02-课件：5-4 机器人动力学建模(牛顿-欧拉法)
02-课件：5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
+ D111
D122
D222 _ D211 _
02
一 + D112
快
_
D212
「
就 D121
2+
肅 [^2 _
[
_ D221
(10.10)
拉格朗日动力学方程
S 一般形式和矩阵形式如下:
・.
・・
・/>
= ・/>+・・ +・・ T2 = + + + + + + + + + D211T1°1
••
••
•c
二— — y2
1 d1 cos A]
d2 cos
— 颗 毎毎 (=O>1 +12)
H d； (A + A ) + 2 cos^
1+
)
— — (& ) m2gd1 cos&
m2gd2 cos
+ A2
动能与位能
*
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能
分别为
K = K 1 + K 211 2 ・
]ห้องสมุดไป่ตู้
..
。 — =2（ mi + mQd：
I
拉格朗日动力学方程
有效惯量：关节i的加速度在关节i上产生
的惯 性力
毎 D21
D12
D22
+ D211
D122 D222
.2 I
+ D212 D221
就
.2
+ D2
肅
(10.10)
拉格朗日动力学方程
耦合惯量:关节i,j的加速度在关节j,i上产生的 惯性力
机器人机构学基础课件第5章
1
本章中包括的内容如下：
➢ 操作臂力雅可比与静力计算； ➢ 操作臂动力学-拉格朗日方法； ➢ 操作臂动力学-牛顿-欧拉方法； ➢ 操作臂动力学方程求解问题； ➢ 操作臂动力学参数辨识。
5.1 操作臂力雅可比与静力计算
为什么要进行机械臂静力计算：机械臂与外界环境之间的交互---力
和力矩。过程为：机械臂各关节的驱动装置提供关节力（或力矩），通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。
因此，各关节的驱动力（或力矩）与末端执行器施加的力（广义力，包括 力和力矩）之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。
fi1,i fi,i1 mi g 0
ni1,i ni,i1 ri1,i ri,Ci fi1,i ri,Ci fi,i1 0
式中：ri1,i 为坐标系 i 的原点相对于坐标系i 1的位置矢量； ri,Ci 为质心相对于坐标系 i的位置矢量。
假设已知外界环境对操作臂末端执行器的作用力和力矩，那么可以由最后 一个连杆向零连杆（基座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
执行器（驱动器）输入的驱动动能总和给出：
n
Ek
Ekli Emi
i 1
我们采用微元的思想：在连杆i上取
一微元，其执行位置向量用 p*i 来表示， 微元体积为 dV ，当在整个连杆区域内
积分时，则微元可以表示整个连杆的运 行性能。
连杆i的动能分量可由下式给出：
1
E 2 kli
Vli
p*i T p*i dV
【例5-2】 下面以图5-4中所示的RP机械臂为例说明建立操作臂动力学方程的
《机器人动力学》课件 (2)
探讨深度学习技术对机器人动力学的影响和应用。
人机协作与机器人动力学的关总结和展望
通过这门课程，你将对机器人动力学有深入的了解，并能应用于实际问题中。 未来，机器人动力学将发展得更加智能和灵活。
运动学正逆问题
掌握如何计算机器人的位置和姿态。
3
动力学方程
深入研究机器人的力学模型和动力学方程。
机器人动力学应用
机器人路径规划
学习如何规划机器人的运动路径 以实现特定任务。
控制方法和策略
了解机器人控制的各种方法和策 略。
实例和案例分析
通过案例分析，了解机器人在不 同领域的应用。
机器人动力学的发展趋势
《机器人动力学》PPT课 件 (2)
机器人动力学是研究机器人运动的科学，本课程介绍了机器人动力学的基础 理论和应用，以及未来发展趋势。
课程介绍
定义
机器人动力学是研究机器人运动的科学。
学习动机
了解机器人动力学的重要性和应用场景。
机器人动力学基础
1
坐标系和参考帧
学习如何定义机器人的坐标系和参考帧。
2
第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
02-课件：5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
]+[ D]
动力学方程的典型形式
S状态空间方程
+ ( ) + ( ) 动力学方程也可以写成如下形式: T = M 0 & V 0,0
G (0)
：式中M(日)为操作臂的nxn质量矩阵危(€)的)是nxl的离心力和j :哥氏力矢量，
G(。)是nxl重力矢量，上式之所以被称为状态空: j间方程，是因为该式中的
T
式中：7是e l的关节驱动力矩矢量。
at oq oq
由于势能旦不显含。,因而动力学方程变为:
T=
