°-y=tcos20°-t为参数的倾斜角是-B-A.200-B.70°.110°-D.160°-√2-x=1-2」-直线+y-1=0的一个参数方程是
小结：-1.直线参数方程的标准式-X-X0 +tcosa-t是参数-y=yo +tsina-|=|MoM.直线参数方程的一般式-x=xo+at-t为参数-言明的儿依头，9-以网-当a2+b2≠1时，没有明确的几 意义。
例2-经过点M2,1D作直线，交椭圆后+兰-1于A,B两点。如果点M恰好为-线段AB的中点，求直线l的方程 解：设过点M2,1的直线L的参数方程为-x=2十tcos&,-t为参数-y=1十tsin a,-代入椭圆方 ，整理得-3sin2a-+1t2+4cos a+2sin at-8=0.-由t的几何意义知MA=t,MB= .因为点M在椭圆内，这个方程必有-两个实根，所以-白十场=--3sin2a+1-因为点M为线段AB的中点， 以士=0，即osa+2sina=0,-于是直线1的斜率为。=an。=一是-因此，直线1的方程是y-1=一x 2》,-x十2y-4=0.
直线参数方程的应用-1.求（线段）弦长，直线与曲线交点的距离-2.线段的中点问题-3.求轨迹问题
作业讲评-课本P39-x=1+-1解：1直线的参数方程为-2-t为参数-y=5+-2将直线的参数方程中的， 代入x-y-2√3=0-得t=-10+6V3.所以，直线和直线x-y-2V3=0-的交点到点M的距离为t= 0+6v3
设MM2它们所对应的参数值分别为t1t2-1MM=t1-t2-2）M是MM2的中点，求M对应的参-t1+t -t=
练习-①直线-x=3+tsin20°-y=tcos20°-t为参数的倾斜角是-B-A.200-B.70°.110°-D.160°-√2-x=1-2」-直线+y-1=0的一个参数方程是
小结：-1.直线参数方程的标准式-X-X0 +tcosa-t是参数-y=yo +tsina-|=|MoM.直线参数方程的一般式-x=xo+at-t为参数-言明的儿依头，9-以网-当a2+b2≠1时，没有明确的几 意义。
例2-经过点M2,1D作直线，交椭圆后+兰-1于A,B两点。如果点M恰好为-线段AB的中点，求直线l的方程 解：设过点M2,1的直线L的参数方程为-x=2十tcos&,-t为参数-y=1十tsin a,-代入椭圆方 ，整理得-3sin2a-+1t2+4cos a+2sin at-8=0.-由t的几何意义知MA=t,MB= .因为点M在椭圆内，这个方程必有-两个实根，所以-白十场=--3sin2a+1-因为点M为线段AB的中点， 以士=0，即osa+2sina=0,-于是直线1的斜率为。=an。=一是-因此，直线1的方程是y-1=一x 2》,-x十2y-4=0.
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件36237
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37062
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
(B)(6,6π )
(C)(6,-12π )
(D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ =2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
二、填空题（每小题8分，共24分）
x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
2t 2
【解析】∵直线
x
=
2的t 普通方程为x-
y =
2t 2
y=2 0，2
∴点(-3,0)到直线的距离为d= 答案：1
|-3 -=0 |1.
1+(-2 2 )2
8.(2019·天津高考)已知圆C的圆心是直线
x y
= =
t 1
+
（t为参数）
t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37143
|-3 பைடு நூலகம்=0 |1.
1+(-2 2 )2
8.(2019·天津高考)已知圆C的圆心是直线
x y
= =
t 1
+
（t为参数）
t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___
_______.
【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0.
由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
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t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线 l过点
P(3,5)，故由上式及 t的几何意义得 |PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x2 - y2 =1，过点P(2，1)的直线交双曲
2
线于P1，P2，求线段 P1P2的中点 M的轨迹方程 .
【解析】
3
（C）过点（ 1，-2）且倾斜角为 2? 的直线
3
（D）过点（ -1，2）且倾斜角为 2? 的直线
3
【解析】
6.直线
? ? ?
x=-1+tsin10 ?(t为参数
y=2-tcos10 ?
)的倾斜角为
(
(A)10 °
(B)80 °
(C)100 °
【解析】
) (D)170 °
二、填空题（每小题 8分，共24分）
_______.
【解析】 将直线的参数方程化为普通方程为 x-y+1=0. 由题意可得圆心 (-1,0)，则圆心到直线 x+y+3=0 的距离即为圆 的半径，故 r= 2 =，2所以圆的方程为 (x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1) 2+y2=2
9.已知直线 l过点P(1，2)，其参数方程为
? ? ?
x=1-t y=2+t
(t是参数
)，
直线l与直线 2x+y-2=0 交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共 40分）
?x=-3+t
10.（12分）化直线 l的参数方程 ?
(t 为参数 )为普通方
? y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明 |t|的几何意义 .
(
)
(A)直线经过点（ 7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
(D)|t|是定点 M0（3，-4）到该直线上对应点 M的距离 【解析】 选D.直线的普通方程为 3x-4y-25=0, 由普通方程可
知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选 D.
3.当φ=2π时，圆的渐开线 ???xy==66((scions???-+?csoisn??))上的点是 ( )
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考 )在直角坐标系 xOy中，直线 l的
参数方程为
? ?? x=3?
2t 2
(t为参数 )，在极坐标系 (与直角坐标
? ??
y=
5+
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ= 2 5sinθ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为 (3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】 方法一：
(1)由ρ= 2 s5inθ，得 x2+y2- y2=50， 即x2+(y- 5)2=5. (2)将l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( ，2 t)2 =5
2
2
整理，得 t 2 -3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
(A)(6,0)
(B)(6,6π)
(C)(6,- 12π)
(D)( -π,12π)
【解析】 选C.当φ=2π时，得
? ? ?
x=6(cos2?+ y=6(sin2-?
2s? 2c?
in2)? os2)?
=6 =-12?
，
故点(6,-12π)为所求 .
4.直线
? ?? ?
x=1+
1 2
t
(t 为参数 )和圆 x2+y 2=16 交于 A、B两点，则
一、选择题（每小题 6分，共36分）
1.原点到直线
?? x=3+4t
? ??
y=-
3 2+3t(为参数 )的距离为()
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
? ? ?
x=3+4t (t为参数
y=-4+3t
)，下列命题中错误的是
? ?
y=-3
3+
3t 2
AB的中点坐标为 ( )
(A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
(B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
5.以t为参数的方程
? ??
x=1-
1 2
t
?
表示 (
)
? ?
y=-2+
3t 2
（A）过点（ 1，-2）且倾斜角为 ? 的直线
3
（B）过点（ -1，2）且倾斜角为 ? 的直线
? x=2t
7.点（ -3，0）到直线
? ? ?? y=
(t为参数）的距离为 _______.
2t 2
【解析】 ∵直线
? ?
x=2的t 普通方程为
x-
? ?? y=
2t 2
y=0 ，
22
∴点(-3,0)到直线的距离为 d= 答案： 1
|-3-=0|1.
1+(-2 2 )2
8.(2019·天津高考 )已知圆C的圆心是直线 ???xy==1t +t（t为参数） 与x轴的交点，且圆 C与直线x+y+3=0 相切，则圆 C的方程为 ___