第14讲 狄拉克符号—离散谱
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
狄拉克符号——精选推荐
狄拉克符号狄拉克符号（也叫“bra-ket 符号”）与希尔伯特空间一起，构成了量子力学形式体系，是非常重要的基本概念。
[1]目录1基本介绍2矩阵表示3性质1基本介绍狄拉克（Dirac）符号（也叫“bra-ket 符号”）于1939年被狄拉克提出，他将“括号（bracket）”这个单词一分为二，分别代表这个符号的左右两部分，左边是“bra”，即为左矢；右边是“ket”，即为右矢。
[1]把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。
用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方。
|β><α|是外积。
注意的是：几种表示的意义：|α> 右矢，<α| 左矢，A表示算符，A|α>表示一个右矢，<α|A表示一个左矢，而且，A总是从左方作用于右矢，从右方作用于左矢的。
<α|A|β>是一个复数，可以看成（<α|A|）|β>即一个左矢与一个右矢的内积；或者<α|（A|β>），即一个右矢与一个左矢的内积。
狄拉克符号在量子力学理论表述中有两个优点：1.可以毋需采用具体表象（即可以脱离某一具体的表象）来讨论问题。
2.运算简捷，特别是对于表象变换2矩阵表示右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：[1]不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：<ψ|φ>，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：（δij为克罗内克函数）相同的态矢量内积为：3性质因为每个右矢是一复数希尔伯特空间中的一个矢量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：[2-3]（1）给定任何左矢<Φ|、右矢|Ψ1>以及|Ψ2>复数c1及c2，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义有：（2）给定任何右矢|Ψ>、左矢<Φ1|以及<Φ2|，还有复数c1及c2，则既然右矢是线性泛函：（3）给定任何右矢|Ψ1>以及|Ψ2>，还有复数c1及c2，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），则有：和对偶。
狄拉克符号
= b*j j k k b*j jk ak
jk
jk
= bk*ak
k
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示
算符 Fµ作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
Fµ
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 Fµ用狄拉克符号表示，由
bk k k Fµ k Fµ j j Fkja j （4.5.17）
B A anbn*
n
（4.5.1）
显然，标积满足： B A * A B
（4.5.2）
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符Fµ对应于本征值 i和 j的
本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条
ak k
k
展开系数 ak 为 ak k
代入（4.5.7）式得： k k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）
定义算符 Pk 为 Pk k k
（4.5.10）
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即
Fµ
薛定谔方程
一般表示
(x)
Fµ(x, ih ) (x) (x)
x
狄拉克符号表示
x
Fµ x Fµ x
ih (x) Hµ (x)
t
ih
Hµ
t
ih x x Hµ
高二物理竞赛课件：量子力学之狄拉克Dirac 符号
坐标表象
B
A
B
x,
t
A
x,
t
dx
A x,t 是右矢 A 在坐
标表象下的分量，其 实就是状态A在坐标表 象下的函数
B
x,
t
是左矢
B 在坐
标表象下的分量，其
实就是状态B在坐标
表象下的波函数的复
共轭。
关于这些等式的证明 可以使用第二和第三 章的知识，不再详述
动量表象
CB px ,t CA px ,t dpx
CA px,t是右矢 A 在动
量表象下的分量，其 实就是状态A在动量表 象下的波函数
CB px,t是左矢 B 在动
量表象下的分量，其
实就是状态B在动量
表象下的波函数的复 共轭。
a1
t
a2 t
b1 t ,b2 t ,