d dEK dEK dEP d--t--d-1a-- dq dq
两连杆机械手示例
S二连杆机械手的动能与位能
先计算连杆1的动能旳和位能P1,已知: 12
— ^^1V1, V] — d101, P1 —甜]gh、, h、— — d
势能
连杆I具有势能为"=-m ° g0 Pct 式中，°g是3X1的重力加速度向量，Op。,是连杆i质心的位置矢量。
n
操作臂所具有的势能为各连杆势能之和：％ = £ EPi
Z=1
势能也为q的标量函数，记为Ep(q)。
势能
Q利用拉格朗日函数L,系统的动力学方程（称第二类拉格 朗日方程）为
d dL dL
二— — y2
1 d1 cos A]
d2 cos
— 颗 毎毎 (=O>1 +12)
H d； (A + A ) + 2 cos^
1+
)
— — (& ) m2gd1 cos&
m2gd2 cos
+ A2
动能与位能
*
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学牛顿欧拉方程ppt课件
22
我们先研究质心的平 动，如图 4.1 所示，假设 刚体的质量为 ，质心在 m C 点，质心处的位置矢量 用 表示，则质心处的加 c 速度为 ；设刚体绕质心 c 转动的角速度用 表示， 绕质心的角加速度为 ， ω 根据牛顿方程可得作用在 ε 刚体质心C处的力为：
Y P r p z’ c z
y
y’ m
Mi-1,i—构件Li-1作用在构件Li上的力矩。 Fi —作用在第i个构件Li上的外力简化到 质心C处的合力，即外力的主矢。 Mi —作用在第i个构件Li上的外力矩简化 到质心C处的合力矩，即外力的主矩。
30
上述力和力矩包括了运动副中的约束 反力、驱动力、摩擦力等引起的作用力和 作用力矩。 作用在第i个构件上的所有力化简到 质心的总的合力为：
4.1、概述
4.2、机器人的牛顿-欧拉动力学方程
4.3、机器人拉格朗日动力学方程简介
12
为什么要研究机器人的动力学问题？ 1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它 们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其 他力或力矩作用的结果。 2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性 能。
13
机器人动力学研究内容： ›正问题：已知作用在机器人机构上的力和
构件受力图如图2所示将第i个构件l作为隔离体进行分析作用在其上的力和力矩有作用在i杆件上的外力和外力矩i1件作用在i杆件上的力和力矩以及i1i1i构件li1作用在构件li1i构件li1作用在构件li1i构件li1作用在构件li1i构件li1作用在构件l作用在第i个构件l上的外力简化到质心c处的合力即外力的主矢作用在第i个构件l上的外力矩简化到质心c处的合力矩即外力的主矩
I x mi ( yi2 zi2 ) ( y 2 z 2 )dm
机器人动力学牛顿欧拉方程教学课件
基于牛顿第二定律和欧拉方程，可以推导出 机器人动力学中的牛顿欧拉方程。
推导过程：首先根据机器人的连杆结构，将 机器人的运动分解为各个连杆的质心运动和 绕质心的转动；然后对每个连杆应用牛顿第 二定律和欧拉方程，得到每个连杆的力和力 矩平衡方程；最后将各个连杆的力和力矩平 衡方程联立起来，消去中间变量，得到机器 人整体的牛顿欧拉方程。
逆向动力学计算流程
介绍逆向动力学计算的基本步骤，包括期望轨迹规划、逆向求解关 节力、考虑约束条件等。
逆向动力学实例分析
以具体机器人为例，展示逆向动力学计算过程，包括数值计算和仿 真验证。
动力学仿真与验证
1 2
动力学仿真软件介绍
介绍常用的机器人动力学仿真软件，如 MATLAB/Simulink、ADAMS等。
实验结果分析
数据处理
将采集到的关节位置、速度和加速度数据进 行处理和分析，得到机器人的实际运动轨迹
。
轨迹对比
根据实验结果，评估机器人在运动过程中的 稳定性、精确性和动态性能。
性能评估
将实际运动轨迹与预设轨迹进行对比，分析 两者之间的差异及其原因。
教学反馈
将实验结果反馈给学生，帮助他们深入理解 机器人动力学的原理和实际应用。
机器人连杆质心与转动惯量计算
01
02
03
质心位置计算
通过积分方法或几何方法 计算连杆的质心位置。
转动惯量计算
根据连杆的质量分布和形 状，计算连杆相对于其质 心的转动惯量。
产品惯性矩阵计算
将所有连杆的转动惯量和 产品惯性矩阵组合起来， 得到整个机器人的产品惯 性矩阵。
机器人关节力与力矩计算
牛顿-欧拉方程
感谢您的观看
THANKS
机器人动力学牛顿欧拉方程课件
05 总结与展望
本课程总结
内容回顾
详细总结了牛顿欧拉方程的基本原理、推导过程以及 在机器人动力学中的应用。
关键点解析
对课程中的关键知识点进行了深入剖析，帮助学生加 深理解。
实践操作指导
总结了如何利用牛顿欧拉方程进行机器人动力学建模 的实践操作步骤。
未来研究方向
01
02
03
理论深化
探讨如何进一步优化牛顿 欧拉方程，提高其计算效 率和准确性。
