第六章 平面电磁波

旋圆极化波 其它情况是椭圆极化波。
例1：试求下列均匀平面波的极化方式和传播方向。
(1) E = ex Em sin (ωt − kz ) + ey Em cos (ωt − kz )
(2) E = ex E0e− jkz − ey jE0e− jkz
(3)
E
=
ex
Em
sin
⎛⎜⎝ ωt
−
kz
+
π 4
⎤ e jkz ⎥
⎥⎦
=
ez
5 16π
W
/
m2
坡印延矢量的时间平均值：
Sav = Re[S]
=
ez
5 16π
W
/
m2
与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率：
∫ Pav =
S ⋅ dS = 5 W
S av
16π
3
§6.3 平面波的极化
波的极化：在电磁波传播空间给定点处，电场强度 矢量的端点随时间变化的轨迹。
5
3. 极化波的合成与分解
两个线极化波可以合成其它形式的波或新的线极 化波。任意一个椭圆极化波或圆极化波可分解成 两个线极化波的合成
任何一个线极化波都可以表示成旋向相反、振幅 相等的两圆极化波的叠加
任何一个椭圆极化波也可以表示成旋向相反、振 幅不等的两圆极化波的叠加
（1）线极化波的构成
• 两个彼此正交，时间相位相同的极化波，其合成仍为 线极化波。 cosθ，sin θ是什么？
E = ex E0 cosθ + e y E0 sinθ = ex Ex0 + e y Ey0
•线极化波可以由旋转方向相反的两个相同的圆极化波
( ) 构成。 EU.L = ex + jey + (ex − jey ) （2）圆极化波的构成
可见，表示沿 +z 方向传播的波。
电场与磁场的关系
E( z,t ) = exE0 cos(ωt − kz +ϕx )
H
(
z,t
)
=
ey
1 η
E0
cos
(ωt
−
kz
+
ϕx
)
电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直，且
E × H = ez
电场强度和磁场强度的振幅比
E H =η
电场和磁场同步（相位一致）
=
Re[ S ]
=
ez
E02 2η
例6-1 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均 匀平面电磁波的频率f=108 Hz， 电场强度
( ) E
=
ex
4e−
jkz
+
−
ey 3e
jkz +
jπ 3
V /m
试求：
(1) 均匀平面电磁波的相速度vp、波长λ、相移常数k和波阻抗 η；
(2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；
Ex(z,t) = f (t − z / v)
由麦克斯韦方程式
为什么是By?
ex
ey
ez
∇×E = ∂
∂
∂ = ∂Ex = − ∂By
∂x ∂y ∂z ∂z ∂t
Ex(z,t) 0
0
均匀平面波
平面电磁波：等相位面 为平面的电磁波。
均匀平面电磁波：等相 位面上电场和磁场处处 相同的电磁波。
若均匀平面波沿 z 轴传 播，且电场指向 x 方 向：
§6.9 电磁波极化特性的工程应用
§6.1 无耗媒质中的平面电磁波
无耗媒质意味着描述媒质电磁特性的电磁参数满足如下条件：
σ=0, ε、μ为 实常数。无 源意味着无外加场源，即ρ=0， J无=0耗。媒质中齐次波动方程的均匀平面波解
∇× H = ε ∂E ∂t
∇× E = − ∂B ∂t
∇⋅B =0
∇⋅D =0
Ex2
(
0,
t
)
+
E
2 y
(
0,
t
)
=
Ex2m
+
E
2 ym
cos (ωt
+ϕx
)
α
合成电场与+x的夹角为
α
α
=
arctan
⎛ ⎜ ⎝
Ey Ex
⎞ ⎟ ⎠
=
− arctan
⎛ ⎜ ⎝
Eym Exm
⎞ ⎟ ⎠
=
常数
矢端轨迹为直线，则该电磁波称为线极化波。
(2) 若Exm = Eym = Em ,ϕx − ϕy = ±π / 2 则
(3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
解： (1)
vp =
1= με
c = 3×108 = 108 m / s
μrε r
9
λ = vp = 1m f
k = ω με = ω = 2π vp
rad / m
η = μ = η ur = 120π 1 = 40π Ω
ε
ε 0 r
9
(2) H
kλ=2π，k为相移常λ数=：2π k
k
=
2π λ
时间相位ωt变化2π所经历的时间称为周期，以T表示。一秒内 变化的次数为频率，以f表示。 由ωT=2π得
f
=
1 T
=
ω 2π
υ p = λf
复坡印廷矢量为:
S
=
1 2
E ×H*=
1 2
e
x
E0e
−
jkz
×ey
E0* η
e jkz
=
ez
