结构力学李廉锟第章结构弹性

解：由整体平衡MA，0得

k2 φ2 φ2

F
k2 k3
B k3

k1 1k3 lk2 2F

y EI
l x

y φ1

A

k1 k1 φ1

F
k2 2
2

δ-y k3
l-x

FS M FN =F

1 k11(Fk3l)kk122



取上段隔离体分析，得

k2 φ2

F
k2 k3

M k 22 F ( y ) k 3( l x ) φ 2

B k3

而EIy"M ，所以

y EI
l x

E " F I F y y k 3 l x k 22

y φ1

A k1

令 n 2 F ，则有

k1 φ1

EI

y"n2yn2 1k F 3lx n2k F 22

F
k2 2
2

δ-y k3
l-x

FS M FN =F

方程的通解（挠曲 线方程）为
yA co n sx B sinn x 1k F 3lx k F 22

于是，刚架中AB杆的稳定分析就简化为图（b）的弹性支座压 杆的稳定。

弹簧刚度的计算

抗移弹簧刚度k3

1
k3

_

_

D

Z1=1

B

EI1

Z1=1
F

δF

y
y 1
k1

B
EI
l x A

将挠曲线方程代入边界条件，得

A

k1 F

1



0

Bn10

右式为关于 A，B，1 的齐次线性方程 组，当 A= B= 1 =0 时，对应原有的平 衡形式；当A，B， 1 不全为零时，对 应新的弯曲平衡形式，由线性代数知， 此时上述方程的系数行列式为零，即得 稳定方程为

1

0

((2kkllFF))yy11Fkly2y200

y1 、y2 不能全为零，其非零解的条件是：上述方程的系数 行列式为零，即

(klF) F 0
(2klF) kl
展开得 F23kl F(k)l20

F

A

k

EI=∞

l

B

k

EI=∞

l

F
y1 ky1
y2 ky2

解为 F1 325kl2.61k8l

C

F2

3 2

5kl0.38k2l

0

k1

1

实际上该结构是弹性支座等直压杆的一般情况，上式就是等 直压杆稳定方程的一般形式。

如取 k2=k3=0，上式则为

1

0 10

consl sinnl 0 0 1 0 1

0

n

F k1

0consl 0

sinnl n

0 0 F

nsinnl nconsl 0 1

k1

展开得 Fsinnlnconsl0 k1
第十三章 结构弹性稳定
§13-1 概述 §13-2 用静力法确定临界荷载 §13-3 具有弹性支座压杆的稳定 §13-4 用能量法确定临界荷载 §13-5 变截面压杆的稳定 §13-6 剪力对临界荷载的影响 §13-7 组合压杆的稳定

§13-1 概述
1.平衡状态的稳定性
稳定的平衡状态
平衡状态： 不稳定的平衡状态

一端弹性固定另一端自由的 压杆，弹簧抗转刚度k1，试 写出其稳定方程。
由整体 MA 0 ，有

δ
y y 1
k1

F
B
EI
l x A

F
M
y

x

y 1

A

k1 1

Fk110



k1 1
F

\
1.弹性支座（弹性）压杆的稳定

δF
取下段隔离体分析，由MA 0有 B

F
M

EI

y

因 EIy"M于是可得挠曲线微分方程

y

l

x

E"IyF yk11

或

y" F yk11
EI EI

x

y 1

A

k1

y 1

A

k1 1

MF yk11

， 令 n 2 F

上式可写为

EI

y"n2yn2 k11
F

微分方程的通解（挠曲线方程）

yAcons xBsin n xk11
F

式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为
当 x=0 时，y=0， y′= 1 当 x=l 时，y k11
F k l sin