机器人动力学牛顿欧拉 方程课件
目录
Contents
• 引言 • 机器人动力学基础 • 机器人动力学应用 • 机器人动力学实例分析 • 总结与展望
01 引言
课程目标
01
掌握机器人动力学的基本原理
02 学习如何使用牛顿欧拉方程描述机器人运 动
03
理解机器人的动态特性对控制系统设计的 影响
04
培养解决实际机器人问题的能力
人的运动性能和稳定性。
机器人的实验验证
要点一
总结词
通过实际操作和实验数据验证机器人动力学的正确性和有 效性。
要点二
详细描述
机器人实验验证是检验机器人动力学理论和模型的重要手 段。通过搭建实验平台，对机器人进行实际操作和数据采 集，将实验数据与理论预测进行比较和分析，可以验证机 器人动力学模型的正确性和有效性。同时，实验验证还可 以发现理论模型中可能存在的缺陷和不足，进一步优化和 完善机器人动力学理论。
应用拓展
研究如何将牛顿欧拉方程 应用于更广泛的机器人领 域，如医疗机器人、服务 机器人等。
多机器人协同
探索多机器人系统中的动 力学问题，以及如何利用 牛顿欧拉方程进行协同控 制。
课程反馈与改进
牛顿欧拉动力学方程建模
牛顿欧拉动力学方程建模牛顿-欧拉动力学方程是描述刚体运动的基本方程之一、它在刚体力学中起着重要的作用，能够揭示物体运动的规律和动力学特性。
牛顿-欧拉动力学方程是由牛顿第二定律和刚体动力学平衡方程组成，可以描述刚体在运动过程中的力和加速度之间的关系。
下面将详细介绍牛顿-欧拉动力学方程的建模过程。
首先，我们需要了解刚体的基本概念。
刚体是一个几何形状不变的物体，可以看作是由许多质点组成的。
每个质点都有其质量和位置，质点与质点之间的相对位置在运动过程中保持不变。
然后，我们需要定义刚体的运动学和动力学参数。
刚体的运动学参数包括线速度、角速度和加速度，而动力学参数则包括质量、惯性矩阵和力矩。
其中，质量是描述刚体惯性的物理量，惯性矩阵则描述了刚体绕各个坐标轴转动的难易程度，力矩则描述了刚体受到的外力作用。
然后，我们将刚体的动力学平衡方程考虑进来，以描述刚体的转动。
刚体的动力学平衡方程可以表示为τ=Iα，其中τ是刚体所受合外力矩，I是刚体的惯性矩阵，α是刚体的角加速度。
这个方程描述了刚体的转动。
最后，通过将平动和转动的方程组合起来，我们可以得到牛顿-欧拉动力学方程。
具体来说，欧拉动力学方程可以表示为：m*v̇=FI*ω̇=τ其中，m是刚体的质量，v̇是刚体的线加速度，F是刚体所受合外力，I是刚体的惯性矩阵，ω̇是刚体的角加速度，τ是刚体所受合外力矩。
这两个方程描述了刚体在运动过程中的力和加速度之间的关系，提供了一种建模刚体运动的方法。
利用它们，我们可以分析刚体的运动特性，例如刚体的轨迹、速度和力矩分布等。
总结起来，牛顿-欧拉动力学方程是用来描述刚体运动的重要方程。
它基于牛顿第二定律和刚体动力学平衡方程，可以揭示物体运动的规律和动力学特性。
通过对质点的运动学和动力学参数的定义和分析，我们可以将牛顿-欧拉动力学方程应用于刚体运动的建模和分析，从而进一步研究刚体的行为和性质。
牛顿欧拉法求机器人动力学方程
牛顿欧拉法求机器人动力学方程机器人动力学方程是描述机器人运动的重要数学工具，它可以帮助我们理解和控制机器人的运动。
牛顿-欧拉法是一种常用的方法，用于推导机器人的动力学方程。
在机器人动力学研究中，我们关注的是机器人的运动以及它受到的力和力矩。
动力学方程描述了机器人运动的加速度与力之间的关系。
牛顿-欧拉法的基本思想是将机器人的连杆和关节看作是一个多体系统，利用牛顿定律和欧拉公式来推导机器人的动力学方程。
具体推导的步骤如下：首先，我们需要为机器人建立坐标系，并定义关节角度和末端执行器的位置、速度和加速度。
通过定义这些量，我们可以准确描述机器人的状态。
接下来，我们根据牛顿定律，对每个连杆和关节分别应用动力学方程。
动力学方程可以写为力矩等于惯性力加上外力的代数和，即：力矩 = 惯性力 + 外力在计算惯性力时，我们需要考虑机器人的质量、惯量以及它们与坐标系之间的几何关系。
这一步可以通过应用欧拉公式来计算。
计算外力主要是考虑机器人与环境之间的交互，包括重力、摩擦力、接触力等。
对于接触力，我们需要考虑机器人与其他物体之间的约束。
最后，我们将所有的动力学方程组合在一起，得到机器人的动力学方程。
这些方程可以帮助我们理解机器人在不同状态下受到的力和力矩以及其加速度。
机器人动力学方程的求解对于机器人的轨迹规划、运动控制以及力矩控制等具有重要的指导意义。
通过求解动力学方程，我们可以预测机器人在不同控制输入下的运动行为，从而优化机器人的性能。
总之，牛顿-欧拉法是一种求解机器人动力学方程的有效方法，它为我们研究和控制机器人的运动提供了重要的数学工具。
在实际应用中，我们可以根据具体的机器人模型和任务需求，灵活应用动力学方程求解的方法，从而实现机器人的精确控制和运动规划。
机器人动力学--牛顿-欧拉方程
0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。
解：由例1知：
33 22
0 0
及
3 v3
