微积分课件完整版

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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

词目释义

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。

（1）运动中速度与距离的互求问题

求物体在任意时刻的速度和加速度；

反过来，已知物体的加速度表为以时间为

变量的函数公式，求速度和距离。这类问

题是研究运动时直接出现的，困难在于，

所研究的速度和加速度是每时每刻都在变

化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动

的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是

是无意义的。但是，根据物理，每个

运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离

的问题，也遇到同样的困难。因为速度每

时每刻都在变化，所以不能用运动的时间

乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题

这个问题本身是纯几何的，而且对于

科学应用有巨大的重要性。由于研究天文

的需要，光学是十七世纪的一门较重要的

科学研究，透镜的设计者要研究光线通过

透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角

度以便应用反射定律，这里重要的是光线

与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于

切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现

于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹

上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

（3）求长度、面积、体积、与重心问

题等

这些问题包括，求曲线的长度（如行

星在已知时期移动的距离），曲线围成的

面积，曲面围成的体积，物体

的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于

计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进

一步工作失败了，直到下一世纪才得到新

的结果。又如求面积问题，早在古希腊时

期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间

上与

轴和直线

所围成的面积

，他们就采用了穷竭法。当分割的份

数越来越多时，所求得的结果就越来越接

近所求的面积的精确值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当阿基米德的工作在

欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心

的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。

（4）求最大值和最小值问题（二次函数，属于微积分的一类）

例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水

平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾

斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求

能够射出最大射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是

时达到最大射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。

基本内容

数学分析

研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。

从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已

习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

微积分

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等

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