第14讲 狄拉克符号—离散谱

3、写出联系(lˆ2 ,lˆz ) 表象和(lˆ2,lˆy ) 表象的幺正变换矩阵
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二、例题(2)
1、(lˆ2 , lˆz )表象中，lˆx ,lˆy ,lˆz 和 lˆ2 的表示 lˆx ,lˆy ,lˆz 和 lˆ2 在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中能够用一个 33的矩阵 表示，设为 X ,Y, Z, L ，已求得：
表示为：
L11 L (a1*, a2* ) L21
L12 L22
. a1 . a2
, L
a La
. . .
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一、对表象及其变换的回顾(5)
4、表象变换
在 F 表象中 ak k ；在 F 表象中 ak k
k
k
即列向量 a (ak )T 和 a (ak )T 分别是 在 F 和 F
函数为： a1Y11 a3Y11 a1(Y11 Y11)，由归一化条件有：
1 d* | a1 |2 d (|Y11 |2 | Y11 |2 Y1*1Y11 Y1*1Y11) 2 a1 2
取 a1 为实数，有：a1 1/ 2
所以对 2 0, a1Y11 a3Y11 1 2 (Y11 Y11) 10
m 1,0,1 ，得到一组正交归一完备基矢，( k ), k 1,2,3
其中： 1
Y11
s in ei
,
2
Y10
cos ,
3
Y11
* 1
√ 求：1、(lˆ2 ,lˆz ) 表象中，lˆx ,lˆy ,lˆz 和 lˆ2 的表示；
2、(lˆ2 ,lˆz ) 表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 ；
例如：在 (lˆ2 , lˆz ) 表象中，基矢为 k Ylm ( ,) ， 当 l 1时，m 1,0,1，则 1 Y11, 2 Y10 , 3 Y11 ，这 样，( k ), k 1,2,3 就构成一组正交完备的基矢。
3
设 为一量子态，则可以用 k 将 展开。 ak k k 1
0 1 0 X 1 0 1
2 0 1 0
0 i 0 Y i 0 i
2 0 i 0
Z 10
0 0
0 0
0 0 1
1 0 0
L
2
2
0
1
0
0 0 1
10
二、例题(3)
2、(lˆ2 ,lˆz )表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 (1)
将 (lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 用 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中的基矢 展开，即： a11 a2 2 a3 3 a1Y11 a2Y10 a3Y11 其 中列向量 a (a1, a2 , a3 )T 就是 在 (lˆ2 , lˆz ) 表象中的表示，
则列向量 a (ak )T , k 1,2,3 称为态 在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象
中的表示。可以通过求解本征方程得到。
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一、对表象及其变换的回顾(3)
2、算符的矩阵表示
在 F 表象中，算符 Lˆ 可以表示成矩阵形式，记为
L (Ljk ) ，其中 Ljk ( j , Lˆ k ) ，为 Lˆ 在 F 表象中的
表象中的表示，则
a1 S11 S12 . a1
a Sa a2 S21 S22 . a2 , Sk ( , k )
.
.
.
即表象 F 和 F 可以通过幺正矩阵 S 进行表象变换。
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一、对表象及其变换的回顾(6)
5、本征方程
Lˆ La
a
L11 L21
L12 L22
. a1 a1
同理可得：
1
1,
1 2
Y11
i 2
Y10
1 2
Y11
11
3
1,
1 2
Y11
i 2
Y10
1 2
Y11
11
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二、例题(6)
满足本征方程： Ya ，其a 中 为Y 在lˆy (lˆ2表,lˆ象z ) 中的
矩阵表示。
0 i
2 0
i 0 i
0 i
a1 a2
a1 a2
0 a3
a3
i 2 0
i 2
i 2
0
i 2
a1 a2 a3
11
0
二、例题(4)
2、(lˆ2 ,lˆz )表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 (2)
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第十四讲 狄拉克符号－离散谱
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目录 一、对表象及其变换的回顾 二、例题 三、狄拉克符号的定义与内积 四、量子力学的态矢表示
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一、对表象及其变换的回顾(1)
1、表象及态在表象中的表示(1)
设 F 代表一组力学量完全集，即 F (Aˆ1, Aˆ2,Aˆn ) k 是 F 的共同本征函数，k 一般代表一组量子数。
i
久期方程写为
2 0
2 0
0
i
2
2
0
i 2
i 2 i
2 0
i 2
0
1 1
i 0 2
2 0
3 1
0
i 2 0
a1 a2
a3
0
a2
0, a1
a3
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二、例题(5)
2、(lˆ2 ,lˆz )表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 (3)
对 2 0，在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征
表示。例如：
0 X 1
1 0
0 1 ,
Z
1 0
0 0
百度文库
0 0 ,
2 0 1 0
0 0 1
分别是 lˆx 和 lˆz 在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中的矩阵表示。
5
一、对表象及其变换的回顾(4)
3、力学量的平均值
设 k 是 F 表象中的基矢，量子态 和力学量算符 Lˆ 的矩阵表示分别为 a (ak )T , ak ( k ,) 和 L (L jk ) Ljk ( j , Lˆ k ) ，则该力学量在量子态 中的平均值 L
. a2 a2
. . .
L11
L21 .
L12
L22
.
. .
a1 a2
0
有非零解的条件为：
.
L11
L21 .
L12
L22
.
. . 0久期方程，可解出本征值
.
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二、例题(1)
Ylm ( , ) 是 (lˆ2 ,lˆz ) 的共同本征函数。当 l 1 时，
设 是体系的一个量子态，根据态叠加原理，有：
ak k (1) 称(1)式为态 在 F 表象中的展开式。
k
其中：ak ( k ,)
d k*
d
* k
ak k (2)
k
则列向量 a (ak )T 称为态 在 F 表象中的表示。
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一、对表象及其变换的回顾(2)
1、表象及态在表象中的表示(2)