l1c
l1s 21 21 l2 (1
2 )
1 2
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
一、 惯量矩阵（张量）
如图所示，设刚体的质
量为m ，以质心为原点的
随体坐标系 Cxyz下的惯量
矩阵 IC由六个量组成，表
示为： Ixx
Ic I xy
Ixy I yy
Ixz
I
yz
式中：
I xz I yz I zz
Y
y y’
0
Iy
0
0 0 Iz
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
平行轴定理（Parallel-axis theorem）:
已知相对于某一原点位于物体质心坐标 系{C}的惯量张量，坐标系{A}平行于坐标系 {C}，则相对于{A}坐标系的惯量张量为：
P
m
r
p c
C
z’
z
O
x x’ X
Z
图3.1
Ix mi ( yi2 zi2 ) ( y2 z2 )dm
Ixy I yx mi xi yi xi yi dm
Iy mi (zi2 xi2 ) (z2 x2 )dm Iz mi (xi2 yi2 ) (x2 y2 )dm
第五章机器人动力学ppt课件
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2
(d
2 2
21
d
2 2
)
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2d22 )12
1 2
m2
d
2 2
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的
操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
E p q
g(m1l1 m2d2 )c1
gm2 s1
(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日方
程，得到平面RP机器人的动 力学方程的封闭形式：
d Ek Ek Ep
dt q q q
拉格朗日方程
1
2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2
d
2 2
)1
2m2d21d2
m2d2 m2d212 m2 gs1
q)
1 2
qT
D(q)q
式中，D(q是) nxn阶的机器人惯性矩阵
02-课件：5-4 机器人动力学建模(牛顿-欧拉法)
连杆动力学方程（牛顿-欧拉递推方法）将机器人的连杆看成刚体，其质心加速度、总质量、角速度、角加速度、惯性张量与作用力矩满足如下关系：牛顿第二定律 （力平衡方程）()/ci i ci i ci d m dt m ==f v v欧拉方程 （力矩平衡方程）()()/c c c ci i i i i d dt ==+⨯i i i n I ωI ωωI ω连杆动力学方程（牛顿-欧拉递推方法）欧拉方程公式推导v 为质心移动速度（移动时与惯性力相关）坐标系旋转时，惯性张量不是常量()()/c cc ci i i i id dt ==+⨯i i i n I ωI ωωI ω ()() =[()] =[] =()c c c ci i i i c c i i i cc i i i c ci i i d d dt dtS ==+++⨯+⨯i i i i i i i i i n I ωI ωωI I ωωωI I ωωωI I ωωI ω ()()g d m dt =⋅+⨯⋅+N I ωωI ωρ×v力和力矩平衡方程i i+1i-1iP i+1i fi i n i i f i+1i n i+1连杆i 在运动情况下，作用在上面的合力为零，得力平衡方程式（暂时不考虑重力）：（将惯性力作为静力来考虑）111f f R f +++=-i i i i ci i i i力和力矩平衡方程作用在连杆i 上的合力矩等于零，得力矩平衡方程式：1111111i i i i i i i i i ci i i i ci ci i i i +++++++=--⨯-⨯n n R n r f P R f 将上式写成从末端连杆向内迭代的形式：111i i i i i i i ci+++=+f R f f 1111111i i i i i i i i i i i i ci ci ci i i i +++++++=++⨯+⨯n R n n r f P R f 利用这些公式可以从末端连杆n 开始，顺次向内递推直至到操作臂的基座。
机器人动力学牛顿欧拉方程PPT共58页
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
机器人动力学牛顿欧拉方程PPT共58页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
机器人动力学牛顿欧拉方程 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连杆动力学方程（牛顿-欧拉递推方法）