,bn t ,
,bq t
an
t
其他任意某个Q表象下
aq
对比上面的标积式，我们可以用如下形式表示
1 这个形式抽象的表示了状态的归一化，不再涉及到具体某个表象
下面我们看某些特殊状态的狄拉克符号形式
设某状态是力学量算符 Fˆ 的本征态，所属的本征值是Fi（我们只 考虑非简并的情况，对应同一个本征值，只有一个状态）则这个
状态可以分别用左矢和右矢写为
Fi
Fi
,bq t
an
t
b1 t,b2 t, ,bn t, ,bq t是左矢 B
在Q表象下的各个分量
aq
t
a1b1 a2b2 anbn aqbqdq abn aqbqdq n
显然 B A A B
A B a1 t , a2 t ,
, an t ,
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号这篇文章并不是关于费恩曼讲义书中任何一章的笔记，只是单独的一篇讲狄拉克符号含义和用法的文章。
我在看书的过程中对狄拉克这个简洁又多功能的符号产生过很多疑惑，今天就尝试将这些疑惑和自己找到的答案写出来，希望对其他同学有些许帮助。
如果大家有发现错误也希望可以进行批评指正。
狄拉克符号在量子力学中是一个很神奇的符号，它的外观非常的简洁、洋气，在量子力学中的作用就像路标对开车的作用一样重要，所以受到大量学习量子力学的人的喜爱。
其含义非常简单，最基本的狄拉克符号如下所示<状态2|状态1>狄拉克符号是从右往左看的，<状态2|状态1>表示的是从状态1到状态2的概率幅（关于概率幅的含义可以看我之前的推送量子力学笔记——电子在晶格中的传播）。
状态(state)在量子力学可以用来表示很多信息，比如一个粒子它处于某一位置可以称为处于某一状态，相应的它的特定的动量、角动量等信息都可以描述为状态（因为更多人直接称之为“态”，所以下文会直接简写为态）。
值得注意的是，态是矢量，具有方向性，<态2|为左矢量，|态1>为右矢量。
狄拉克符号还可以有各种“拆卸组装转换”的方法：1、狄拉克符号可以拆分成局部，比如：<态2|，或者|态1>拆分好处一来可以减少字数，二来空缺的那一部分要补充时可以填入任何态，增加使用的灵活性。
2、狄拉克符号还可以连着使用，比如：<态3|态2><态2|态1>表示为态1到态2，然后从态2再到态3的概率幅。
3、狄拉克符号转换前后位置时需要取复数共轭：<态2|态1> = <态1|态2>*（变换的原理会在下文讲到）4、狄拉克符号还可以量化两个状态跳转的过程：<态2|Q|态1>Q的含义为一个算符(operator)，意思是态1经过算符变换到态2，这个算符可以是施加外力、旋转、使粒子穿过一个特殊设备、甚至静置一段时间，等等……对比一下同样表示概率幅的波函数，狄拉克符号没有像指数、复数这些复杂的东西，而且可以任意“拆分组装”，所以显得非常友好。
狄拉克δ函数
狄拉克δ函数狄拉克δ函数是一种常见的数学函数，它在某些类似曲面的平面上表示为抛物线。
伴随着计算机科学的发展，它也被广泛应用于计算机程序中。
因此，本文将深入介绍狄拉克δ函数的定义、表达式、特性及应用，以加深对其的理解。
一、定义狄拉克δ函数，简称δ函数，是由德国数学家狄拉克（G.Dirac）提出的一种函数，即常熟δ函数。
它是一种特殊的数学函数，以正无穷大或负无穷大作为参数。
它的定义表达式如下：δ(x)=0 (当x≠0时)1 (当x=0时)它表明，当x=0时δ(x)=1，当x≠0时δ(x)=0。
二、特性1.δ函数具有零穷尽性，即在非零处均为零；2.它具有离散性：存在非零处和零处，而两者之间没有连续变化；3.它具有累积性：它是累积函数的离散版本，其累加计算结果始终为1；4.它具有线性性：它是线性函数的离散版本，对于任意n，δ(nx)=nδ(x)；5.它具有统计性：当它出现在概率分布函数中时，则在该点处其值为1，表示发生概率为1；6.它具有傅里叶变换性：δ函数具有傅里叶变换的性质，即可以由其傅里叶变换结果推出其本身的表达式。
三、应用1.在计算机网络中，δ函数是用来指导用户行为的基本程序，常用于线路提前通知，路由转发及报文传输等；2.在放射学中，δ函数用于计算吸收率；3.在流体力学中，δ函数用于模拟流体流动；4.在统计学中，δ函数可以用来表示均值函数：δ(x)=1/N∑i=1Nxi，其中N表示样本数目，xi表示第i个样本。
5.在量子力学中，δ函数用于描述交换势能，可以用来计算原子多位置的结构；6.在信号处理中，δ函数用于表示信号的定时信号；7.在几何学中，δ函数用于表示曲线的局部曲率。
四、结论以上就是狄拉克δ函数的定义、表达式、特性及应用情况的介绍，它被广泛应用于各个学科的研究中，这是因为它的特殊性：它是一种特殊的数学函数，具有零穷尽性、离散性、累积性、线性性及统计性，因此它是一种非常重要的数学工具，广泛应用于计算机程序、放射学、流体力学、统计学、量子力学、信号处理和几何学等领域，发挥着不可替代的作用。
量子力学教程第十四讲
2.薛定谔方程
ih Hˆ ih Hˆ
t
t
3.平均值公式
F * Fˆ dx * dx
F | Fˆ | |
若归一化，<|>=1
5.
