九年级数学上册专题八与垂径定理有关的辅助线同步测试新人教版

九年级数学上册专题八与垂径定理有关的辅助线同步测试

新人教版

一 连半径构造直角三角形

教材P83练习第1题)

如图1，在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，求⊙O 的半径．

图1

变形1答图

解：作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则AE ＝12AB ＝12

×8＝4(cm)，OE ＝3 cm ，∴OA ＝AE2＋OE2＝42＋32＝5(cm)．

【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径﹨弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．

如图2，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则⊙O 的直

径为( D )

A ．8

B ．10

C ．16

D ．20

【解析】 如图，连接OC ，根据题意，得CE ＝12

CD ＝6，BE ＝2.在Rt △OEC 中，设OC ＝x ，则OE ＝x －2，

故(x －2)2＋62＝x 2，解得x ＝10，即直径AB ＝20.

图2

图3

“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，

不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝1尺，求直径CD 长是多少寸．”(注：1尺＝10寸)

解：∵AB ⊥CD ，∴AE ＝BE .∵AB ＝10，∴AE ＝5.

在Rt △AOE 中，∵OA 2＝OE 2＋AE 2，∴OA 2＝(OA －1)2＋52，∴OA ＝13，∴CD ＝2OA ＝26(寸)． 二 作弦心距巧解题

(教材P90习题24.1第10题)

⊙O 的半径为13 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，求AB 和CD 的距离．

解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD ＝10 cm ，

∴DE ＝5 cm.∵OD ＝13 cm ，∴利用勾股定理可得OE ＝12 cm.同理可求OF ＝5 cm ，∴EF ＝7 cm.

第二种情况：EF ＝OE ＋OF ＝17 cm.

【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法．

如图4，⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离．

图4

变形1答图

解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，交CD 于F ，连接OA ，∵A B ∥CD ，∴O F ⊥CD .

在Rt △OAE 中，∵OA ＝17，AE ＝BE ＝12

AB ＝15，∴OE ＝8，同理可求OF ＝15. ∵圆心O 位于AB ，CD 的上方，

∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)，

即AB 和CD 的距离是7 cm.

如图5所示，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__24__cm.

【解析】 点P 到圆心的最短距离即点O 到弦AB 的垂线段的长度，当点P 是AB 中点时，连接OA ，则AB ＝2AP ＝2OA2－OP2＝2132－52＝2×12＝24(cm)．

图5

图6

如图6，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB ＝CD＝8，则OP的长为(C)

A．3 B．4 C．32D．42

【解析】如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD.

由垂径定理﹨勾股定理，得

OM＝ON＝52－42＝3.

∵弦AB，CD互相垂直，

∴∠DPB＝90°.

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP＝∠ONP＝90°，

∴四边形MONP是正方形，∴OP＝32，故选C.

把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7所示，已知EF＝CD ＝16 cm，则球的半径为__10__cm.

图7

变形4答图

【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取弧EF所在圆的圆心为O，连接OF. 设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8，

在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，

即(16－x )2＋82＝x 2，解得x ＝10.

当宽为3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8

所示(单位：cm)，那么该圆的半径为__256

__cm.

图8

【解析】 连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵OD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12

(9－1)＝4.设OA ＝r ，则OD ＝r －3，在Rt △OAD 中，OA 2－OD 2＝AD 2，即r 2－(r －3)2＝42，解得r ＝256

cm. 如图9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在圆O 的半径．

图9

解：由垂径定理得BF ＝12

AB ＝1.5，OE ⊥AB ，设圆O 半径为x ，则OF ＝x －1，在Rt △OBF 中，根据勾股定理得x 2＝1.52＋(x －1)2，解得x ＝1.625，即圆O 的半径是1.625 m.

某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O ，桥下水面宽度为7.2 m ，过O 作OC ⊥AB 于D ，交圆弧于C ，CD ＝2.4 m(如图10所示)．现有一艘宽3 m ﹨船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？

图10

解：如图，连接ON ，OB ，且设DE 为船舱的高．