导数练习题带答案

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导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答:根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2,使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式:f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开:f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0,所以delta x也可以看作一个无穷小量,其平方项可以忽略不计,即delta x^2 = 0。

化简结果:f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

导数练习题及答案

导数练习题及答案

章末检测一、选择题1.已知曲线y = x2 + 2x — 2在点M处的切线与x轴平行,则点 M的坐标是( )A . (— 1,3) B. (— 1,— 3)C. (— 2, — 3)D. (— 2,3)答案 B解析T f' (x) = 2x+ 2 = 0,二 x=— 1.2f( —1) = ( —1)2+ 2 X (—1) —2=— 3.A M(— 1 , —3).2.函数y= x4— 2x2 + 5的单调减区间为( )A .(―汽―1)及(0,1)B.(— 1,0)及(1 ,+^ )C.(— 1,1)D . ( — 8, —1)及(1 , )答案 A解析 y' = 4x3— 4x= 4x(x2— 1),令 y' <0 得 x 的范围为(―^ ,— 1) U (0,1),故选 A.3 .函数f(x)= x3+ ax2+ 3x— 9,在x=— 3时取得极值,则 a等于( )A . 2 B. 3C. 4D. 5答案 D解析 f' (x) = 3x2 + 2ax+ 3.由f(x)在x=— 3时取得极值,即 f' (— 3) = 0,即 27 — 6a + 3= 0, /• a= 5.14.函数y= In ■-的大致图象为( )|x+ 1|答案 D解析函数的图象关于 x=— 1对称,排除A、C,当x>— 1时,y=— ln(x+ 1)为减函数,故选 D.5.二次函数y= f(x)的图象过原点,且它的导函数y= f' (x)的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数y= f(x)的图象的顶点所在象限是( )A .第一B .第二C.第三 D .第四答案 C解析•/ y= f,(x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数y= f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限.6.已知函数f(x) = -x3+ ax2—x- 1在(—a,+s )上是单调函数,则实数 a的取值范围是( )A .(―汽一.3) B. [ - .3, ,3]C. ( .3,+^ )D. (- 3, 3)答案 B解析 f (x) = — 3x + 2ax— 1 w 0 在(—00 ,+ m)恒成立,△= 4a — 12 w 0? —:: 3w a w :J3.7.设 f(x)= xln x,若 f' (x o)= 2,贝U x o 等于( )A . e2B .In 2In 2C~^ D. e答案 D解析f' (x) = x (ln x)' + (x)' ln x = 1 + ln x.--f (x。

导数习题+答案

导数习题+答案

一.解答题(共9小题)1.已知a>0,函数f(x)=lnx﹣ax2,x>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β﹣α≥1,使f(α)=f(β),证明.2.已知函数f(x)=xlnx﹣2x+a,其中a∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=0没有实根,求a的取值范围;(3)证明:ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>(n﹣1)2,其中n≥2.3.已知函数f(x)=axlnx(a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最值;(Ⅱ)若m>0,n>0,a>0,证明:f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)4.已知函数f(x)=2e x﹣x(1)求f(x)在区间[﹣1,m](m>﹣1)上的最小值;(2)求证:对时,恒有.5.设a为实数,函数f(x)=e x﹣2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值;(2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,e x>x2﹣2ax+1.6.已知函数f(x)=ln(x+2)﹣a(x+1)(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x>﹣2,证明:1﹣≤ln(x+2)≤x+1.7.已知函数f(x)=ln(x+1)﹣x.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若x>﹣1,证明:.8.已知函数(1)当a=1时,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,1]内是单调减函数;(2)当x∈(0,+∞)时f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.9.已知函数f(x)=(1)当a<0,x∈[1,+∞)时,判断并证明函数f(x)的单调性(2)若对于任意x∈[1,+∞),不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.参考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1.已知a>0,函数f(x)=lnx﹣ax2,x>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β﹣α≥1,使f(α)=f(β),证明.考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性。

求导练习题带答案

求导练习题带答案

求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能,它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。

以下是一些求导的练习题及其答案,适合初学者练习。

练习题1:求函数 f(x) = x^3 的导数。

解:根据幂函数的求导法则,对于函数 f(x) = x^n,其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。

因此,对于 f(x) = x^3,我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。

练习题2:求函数 g(x) = sin(x) 的导数。

解:根据三角函数的求导法则,sin(x) 的导数是 cos(x)。

所以,g'(x) = cos(x)。

练习题3:求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。

解:根据多项式的求导法则,我们可以分别对每一项求导,然后将结果相加。

对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1,我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。

练习题4:求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。

解:这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。

首先,设 u = x^2- 1,那么 k(x) = u^3。

u 的导数是 u' = 2x,而 u^3 的导数是3u^2。

应用链式法则,我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。

练习题5:求函数 m(x) = e^x 的导数。

解:根据指数函数的求导法则,e^x 的导数是它自身。

所以,m'(x) = e^x。

练习题6:求函数 n(x) = ln(x) 的导数。

解:自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。

因此,n'(x) = 1/x。

练习题7:求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。

解:使用链式法则和幂函数的求导法则。

导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算一、单选题(共33题;共66分)1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为()A. 0B. 3C. 4D. -2.函数的导数为()A. B. C. D.3.设函数,若,则等于()A. B. C. D.4.设则等于( )A. B. C. D.5.已知函数的导函数,且满足,则=( )A. B. C. 1 D.6.已知函数的导函数为,且,则()A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是()A. 为常数B.C.D.8.已知函数的值为()A. B. C. D.9.下列求导运算正确的是()A. B. C. D.10.已知函数f(x)=sinx-cosx,则f'()=()A. B. C. D.11.若函数f(x)=2+xcos2x,则f'(x)=()A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin 2xC. 1-2sin 2xD. cos2x-2sin2x12.函数的导数为()A. =2B. =C. =2D. =13.设函数的导函数为,且,则=( )A. 0B. -4C. -2D. 214.设,若,则()A. B. C. D.15.已知函数,则其导数()A. B. C. D.16.若函数,则的值为()A. 0B. 2C. 1D. -117.已知函数,且,则的值为()A. B. C. D.18.已知函数,为的导函数,则的值为()A. B. C. D.19.下列求导运算正确的是()A. B. C. D.20.已知函数的导函数为,且满足,则()A. B. C. D.21.若,则函数的导函数()A. B. C. D.22.函数的导数为()A. B. C. D.23.下列导数式子正确的是()A. B. C. D.24.已知,则等于()A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数,则()A. B. C. D.26.已知,则()A. B. C. D.27.设,,则x0=( )A. e2B. eC.D. ln 228.下列求导数运算正确的是()A. B. C. D.29.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为()A. (0,+∞)B. (-1,0)∪(2,+∞)C. (-1,0)D. (2,+∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C. D.31.已知,则 ( )A. B. C. D. 以上都不正确32.设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( )A. e2B. eC.D. ln 233.下列导数运算正确的是()A. B. C. D.二、填空题(共11题;共11分)34.已知函数的导函数为,若,则的值为________.35.若函数,则的值为________.36.已知,则________.37.若函数,则________.38.已知函数,则________.39.已知函数,是的导函数,则________.40.若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值为________.41.已知在上可导,,则________.42.已知函数的导函数为,且,则________.43.已知f(x)=2x+3xf′(0),则f′(1)=________.44.已知函数f(x)=2e x﹣x的导数为,则的值是________.三、解答题(共6题;共60分)45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数:(1);(2).48.求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4).49.求下列函数的导数.(1);(2).50.求下列函数的导数.(1)y=3x2+xcos x;(2)y=lgx-;答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解:因为,则,所以,故答案为:B.【分析】先由函数,求得导函数,再求即可得解.2.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为:D.【分析】先根据完全平方公式对展开,再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】,,,解得,故答案为:D,【分析】对函数求导,再由可求出实数的值.4.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】由,得.故答案为:D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算,即可得结果.5.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导,得把代入得,直接可求得。