φ
B
kφ

F Fcr A
O

C B
φ

即每一个 φ 值对应一个F 值，荷载—位移曲线如AC。而
临界荷载为

当φ →0 时，F cr



k l

与按小变形分析所得结果相同。

因此若只要求临界荷载而不需计算失稳后的位移，可按小 变形理论分析。

例13-1 图式结构中两抗移弹簧的刚度均为k ，求结构的

由此可列出四个关 于常数A、B、、2的齐次 线性方程， 因A、B、、2 不全为零，故其系数行列式应为零，于是得
稳定方程为

A

B



2

y=0 1
y'1 cosnl
y= 0 y'2 n sin nl

0 sin nl
n n cosnl

1 k3l F
0
k3 k3l F F k1 k1
k3 F

k2

F k2

F k2
可写为

F

F

(Flk)0

A

F

A

EI=∞ l

Fcr A

C B

φ

O

φ

B

B

关于方程的解：

k

kφ F ~ φ曲线

a . φ = 0 时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式。

b . φ ≠0 时，有 F lk0，上式也成立，此时对应的是新的

平衡形式。
因此，欲使φ ≠0 时，则必须有 Fl - k = 0

(Flk)0

tannlnl k3l3

对于刚性压杆，有 EI=∞，
若取 k2=0，则由上式可求 出临界荷载为

Fcr



k1

k3l2 l

F

k3

φ

l
EI=∞

k1
k2=0

F

F

k3

EI l

EI l

k1
k2=k3=0

k1=∞， k2=0

2.刚架的稳定
刚架的稳定分析通常较复杂，但某些结构和受力均较 简单刚架稳定分析可简化为弹性支座压杆的计算。方法是 将压杆单独取出，其余部分对它的约 束作用以弹性支座代 替。

yC

l

x yB

F A Fs
l-x Cy
M

得 M F y F s(lx)0

2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载

由材料力学知，挠曲线与截面 弯矩的关系是

F

A

Fs

EIy"M

yC

l

于是

y

E"IF y yF s(lx)

B

x

F A Fs
l-x Cy
M

或

y"F yFs (lx)

EI EI

令 n2 F EI

则有

2.刚架的稳定 F

图（a）所示刚架，AB为

D A
EA

压杆，将其单独取出分析

EI

l

临界荷载。该杆两端的约束情况是

B

C

1

EI1

l1

(a)

F
A k3
EI l

B

1

k1

(b )

A端：为铰结点，可自由转动，但侧移受链杆AD的弹性约束， 其效果相当于一个抗移弹簧，设刚度为k3。

B端：不能侧移但可转动，而转动不是完全自由的，要受BC 杆的弹性约束，其效果相当于一个抗转弹簧，设刚度为k1。

yA co n sx B sinn x 1k F 3lx k F 2 2

k2 φ2 φ2


F
k2 k3 B k3
y EI
l

式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为

当 当

xx==0l 时时，，yy==0，，yy′'=-1 2 k11(Fk3l)kk1 22

y φ1 k1 φ1

x
A
k1

用一微小的干扰力使杆弯

Fcr A

曲，取消干扰力后，杆会恢

δ

复直线，此时，压杆的直线 平衡是稳定的。

O

δ

F ~δ曲线

当 F=Fcr 时，同样在杆的横

向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不

会恢复直线而仍保持弯曲平衡，于是出现了平衡形式的分

支，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡，也

可以具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式。

F1 325kl2.61k8l

F
A

k

F2

3 2

5kl0.38k2l

EI=∞

l

B

k

理论上，F1、F2都是临界荷载， EI=∞

l

但两者对应的失稳形式不同，

C

F=2.618kl F=0.382kl

y1=1

y1=1

y2=0.618

y2=-1.618

F1=2.618kl 时，失稳形式是
F2=0.382kl 时，失稳形式是 因 F2 <F1，所以临界荷载为 而真正的失稳形式是

A

A

F

下端为抗转弹簧支 承，其刚度为 k (发 EI=∞ l

Fcr A

C B

φ

生单位转角所需的 力矩)，设压杆处于 随遇平衡状态时偏

O

φ

B

B

k

kφ F ~ φ曲线

离竖直位，有倾角φ ，

由平衡条件 MA 0 有 Fslink0

分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。

(1) 按小变形分析

由于位移和变形都很小，近似地取 sin，则平衡方程
欲使φ ≠0 时，则必须有
Fl - k = 0

F
A
EI=∞ l
B
k

F Fcr A
O

C B
φ

上式称为稳定方程或特征方程，反应了失稳时平衡形式的
二重性，即结构在新形式下也能维持平衡的条件。由此方
程可求出临界荷载
k F cr l
失稳后的位移值 φ 无法确定，荷载—位移曲线如AB。

F
A

(2) 按大变形分析 由平衡方程可得

y"n2yn2 Fs (lx) F

此方程为非齐次线性常系数微分方程，其解为相应齐次微分 方程的解加该微分方程的任意一个特解，即

yAco ns xBsinn xF s(lx) F
式中A、B为积分常数，Fs / F也是未知数，用挠曲线的边界 条件来确定这些未知数。边界条件为
当 x=0 时，y=0， y′=0 当 x=l 时，y=0

