高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法

张喜林制

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高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解

例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1

2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0

2-a a (a t －a －t ) ∴f (x )=1

2-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0

⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为 f (x )=2x 2－1 或f (x )=－2x 2+1 或f (x )=－x 2－x +1

或f (x )=x 2－x －1 或f (x )=－x 2+x +1 或f (x )=x 2+x －1

例2设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱

技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式

解 (1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b

∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2

(2)当－1

(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2 综上可知 f (x )=⎪⎩

⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成

例3已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1)

解法一 (换元法）

∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1

令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u

∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)

∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4)

解法二 (配凑法）

f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5 ∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),

即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4)

学生巩固练习 1 若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A 3 B 23 C －23 D －3 2 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( )

A f (x )=(x +3)2－1

B f (x )=(x －3)2－1

C f (x )=(x －3)2+1

D f (x )=(x －1)2－1

3 已知f (x )+2f (x 1)=3x ,求f (x )的解析式为_________

4 已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________

5 设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式

6 设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式 若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值

7 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、

C 、

D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图

8 已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5

(1)证明 f (1)+f (4)=0;