导数练习题含答案完整版

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导数练习题含答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】导数练习题班级姓名一、选择题1.当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x0处的变化率C.在x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )A.0.40 B.0.41 C.0.43D.0.443.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A.4 B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2D.4x4.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )A. 6 B.18C.54D.815.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=32处的瞬时变化率是( )A.3 B.-3C. 2D.-26.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直7.曲线y=-1x在点(1,-1)处的切线方程为( )A.y=x-2 B.y=xC.y=x+ 2D.y=-x-28.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则A处的切线斜率为( )A.4 B.16 C.8D.29.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A.(0,0) B.(2,4)C.(14,116)D.(12,14)10.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )A.a=1,b= 1B.a=-1,b=1C.a=1,b=- 1D.a=-1,b=-111.已知f(x)=x2,则f′(3)=( )A.0 B.2xC. 6D.912.已知函数f(x)=1x,则f′(-3)=( )A. 4 B.19C .-14D .-1913.函数y =x 2x +3的导数是( )A.x 2+6x x +3?2B.x 2+6x x +3C.-2xx +3?2D.3x 2+6x x +3?2 14.若函数f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,则f ′(-1)的值为( )A .0B .-1C .1D .215.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件16.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )A .(-∞,2)B .(0,3)C .(1,4)D .(2,17.函数y =ax 3-x 在R 上是减函数,则( )A .a ≥13B .a =1C .a =2D .a ≤18.函数y =4x 2+1x的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,1)C .(12,+∞)D .(1,19.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 20.设x 0为可导函数f (x )的极值点,则下列说法正确的是( )A .必有f ′(x 0)=B .f ′(x 0)不存在C .f ′(x 0)=0或f ′(x 0)不存在D .f ′(x 0)存在但可能不为022.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a =( ) A .2 B .3C .4D .523.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极小值点有( )A .1个B .2个C .3个D .4个24.函数f (x )=-13x 3+12x 2+2x 取极小值时,x 的值是( )A .2B .2,- 1C .-1D .-325.函数f (x )=-x 2+4x +7,在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A .f (2),f (3) B .f (3),f (5)C .f (2),f (5)D .f (5),f (3)26.f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )A .-2B .0C .2D .427.函数f (x )=x 3-3x 2-9x +k 在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )A .-10B.-71C .-15D .-22 28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A .13万件B .11万件C .9万件D .7万件29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒运动的距离为s =14t 4-53t 3+2t 2,那么速度为零的时刻是( )A .1秒末B .0秒C .4秒末D .0,1,4秒末二、填空题1.设函数y =f (x )=ax 2+2x ,若f ′(1)=4,则a =________.2.若曲线y =2x 2-4x +a 与直线y =1相切,则a =________.3.已知函数y =ax 2+b 在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=________.4.令f (x )=x 2·e x ,则f ′(x )等于________.5.函数y =x 2+4x 在x =x 0处的切线斜率为2,则x 0=________. 6.若y =10x ,则y ′|x =1=________.7.一物体的运动方程是s (t )=1t,当t =3时的瞬时速度为________.8.设f (x )=ax 2-b sin x ,且f ′(0)=1,f ′(π3)=12,则a =________,b =________.9.y =x 3-6x +a 的极大值为________.10.函数y =x e x 的最小值为________.11.做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱,它的高为______dm 时最省料.12.有一长为16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m 2.三、解答题1.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y=x1+x;(3)y=lg x-e x.2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x +10,求:(1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程.3.求下列函数的单调区间:(1)y=x-ln x;(2)y=12x .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a、b、c的值.5.已知函数f(x)=13x3-4x+4.(1)求函数的极值;(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.导数练习题答案班级姓名一、选择题1.当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x0处的变化率C.在x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数答案:A2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析:选 B.Δy=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.3.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A. 4B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2D.4x解析:选B.因为Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=4Δx+2(Δx)2,所以ΔyΔx=4+2Δx,故选B.4.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )A. 6B.18C.54D.81解析:选B.ΔsΔt=3?3+Δt2-3×32Δt,s′=li mΔt→0ΔsΔt=li mΔt→0(18+3Δt)=18,故选B.5.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=32处的瞬时变化率是( )A. 3B.-3C. 2D.-2解析:选B.6.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直解析:选 B.函数在某点处的导数为零,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.7.曲线y=-1x在点(1,-1)处的切线方程为( )A.y=x- 2B.y=xC.y=x+ 2D.y=-x-2解析:选 A.f′(1)=li mΔx→0-11+Δx+11Δx=li mΔx→011+Δx=1,则在(1,-1)处的切线方程为y+1=x-1,即y=x-2.8.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则A 处的切线斜率为( )A. 4B.16C.8D.2解析:选C.9.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A.(0,0)B.(2,4)C.(14,116)D.(12,14)故选D.10.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )A .a =1,b = 1B .a =-1,b =1C .a=1,b=-1D .a =-1,b =-1 解析:选A.11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( )A .0B .2xC .6D .9解析:选 C.∵f ′(x )=2x ,∴f ′(3)=6.12.已知函数f (x )=1x,则f ′(-3)=( )A .4B.19C .-14D .-19解析:选 D.∵f ′(x )=-1x 2,∴f ′(-3)=-19.13.函数y =x 2x +3的导数是( )A.x 2+6x x +3?2B.x 2+6x x +3C.-2x x +3?2D.3x 2+6x x +3?2解析:选A14.若函数f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,则f ′(-1)的值为( ) A .0B .-1C .1D .2解析:选 B.∵f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3, ∴f ′(x )=f ′(-1)x -2.∴f ′(-1)=f ′(-1)×(-1)-2.∴f ′(-1)=-1.15.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.f (x )=x 3在(-1,1)内是单调递增的,但f ′(x )=3x 2≥0(-1<x <1),故甲是乙的充分不必要条件,选A.16.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )A .(-∞,2)B .(0,3)C .(1,4)D .(2,+∞)解析:选 D.f ′(x )=(x -3)′e x+(x -3)(e x)′=(x -2)e x,令f ′(x )>0,解得x >2,故选D.17.函数y =ax 3-x 在R 上是减函数,则( )A .a ≥13B .a =1C .a =2D .a ≤0解析:选D.因为y ′=3ax 2-1,函数y =ax 3-x 在(-∞,+∞)上是减函数,所以y ′=3ax 2-1≤0恒成立,即3ax 2≤1恒成立.当x =0时,3ax 2≤1恒成立,此时a ∈R ;当x ≠0时,若a ≤13x2恒成立,则a ≤0.综上可得a ≤0. 18.函数y =4x 2+1x的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,C .(12,+∞)D .(1,+解析:选 C.∵y′=8x-1x2=8x3-1 x2>0,∴x>12.即函数的单调递增区间为(12,+∞).19.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.故选B.20.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是( )A.必有f′(x0)=0B.f′(x0)不存在C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在D.f′(x0)存在但可能不为0答案:A22.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( )A.2 B.3C.4 D.5解析:选D.f′(x)=3x2+2ax+3,∵f(x)在x=-3处取得极值,∴f′(-3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5.23.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选A.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如题图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个.24.函数f(x)=-13x3+12x2+2x取极小值时,x的值是( )A.2 B.2,-1C.-1 D.-3解析:选 C.f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1).∵在x=-1的附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,如图所示:∴x=-1时取极小值.25.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A.f(2),f(3)B.f(3),f(5)C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)解析:选B.∵f′(x)=-2x+4,∴当x∈[3,5]时,f′(x)<0,故f(x)在[3,5]上单调递减,故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5).26.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )A.-2 B.0C.2 D.4解析:选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0可得x=0或x=2(舍去),当-1≤x<0时,f′(x)>0,当0<x≤1时,f′(x)<0.所以当x=0时,f(x)取得最大值为2. 27.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )A.-10 B.-71C.-15 D.-22解析:选B.f′(x)=3x2-6x-9=3(x -3)(x+1).由f′(x)=0得x=3,-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B .11万件C.9万件D .7万件解析:选C29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s=14t4-53t3+2t2,那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B .0秒C.4秒末D .0,1,4秒末解析:选D.∵s′=t3-5t2+4t,令s′=0,得t1=0,t2=1,t3=4,此时的函数值最大,故选D.二、填空题1.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________.答案:12.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切,则a=________.答案:33.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=________.答案:24.令f(x)=x2·e x,则f′(x)等于________.解析:f′(x)=(x2)′·e x+x2·(e x)′=2x·e x+x2·e x=e x(2x+x2).答案:e x(2x+x2)5.函数y=x2+4x在x=x0处的切线斜率为2,则x0=________.解析:2=li mΔx→0x+Δx2+4?x0+Δx-x20-4x0Δx=2x0+4,∴x0=-1.答案:-16.若y=10x,则y′|x=1=________.解析:∵y′=10x ln10,∴y′|x=1=10ln10.答案:10ln107.一物体的运动方程是s(t)=1t,当t=3时的瞬时速度为________.解析:∵s′(t)=-1t2,∴s′(3)=-132=-19.答案:-198.设f(x)=ax2-b sin x,且f′(0)=1,f′(π3)=12,则a=________,b=________.解析:∵f′(x)=2ax-b cos x,f′(0)=-b=1得b=-1,f ′(π3)=23πa +12=12,得a =0.答案:0 -19.y =x 3-6x +a 的极大值为________.解析:y ′=3x 2-6=0,得x =± 2.当x <-2或x >2时,y ′>0;当-2<x <2时,y ′<0.∴函数在x =-2时,取得极大值a +4 2.答案:a +4210.函数y =x e x 的最小值为________.解析:令y ′=(x +1)e x =0,得x =-1.当x <-1时,y ′<0;当x >-1时,y ′>0.∴y min =f (-1)=-1e.答案:-1e11.做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱,它的高为______dm 时最省料.解析:设底面边长为x ,则高为h =256x 2,其表面积为S =x 2+4×256x2×x =x 2+256×4x,S ′=2x -256×4x 2,令S ′=0,则x =8,则高h =25664=4 (dm).答案:412.有一长为16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m 2.解析:设矩形的长为x m ,则宽为16-2x2=(8-x ) m(0<x <8), ∴S (x )=x (8-x )=-x 2+8x∴S ′(x )=-2x +8,令S ′(x )=0,则x =4,又在(0,8)上只有一个极值点,且x∈(0,4)时,S(x)单调递增,x∈(4,8)时,S(x)单调递减,故S(x)max=S(4)=16.答案:16三、解答题1.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x;(2)y=x1+x;(3)y=lg x-e x.解:(1)y′=6x+cos x-x sin x.(2)y′=1+x-x1+x2=11+x2.(3)y′=(lg x)′-(e x)′=1x ln10-e x.2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求:(1)它们的交点;(2)抛物线在交点处的切线方程.解:(1)由⎩⎨⎧y=x2+4,y=x+10,得x2+4=10+x,即x2-x-6=0,∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).(2)∵y=x2+4,∴y′=limΔx→0x+Δx2+4-x2+4?Δx=limΔx→0Δx2+2x·ΔxΔx=limΔx→0(Δx+2x)=2x.∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6,即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0;在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0.3.求下列函数的单调区间:(1)y=x-ln x;(2)y=1 2x .解:(1)函数的定义域为(0,+∞).其导数为y′=1-1 x .令1-1x>0,解得x>1;再令1-1x<0,解得0<x<1.因此,函数的单调增区间为(1,+∞),函数的单调减区间为(0,1).4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x =-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a、b、c的值.解:f′(x)=3x2+2ax+b,依题意可知-1,3是方程3x2+2ax+b=0的两个根,则有⎩⎪⎨⎪⎧-1+3=-23a,-1×3=b3,解得⎩⎨⎧a=-3,b=-9,∴f(x)=x3-3x2-9x+c.由f(-1)=7,得-1-3+9+c=7,∴c=2.∴极小值为f(3)=33-3×32-9×3+2=-25.5.已知函数f(x)=13x3-4x+4.(1)求函数的极值;(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.解:(1)f′(x)=x2-4,解方程x2-4=0,得x1=-2,x2=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:从上表可看出,当x=-2时,函数有极大值,且极大值为283;而当x=2时,函数有极小值,且极小值为-4 3 .(2)f(-3)=13×(-3)3-4×(-3)+4=7,f(4)=13×43-4×4+4=283,与极值比较,得函数在区间[-3,4]上的最大值是283,最小值是-43.。

