二次函数(旋转-折叠)
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二次函数综合训练(折叠,旋转,对称,平移)
1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,将B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍,求点N的坐标.
2、如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=m x2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标.
3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a 角,旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中,
(1)如图①,当点E在射线CB上时,E点坐标为;
(2)当△CBD是等边三角形时,旋转角a的度数是(a为锐角时);
(3)如图②,设EF与BC交于点C,当EC=CG时,求点G的坐标;
(4)如图③,当旋转角a=90°时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上.
4、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N.解答下列问题:
(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;
(2)将△MON沿直线BB′翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;
(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式.
5、在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;
(2)将△ABC直线AB翻折,得到△ABC1,再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到△AB1C2.请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;
(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围.
6、如图抛物线y=a x2+ax+c(a≠0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y
轴交于C,若抛物线过点E(-1,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;
(3)若D为原点关于A点的对称点,F点坐标为(0,1.5),将△CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位置)?请指出并证明你的结论.
7、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和
B(5,0),连接AB.
(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD,(点A落到点C处),请画出△COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;
(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
8、在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD 与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.
(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.
(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.
(3)当α=90°时,如图乙.请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.
9、在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,
且OA=1,OC=2.将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°,得到矩形DEFG (如图1).
(1)若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ,求此抛物线的解析式;
(2)将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移,平移t 秒时,所成图形如图2所示.
①图2中,在0<t <1的条件下,连接BF ,BF 与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q ,设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1,△AQF 的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;
②在0<t <3的条件下,P 是x 轴上一点,请你探究:是否存在t 值,使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似?若存在,直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).
10、如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO y D
E C
F A
在x 轴的负半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =,OB =矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD .点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D ,抛物线2
y ax bx c =++过点A E D ,,.
(1)判断点E 是否在y 轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在x 轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O B P Q ,,,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍,且点P 在抛物线上,若存在,请求出点P ,点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
11.已知如图,抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,四边形OBHC 为矩形,CH 的延长线交抛物线于点D (5,2),连结BC 、AD .
(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式;