4.正交归一方程
un*umdx mn n | m nm －离散谱
uq*uq'dx (q q ') q | q ' (q q ')－连续谱
（2） Q为 continuous spectrum
Fˆ 算符在Q表象中矩阵元狄拉克表示 Fqq/ q Fˆ q/
Ｆˆ 在Ｑ表象中的矩阵元积分形式 Ｆqq/ uq*Fˆuq/ dx
七、常见量子力学公式的狄拉克表示 1.算符的本征方程
Fˆ Fˆ
x表象中 x | Fˆ | x |
q q' ( q q') u*qu'qdx ( q q')
连续谱本征函数正交归一化方程
例 坐标算符与动量算符的本征函数的内积 动量算符： pv pv' ( pv pv')
坐标算符： x x' ( x x')
四、态矢在Q表象中投影 （1）Discrete Spectrum
▲ 能量算符的本征态 En或 （n 为 En本征值Hˆ ） ▲ 角动量平方算符 Lˆ2和分量算符 L的ˆz共同本征态 l，, m
l(l 1)h和2 m为 和Lˆ2 本征Lˆz值。
三、态矢的内积（标积）
1．一般态矢的内积
A B a*nbn Ａ＋B a*nbn
n
n
A
( a1* ,a*2 L
aq q dq
aq q |
q dq q |
所以：连续谱基矢量封闭性方程为：
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
量子力学课件：4.5 狄拉克符号
具体的态矢量： A , , En
③ 左矢与右矢的关系
是A 的A共轭矢量，即它们在同一表象中的 相应分量互为共轭复数
是 的共轭矢量
En 是 En的共轭矢量
2．左矢与右矢的标积
①定义： B A a1b1 a2b2 anbn anbn
n
②复共轭形式： B A A B
③ 正交归一化条件： 设力学量完全集 的F^本征值为Fn ，相应的本征
（1）F^算符
设 B Fˆ A 取 Q 表象：
①设Q具有分立本征谱,则基矢 Qn 或 n
B n n B bn n
n
n
A n n A an n
n
n
n n B Fˆ n n A
n
n
以 m左乘上式 ，再利用 m n mn
m n n B m Fˆ n n A
n
n
m B m Fˆ n n A
a2
0
an
（3）平均值公式
在态下，力学量 的F^ 平均值：
取Q表象：设基矢为 n
F Fˆ
a1*, a2*,
m
mn
F11 F12
F21
F22
m Fˆ n n
a1
a2
am* Fmnan
mn
如：x表象： F x dx x Fˆ x dx x
t
mnan
n
n
m Hˆ n an
i
t
am
n
n
H mn an
a1 H11 H12
i
a2
H 21
H 22
t
an
H
m1
Hm2
a1
a2
H mn
an
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
最全费米-狄拉克分布函数概念、解析、图像和应用完整版.doc
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为：f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】 第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
01/21E第三，费米能级E f在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。
对于本征半导体，E f处于禁带E g的中央，在绝对零度时，在导带E c中E＞E f，f(E)=0；在价带E v中E＜E f，f(E)= =1，表明电子全部处于价带E v之中，因而此时半导体是完全不导电的。
第四，在T=0K处于绝对零度的前提下，若E＜E f，exp→0,则f(E)=1；当T=0K时，若E＞E f，则f(E)=0。
可见，在绝对零度时，能量比E f小的能级被电子占据的几率是100%，而能量比E f大的能级被电子占据的几率为零。
即所有低于E f的能级都被占满，而所有高于E f的能级都空着。
因而费米能级E f是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
狄拉克方程PPT精品文档
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18
其中 a(a1,a2,a3)β是待定系数。不过它们不是一般的系
数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
.
