二次函数(旋转-折叠)

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）

1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．

2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；

（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；

（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；

（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；

（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．

6、如图抛物线y=a x2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y

轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；

（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．

7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和

B（5，0），连接AB．

（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；

（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD 与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．

（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．

（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．

（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．

9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，

且OA=1，OC=2．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°，得到矩形DEFG （如图1）．

（1）若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ，求此抛物线的解析式；

（2）将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，平移t 秒时，所成图形如图2所示．

①图2中，在0＜t ＜1的条件下，连接BF ，BF 与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q ，设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1，△AQF 的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；

②在0＜t ＜3的条件下，P 是x 轴上一点，请你探究：是否存在t 值，使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似？若存在，直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．

10、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO y D

E C

F A

在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2

y ax bx c =++过点A E D ，，．

（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

11.已知如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD .

(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式；