导数练习题(含答案)

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导数练习题1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 在x =±1处取得极值,在x =0处的切线与直线3x +y =0平行.(1)求f (x )的解析式;(2)已知点A (2,m ),求过点A 的曲线y =f (x )的切线条数. 解 (1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)=3a +2b +c =0,f ′(-1)=3a -2b +c =0,f ′(0)=c =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0,c =-3.所以f (x )=x 3-3x .(2)设切点为(t ,t 3-3t ),由(1)知f ′(x )=3x 2-3,所以切线斜率k =3t 2-3, 切线方程为y -(t 3-3t )=(3t 2-3)(x -t ).又切线过点A (2,m ),代入得m -(t 3-3t )=(3t 2-3)(2-t ),解得m =-2t 3+6t 2-6. 设g (t )=-2t 3+6t 2-6,令g ′(t )=0, 即-6t 2+12t =0,解得t =0或t =2.当t 变化时,g ′(t )与g (t )的变化情况如下表:作出函数草图(图略),由图可知:①当m >2或m <-6时,方程m =-2t 3+6t 2-6只有一解,即过点A 只有一条切线; ②当m =2或m =-6时,方程m =-2t 3+6t 2-6恰有两解,即过点A 有两条切线; ③当-6<m <2时,方程m =-2t 3+6t 2-6有三解,即过点A 有三条切线. 2.已知函数f (x )=a ln x -bx 2.(1)当a =2,b =12时,求函数f (x )在[1e,e]上的最大值;(2)当b =0时,若不等式f (x )≥m +x 对所有的a ∈[0,32],x ∈(1,e 2]都成立,求实数m 的取值范围.解 (1)由题意知,f (x )=2ln x -12x 2,f ′(x )=2x -x =2-x2x ,当1e ≤x ≤e 时,令f ′(x )>0得1e≤x <2;令f ′(x )<0,得2<x ≤e,∴f (x )在[1e ,2)上单调递增,在(2,e]上单调递减,∴f (x )max =f (2)=ln 2-1.(2)当b =0时,f (x )=a ln x ,若不等式f (x )≥m +x 对所有的a ∈[0,32],x ∈(1,e 2]都成立,则a ln x ≥m +x 对所有的a ∈[0,32],x ∈(1,e 2]都成立,即m ≤a ln x -x ,对所有的a ∈[0,32],x ∈(1,e 2]都成立,令h (a )=a ln x -x ,则h (a )为一次函数,m ≤h (a )min .∵x ∈(1,e 2],∴ln x >0,∴h (a )在[0,32]上单调递增,∴h (a )min =h (0)=-x ,∴m ≤-x 对所有的x ∈(1,e 2]都成立.∵1<x ≤e 2,∴-e 2≤-x <-1,∴m ≤(-x )min =-e 2.即实数m 的取值范围为(-∞,-e 2]. 3.设函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数. (1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N *,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n ∈N *,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明. 解 由题设得,g (x )=x1+x(x ≥0).(1)由已知,g 1(x )=x1+x ,g 2(x )=g (g 1(x ))=x1+x 1+x 1+x=x 1+2x ,g 3(x )=x1+3x,…,可得g n (x )=x1+nx. 下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x1+x,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x1+kx 1+x 1+kx=x 1+(k +1)x,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N *成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1+x )≥ax 1+x 恒成立.设φ(x )=ln(1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a (1+x )2=x +1-a(1+x )2,当a ≤1时,φ′(x )≥0(当且仅当x =0,a =1时等号成立),∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增.又φ(0)=0,∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x恒成立(当且仅当x =0,a =1时等号成立). 当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )≤0,∴φ(x )在(0,a -1)上单调递减∴φ(a -1)<φ(0)=0.即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0,故知ln(1+x )≥ax1+x不恒成立,综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+n n +1,n -f (n )=n -ln(n +1),比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln(n +1). 证明如下:方法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x 1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则1n +1<ln n +1n.下面用数学归纳法证明.①当n =1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n =k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln(k +1).那么,当n =k +1时,12+13+…+1k +1+1k +2<ln(k +1)+1k +2<ln(k +1)+ln k +2k +1=ln(k +2),即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N *成立.方法二:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x 1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则ln n +1n >1n +1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,…,ln(n +1)-ln n >1n +1,上述各式相加可得ln(n +1)>12+13+…+1n +1,结论得证.D1、已知函数()2f x m x =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像上至少存在一对关于x 轴对称的点,则实数m 的取值范围是( )。