E02 2η
Sav
(3) 其它情况下，比如，取
Eym / Exm = 2, ϕx − ϕy = ϕ = π / 2
Ex (0,t ) = Exm cos (ωt + ϕx )
则：
Ey
(
0,
t
)
=
2Exm
cos
⎛ ⎜⎝
ωt
+
ϕx
−
π 2
⎞ ⎟⎠
=
2Exm
sin
(ωt
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ϕx
)
⎛ ⎜ ⎝
Ex (0,t )
Exm
⎞2 ⎟ ⎠
质的波ε阻0 =抗(3或61π本征×1阻0抗−9 )F。/
真空中的介电常数和磁导率为
m, μ0 = 4π ×10−7 H / m
η0 =
μ0 = 120π ≈ 377Ω ε0 Ex = E0 cos(ωt − kz)
电磁场瞬时值：
Hy
=
E0 η
cos(ωt
−
kz)
时刻t和空间z点的电场为
Ex ( z,t) = E0 cos(ωt −kz)
律。
∇2 E
−
1 v2
∂2 E ∂t 2
=
0
式中 υ = 1/ με
∇2 H
−
1 v2
∂2 H ∂t 2
=0
∇2Ex
−
1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
∇2Ez
−1 υ2
∂2Ez ∂t 2
=0
c = 1/ μ0ε0
∇2Ey
−
1 υ2
∂2Ey ∂t 2
=0
∇2Ex
=
∂2Ex ∂x2
+
∂2Ex ∂y 2
+
∂2Ex ∂z 2
cos(2π
×108t
−
2πz
+
π) 3
+
ey
1 10π
cos
2π ×108t −2πz
(V /m)
（3）复坡印廷矢量：
S
=
1 2
E
× H*
=
1 2
⎡ ⎢ex 4e− jkz ⎢⎣
+
e
y
3e
−
j⎛⎜⎝
kz
−π 3
⎞ ⎟⎠
⎤ ⎥
×
⎡ ⎢
−e
x
⎥⎦ ⎢⎣
3 40π
e j⎛⎜⎝
kz
−π 3
⎞ ⎟⎠
+
ey
1 10π
入射波和反射波的形式
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
+
E e' j(ωt+kz) 0
自由空间：
∂Ex = ∂z
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
− jkE0e j(ωt−kz) = −μ
∂H ∂t
y
= − jωμH y
Hy =
E0
e = E e j(ωt−kz)
0 j(ωt−kz)
μ /ε
η
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，与媒质参数有关，称为媒
图7-3 理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布
2
正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为
ωt − kz = cons（t. 常数）
相速度：
υp
=
dz dt
=
ω k
=
1 με
均匀介质中，传播速度为 常数，非色散波。
c = 1/ μ0ε0 ≈ 3 ×108 m / s
群速度：
υg
=
dω dk
空 间 相 位 kz 变 化 2π 所 经 过 的 距 离 称 为 波 长 ， 以 λ 表 示 。 有
E = exEx + e yEy
Ex = Exm cos (ωt − kz + ϕx )
( ) Ey = Eym cos ωt − kz + ϕy
在坐标z=0的平面上任意点
Ex (0,t ) = Exm cos (ωt + ϕx )
( ) Ey (0,t ) = Eym cos ωt + ϕy
(1)若 ϕx = ϕy = ϕ ，平面 z=0 上， 合成电场的模为
E = Ex2 (0,t ) + Ey2 (0,t ) = Ex2m + Ey2m cos (ωt +ϕ )
合成电场与+x的夹角为
α
=
⎛ arctan ⎜
⎝
Ey Ex
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ arctan ⎜
⎝
Eym Exm
⎞ ⎟ ⎠
=
常数
若 ϕx − ϕy = ±π ，平面z = 0 上，合成电场的模为
E=
+
⎛ ⎜ ⎝
Ey (0,t )
2Exm
⎞2 ⎟ ⎠
=
1
矢端轨迹是椭圆，则该电磁波称为椭圆极化波；
2. 极化的判断
1)沿+z方向传播的均匀平面波：
找出x,y分量的振幅和初相位， 若等相或反相则是线极化波 若振幅相等，若 Ex 分量超前 Ey 90度，则是右
旋圆极化波 若振幅相等，若 Ex 分量落后 Ey 90度，则是左
ϕx −ϕy = π / 2
α = (ωt +ϕx )
y
α
x
y E
传播方向 x
λ /2
y
x
0
z
