第十四章机械波作业及参考答案

第十械波一. 选择题[C] 1．（基础训练1）图14-10为一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图，则平衡位置在P 点的质点的振动方程是(A) ]31)2(cos[01.0π+-π=t y P (SI)． (B) ]31)2(cos[01.0π++π=t y P (SI)．(C) ]31)2(2cos[01.0π+-π=t y P (SI)．(D) ]31)2(2cos[01.0π--π=t y P (SI)．【提示】由t=2s 波形，及波向X 轴负向传播，波动方程})2[(cos{0ϕω+-+-=ux x t A y ，ϕ为P 点初相。

以0x x =代入。

[C] 2．（基础训练4）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（）(A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零．(C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零．【提示】在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，在平衡位置，动能最大，势能最大。

[D] 3．（基础训练7）在长为L ，一端固定，一端自由的悬空细杆上形成驻波，则此驻波的基频波（波长最长的波）的波长为(A) L ． (B) 2L ． (C) 3L ． (D) 4L ． 【提示】形成驻波，固定端为波节，自由端为波腹。

波长最长，4L λ=。

[D] 4．（自测提高3）一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图14-24所示．则坐标原点O 的振动方程为(A) ]2)(cos[π+'-=t t bu a y ． (B) ]2)(2cos[π-'-π=t t b u a y ．(C) ]2)(cos[π+'+π=t t b u a y ．图14-24(D) ]2)(cos[π-'-π=t t b u a y ． 【提示】由图可知，波长为2b ，周期2=,b T u 频率=u b ωπ，在t = t ＇，o 点的相位为-2π。

坐标原点O 的振动方程为]2)(cos[π-'-π=t t b u a y[D] 5．（自测提高6）如图14-25所示，S 1和S 2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为λ 的简谐波，P 点是两列波相遇区域中的一点，已知 λ21=P S ，λ2.22=P S ，两列波在P 点发生相消干涉．若S 1的振动方程为)212cos(1π+π=t A y ，则S 2的振动方程为(A) )212cos(2π-π=t A y ．(B) )2cos(2π-π=t A y ．(C) )212cos(2π+π=t A y ．(D) 2cos(20.1)y A t =π-π．（辅导书这里写错了）【提示】P 点两个振动的相位差为()()2010212r r πϕϕϕλ∆=---，发生相消干涉的条件为两列波频率相等、振动方向相同．．．．．．、振幅相同，相位差恒定并且 ()21,0,1,2,k k ϕπ∆=+=±±L ，有以上条件得到，S 2的振动方程为)1.02cos(22π-π=t A y[C] 6．（自测提高7）在弦线上有一简谐波，其表达式是 ]3)2002.0(2cos[100.221π+-π⨯=-x t y (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：(A) ]3)2002.0(2cos[100.222π++π⨯=-x t y (SI)． (B) ]32)2002.0(2cos[100.222π++π⨯=-x t y (SI)．(C) ]34)2002.0(2cos[100.222π++π⨯=-x t y (SI)．(D) ]3)2002.0(2cos[100.222π-+π⨯=-x t y (SI)．【提示】根据驻波的形成条件。

二. 填空题7．（基础训练10）一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是______5 J _____。

图14-25【提示】k p E E =8．（基础训练16）在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波，O 点处电场强度为)312cos(300π+π=t E x ν (SI)，则O 点处磁场强度为__)3/2cos(796.0π+π-=t H y νA/m ___________．在图14-18上表示出电场强度，磁场强度和传播速度之间的相互关系． 【提示】电磁波特性。

H E 和同相。

H E 00με=。

H E ρϖ⨯为电磁波传播方向。

9．（基础训练17）一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u ϖ与该平面的法线0n ϖ【提示】 能流及波的强度定义。

10．（基础训练18）一列火车以20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为______637.5 Hz _________和_____566.7Hz___________（设空气中声速为340 m/s ）． 【提示】RR S Su v u v νν+=-11．（自测提高 11）如图14-27所示, 两相干波源S 1与S 2相距3λ/4，λ为波长．设两波在S 1 S 2连线上传播时，它们的振幅都是A ，并且不随距离变化．已知在该直线上在S 1左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的相位条件是_13+2ϕπ__．【提示】强度与振幅的平方成正比，所以可以判断S 1左侧各点为干涉增强点。