完整版)导数测试题(含答案)

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完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1,-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上,且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x,则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$,且 $f'(1)=4$,则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$,则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$;(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$;(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$,故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$;(2) 在交点 $(3,13)$ 处,抛物线的斜率为 $6$,故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

导数练习题附答案

导数练习题附答案

一、选择题(每题只有一个选项是正确的,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。

)1.某函数的导数为y′=12(x-1),那么这个函数可能是 ()A.y=ln1-x B.y=ln11-xC.y=ln(1-x) D.y=ln11-x2.(2021•江西)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,那么曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 ()A.4 B.-14 C.2 D.-123.(2021•辽宁)曲线y=xx-2在点(1,-1)处的切线方程为 ()A.y=x-2 B.y=-3x+2C.y=2x-3 D.y=-2x+14.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ()A.94e2 B.2e2 C.e2 D.e225.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()6.设y=8x2-lnx,那么此函数在区间(0,14)和(12,1)内分别 ()A.单调递增,单调递减B.单调递增,单调递增C.单调递减,单调递增D.单调递减,单调递减7.以下关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的选项是 ()①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-2)是极小值,f(2)是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值.A.①③ B.①②③C.② D.①②8.f(x)=-x3-x,x∈[m,n],且f(m)•f(n)<0,那么方程f(x)=0在区间[m,n]上() A.至少有三个实根 B.至少有两个实根C.有且只有一个实根 D.无实根9.函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,那么实数a的取值范围是() A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-3或a>6 D.a<-1或a>210.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,其高应为 ()A.2033cm B.100cm C.20cm D.203cm11.(2021•河南省实验中学)假设函数f(x)=(2-m)xx2+m的图象如下图,那么m的范围为 ()A.(-∞,-1) B.(-1,2) C.(1,2) D.(0,2)12.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1.f′(x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如下图.假设两正数a,b满足f(2a+b)<1,那么b+2a+2的取值范围是 ()A.(13,12) B.(-∞,12)∪(3,+∞)C.(12,3) D.(-∞,-3) 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,请将答案填在题中的横线上。

导数练习题及答案

导数练习题及答案

导数练习题及答案导数练习题及答案导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

以下是导数练习题及答案,欢迎阅读。

一、选择题1.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义,f′(x0)是当Δx无限趋近于0时,ΔyΔx无限趋近的常数,故应选C.2.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为( )A.6 B.18C.54 D.81[答案] B[解析] ∵s(t)=3t2,t0=3,∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-332=18Δt+3(Δt)2∴ΔsΔt=18+3Δt.当Δt→0时,ΔsΔt→18,故应选B.3.y=x2在x=1处的导数为( )A.2x B.2C.2+Δx D.1[答案] B[解析] ∵f(x)=x2,x=1,∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2∴ΔyΔx=2+Δx当Δx→0时,ΔyΔx→2∴f′(1)=2,故应选B.4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位:m,t的单位:s),则t=5时的`瞬时速度为( ) A.37 B.38C.39 D.40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt=4(5+Δt)2-3-4×52+3Δt=40+4Δt,∴s′(5)=limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 (40+4Δt)=40.故应选D.5.已知函数y=f(x),那么下列说法错误的是( )A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函数在x0到x0+Δx之间的平均变化率C.f(x)在x0处的导数记为y′D.f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y′|x=x0,即( )A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)B.f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]C.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)ΔxD.f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.7.函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于( )A.4a B.2a+bC.b D.4a+b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)2+b(2+Δx)+c-4a-2b-cΔx=4a+b+aΔx,∴y′|x=2=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (4a+b+aΔx)=4a+b.故应选D.8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( ) A.圆 B.抛物线C.椭圆 D.直线[答案] D[解析] 当f(x)=b时,f′(x)=0,所以f(x)的图象为一条直线,故应选D.9.一物体作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度为( )A.0 B.3C.-2 D.3-2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt=3(0+Δt)-(0+Δt)2Δt=3-Δt,∴s′(0)=limΔt→0 ΔsΔt=3.故应选B.10.设f(x)=1x,则limx→a f(x)-f(a)x-a等于( )A.-1a B.2aC.-1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)-f(a)x-a=limx→a 1x-1ax-a=limx→a a-x(x-a)xa=-limx→a 1ax=-1a2.二、填空题11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=________;limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.[答案] -11,-112[解析] limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)Δx=-limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=-f′(x0)=-11;limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx=-12f′(x0)=-112.12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.[答案] 0[解析] ∵Δy=1+Δx+11+Δx-1+11=Δx-1+1Δx+1=(Δx)2Δx+1,∴ΔyΔx=ΔxΔx+1.∴y′|x=1=limΔx→0 ΔxΔx+1=0.13.已知函数f(x)=ax+4,若f′(2)=2,则a等于______.[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)+4-2a-4Δx=a,∴f′(1)=limΔx→0 ΔyΔx=a.∴a=2.14.已知f′(x0)=limx→x0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f′(3)=-2,则limx→3 2x-3f(x)x-3的值是________.[答案] 8[解析] limx→3 2x-3f(x)x-3=limx→3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3=limx→3 2x-3f(3)x-3+limx→3 3(f(3)-f(x))x-3.由于f(3)=2,上式可化为limx→3 2(x-3)x-3-3limx→3 f(x)-f(3)x-3=2-3×(-2)=8.三、解答题15.设f(x)=x2,求f′(x0),f′(-1),f′(2).[解析] 由导数定义有f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0 (x0+Δx)2-x20Δx=limΔx→0 Δx(2x0+Δx)Δx=2x0,16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.[解析] 位移公式为s=12at2∵Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2∴ΔsΔt=at0+12aΔt,∴limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 at0+12aΔt=at0,已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,∴at0=800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求(1)ΔyΔx (2)f′(1).[解析] (1)ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx=(1+Δx)2+3-12-3Δx=2+Δx.(2)f′(1)=limΔx→0 f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0 (2+Δx)=2.18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.[解析] f(x)=x+x2 (x≥0)-x-x2 (x<0)Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx)=Δx+(Δx)2 (Δx>0)-Δx-(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0+ΔyΔx=limΔx→0+ (1+Δx)=1,limΔx→0-ΔyΔx=limΔx→0- (-1-Δx)=-1,∵limΔx→0-ΔyΔx≠limΔx→0+ΔyΔx,∴Δx→0时,ΔyΔx无极限.∴函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.(x→0+表示x从大于0的一边无限趋近于0,即x>0且x趋近于0)。

(完整版)导数练习题(含答案)