将机器人的连杆看成刚体，其质心加速度、总质量、角速度、
角加速度、惯性
张量与作用力矩满足如下关系：
牛顿第二定律 （力平衡方程）
()/ci i ci i ci d m dt m ==f v v
欧拉方程 （力矩平衡方程）()()/c c c ci i i i i d dt ==+⨯i i i n I ωI ω
ωI ω
连杆动力学方程（牛顿-欧拉递推方法）
欧拉方程公式推导
v 为质心移动速度（移动时与惯性力相关）坐标系旋转时，惯性张量不是常量()()/c c
c ci i i i i
d dt ==+⨯i i i n I ωI ωωI ω ()() =[()] =[] =()c c c ci i i i c c i i i c
c i i i c c
i i i d d dt dt
S ==+++⨯+⨯i i i i i i i i i n I ωI ωωI I ωωωI I ωωωI I ωωI ω ()()g d m dt =⋅+⨯⋅+N I ωωI ωρ×v
力和力矩平衡方程
i i+1i-1iP i+1i fi i n i i f i+1i n i+1连杆i 在运动情况下，作用在上面
的合力为零，得力平衡方程式
（暂时不考虑重力）：
（将惯性力作为静力来考虑）
1
11f f R f +++=-i i i i ci i i i
力和力矩平衡方程
作用在连杆i 上的合力矩等于零，得力矩平衡方程式：1111111i i i i i i i i i ci i i i ci ci i i i +++++++=-
-⨯-⨯n n R n r f P R f 将上式写成从末端连杆向内迭代的形式：111i i i i i i i ci
+++=+f R f f 1111111i i i i i i i i i i i i ci ci ci i i i +++++++=++⨯+⨯n R n n r f P R f 利用这些公式可以从末端连杆n 开始，顺次向内递推直至到操作臂的基座。
力和力矩的递推
111f R f f +++=+i i i i i i i ci
111
1111n R n n r f P R f +++++++=++⨯+⨯i i i i i i i i i i i i c i ci ci i i i 对于旋转关节，各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩的Z轴分量
i T i i i i
=τn Z i T i i i i
=τf Z
力和力矩的递推
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
首先从连杆1到n递推计算各连杆的速度和加速度；再由牛顿-欧拉公式计算出每个连杆的惯性力和力矩；
最后，从连杆n到连杆1对推计算各连杆内部相互作用力和力矩，以及关节驱动力和力矩。
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
综上所述，将递推计算过程的相关公式归纳如下：
()11111111(1)i i i i i i i i i i i i i i i +++++++⎧++⎪=⎨+⎪⎩R ωθZ ωR ω 对于转动关节对于移动关节1111111111i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ++++++++++⎧+⨯+⎪=⎨⎪⎩R ωR ωθZ θZ ωR ω （转动关节）（移动关节）
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
()()11111111111111112i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ++++++++++++++++⎧⎡⎤+⨯+⨯⨯⎣⎦⎪⎪⎡⎤=+⨯+⨯⨯⎨⎣⎦⎪+⨯+⎪⎩R v ωP ωωP v R v ωP ωωP ωd Z d Z （转动关节）（移动关节）
()11111111111111i i i i i i i ci i i ci i i ci ++++++++++++++=+⨯+⨯⨯v v
ωr ωωr 11111i i ci i ci m +++++=f υ ()1
11111111111i ci i i ci i ci i i i i i ++++++++++++=+⨯n I ωωI ω
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
111i i i i i i i ci
+++=+f R f f 111
1111i i i i i i i i i i i i c i ci ci i i i +++++++=++⨯+⨯n R n n r f P R f ()i T i i i i i T i i i ⎧⎪=⎨⎪⎩n Z τf Z 转动关节（移动关节）
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）计及重力的动力学算法：。