根据干涉增强条件，得到213-=2ϕϕπ 12．（自测提高 15）有A 和B 两个汽笛，其频率均为404 Hz ．A 是静止的，B 以3.3 m/s 的速度远离A ．在两个汽笛之间有一位静止的观察者，他听到的声音的拍频是（已知空气中的声速为330 m/s ）____4Hz________．【提示】RR S Su v u v νν+=-，再利用拍频的定义。

三. 计算题13．（基础训练21）如图14-20所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向上，求zyxcϖxE ϖyH ϖO(1) 该波的表达式；(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式．解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向右传播．原点O 处质点，t = 0 时 02/2cos x A A φ==,0sin v 0>-=φωA所以 4/π-=φO 处振动方程为 )41500cos(0ππ-=t A y (m) 由图可判定波长λ = 200 m ，故波动表达式为 ]41)200250(2cos[ππ--=x t A y (m) (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是)45500cos(1ππ-=t A y (m) 或 13cos(500)4y A t =+ππ (m/s)振动速度表达式是5v 500sin(500)4A t =--πππ (m/s)或 3v 500sin(500)4A t =-+πππ (m/s)14．（基础训练22）设1S 和2S 为两个相干波源，相距41波长，1S 比2S 的位相超前2π。

若两波在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何？又在2S 外侧各点的强度如何？解：由题目可知211-=2ϕϕπ， 在1S 外侧任取一点P, P 点的相位为()()21212=-S P S P πϕϕϕπλ∆=---，满足干涉相消条件。

所以在1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度为零。

同理，在2S 外侧任取一点Q, Q 点的相位为()()21212=0S Q S Q πϕϕϕλ∆=---，满足干涉增强条件。

所以在1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度为41I 。

（1I 为单个波的强度）15．（基础训练23）如图14-21，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为t y π⨯=-4cos 1032(SI)．(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式；ABxu 图14-21(2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式． 解：（1）以A 点为坐标原点，波的表达式为 -2310cos4()20xy t π=⨯+（SI ） （2）以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，波的表达式为25310cos4()20x y t π--=⨯+2310cos[4()]20x t ππ-=⨯+- （SI ）16．（基础训练27） 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为)214cos(01.0π-π-=x t y (SI)．若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变π，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．解：反射波在x 点引起的振动相位为π+π--+π-=+21)55(4x t t φωπ-π+π+=10214x t反射波表达式为)10214cos(01.0π-π+π+=x t y (SI) 或 10.01cos(4)2y t x ππ=++ (SI)17．（基础训练28）正在报警的警钟，每隔0.5秒钟响一声，一声接一声地响着。

有一个人在以60公里/小时的速度向警钟行驶的火车中，问这个人在5分钟内听到几响。

解：由题目得到1100=2,330/,/,6S R s u m s v m s ν-==-1=2.1s RR S R u v uννν+=代入公式 ，得到 5分钟内听到560 2.1=630.3⨯⨯,听到的响声为630响。

18．（自测提高22）在实验室中做驻波实验时，在一根两端固定长3 m 的弦线上以60 Hz 的频率激起横向简谐波．弦线的质量为60×10-3kg ．如要在这根弦线上产生有四个波腹的很强的驻波，必须对这根弦线施加多大的张力？. 解： ∵ mTll m T Tu ===/μ ① 又 ∵ νλ=u ②由题意知 λ214=l ∴l 21=λ ③将③代入②得 l u 21⋅=ν ，代入①，得 422l m Tl ν=， 241νml T =16260310604123=⨯⨯⨯⨯=- N四．附加题19．（自测提高24）如图14-32，一圆频率为ω，振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播，设在t=0时该波在原点O 处引起的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动，M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面，已知4'47'λλ==PO OO ，(λ为该波波长)，设反射波不衰减，求：(1) 入射波与反射波的波动方程；P 点的振动方程。