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导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题:1 已知,若,则a 的值等于32()32f x ax x =++(1)4f '-=ABCD1931031631332 已知直线与曲线,则b 的值为1y kx =+3y x ax b =++切于点(1,3)A3B-3C5D-53 函数的导数为2y x a a =+2()(x-)ABCD 222()x a -223()x a +223()x a -222()x a +4 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为313y x x =+4(1,)3A B C D192913235已知二次函数的导数为,对于任意实数x ,有,则2y ax bx c =++(),(0)0f x f ''>()0f x ≥的最小值为(1)(0)f f 'A3BC 2 D52326 已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为()f x 1x =()f x A B2()(1)3(1)f x x x =-+-()2(1)f x x =-CD 2()2(1)f x x =-()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是AB211(1x x x'+=+21(log )ln 2x x '=CD 3(3)3log x x e '=⋅2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线在处的切线的倾斜角为32153y x x =-+1x =AB C D6π34π4π3π9 曲线在点处的切线方程为3231y x x =-+(1,1)-A BCD 34y x =-32y x =-+43y x =-+45y x =-10设函数的图像上的点处的切线斜率为k ,若,则函数的sin cos y x x x =+(,)x y ()k g x =()k g x =图像大致为11 一质点的运动方程为,则在一段时间内相应的平均速度为253s t =-[1,1]t +∆ABCD 36t ∆+36t -∆+36t ∆-36t -∆-12 曲线上的点到直线的最短距离是()ln(21)f x x =-230x y -+=ABCD 013 过曲线上的点的切线平行于直线,则切点的坐标为32y x x =+-0P 41y x =-0P A B(0,1)(1,0)-或(1,4)(1,0)--或CD (1,4)(0,2)---或(2,8)(1,0)或14 点P 在曲线上移动,设点P 处切线的倾斜角为,则角的取值范围是323y x x =-+ααABC D [0,]2π3[0,)[,)24πππ 3[,)4ππ3(,]24ππ二、填空题15 设是二次函数,方程有两个相等实根,且,则的表达式()y f x =()0f x =()22f x x '=+()y f x =是______________16 函数的导数为_________________________________2sin x y x=17 已知函数的图像在点处的切线方程是,则_________()y f x =(1,(1))M f 122y x =+(1)(1)f f '+=18 已知直线与曲线有公共点,则k 的最大值为___________________________y kx =ln y x =三、解答题19 求下列函数的导数(1)(2) (3)(4) 1sin 1cos xy x-=+y =y =+tan y x x =⋅20 已知曲线与,直线与都相切,求直线的方程21:C y x =22:(2)C y x =--l 12,C C l 21 设函数,曲线在点处的切线方程为()bf x ax x=-()y f x =(2,(2))f74120x y --=(1)求的解析式()f x(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并()y f x =0x =y x =求此定值。

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$,$g(x)=-x^2-2$,要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ)对于所有 $x\in(0,+\infty)$,都有 $f(x)\geq g(x)$,即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$,整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$,对于 $x\in(0,+\infty)$,$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ)当 $a=-1$ 时,$f(x)=x\ln x+x$,求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$,令 $f'(x)=0$,解得 $x=e^{-2}$,在 $[m。

m+3]$ 上,$f(x)$ 单调递增,所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ)证明:对于所有 $x\in(0,+\infty)$,都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明:$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$,$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$,所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,即对于所有$x\in(0,+\infty)$,都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ)若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直,求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$,在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$,由于切线垂直于直线 $y=x+2$,所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$,解得 $a=1$。

《导数》解答题16道(含详解答案)

《导数》解答题16道(含详解答案)

