传热学-第二章2

边界条件：
r r1， t tw1 r r2， t tw 2
dt r c1 dr
2
c1 t c2 r
RA灰 8.62104 RA水 8.62104 39.9 、 399.1 5 5 RA钢 2.1610 RA钢 2.1610
例2 有一砖砌墙壁，厚为0.25m。已知内外壁面的温度分别为25 ℃和30℃。试计算墙壁内的温度分布和通过的热流密度。 解：从附录查得红砖的导热系数
双 t R玻内 R空 R玻外 20 (20) 0.006 0.008 0.006 0.6 0.6 0.78 0.6 0.6 0.0244 0.6 0.6 0.078
41.95 w
如果采用单层玻璃，则通过玻璃的热损失为
单
t R玻
r2
ql
2r2 h2 (t w 2 t f 2 )
h2
tf 1 tf 2 ql r2 1 1 1 ln h1 2r1 2 r1 h2 2r2 tf 1 tf 2 Rl
w
m
通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻
r2 d2 1 1 1 1 1 1 Rl ln ln 2h1r1 2 r1 2h2r2 h1d1 2 d1 h2d 2
黏土 0.8 0.00058 887 1.3145 w/(m℃) 硅藻土 0.0477 0.0002 419.5 0.1316 w/(m℃)
995 60 q 815.73 w / m 2 1 2 0.348 0.116 1 2 1.3145 0.1316 1 0.348 t 2 t1 q 995 815.73 779.04℃ 1 1.3145

x 30 20x
即可计算出沿墙壁厚度的温度 分布
温度，℃
例3 一双层玻璃窗系由两层厚为6mm 的玻璃及其间的空气隙所 组成，空气隙厚度为 8mm。假设面向室内的玻璃表面温度 与面向室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定双层 玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变， 其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为 60cm×60cm。不考虑空气间隙的自然对流。玻璃的导热系 数为0.78w/(m℃) 解：查附录可知 0℃时空气的导热系数为 0.0244w/(m℃) ，根据 多层平板导热计算公式可知，通过双层玻璃窗的热损失为
答：被测材料的导热系数为287.6 w/mK
3. 单层圆筒壁的导热
圆柱坐标系中导热微分方程
c
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) Φ r r r r z z
假设单管长度为l，圆筒壁的外半径 小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性：
x
dt c1 t c1 x c2 dx
t2 t1 c 带入边界条件： 1 c2 t1
t2 o

t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t 2 t1 dx
1/h2 t f2
三层平壁的稳态导热
例1
已知钢板、水垢及灰垢的导热系数各为 46.4w/(mK)、1.16 w/(mK) 及 0.116w/(mK)，试比较厚为1mm的钢板、水垢及灰垢的面积热阻 。
解：根据平板壁导热热阻计算公式有
则
RA
1103 RA钢 2.16103 m 2 K/w 46.4 1103 RA水 8.62103 m 2 K/w 1.16 1103 RA灰 8.6210 2 m 2 K/w 0.116
可得
tt1 测 tr
tt 2 测 tr
tt1 tt 2 测 测 tt1 tt 2 tr ， tr 测 2 2 2tr
将各数值带入上式，可得
tt1 tt 2 3.56 3.60 7.16 测 200 200 287.6 2tr 2 2.49 4.98
tw 1 tw 2 tw 1 tw 2 2 rlq ln( r2 r1 ) R 2 l
与r无关,表明通过圆 筒壁热流量是定值
w
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
4. n层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，
其导热热流量可按总温差和总热阻计 算

tw 1 tw ( n 1)
d dt (r )0 dr dr
r r1， t tw1 第一类边界条件： r r2， t tw 2
对方程(a)进行两次积分:
第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w2 c1 ln r2 c2
线性分布
t 2 t1 t q t ( A )
r
R A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2. 多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成 • 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成 t1 t2 t3 t4
20 (20) 1872 w 0.006 0.6 0.6 0.78
n
单 双