矢端轨迹是圆，则该电磁波称为圆极化波
矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系， (沿着传播方向观察）称为右旋圆极化波
4
ϕx −ϕy = −π / 2 α = − (ωt + ϕx )
y x
α
矢端的旋转方向与电磁波传播方向成左手螺旋关系， 称为左旋圆极化波
=
j ωμ
∇×E
=
1 η
− jkz+ j π
(−ex 3e 3
+
4e ye− jkz )
(A / m)
E(t) = Re[Eejωt]
=
ex
4cos(2π
×108t
−
2π
z)
+
ey
3cos⎛⎜⎝
2π
×108t
−
2π
z
+
π 3
⎞ ⎟⎠
(V /m)
H(t) = Re[Hejωt]
( ) =−ex
3 40π
一维电磁波，设电场仅为z的函数：
∂2Ex ∂z 2
−1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
此方程的通解为
Ex ( z, t)
=
f
(t
−
z υ
)
+
f
(t
+
z υ
)
f ( t- z / v ) f ( t- z / v )
图 7-1 向+z方向传播的波
1
无界媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进方向的波。 假设平面波沿+z方向传播，只有Ex(z, t)分量，方程式的解
PHY33300T电磁场与电磁波
韩宇南
Email:hanyn@mail.buct.edu.cn 教材： 张洪欣，沈远茂，韩宇南，电磁场与电磁波，北京：清华大学出版社（2013年） 参考书：
谢处方、饶克谨，电磁场与电磁波（第四版），北京：高等教育出版社 焦其祥，电磁场与电磁波，北京：科学出版社 严琪琪、赵丽珍，电磁场与电磁波全程导学及习题全解， 中国时代经济出版社 John D.Kraus, Daniel A. Fleisch. Electromagnetics with Application. Beijing:Tsinghua University Press.
Ex (0,t ) = Em cos (ωt + ϕx )
Ey
(
0,
t
)
=
Em
cos
⎛ ⎜⎝
ωt
+
ϕx
∓
π 2
⎞ ⎟⎠
=
±
Em
sin
(ωt
+
ϕx
)
合成电场的模为：E = Ex2 (0,t ) + Ey2 (0,t ) = Em
合成电场与+x的夹角为
α = arctan ⎡⎣± tan (ωt +ϕx )⎤⎦ = ± (ωt +ϕx )
∇×∇ ×
E
= ∇×
(−μ
∂H ∂t
)
=
−μ
∂ ∂t
∇
×
H
∇×H = ε ∂E ∂t
∇×∇×
E
=
∇(∇ ⋅ E)
− ∇2 E
=
−με
∂2 E ∂t 2
∇2 E
−
με
∂2 E ∂t 2
=
0
∇⋅D = 0
∇2 H
− με
∂2 H ∂t 2
=0
∇2 E
−
με
∂2 E ∂t 2
=
0
反映了交变电磁场的相互关系及与源的关系，揭示电磁场运动规
•两个彼此正交，时间相位相差90o，幅度相等的线极化波，
E = exEx ( z)
x
z y 图 7-2 均匀平面电磁波的传播
§6.2 均匀平面波的传播特性
E = ex Ex H = e y H y TEM 波
∂2Ex ∂z 2
−1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
∂2Ex ∂z 2
+ k2Ex
=0
k2=ω2με
亥姆霍兹方程
Ex = E0e− jkz + E0' e jkz
严肃认真、周到细致、稳妥可靠、万无一失
第6章 平面电磁波
§6.1 无耗媒质中的平面电磁波 §6.2 导电媒质中的平面电磁波 §6.3 电磁波的极化 §6.4 媒质中电磁场的性质 §6.5 损耗角正切与媒质分类 §6.6 良介质中的平面波 §6.7 良导体中的平面波 §6.8 趋肤深度和表面电阻
⎞ ⎟⎠
+
ey
Em
cos ⎛⎜⎝ωt
−
kz
−
π 4
⎞ ⎟⎠
(4) E = ex Em sin (ωt − kz ) + ey 2Em cos (ωt − kz )
解： （1）沿 ez方向传播的左旋圆极化波 （2）沿 ez 方向传播的右旋圆极化波 （3）沿 ez 方向传播的线极化波 （4）沿 ez 方向传播的左旋椭圆极化波。
电磁波的极化在许多邻域中获得了广泛应用。如： 在雷达目标探测的技术中，利用目标对电磁波散射
过程中改变极化的特性实现目标的识别。 无线电技术中，利用天线发射和接收电磁波的极化
特性，实现最佳无线电信号的发射和接收。 在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性
设计光学偏振片等等。
1. 极化的分类 对于沿+z方向传播的均匀平面波