《导数》解答题16道专项练习1.已知函数22()x f x e ax e x =+-.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调性;(Ⅱ)若0x >时,总有2()f x e x >-,求实数a 的取值范围.【详解答案】(Ⅰ)由22()x f x e ax e x =+-,得2()2x f x e ax e '=+-,即()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率40k a ==此时2()x f x e e x =-,2()x f x e e '=-由()0f x '=,得2x =当(,2)x ∈-∞时,()0f x '<,()f x 在(,2)-∞上为单调递减函数;当(2,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在(2,)+∞上为单调递增函数.(Ⅱ)2()f x e x >-得2x e a x >-,设2()x e g x x =-(0)x >,则2(2)()x e x g x x -'=当02x <<时,()0g x '>,()g x 在(0,2)上单调递增;当2x >时,()0g x '<,()g x 在(0,2)上单调递减;2()(2)4e g x g ≤=-,所以实数a 的取值范围为2(,)4e -+∞2.函数()ln()ln f x x m n x =+-.(Ⅰ)当1m =,0n >时,求()f x 的单调减区间;(Ⅱ)1n =时,函数()(2)()g x m x f x am =+-,若存在0m >,使得()0g x >恒成立,求实数a 的取值范围.【详解答案】(Ⅰ)由()ln()ln f x x m n x =+-((0,))x ∈+∞,1(1)()1(1)n n x n f x x x x x --'=-=++①当1n =时,1()(1)f x x x -'=+,所以函数()f x 的单调递减区间为:(0,)+∞②当01n <<时,由()0f x '<,得01n x n <<-,所以函数()f x 的单调递减区间为:(0,)1n n-③当1n >时,由()0f x '<,得0x >,所以函数()f x 的单调递减区间为:(0,)+∞综上可得:当1n ≥时,函数()f x 的单调递减区间为:(0,)+∞当01n <<时,函数()f x 的单调递减区间为:(0,1n n-(Ⅱ)当1n =时,函数()(2)()(2)[ln()ln ]g x m x f x am m x x m x am =+⋅-=++--,(0,)+∞由()0g x >可得()0g x x >,即(1)ln (1)0m x m x m x a x x x ++++-->,设1m x t x +=>,所以(1)ln (1)0t t a t +-->,(1)ln 01a t t t -->+令(1)()ln 1a t h t t t -=-+,1t >,222(1)1()(1)t a t h t t t +-+'=+,(1)0h =①当2a ≤时,222(1)1210t a t t t +-+≥-+>,所以()0h t '>可得函数()h t 在(1,)+∞上单调递增.可得()(1)0h t h >=②当2a >时,()0h t '=,即2t +2(1-a )t +1=0,得11t a =--,21t a =-+由21t >,121t t =,可得11t <,所以函数()h t 在2(1,)t 上单调递减可得()(1)0h t h <=,舍去综上可得,实数a 的取值范围为2a ≤3.已知函数(a ∈R ),当时,讨论f (x )的单调性.【详解答案】(1)求函数的导数,可得导函数的零点为1,,根据一元二次不等式的解法可确定函数的单调性.试题解析:因为,所以,,令,可得两根分别为1,,因为,所以,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.4.已知函数,x >1.(1)若f (x )在(1,+∞)上单调递减,求实数a 的取值范围;(2)若a =2,求函数f (x )的极小值.【详解答案】(1),由题意可得在上恒成立,∴.∵,∴,∴当时函数的最小值为,∴.故实数的取值范围为.(2)当时,,,令得,解得或(舍),即.当时,,当时,,∴的极小值为.5.已知函数f (x )=ln x -ax +1-a x-1(a ∈R).当0<a <12时,讨论f (x )的单调性.【详解答案】因为f (x )=ln x -ax +1-a x -1,所以f ′(x )=1x -a +a -1x 2=-ax 2-x +1-a x 2,x ∈(0,+∞),令f ′(x )=0,可得两根分别为1,1a -1,因为0<a <12,所以1a-1>1>0,当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减;当x,1a -f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;当x1,+f ′(x )<0,函数f (x )单调递减.6.已知函数f (x )=x ln x +ax ,x >1.(1)若f (x )在(1,+∞)上单调递减,求实数a 的取值范围;(2)若a =2,求函数f (x )的极小值.解析:(1)f ′(x )=ln x -12+a ,由题意可得f ′(x )≤0在(1,+∞)上恒成立,∴a ≤1ln 2x -1ln x =-14.∵x ∈(1,+∞),∴ln x ∈(0,+∞),∴当1ln x -12=0时函数t -14的最小值为-14,∴a ≤-14.故实数a ∞,-14.(2)当a =2时,f (x )=x ln x +2x ,f ′(x )=ln x -1+2ln 2x ln 2x ,令f ′(x )=0得2ln 2x +ln x -1=0,解得ln x =12或ln x=-1(舍),即x =e 12.当1<x <e 12时,f ′(x )<0,当x >e 12时,f ′(x )>0,∴f (x )的极小值为=e 1212+2e 12=4e 12.7.已知函数()1ln f x x a x x=-+(a R ∈).(Ⅰ)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)已知()()21112g x x m x x =+-+,2m ≤-,()()()h x f x g x =+,当1a =时,()h x 有两个极值点1x ,2x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.【详解答案】(1)由已知可得()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立,()222111a x ax f x x x x ++'=++= ,210x ax ∴++≥恒成立,21x a x--∴≥,记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,2a ∴≥-.………………+4分(2)()21ln 2h x a x x mx =++,当1a =时,由()21ln 2h x x x mx =++,()211x mx h x x m x x ++'=++=,由已知210x mx ++=有两互异实根1x ,2x ,由根与系数的关系得12x x m +=-,1x ,21x =.()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.……………………+7分令12x t x =,()0,1t ∴∈,()2222121212922x x x x x x m +=++=≥ ,221252x x ∴+≥,221212122152x x x x x x x x +∴=+≥,152t t +≥,10,2t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦,()()()1211ln 2h x h x t t t t ϕ⎛⎫∴-=--= ⎪⎝⎭,()()2212t t t ϕ-'∴=-,()t ϕ∴10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减,()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭. (12)8.已知函数()222x f x e ax a =+-,a R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若0x ≥时,()23f x x ≥-恒成立,求实数a 的取值范围.【详解答案】(Ⅰ)()22x f x e a '=+,①0a ≥时,()0f x '>恒成立,此时()f x 在R 上单调递增;②当0a <时,由()0f x '>,得()ln x a >-;由()0f x '<,得()ln x a <-,此时()f x 在()(),ln a -∞-上递减,在())ln ,a -+∞⎡⎣上递增.…………………+4分(Ⅱ)令()()()22323x g x f x x e x a =-+=--+,0x ≥,则()()2x g x e x a '=-+,又令()()2x h x e x a =-+,则()()210x h x e '=-≥,()h x ∴在[)0,+∞上递增,且()()021h a =+.①当1a ≥-时,()0g x '≥恒成立,即函数()g x 在[)0,+∞上递增,从而须满足()2050g a =-≥,解得a ≤≤,又1a ≥-,1a ∴-≤≤;②当1a <-时,则00x ∃>,使()00h x =,且()00,x x ∈时,()0h x <,即()0g x '<,即()g x 递减,()0,x x ∈+∞时,()0h x >,即()0g x '>,即()g x 递增.()()()0200min 230x g x g x e x a ∴==--+≥,又()()00020x h x e x a =-+=,从而()002230x x e e-+≥,解得00ln 3x <≤,由0000x x e x a a x e =-⇒=-,令()x M x x e =-,0ln 3x <≤,则()10xM x e '=-<,()M x ∴在(]0,ln 3上递减,则()()ln 3ln 33M x M ≥=-,又()()01M x M <=-,故ln 331a -≤<-,综上ln 335a -≤≤.……………………+12分9.(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x a x a x =-++,其中a R ∈.(1)若曲线()y f x =在点()()2,2f f 处的切线的斜率为1,求a 的值;(2)讨论函数()f x 的单调性.【详解答案】(1)由()()22ln f x x a x a x =-++可知,函数的定义域为{}0x x >,且()()22a f x x a x '=-++.由题意,()()24212a f a '=-++=,解得2a =.(2)()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==(0x >)令()0f x '=,得11x =,22a x =①当0a ≤时,02a ≤,令()0f x '>,得1x >,令()0f x '<,得01x <<所以,()f x 在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数②当012a <<,即02a <<时,令()0f x '>,得1x >或02a x <<,令()0f x '<,得12a x <<所以,()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数,在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上为增函数③当12a =,即2a =时,()0f x '≥恒成立,所以,()f x 在()0,+∞上为增函数④当12a >,即2a >时,令()0f x '>,得01x <<或2a x >,令()0f x '<,得12a x <<所以,()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数10.(本小题满分12分)已知函数()()22x f x ax x e =++(0a >),其中e 是自然对数的底数.(1)当2a =时,求()f x 的极值;(2)若()f x 在[]2,2-上是单调增函数,求a 的取值范围;(3)当1a =时,求整数t 的所有值,使方程()4f x x =+在[],1t t +上有解.