1872 44.6 41.95
答：双层玻璃窗的热损失41.95w
如果采用单层玻璃，则通过玻璃的热损失为双层玻璃
窗的44.6倍
例4 一台锅炉的炉墙由两层材料叠合组成。最里面的是耐火黏 土砖，厚为 348mm ；外面是 B 级硅藻土砖，厚 116mm ，已 知炉墙内外表面温度分别为 995℃和 60℃，试求每平方米 炉墙每小时的热损失及耐火黏土砖与硅藻土砖分界面上的 温度。 解： 由附录7查得两种耐火材料的导热系数
标准材料 标准材料
热 源 th=400℃
tt 1
tr
tt 2
冷 端 tc=300℃
被测材料的导热系数
解：由于圆柱体侧面绝热，故该问题是一维导热问题，假设被测材料的导热
系数为测，热电偶的间距为 l，上、下两部分标准材料的导热系数为 ，根
据能量守恒及傅立叶定律有
tt1 tr tt 2 q 测 l l l

i (ti ti 11) ti 1 ti q i i i
多层平壁、第三类边界条件
tf1
h1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
t2
t3
h2
tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ t f1
1/h1
t1 t2 wk.baidu.com3 t2
=0.87w/(m℃) ， 根 据 通 过
平板壁导热热流密度的计算 公式可求得
30℃ q 25℃
0.87 q t (30 25) 17.4 w/(m℃) 0.25
根据平壁导热温度分布的公式
t t1 (t1 t 2 )
31 30 29 28 27 26 25 24 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 厚度，m
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )
dt t w1 t w 2 1 dr ln( r2 r1 ) r
dt t w 1 t w 2 q dr r ln(r2 r1 )
w m2
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！
通过炉墙的热损失为
995 60 q 800.68 w / m 2 1 2 0.348 0.116 1 2 1.3061 0.1287
t1 t3
1 0.348 t 2 t1 q 995 800.68 781.67℃ 1 1.3061
t2计算值与假设不符，重新假设交界面温度为779℃

n
ri 1 ln 2i l ri i 1 tw 1 tw ( n 1)
n
1
w w m
ql
2i
i 1
1
ln
ri 1 ri
通过单位长度圆筒壁的热流量
5. 单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热
ql
r1
h1
t w1 t w 2 2r1h1 (t f 1 t w1 ) ql r2 1 ln 2 r1
6. 球壳的导热
球坐标系中导热微分方程
c
t 1 t 1 t 1 t 2 (r 2 ) 2 2 ( ) 2 ( sin ) Φ r r r r sin r sin
一维、稳态、无内热源、常物性：
d 2 dt (r )0 dr dr
t1 t3
例5 如图一种用比较法测定导热系数的装置原理。将导热
系数已知的标准材料与被测材料做成相同直径的圆柱，且 标准材料的两段圆柱分别压紧置于被测材料的两端。在三 段试样上分别布置三对测定相等间距两点温差的热电偶。 试样的四周绝热良好(图中未示出)。已知试样两端的温度 分别为 th=400℃ 、 tc=300℃ 、 tr=2.49℃ 、 tt1=3.56℃ 、 tt2=3.60℃，标准材料的导热系数为=200w/mK。试确定
t1 t2
黏土 0.8 0.00058t 硅藻土 0.0477 0.0002t
假设分界面处的温度为750℃，则可算得
q
t3
黏土 0.8 0.00058 872.5 1.3061 w/(m℃) 硅藻土 0.0477 0.0002 405 0.1287 w/(m℃)
t w2 t w1 c1 ; ln( r2 r1 )
ln r1 c2 t w1 (t w2 t w1 ) ln( r2 r1 )
将系数带入第二次积分结果
t w 2 t w1 t t w1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
圆筒壁中的温度分布呈对数曲线
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
c 时间条件：稳态导热 t 0 d 边界条件：第一类
o

x
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制方程
d 2t dx
2
0
边界条件
x 0, t t1 第一类边条： x , t t2
直接积分，得：
t t1
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面 物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板和圆柱内的导热。
直角坐标系： c
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
1. 单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认
为接合面上各处的温度相等 边界条件： x 0
t t1
n i
x

i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法：
q
t1 t n 1
ri
i 1
n

t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
q 第一层： q 第二层：
1 (t1 t2 ) t2 t1 q 1 1 1
2 (t2 t3 ) t3 t2 q 2 2 2

第i
q 层：