结构力学李廉锟第章结构弹性

第十三章 结构弹性稳定
§13-1 概述 §13-2 用静力法确定临界荷载 §13-3 具有弹性支座压杆的稳定 §13-4 用能量法确定临界荷载 §13-5 变截面压杆的稳定 §13-6 剪力对临界荷载的影响 §13-7 组合压杆的稳定
§13-1 概述
1.平衡状态的稳定性
稳定的平衡状态
平衡状态： 不稳定的平衡状态
临界荷载。
F
F
解：结构有 2 个稳定自 由度， 设失稳时 A、 B 点的侧 向位 移分别是 y1、 y2 。
A
k
EI=∞
l
B
k
EI=∞
l
y1 ky1
y2 ky2
C
对AB段 ∑MB=0，有 对整体 ∑MC=0，有
F (y 2 y 1 ) k1 ly 0 F1 y k1y 2 l k2 ly 0
即
由此可列出四个关 于常数A、B、、2的齐次 线性方程， 因A、B、、2 不全为零，故其系数行列式应为零，于是得
稳定方程为
A
B
2
y=0 1
y'1 cosnl
y= 0 y'2 n sin nl
0 sin nl
n n cosnl
1 k3l F
0
k3 k3l F F k1 k1
k3 F
k2
F k2
F k2
tannlnl k3l3
对于刚性压杆，有 EI=∞，
若取 k2=0，则由上式可求 出临界荷载为
Fcr
k1
k3l2 l
F
k3
φ
l
EI=∞
k1
k2=0
F
F
k3
EI l
EI l
k1
k2=k3=0
k1=∞， k2=0
2.刚架的稳定
刚架的稳定分析通常较复杂，但某些结构和受力均较 简单刚架稳定分析可简化为弹性支座压杆的计算。方法是 将压杆单独取出，其余部分对它的约 束作用以弹性支座代 替。
故稳定方程为 nltannl k1l EI
如取 k1=∞，k2=0，上式则为
1
0 1k3l
F
cosnl sinnl 0
0
n
k3
F
nsinnl ncosnl k3
F
0 1
0
0 1k3l F
0 cosnl sinnl 0n
0 0 k3
1
F
展开得
k3sin l nconsl1k3l0
F
F
EInl3
故稳定方程为
一端弹性固定另一端自由的 压杆，弹簧抗转刚度k1，试 写出其稳定方程。
由整体 MA 0 ，有
δ
y y 1
k1
F
B
EI
l x A
F
M
y
x
y 1
A
k1 1
Fk110
k1 1
F
\
1.弹性支座（弹性）压杆的稳定
δF
取下段隔离体分析，由MA 0有 B
F
M
EI
y
因 EIy"M于是可得挠曲线微分方程
y
l
x
E"IyF yk11
A
A
F
下端为抗转弹簧支 承，其刚度为 k (发 EI=∞ l
Fcr A
C B
φ
生单位转角所需的 力矩)，设压杆处于 随遇平衡状态时偏
O
φ
B
B
k
kφ F ~ φ曲线
离竖直位，有倾角φ ，
由平衡条件 MA 0 有 Fslink0
分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。
(1) 按小变形分析
由于位移和变形都很小，近似地取 sin，则平衡方程
yC
l
x yB
F A Fs
l-x Cy
M
得 M F y F s(lx)0
2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载
由材料力学知，挠曲线与截面 弯矩的关系是
F
A
Fs
EIy"M
yC
l
于是
y
E"IF y yF s(lx)
B
x
F A Fs
l-x Cy
M
或
y"F yFs (lx)
EI EI
令 n2 F EI
则有
欲使φ ≠0 时，则必须有
Fl - k = 0
F
A
EI=∞ l
B
k
F Fcr A
O
C B
φ
上式称为稳定方程或特征方程，反应了失稳时平衡形式的
二重性，即结构在新形式下也能维持平衡的条件。由此方
程可求出临界荷载
k F cr l
失稳后的位移值 φ 无法确定，荷载—位移曲线如AB。
F
A
(2) 按大变形分析 由平衡方程可得
F
δF
y
y 1
k1
B
EI
l x A
将挠曲线方程代入边界条件，得
A
k1 F
1
0
Bn10
右式为关于 A，B，1 的齐次线性方程 组，当 A= B= 1 =0 时，对应原有的平 衡形式；当A，B， 1 不全为零时，对 应新的弯曲平衡形式，由线性代数知， 此时上述方程的系数行列式为零，即得 稳定方程为