【详解答案】(1)()()222x f x x x e =++,则()()()()2253123x x f x x x e x x e '=++=++令()0f x '=,1x =-,32-()32352f x f e -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭极大值,()()113f x f e -=-=极小值(2)问题转化为()()22130xf x ax a x e '⎡⎤=+++≥⎣⎦在[]2,2x ∈-上恒成立;又0x e >即()22130ax a x +++≥在[]2,2x ∈-上恒成立;令()()2213g x ax a x =+++0a > ,对称轴1102x a=--<①当1122a --≤-,即102a <≤时,()g x 在[]2,2-上单调增,()()min 210g x g ∴=-=>102a ∴<≤②当12102a -<--<,即12a >时,()g x 在12,12a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调减,在11,22a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增,()221120a a ∴∆=+-≤解得:331122a -≤≤+13122a ∴<≤+综上,a 的取值范围是30,12⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦.(3)1a = ,设()()224x h x x x e x =++--,()()2331xh x x x e '=++-令()()2331x x x x e ϕ=++-,()()256xx x x e ϕ'=++令()()2560x x x x e ϕ'=++=,得2x =-,3-()()33310x e ϕϕ∴=-=-<极大值,()()21210x eϕϕ=-=-<极小值()1110e ϕ-=-< ,()020ϕ=>∴存在()01,0x ∈-,()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<,()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>()h x ∴在()0,x -∞上单调减,在()0,x +∞上单调增又()41440h e -=> ,()38310h e-=-<,()020h =-<,()1450h e =->由零点的存在性定理可知:()0h x =的根()14,3x ∈--,()20,1x ∈即4t =-,0.11.设函数211()ln 42f x x x x =--.(1)求()f x 的极值;(2)若21()(()1)4g x x f x x =++,当1x >时,()g x 在区间(,1)n n +内存在极值,求整数n 的值.【详解答案】(1)2'1112()0)222x x f x x x x x --+=--=>,令'()0f x =,解得1x =(-2舍去),根据',(),()x f x f x 的变化情况列出表格:由上表可知函数()f x 的单调增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞,在1x =处取得极大值34-,无极小值.(2)2211()(()1)ln 42g x x f x x x x x x =++=-+,'()ln 11ln 2g x x x x x =+-+=-+,令()ln 2h x x x =-+,∴'11()1x h x x x -=-=,∵1x >,∴'()0h x <恒成立,所以()h x 在(1,)+∞为单调递减函数,∵(1)10h =>,(2)ln 20h =>,(3)ln 31h =-,(4)ln 420h =-<.所以()h x 在(3,4)上有零点0x ,且函数()g x 在0(3,)x 和0(,4)x 上单调性相反,因此,当3n =时,()g x 的区间(,1)n n +内存在极值,所以3n =.12.已知函数21()(2)2x f x a x e x x =-∙-+.(1)若1a =,求函数()f x 在(2,(2))f 处切线方程;(2)讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】(1)'()1()x x f x e x e x x R =--+∈,故切线斜率'2(2)1f e =-,(2)0f =,所以,切线方程22(1)2(1)0e x y e ----=.(2)令'()0f x =,(1)(1)0x x ae --=,当(,0]a ∈-∞时,()f x 在(,1)-∞上为增函数,在(1,)+∞上为减函数,当1(0,)a e ∈时,()f x 在(,1)-∞,1(ln,)a +∞上为增函数,在1(1,ln a 上为减函数当1a e =时,()f x 在R 上恒为增函数当1(,)a e ∈+∞时,()f x 在1(,ln )a -∞,(1,)+∞上为增函数,在1(ln ,1)a上为减函数13.已知函数()x f x ae x b =-+,()ln(1)g x x x =-+,(,,a b R e ∈为自然对数的底数),且曲线()y f x =与()y g x =在坐标原点处的切线相同.(1)求()f x 的最小值;(2)若0x ≥时,()()f x kg x ≥恒成立,试求实数k 的取值范围.【详解答案】(1)因为'()1x f x ae =-,'1()1(1)1g x x x =->-+,依题意,''(0)(0)f g =,且(0)0f =,解得1,1a b ==-,所以'()1x f x e =-,当0x <时,'()0f x <;当0x >时,'()0f x >.故()f x 的单调递减区间为(,0)-∞,单调递增区间为(0,)+∞.∴当0x =时,()f x 取得最小值为0.(2)由(1)知,()0f x ≥,即1x e x ≥+,从而ln(1)x x ≥+,即()0g x ≥.设()()()ln(1)(1)1x F x f x kg x e k x k x =-=++-+-,则'()(1)1(1)11x kkF x e k x k x x =+-+≥++-+++,①当1k =时,因为0x ≥,∴'1()1201F x x x ≥++-≥+(当且仅当0x =时等号成立)此时()F x 在[0,)+∞上单调递增,从而()(0)0F x F ≥=,即()()f x kg x ≥.②当1k <时,由于()0g x ≥,所以()()g x kg x ≥,又由(1)知,()()0f x g x -≥,所以()()()f x g x kg x ≥≥,故()0F x ≥,即()()f x kg x ≥.(此步也可以直接证1k ≤)③当1k >时,令()(1)1x kh x e k x =+-++,则'2()(1)x kh x e x =-+,显然'()h x 在[0,)+∞上单调递增,又'(0)10h k =-<,'11)10h -=->,所以'()h x 在1)上存在唯一零点0x ,当0(0,)x x ∈时,'()0h x <,∴()h x 在0[0,)x 上单调递减,从而()(0)0h x h <=,即'()0F x <,所以()F x 在0[0,)x 上单调递减,从而当0(0,)x x ∈时,()(0)0F x F <=,即()()f x kg x <,不合题意.综上,实数k 的取值范围为(,1]-∞.14.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;(2)讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】(1)∵2a =,∴()2ln f x x x =-,∴(1)12ln11f =-=,即(1,1)A '2()1f x x =-,'(1)121f =-=-,当0a ≤时,∵0x >,∴'()0f x >恒成立,∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增;当0a >时,令'()0f x =,得x a =,∵0x >,∴'()0f x >,得x a >;'()0f x <得0x a <<;∴()f x 在(0,)a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增.15.已知函数1()f x x x=-.(1)用函数单调性的定义证明:函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数;(2)若2(4)(2)0t t tf mf -=,当[1,2]t ∈时,求实数m 的取值范围.【详解答案】(1)证明:任取12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,则1212121212121212()(1)1111()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x -+-=---=-+=∵120x x <<,∴1210x x +>,120x x >,120x x -<,有12()()0f x f x -<即12()()f x f x <,∴函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数(2)∵22112(4)(2)2(2)(2)022t t t t t t t t f mf m -=---=即24(21)21t t m -=-∵2210t ->,∴221t m =+∵[1,2]t ∈,∴212[5,17]t +∈故m 的取值范围是[5,17].16.已知函数2()ln 2f x x ax x =--.(1)若函数()f x 在1[,2]4x ∈内单调递减,求实数a 的取值范围;(2)当14a =-时,关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【详解答案】(1)2'1221()22ax x f x ax x x --+=--=由题意'()0f x ≤在1[,2]4x ∈时恒成立,即221212(1)1x a x x-≥=--在1[,2]4x ∈时恒成立,即2max 12[(1)1]a x ≥--,当14x =时,21(1)1x --取得最大值8,∴实数a 的取值范围是4a ≥(2)当14a =-时,1()2f x x b =-+可变形为213ln 042x x x b -+-=令213()ln (0)42g x x x x b x =-+->,则'(2)(1)()2x x g x x --=列表如下:∴()(2)ln 22g x g b ==--极小值,5(1)4g b =--又(4)2ln 22g b =--∵方程()0g x =在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,∴(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩得5ln 224b -<≤-.17.已知函数2()2ln f x x x =-+,函数()f x 与()a g x x x =+有相同极值点.(1)求函数()f x 的最大值;(2)求实数a 的值;(3)若121,[,3]x x e ∀∈,不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立,求实数k 的取值范围.【详解答案】(1)'22(1)(1)()20)x x f x x x x x--+=-+=>,由'()00f x x ⎧>⎨>⎩,得01x <<;由'()00f x x ⎧<⎨>⎩,得1x >∴()f x 在(0,1)上为增函数,在(1,)+∞上为减函数,∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-.(2)因为()a g x x x =+,所以'2()1a g x x=-,由(1)知,1x =是函数()f x 的极值点,又因为函数()f x 与()a g x x x=+有相同极值点,∴1x =是函数()g x 的极值点,∴'(1)10g a =-=,解得1a =经检验,当1a =时,函数()g x 取到极小值,符合题意(3)因为211(2f ee =--,(1)1f =-,(3)92ln 3f =-+∵2192ln 321e -+<--<-,即1(3)()(1)f f f e <<,∴11[,3]x e ∀∈,1min ()(3)92ln 3f x f ==-+,1max ()(1)1f x f ==-,由(2)知,1()g x x x=+,∴'21()1g x x =-∴()g x 在1[,1)e 上,'()0g x <;当(1,3]x ∈时,'()0g x >∴()g x 在1[,1)e 上为减函数,在(1,3]上为增函数,∵11()g e e e =+,(1)2g =,110(3)333g =+=,而11023e e <+<,∴1(1)()(3)g g g e <<∴21[,3]x e ∀∈,2min ()(1)2g x g ==,2max 10()(3)3g x g ==①当10k ->,即1k >时,对于121,[,3]x x e ∀∈,不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立即12max [()()]1k f x g x ≥-+,∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-,∴312k ≥-+=-,由12k k >⎧⎨≥-⎩,得1k >.②当10k -<时,即1k <,对于121,[,3]x x e ∀∈,不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立即12min [()()]1k f x g x ≤-+,∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+,∴342ln 33k ≤-+综上所述,所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ .。

