第十章 三角形的有关证明 复习课件

方法技巧 “截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此 种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的 理解数学中的化归思想有较大的帮助．
1.以下命题中，是真命题的是（ D ） A.两条直线只有相交和平行两种位置关系 B.同位角相等 C.两边和一角对应相等的两个三角形全等 D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
【解析】根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝ 30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°。
方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习 中要注意到这一点！
第十章 三角形的有关证明 复习课件
┃知识归纳┃
1.等腰三角形的性质 性质（1）：等腰三角形的两个底角__相__等__。 性质（2）：等腰三角形顶角的_平__分__线__、底边上的_中___线__、底 边上的高互相重合。 2.等腰三角形的判定 （1）定义：有两条边_相__等___的三角形是等腰三角形。 （2）等角对等边：有两个角__相__等__的三角形是等腰三角形。
∠CDE，∠DCE＝∠ECB。 求证：CD＝AD＋BC。
图S1－8
【解析】结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中 的“截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可， 这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9，
在△FCE与△BCE中，
2.下列说法中，正确的是（ C ） A.等腰三角形边上的中线也是高 B.等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C.等边三角形每条角平分线都平分对边 D.直角三角形一边上的中线等于这边的一半
3.在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a， 那么它的三个内角之比为（ D ）
A.1∶2∶3 B.2∶2∶1 C.1∶1∶2 D.以上都不对
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是_直__角___三角形。
7.线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离_相__等__。
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的__垂__直__平__分__线__上。
【点拨】线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离 相等的所有点的集合。
8.三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于一__点____，并且这一点到 三角形三个顶点的距离_相__等__。
9.角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_相__等__。 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边__距__离__相等的 点，在这个角的平分线上。
【注意】角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的 逆定理必须加上“在角的内部”这个条件。
10.三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离_相__等__。
┃考点攻略┃
►考点一 线段垂直平分线的性质的应用
例1如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝ 30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝______5_0_°__。
图S1－13
9.如图S1－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中 点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。
求证：（1）FC＝AD； （2）AB＝BC＋AD。
证明：（1）因为E是CD的中点，所以DE＝CE。
因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE。所 以△ADE≌△FCE。所以FC＝AD。
（2）因为△ADE≌△FCE，所以AE＝FE。又因为BE⊥AE， 所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB＝FB。因为FB＝BC＋ FC＝BC＋AD。所以AB＝BC＋AD。
10.如图S1－15①，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于F点。
图S1－11
6.若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的（ C ）
A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点
7.在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有（ D ） A.只有一个 B.有两个 C.有三个或三个以上 D.有一个或没有
方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段 或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强， 多以证明或计算题出现．
►考点五 角平分线与“截长补短” 例5 如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝
►考点三 勾股定理的应用
例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为 2， AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
【解析】这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看 上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开 而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题。
∴△FCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠1。
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°。
又∠ADE＝∠CDE，
图S1－9
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°， ∴∠3＝∠4。
在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF＝DA。 ∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC。
4.如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线 交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数 为（ D ）
A.2
B.3
C.4
D.5
图S1－10
5.如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ___2_____。
解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr
＝2×π×＝4，取其一半：×4＝2，圆柱的高为2，根据勾股 定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2。
图 S1－4
方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能 力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
►考点二 全等三角形的证明
例2如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一 直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一 个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。
解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C， F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。求证：∠ABC ＝∠DEF。
图S1－5
【解析】要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF。连 接AD，利用全等可得这一结论。至于在延长线上，可利用同样 的方法。
解：（1）证明：连接AD，如图S1－6： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝AD， ∴∠B＝∠DAC＝45°， 又BE＝AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）， ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形。
谢谢
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不 变，在图②中补出符合要求的图形，并判断第（1）（2）两小题 的结论是否仍然成立。（不要求证明）
解：（1）证明：易证△CMB≌△CAN，则AN＝BM。 （2）证明：∵△CMB≌△CAN，∴∠ANC＝∠MBC。又 ∵∠MCN＝∠FCB＝60°， BC＝CN， ∴△ECN≌△FCB，∴CE＝CF。 又∵∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形。 （3）如图②所示，（1）小题的结论仍然成立，（2）小题 不成立。
8.小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长 AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比
为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方 案。
图S1－12
解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相 交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9。
3.用反证法证明的一般步骤 （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公 理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4.等边三角形的判定 （1）有一个角等于60°的_等__腰__三角形是等边三角形；
（2）三边相等的三角形叫做等边三角形； （3）三个角相等的三角形是等边三角形； （4）有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 5.直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的__一__半__。 6等于斜边的_平__方__。