4
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
.
5
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
.
1
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
.
2
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
.
3
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
中就应该包含动量算符Pˆ 。
.
16
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是
用狄拉克符号阐述表象理论和表象变换
用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为狄拉克符号。
狄拉克符号能够简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
本文用狄拉克符号全面阐述量子力学的表象理论，以及量子态、内积、算符、薛定谔方程等的变换，使读者对表象理论及表象变换有一个全面的认识。
一、Dirac 符号量子力学的理论描述常采用Dirac 符号。
它具有两个优点，即不依赖于具体表象和运算简捷。
由量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert 空间。
在这个空间中，态用右矢>|表示，一般写为>ψ|，定义在复数域上。
也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如>>>n E p x |'|'|、、分别表示坐标、动量和动能算符的本征态，而>lm |则表示角动量算符)ˆ,ˆ(2z L L 的共同本征态。
左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。
如|'|x <<、ψ等则是上述右矢的共轭态矢。
二、内积定义两个态矢ψ和ϕ标积的形式为><ψϕ|，又称内积。
且满足下列关系>=<><ϕψψϕ||*若满足0|>=<ψϕ，则称>ψ|与>ϕ|正交；若满足1|>=<ψψ，则称>ψ|与>ϕ|是归一的。
若力学量完全集F 的本征态（分立）记为>k |，则其正交归一性可写为kjj k δ>=<|对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为)'''(''|'x x x x ->=<δ；而动量算符的本征态的正交归一性可写为)'''(''|'p p p p ->=<δ。
量子力学之狄拉克符系统与表象
Dirac 符号系统与表象一、Dirac 符号1. 引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。
2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。
例如：=n na n ψ∑（2）. 左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。
右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
<p ’ |, <x’ |, <Q n | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。
（3）. 伴矢量<ψ | 和 |ψ>的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：12n a a a ψ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M<ψ| 按 Q 的左基矢 <Q n | 展开：<ψ| = a*1 <Q 1 | + a*2 <Q 2 | + ... + a*n <Q n | + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开：<φ| = b*1 <Q 1 | + b*2 <Q 2 | +... + b*n <Q n | + ...定义|ψ>和 <φ|的标积为：*n n nb a ϕψ=∑。
离散狄拉克函数
离散狄拉克函数
离散狄拉克函数（Discrete Dirac Delta Function）是一种离散
函数，它只在特定的输入上取值为1，其余输入取值都为0。
它通常由
δ[n]表示，其中n为输入参数，例如δ[2]就表示n=2时取值为1，n
不等于2时取值为0。
这种函数可以用于描述信号的脉冲状态，也可以
用于信号处理中的滤波、放大或延时等操作。
