五年级奥数专题-数的整除

五年级奥数专题-数的整除

如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。

数的整除的特征：

（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。

（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。

（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。

（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除。

（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导

例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.

思路导航：

一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能

或又 23056088=2620

238568÷88=2711

所以,本题的答案是2620或2711.

例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.

思路导航：

因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9

（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.

所以,这个数的个位上的数最小是0.

例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个

知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.

思路导航：

33...3□44 (4)

991个个

=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)

990个 990个

因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

个个

3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.

思路导航：

三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；

当和为66时,三个数是21,22,23；

当和为99时,三个数是32,33,34.

所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：

设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则

n+(n+1)+(n+2)

=3n+3

=3(n+1)

所以,)2

+n

n

+

n能被3整除.

(

+

)1

(+

二、巩固训练

1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.

2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.

3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.

4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.

1. 118

符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.

所以,所求的和是39+79=118.

2． 195

因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.

3. 9

根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.

因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.

4. 9

∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.