导数练习题及答案

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导数练习题及答案### 导数练习题及答案#### 一、选择题1. 函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)的导数是:- A. \( 6x + 2 \)- B. \( 6x^2 + 2 \)- C. \( 3x + 2 \)- D. \( 6x - 2 \)2. 如果\( g(t) = 4t^3 - t + 7 \),那么\( g'(t) \)等于:- A. \( 12t^2 - 1 \)- B. \( 12t^3 - 1 \)- C. \( 4t^2 - 1 \)- D. \( 4t^3 - 1 \)3. 已知\( h(u) = \sin(u) + \cos(u) \),求\( h'(u) \):- A. \( \cos(u) - \sin(u) \)- B. \( \sin(u) + \cos(u) \)- C. \( \sin(u) - \cos(u) \)- D. \( -\sin(u) - \cos(u) \)#### 二、计算题4. 求函数\( f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x - 10 \)的导数\( f'(x) \)。

5. 计算复合函数\( g(x) = (2x^2 + 3)^5 \)的导数\( g'(x) \)。

6. 已知\( k(x) = \ln(x) \),求\( k'(x) \)。

#### 三、应用题7. 某物体的位移函数为\( s(t) = 2t^3 - 5t^2 + 7t + 3 \),求在\( t = 1 \)时的瞬时速度。

8. 一个物体的质量为\( m = 2kg \),受到的力为\( F(x) = 3x^2 -4x + 2 \),求在\( x = 2 \)时的加速度。

9. 某工厂生产成本函数为\( C(x) = 100 + 30x + 0.5x^2 \),求生产第\( x \)个单位产品时的边际成本。

导数试题及答案

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导数试题及答案一、选择题1. 设函数 $f(x)=2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$,则 $f'(x)$ 的值为:A) $6x^2 - 6x + 5$B) $6x - 5$C) $6x^2 - 3x + 5$D) $6x^2 - 6x - 3$2. 函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的导数为:A) $e^x \sin x + e^x \cos x$B) $e^x \sin x - e^x \cos x$C) $e^x \sin x + e^{-x} \cos x$D) $e^{-x} \sin x + e^x \cos x$3. 设 $y = \arcsin(\cos x)$,则 $\frac{dy}{dx}$ 的值为:A) $-\sin(\cos x)$B) $-\sin x$C) $\cos(\cos x)$D) $\cos x$4. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 的导数为:A) $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$B) $\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$C) $\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$D) $\frac{x^2 + 1}{2x}$5. 函数 $f(x) = \ln(2x + 1)$ 的导数为:A) $\frac{1}{2x + 1}$B) $\frac{1}{x}$C) $\frac{2}{2x + 1}$D) $\frac{2}{x}$二、解答题1. 求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ 在 $x = 2$ 处的导数和导数值。

解:首先求导数 $f'(x)$,利用导数的定义及基本求导法则:$$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 2)' = (3x^2 - 12x + 9)$$然后代入 $x=2$,得到导数值 $f'(2)$:$$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$所以函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处的导数为 $-3$。

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导数及其应用一、选择题1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( )A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点,则P 处的瞬时变化率为 ( )A .2B .4C .6D .213.设函数()f x =x 3﹣x 2,则)1(f '的值为( )A .-1B .0C .1D .54.已知函数⎩⎨⎧>+<+=)0()0(1)(x a x x a x f x ,若)(lim 0x f x →存在,则=-)2('f A.2ln 4 B.45C.2-D.2ln 415.设球的半径为时间t 的函数()R t 。

若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比,比例系数为CB. 成正比,比例系数为2CC.成反比,比例系数为CD. 成反比,比例系数为2C6.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A .),3[]3,(+∞--∞B .]3,3[-C .),3()3,(+∞--∞D .)3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243s tt t =-+,那么速度为零的时刻是( )A .1秒末B .0秒C .4秒末D .0,1,4秒末8.下列等于1的积分是( )A .dx x ⎰10 B .dx x ⎰+10)1( C .dx ⎰101 D .dx⎰10219.11lim 100-+→x x x 的值是A.不存在10.dx e e x x ⎰-+10)(=( )A .ee 1+B .2eC .e2D .ee 1-二、填空题11.设56)1()1()(x x x f -+=,则函数)('x f 中3x 的系数是______________。

12.过原点作曲线x e y =的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 .13. 曲线y=x 3在点(1,1)切线方程为 .14.函数x ax ax x f ++=23231)(在R 上单调递增,则实数a 的取值范围为_________.三、解答题15.设函数22)1ln()1()(x x x f +-+= (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若当]1,11[--∈e ex 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围;(3)若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围。

16.设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>.(1)若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的取值范围;(2)若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点,求a 的取值范围; (3)若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围.17.已知函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.(1)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值;(2)求函数()f x 的单调区间与极值点。

18.求函数()()()y x a x b x c =---的导数。

19.220(3)10,x k dx k +==⎰则20.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km 的B 处,乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站C ,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元,问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省答案 一、选择题5.解析:由题意可知球的体积为34()()3V t R t π=,则'2'()4()()c V t R t R t π==,由此可得'4()()()c R t R t R t π=,而球的表面积为2()4()S t R t π=, 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表=,即''''228()()24()()()()()()c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ⨯表====,故选D解析:'2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立,24120a a ∆=-≤⇒≤二、填空题12.(1,e ), e -y -2=0 14.]41,0[ 三、解答题15.解析:因为xx x f x x x f +-+='+-+=12)1(2)()1ln()1()(22所以 (1)令0120]11)1[(212)1(2)(2>++⇒>+-+=+-+='xx x x x x x x f 12-<<-⇒x 或x >0,所以f (x )的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞);…(3分)令0120]11)1[(212)1(2)(2<++⇒<+-+=+-+='xxx x x x x x f )(,201x f x x 所以或-<<<-⇒的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2)。

……(5分)(2)令201)1(0)(2-==⇒=+⇒='x x x x f 或(舍),由(1)知,f (x )连续,.2)(,]1,11[,,2)1(,1)0(,21)11(222---∈-=-=+=-e x f e ex e e f f ee f 的最大值为时当所以因此可得:f (x )<m 恒成立时,m>e 2-2 (9分)(3)原题可转化为:方程a =(1+x )-ln(1+x )2在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。

,9ln 3)2(,4ln 2)1(,1)0(,20)()12(.)2,1()(,0)(,)2,1(,)1,0()(,0)(,)1,0(,1:,0)(,121)(,)1ln()1()(2-=-====∴>'∈∴<'∈=='+-='+-+=g g g x x x g x g x g x x g x g x x x g xx g x x x g 又点处连续和在分单调递增在时当单调递减在时当解得令则令且2-ln4<3-ln9<1,∴)(x g 的最大值是1,)(x g 的最小值是2-ln4。

所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a 的取值范围是:2-ln4<a ≤3-ln9 ………………… (14分) 16.解析:(1)当1a =时32()f x x x x m =+-+, ∵()f x 有三个互不相同的零点,∴32()0f x x x x m =+-+=即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根. 令32()g x x x x =--+,则/2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+ ∵()g x 在(,1)-∞-和1(,)3+∞均为减函数,在1(1,)3-为增函数, ∴15()(1)1,()()327g x g g x g =-=-==极小极大所以m 的取值范围是5(1,)27- ………………4分 (2)由题设可知,方程/22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根,∴/2/2(1)320(1)3200f a a f a a a ⎧=+-<⎪-=--<⎨⎪>⎩,解得3a > ………8分(3)∵/22()323()(),3a f x x ax a x x a =+-=-+又0a >,∴当x a <-或3a x >时,/()0f x >;当3a a x -<<时,/()0f x <. ∴函数()f x 的递增区间为(,)(,),3a a -∞-+∞和单调递减区间为(,)3a a - 当[]3,6a ∈时,[]1,2,33aa ∈-≤-, 又[]2,2x ∈-,∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<,∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++, 又∵()1f x ≤在[]2,2-上恒成立,∴2max ()18421f x a a m ≤-+++≤即, 即[]29423,6m a a a ≤--∈在上恒成立.∵2942a a --的最小值为87-, ∴87.m ≤- ………13分 17.解析:(Ⅰ)()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩…………………5分(Ⅱ)∵()()()'230f x x a a =-≠,当0a <时,()'0f x >, ()f x 在(),-∞+∞上单调递增,此时函数()f x 没有极值点.当0a >时,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增, 当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =是()f x 的极大值点,x =是()f x 的极小值点.……………12分18.解析:''''()()()()()()()()()y x a x b x c x a x b x c x a x b x c =---+---+--- ()()()()()()x b x c x a x c x a x b =--+--+--20.解法一:根据题意知,只有点C 在线段AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设C 点距D 点x km, 则 ∵BD=40,AC=50-x ,∴BC=222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元,依题意有:y =3a (50-x)+5a 2240+x (050)x <<y ′=-3a +22405+x ax,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数在x =30(km)处取得最小值,此时AC=50-x =20(km)∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省. 解法二:设∠BCD=θ,则BC=θsin 40,CD=)20(,cot 40πθθ<<,θcot 4050-=AC 设总的水管费用为f(θ),依题意,有f (θ)=3a (50-40·cot θ)+540sin a θ⋅=150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f '(θ)=40a 22(53cos )sin (53cos )(sin )35cos 40sin sin a θθθθθθθ''-⋅--⋅-⋅=⋅ 令f '(θ)=0,得cos θ=53 根据问题的实际意义,当cos θ=53时,函数取得最小值,此时sin θ=54,∴cot θ=43, ∴AC=50-40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省.。

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