离散狄拉克函数可以使用向量形式来表示：x[n]=δ[n]。
它可以
用一系列抽象符号表示，因此可以显示出其本质特征。
狄拉克函数可
以用于信号处理的各种操作，包括滤波、放大或延时等；它也可以用
于定义滤波器的传输函数，并允许将输入信号划分为多个脉冲状态;
它还可以用于处理高斯卷积问题，以及在系统模型的求解等。
离散狄拉克函数也可以用在重构中，它可以精确地模拟脉冲信号，这种信号在电子设备中比较常见。
此外，离散狄拉克函数还可以用于
信号变换、频谱分析、傅里叶变换和能量谱等领域。
离散狄拉克函数的应用不仅限于信号处理这一领域，它的表示方
式也可以应用于统计学、数学和模式识别等技术分支。
离散狄拉克函
数可以用作脉冲响应函数或非线性系统的基本单元，因此它在信号处理、模式识别和统计方面都有很重要的应用。
量子力学课件：4.5 狄拉克符号
*(x)F (x,
i
) (x
x
x) (x)dxdx
*(x)Fˆ (x)dx
四、表象变换
设 A表象：基矢为 n, 任一量子态 an n
n
B表象：基矢为 , 同一量子态 b
n
A表象 → B表象
量子态 an n
b
因为 b n n Snan
n
n
故 b Sa
n
封闭性
uq* ( x)uq ( x)dq ( x x)
公式
( x, t ) Fˆ ( x, pˆ x )( x, t )
本征方程
Fˆ
(r ,
pˆ )
(r )
(r )
平均值
F *Fˆdx
矩阵元 S 方程
Fmn
* m
Fˆ
n
dx
i
(r , t)
Hˆ (r,i)(r, t )
t
Dirac 符号
（1）F^算符
设 B Fˆ A 取 Q 表象：
①设Q具有分立本征谱,则基矢 Qn 或 n
B n n B bn n
n
n
A n n A an n
n
n
n n B Fˆ n n A
n
n
以 m左乘上式 ，再利用 m n mn
m n n B m Fˆ n n A
n
n
m B m Fˆ n n A
具体的态矢量： A , , En
③ 左矢与右矢的关系
是A 的A共轭矢量，即它们在同一表象中的 相应分量互为共轭复数
是 的共轭矢量
En 是 En的共轭矢量
2．左矢与右矢的标积
①定义： B A a1b1 a2b2 anbn anbn
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设 是体系的一个量子态，根据态叠加原理，有：
ak k (1) 称(1)式为态 在 F 表象中的展开式。
k
其中：ak ( k ,)
d k*
d
* k
ak k (2)
k
则列向量 a (ak )T 称为态 在 F 表象中的表示。
3
一、对表象及其变换的回顾(2)
1、表象及态在表象中的表示(2)
满足本征方程： Ya ，其a 中 为Y 在lˆy (lˆ2表,lˆ象z ) 中的
矩阵表示。
0 i
2 0
i 0 i
0 i
a1 a2
a1 a2
0 a3
a3
i 2 0
i 2
i 2
0
i 2
a1 a2 a3
11
0
二、例题(4)
2、(lˆ2 ,lˆz )表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 (2)
0 1 0 X 1 0 1
2 0 1 0
0 i 0 Y i 0 i
2 0 i 0
Z 10
0 0
0 0
0 0 1
1 0 0
L
2
2
0
1
0
0 0 1
10
二、例题(3)
2、(lˆ2 ,lˆz )表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 (1)
将 (lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 用 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中的基矢 展开，即： a11 a2 2 a3 3 a1Y11 a2Y10 a3Y11 其 中列向量 a (a1, a2 , a3 )T 就是 在 (lˆ2 , lˆz ) 表象中的表示，
则列向量 a (ak )T , k 1,2,3 称为态 在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象
中的表示。可以通过求解本征方程得到。
4
一、对表象及其变换的回顾(3)
2、算符的矩阵表示
在 F 表象中，算符 Lˆ 可以表示成矩阵形式，记为
L (Ljk ) ，其中 Ljk ( j , Lˆ k ) ，为 Lˆ 在 F 表象中的
表象中的表示，则
a1 S11 S12 . a1
a Sa a2 S21 S22 . a2 , Sk ( , k )
.
.
.
即表象 F 和 F 可以通过幺正矩阵 S 进行表象变换。
7
一、对表象及其变换的回顾(6)
5、本征方程
Lˆ La
a
L11 L21
L12 L22
. a1 a1
. a2 a2
. . .