1
0
y"n2yn2 Fs (lx) F
此方程为非齐次线性常系数微分方程，其解为相应齐次微分 方程的解加该微分方程的任意一个特解，即
yAco ns xBsinn xF s(lx) F
式中A、B为积分常数，Fs / F也是未知数，用挠曲线的边界 条件来确定这些未知数。边界条件为
当 x=0 时，y=0， y′=0 当 x=l 时，y=0
于是，刚架中AB杆的稳定分析就简化为图（b）的弹性支座压 杆的稳定。
弹簧刚度的计算
抗移弹簧刚度k3
1
k3
_
_
D
Z1=1
B
EI1
Z1=1
k1
F
0
n 1 0
cos nl sin nl 0
展开行列式，得 k1nconslsinl0
F
A
k1 F
1
0
Bn10
A cn o B ls sn i n 0 l
δF
y
y 1
k1
B
EI
l x A
因 Fn2EI，故稳定方程可写为
nltannl k1l EI
例：等直压杆，上下端各有一抗转弹簧，刚度分别为 k2 、 k1 ，上端还有一抗移弹簧，刚度为k3 ，试写出其稳定方程。
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0
上式即为该结构的稳定方程，展开整理得 tanlnl
该方程为超越方程，可用试算法结合图解法求解，其解为
nl4.493
于是，临界荷载为 Fcrn2E I4.4 l 923 E I2l.2 0 19 EI
§13-3 具有弹性支座压杆的稳定
1.弹性支座（弹性）压杆的稳定
2.刚架的稳定 F
图（a）所示刚架，AB为
D A
EA
压杆，将其单独取出分析
EI
l
临界荷载。该杆两端的约束情况是
B
C
1
EI1
l1
(a)
F
A k3
EI l
B
1
k1
(b )
A端：为铰结点，可自由转动，但侧移受链杆AD的弹性约束， 其效果相当于一个抗移弹簧，设刚度为k3。
B端：不能侧移但可转动，而转动不是完全自由的，要受BC 杆的弹性约束，其效果相当于一个抗转弹簧，设刚度为k1。
F1 325kl2.61k8l
F
A
k
F2
3 2
5kl0.38k2l
EI=∞
l
B
k
理论上，F1、F2都是临界荷载， EI=∞
l
但两者对应的失稳形式不同，
C
F=2.618kl F=0.382kl
y1=1
y1=1
y2=0.618
y2=-1.618
F1=2.618kl 时，失稳形式是
F2=0.382kl 时，失稳形式是 因 F2 <F1，所以临界荷载为 而真正的失稳形式是
用一微小的干扰力使杆弯
Fcr A
曲，取消干扰力后，杆会恢
δ
复直线，此时，压杆的直线 平衡是稳定的。
O
δ
F ~δ曲线
当 F=Fcr 时，同样在杆的横
向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不
会恢复直线而仍保持弯曲平衡，于是出现了平衡形式的分
支，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡，也
可以具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式。
随遇平衡状态
2.结构失稳 结构失稳：结构离开稳定的平稳状态，转入不稳 定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结 构屈曲。 结构稳定分析的目的：防止不稳定的平衡状态或 随遇平衡状态发生。 结构失稳的类型： 第一类失稳 第二类失稳
3.第一类失稳(分支点失稳)
理想中心受压直杆
F
Fcr
F
当 F<Fcr 时，在杆的横向作
或
y" F yk11
EI EI
x
y 1
A
k1
y 1
A
k1 1
MF yk11
， 令 n 2 F
上式可写为
EI
y"n2yn2 k11
F
微分方程的通解（挠曲线方程）
yAcons xBsin n xk11
F
式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为
当 x=0 时，y=0， y′= 1 当 x=l 时，y k11