Fe

F

Fcr — 临界荷载 特征：平衡形式不发生分支 δ 现象，即没有新的平衡形式 发生。

Fcr

A

O

δ

F ~δ曲线

第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的 第一类失稳。

5.结构稳定的自由度

结构稳定自由度：确定结构失稳时所有可能的变形 形式所需的独立参数的数目。

F F

F

F

y1

y1来自百度文库

EI=∞

EI =∞

Fcr — 临界荷载，此时的状态称为临界状态。 特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。

4.第二类失稳(极值点失稳)

压杆始终处于受压和弯曲的复合受力状态，随着荷载 F 的

增加，杆件的挠度会逐渐增大。当荷载 F 达到临界值 Fcr 时，即使不增加荷载甚至减小

荷载，挠度仍会继续增加。压

杆始终是处于弯曲平衡形式。

φ EI=∞

y2
EI=∞

y y2
EI =∞

1个自由度

2个自由度

2个自由度

与支承弹簧的 数量无关

无限多个 自由度

§13-2 用静力法确定临界荷载

静力法：根据分支点状态（临界状态）时结构新出现的平 衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。

1. 刚性压杆（有限自由度）的临界荷载

图示单自由度结构，

F

F

竖杆为无限刚性，

1

0l

0

n 1 0

cosnl sin nl 0

上式即为该结构的稳定方程，展开整理得 tanlnl
该方程为超越方程，可用试算法结合图解法求解，其解为
nl4.493
于是，临界荷载为 Fcrn2E I4.4 l 923 E I2l.2 0 19 EI

§13-3 具有弹性支座压杆的稳定

1.弹性支座（弹性）压杆的稳定

临界荷载。

F

F

解：结构有 2 个稳定自 由度， 设失稳时 A、 B 点的侧 向位 移分别是 y1、 y2 。

A

k

EI=∞

l

B

k

EI=∞

l

y1 ky1
y2 ky2

C

对AB段 ∑MB=0，有 对整体 ∑MC=0，有

F (y 2 y 1 ) k1 ly 0 F1 y k1y 2 l k2 ly 0

即
代入挠曲A线方Fs程l ，0得到关于A、B、Fs / F的齐次线性方程组 F
Bn Fs 0 F
A cn o B ls sn i n 0 l
关于方程的解 （1）A=B=Fs /F=0，显然是方程的一组解，此时挠曲线y=0， 故这组解对应的是原有的直线平衡形式。

（2）A、B、Fs /F 不全为零（非零解），才可得到弯曲的挠 曲线方程 y=y(x)，因此非零解对应的是失稳后的弯曲平衡形 式。由线性代数知，齐次线性方程组为非零解的条件是：系 数行列式为零。 故A、 B、Fs /F 是非零解，则必有
故稳定方程为 nltannl k1l EI

如取 k1=∞，k2=0，上式则为

1

0 1k3l

F

cosnl sinnl 0

0

n

k3

F

nsinnl ncosnl k3

F

0 1
0

0 1k3l F

0 cosnl sinnl 0n

0 0 k3

1

F

展开得

k3sin l nconsl1k3l0

F

F

EInl3

故稳定方程为
随遇平衡状态
2.结构失稳 结构失稳：结构离开稳定的平稳状态，转入不稳 定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结 构屈曲。 结构稳定分析的目的：防止不稳定的平衡状态或 随遇平衡状态发生。 结构失稳的类型： 第一类失稳 第二类失稳

3.第一类失稳(分支点失稳)

理想中心受压直杆

F

Fcr

F

当 F<Fcr 时，在杆的横向作

k1

F

0

n 1 0

cos nl sin nl 0

展开行列式，得 k1nconslsinl0
F

A

k1 F

1



0

Bn10

A cn o B ls sn i n 0 l

δF

y
y 1
k1

B
EI
l x A

因 Fn2EI，故稳定方程可写为

nltannl k1l EI

例：等直压杆，上下端各有一抗转弹簧，刚度分别为 k2 、 k1 ，上端还有一抗移弹簧，刚度为k3 ，试写出其稳定方程。

y2 F1 kl0.618

y1

F1

y2 F2 kl1.618

y1

F2

FcrF20.38k2l

y2 1.618 y1

2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载

图示一段固定另一端铰支的等 截面弹性压杆。设失稳时杆件 的挠曲线为 y=y(x)，C为任一 截面，其弯矩为M，取AC段 分析，
由
Mc 0

F

A

Fs