L11
L21 .
L12
L22
.
. .
a1 a2
0
有非零解的条件为：
.
L11
L21 .
L12
L22
.
. . 0久期方程，可解出本征值
.
8
二、例题(1)
Ylm ( , ) 是 (lˆ2 ,lˆz ) 的共同本征函数。当 l 1 时，
表示。例如：
0 X 1
1 0
0 1 ,
Z
1 0
0 0
0 0 ,
2 0 1 0
0 0 1
分别是 lˆx 和 lˆz 在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中的矩阵表示。
5
一、对表象及其变换的回顾(4)
3、力学量的平均值
设 k 是 F 表象中的基矢，量子态 和力学量算符 Lˆ 的矩阵表示分别为 a (ak )T , ak ( k ,) 和 L (L jk ) Ljk ( j , Lˆ k ) ，则该力学量在量子态 中的平均值 L
3、写出联系(lˆ2 ,lˆz ) 表象和(lˆ2,lˆy ) 表象的幺正变换矩阵
9
二、例题(2)
1、(lˆ2 , lˆz )表象中，lˆx ,lˆy ,lˆz 和 lˆ2 的表示 lˆx ,lˆy ,lˆz 和 lˆ2 在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中能够用一个 33的矩阵 表示，设为 X ,Y, Z, L ，已求得：
表示为：
L11 L (a1*, a2* ) L21
L12 L22
. a1 . a2
, L
a La
. . .
6
一、对表象及其变换的回顾(5)
4、表象变换
在 F 表象中 ak k ；在 F 表象中 ak k
k
k
即列向量 a (ak )T 和 a (ak )T 分别是 在 F 和 F
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第十四讲 狄拉克符号－离散谱
1
目录 一、对表象及其变换的回顾 二、例题 三、狄拉克符号的定义与内积 四、量子力学的态矢表示
2
一、对表象及其变换的回顾(1)
1、表象及态在表象中的表示(1)
设 F 代表一组力学量完全集，即 F (Aˆ1, Aˆ2,Aˆn ) k 是 F 的共同本征函数，k 一般代表一组量子数。
m 1,0,1 ，得到一组正交归一完备基矢，( k ), k 1,2,3
其中： 1
Y11
s in ei
Байду номын сангаас
,
2
Y10
cos ,
3
Y11
* 1
√ 求：1、(lˆ2 ,lˆz ) 表象中，lˆx ,lˆy ,lˆz 和 lˆ2 的表示；
2、(lˆ2 ,lˆz ) 表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 ；
函数为： a1Y11 a3Y11 a1(Y11 Y11)，由归一化条件有：
1 d* | a1 |2 d (|Y11 |2 | Y11 |2 Y1*1Y11 Y1*1Y11) 2 a1 2
取 a1 为实数，有：a1 1/ 2
所以对 2 0, a1Y11 a3Y11 1 2 (Y11 Y11) 10
同理可得：
1
1,
1 2
Y11
i 2
Y10
1 2
Y11
11
3
1,
1 2
Y11
i 2
Y10
1 2
Y11
11
13
二、例题(6)
例如：在 (lˆ2 , lˆz ) 表象中，基矢为 k Ylm ( ,) ， 当 l 1时，m 1,0,1，则 1 Y11, 2 Y10 , 3 Y11 ，这 样，( k ), k 1,2,3 就构成一组正交完备的基矢。
3
设 为一量子态，则可以用 k 将 展开。 ak k k 1
i
久期方程写为
2 0
2 0
0
i
2
2
0
i 2
i 2 i
2 0
i 2
0
1 1
i 0 2
2 0
3 1
0
i 2 0
a1 a2
a3
0
a2
0, a1
a3
12
二、例题(5)
2、(lˆ2 ,lˆz )表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征函数 (3)
对 2 0，在 (lˆ2 ,lˆz ) 表象中，(lˆ2,lˆy ) 的共同本征