一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解

一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解

知识梳理

10 min.

1、一次函数的概念

若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图象

①一次函数y=kx+b 的图象是一条经过（0,b ）（- b k ，0）的直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线。 ②在一次函数

y kx b =+中

当0k >时，y 随x 的增大而增大，

当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限．

当0

当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、四象限；

当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过二、三、四象限.

意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k 、b 的正负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.

典例精讲

27 min.

例1 .已知函数21y x =-的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：

（1）当0x =时，y 的值是多少？ （2）当0y =时，x 的值是多少？ （3）当x 为何值时，0y >？

（4）当x 为何值时，0y <？

答案：解：（1）当0x =时，1y =-；（2）当0y =时，1

2

x =； （3）当12x >

时，0y >；（4）当12

x <时，0y <． 例2、如图，直线

对应的函数表达式是（）

答案：A

例3、(2008 江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地,已知乙比甲先出发,

他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法:【 】

(1)他们都骑行了20km; (2)乙在途中停留了0.5h; (3)甲、乙两人同时到达目的地; (4)相遇后,甲的速度小于乙的速度. 根据图象信息,以上说法正确的有 A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

例4.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品．生产前没有产品积压，生产3h 后安排

工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量()y 是时间()t 的函数，那么这个函数大致图象只能是（ ） 答案：Ａ

例5.如图所示，是某企业职工养老保险个人月缴费y （元）随个人月工资x （元）变化的图

象．请你根据图象回答下列问题：

（1）张总工程师五月份工资是3 000元，这个月他应缴个人养老保险费 元；

A ．

B ．

Ｃ．

Ｄ．

（2）小王五月份工资为500元，他这个月应缴纳个人养老保险费 元．

（3）当月工资在600～2 800元之间，其个人养老保险费y （元）与月工资x （元）之间的函数关系式为 ．

答案：（1）200 （2）40

（3）4405511

y x =

-

例6.已知A B 、两市相距80km ．甲乙两人骑自行车沿同一公路各自从A 市、B 市出发，相

向而行，如图所示，线段EF CD 、分别表示甲、乙两人离B 市距离s (km) 和所用去时间t (h)之间的函数关系，观察图象回答问题： （1）乙在甲出发后几小时才从B 市出发？ （2）相遇时乙走了多少小时？ （3）试求出各自的s 与t 的关系式． （4）两人的骑车速度各是多少？ （5）两人哪一个先到达目的地？

)

答案：解：（1）乙在甲出发后1h ，才从B 市发出； （2）77

2

1199

-=(h)，即相遇时，乙走了719h ；

（3）设甲的函数关系式为11S k t b =+甲，

将7(080)2409⎛⎫

⎪⎝⎭，，代入得111802540.9b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1172580.k b ⎧

=-⎪⎨⎪=⎩，

∴甲的函数关系式为72

805

s t =-

+甲． 设乙的函数关系式为22s k t b =+乙．

将7(10)2409⎛⎫

⎪⎝⎭，、，代入得2222025

40.9k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，，解得2245245.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴乙的函数关系式为4545

22

s t =

-乙； （4）14.4v =甲km/h ，22.5v =乙km/h ； （5）在72805s t =-

+甲中，当0s =甲时，72

0805

t =-+． 509t ∴=

， 在454522s t =-乙中，当80s =乙时，即45454180229t t =-=，． 504199> ， ∴乙先到达目的地．

例7、已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x ． (1)在同一坐标系内做出它们的图像； (2)求出它们的交点A 坐标；

(3)求出这两条直线与x 轴围成的三角形ABC 的面积；

(4)k 为何值时，直线2k ＋1＝5x ＋4y 与k ＝2x ＋3y 的交点在每四象限．

分析 (1)这两个都是一次函数，所以它们的图像是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．

(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．

(3)求出这两条直线与x 轴的交点坐标B 、C ，结合图形易求出三角形ABC 的面积． (4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k 的取值范围． 解 (1)

(2)⎩⎨

⎧-=-=.5,

3221x y x y 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==.37,38y x 所以两条直线的交点坐标A 为⎪

⎭⎫

⎝⎛37,38．

(3)当y1＝0时，x ＝23

所以直线y1＝2x-3与x 轴的交点坐标为B(23

，0)，当y2＝0时，x ＝5，所以直

线y2＝5-x 与x 轴的交点坐标为C(5,0)．过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则

124937272121=⨯⨯=⨯=

∆AE BC S ABC ．

(4)两个解析式组成的方程组为⎩⎨

⎧+=+=+.32,

4512y x k y x k

解这个关于x 、y 的方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=+=.72,732k y k x