无穷级数开题报告

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4．指导教师审核意见:
指导教师（签字）： 5．学院学术委员会审查意见
年月日
学院学术委员会主任（签字）
学院（签章）年月日
说明：
1.本报告必须由承担毕业论文（设计）课程任务的学生在正式开始做论文（设计）前独立撰写完成，交指导教师审阅、学院审查。
2.本报告作为指导教师、学院审查学生能否承担该毕业论文（设计）课题任务的依据，并随论文（设计）正文一起统一归档。
n→∞ 时的无穷小。因此，我们可以利用无穷小的比较来判断。实际上，级数的收敛与否，就取决于通项趋于零的速度：公比绝对值小于 1 的等比数.
为检验非协调元的收敛性，1970 年代西方学者 lrons 提出“小片检验”准则，一直未获证明。
其后，德国数学家 Stummel 指出该准则并非收敛性的充要条件。中国学者石钟慈分析了工程计算中一些不满足“小片检验”准则却有收敛效果的实例，从理论上证明了这些实例在某些场合下确为收敛，否定了“小片检验”的必要性，并给出可获收敛结果的网格剖分条件。从而扩大了非协调元的使用范围，在理论和实际上均具有重大意义。
石钟慈还发现并首次从理论上研究了非协调元的一种较普遍存在的奇特的错向收敛现象。即有限元近似解可收敛到非真解的错误极限。他找到若干这种非协调元，具体给出其错误极限，证实非协调元的解有时强烈依赖于网格剖分的几何形状。
Stummel 后来提出非协调元收敛的充要条件：广义小片检验。因过于理论化，实践中不便应用。石钟慈采用了小片检验的某些合理内核，并运用广义小片检验严格的数学论证方法，提出一种理论上严格、又简便实用的非协调元收敛性的 F—E—M 准则。运用这一准则可以方便地检验包括未通过小片检验的元在内的大量非协调元。
2．本课题主要研究方法、研究手段和需要重点研究的问题及解决的思路:

极限求法的开题报告

极限求法的开题报告极限求法的开题报告一、引言极限求法是数学中的重要概念，是解决各种问题的基础。

本文将从极限的定义、性质以及应用等方面进行探讨，以期深入理解极限求法的本质和意义。

二、极限的定义极限是数学中一个基本的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

在数学中，极限的定义可以从两个方向进行解释：一是从数列的角度，二是从函数的角度。

1. 数列的极限数列的极限是指当数列的项无限逼近某一确定值时，这个确定值就是数列的极限。

数列的极限可以用数学符号表示为：lim⁡(n→∞)an=a。

其中，n表示项的序号，an表示数列的第n项，a表示极限的值。

2. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一确定值时，函数值也无限接近于某一确定值。

函数的极限可以用数学符号表示为：lim⁡(x→a)f(x)=L。

其中，x表示自变量，a表示自变量的极限值，f(x)表示函数，L表示极限的值。

三、极限的性质极限具有一些重要的性质，这些性质在极限求法中起到了重要的作用。

1. 极限的唯一性函数的极限值是唯一的，即一个函数在某一点的极限只有一个确定的值。

2. 极限的保号性如果一个函数在某一点的左侧极限为正数，而右侧极限为负数，那么这个函数在该点必然存在一个零点。

3. 极限的四则运算对于两个函数的极限，可以进行加减乘除等四则运算。

具体而言，如果两个函数的极限都存在，那么它们的和、差、积、商的极限也都存在，并且可以通过已知函数的极限来求解。

四、极限的应用极限的应用广泛存在于数学的各个领域，尤其是微积分、数值计算等方面。

1. 微积分中的极限微积分中的极限是求解导数和积分的基础。

通过对函数在某一点的极限进行求解，可以得到该点的导数值。

而在积分中，也需要利用极限的性质来进行计算。

2. 数值计算中的极限在数值计算中，极限的应用主要体现在数值逼近和误差分析等方面。

通过极限的求解，可以得到数值计算的近似解，并对计算结果的误差进行评估和控制。

五、结论极限求法是数学中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

微积分05无穷级数与微分方程

项目四无穷级数与微分方程实验1 无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入 Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为.6/2π 命令Sum 与数学中的求和号∑相当. 2. 将函数展开为幂级数的命令Series 该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}]它将)(x f 展开成关于0x x -的幂级数. 幂级数的最高次幂为,)(0n x x -余项用10)(+-n x x 表示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}] 则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数[][][]()[]()[]()[][]654433201201024106102100x O x y x y x y x y x y y ++++''+'+ 3. 去掉余项的命令Normal在将)(x f 展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用 Normal 命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}] Normal[%] 则输出765432]x [O !6x !5x !4x !3x !2x x 1+++++++!6x 5x 4x !3x !2x x 165432++++++ 4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal 命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]] Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式6x 2x x 132+++ 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入 Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}] 则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlotListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为}16,16{,},3,3{},2,2{},1,1{2222 的散点图(图1.1).图1.1.6. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1 g[x_]:=-x/;-1<=x<0 g[x_]:=g[x –2]/;x>=1则得到分段的周期函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<≤--=1x ),2x (g 1x 0,x 0x 1,x )x (g再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}] 则输出函数)(x g 的图形1.2.图1.2注:用Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来定义周期性分段函数更方便些. 用Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica 命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which 定义的分段函数可以求导但不能积分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep 的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材例1.1)(1) 观察级数∑∞=121n n的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数∑∞=11n n 的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}]; ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]] N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}]; ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)例1.2 画出级数∑∞=--111)1(n n n的部分和分布图. 输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3 设,!10n a nn = 求∑∞=1n na.输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出n a 的散点图,从图中可观察n a 的变化趋势. 输入 Sum[a[n],{n,l,Infinity}] 则输出所求级数的和.求幂级数的收敛域例1.4 求∑∞=+-021)3(4n nn n x 的收敛域与和函数.输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1); stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出n2)x 3)(n 1(16++-+再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity] 则输出)x 3(16+-这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solve[steptwo==1,x] zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→1647x 1649x 与由此可知,当16491647<<x 时,级数收敛,当1647<x 或1649>x 时,级数发散.为了判断端点的敛散性, 输入 Simplify[a[n]/.x->(49/16)] 则输出右端点处幂级数的一般项为1n 1+ 因此,在端点1649=x 处,级数发散. 再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)] 则输出左端点处幂级数的一般项为1n )1(n+- 因此,在端点1647=x 处, 级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入 Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}] 则输出)x 3(16)]x 3(161[Log +-+---函数的幂级数展开例1.5 求x cos 的6阶麦克劳林展开式. 输入Series[Cos[x],{x,0,6}] 则输出7642]x [o 720x 24x 2x 1+-+- 注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式. 例1.6 求x ln 在1=x 处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}] 则输出.]x [o 6)1x (5)1x (4)1x (3)1x (2)1x ()1x (765432+---+---+--- 例1.7 求x arctan 的5阶泰勒展开式. 输入serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}]; Poly=Normal[serl]则输出x arctan 的近似多项式5x 3x x 53+- 通过作图把x arctan 和它的近似多项式进行比较. 输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形, 图中虚线为函数x arctan ,实线为它的近似多项式.实验习题1.求下列级数的和:(1);21∑∞=k kk(2);)12(112∑∞=-k k (3);)2(112∑∞=k k (4).)1(11∑∞=--k k k2. 求幂级数∑∞=+--012)5()1(n nn x 的收敛域与和函数.3. 求函数)1ln()1(x x ++的6阶麦克劳林多项式.4. 求x arcsin 的6阶麦克劳林多项式.5. 设1)(2+=x xx f ,求)(x f 的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的图形作在一个坐标系内.实验2 微分方程（基础实验）实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve 命令来求其通解或特解. 例如,求方程023=+'+''y y y 的通解, 输入DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:{}{}]2[C e ]1[C e ]x [y x x 2--+→注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的初值问题:,10,6,03400='==+'+''==x x y y y y y输入Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*) 则输出{}{}x 2x 3e 148(e ]x [y +-→-2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve 命令来求其特解.例如要求方程5.0,032=+='=x y x y y 的近似解)5.10(≤≤x , 输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}] (*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*) 则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}注:因为NDSolve 命令得到的输出是解)(x y y =的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系列点n x x x ,,,21 , 计算出在这些点上函数的近似值n y y y ,,,21 , 再通过插值方法得到)(x y y =在区间上的近似解.3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为),(y x f y ='的形式,其中),(y x f 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数y 在点x 处的斜率等于函数 f 在点),(y x 处的函数值. 因此,可在Oxy 平面上的每一点, 作出过该点的以),(y x f 为斜率的一条很短的直线(即是未知函数y 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程),(y x f y ='的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在Oxy 平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程),(y x f y ='的近似的积分曲线.例如,画出0)0(,12=-=y y dxdy的方向场. 输入<<Graphics`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16, HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形,从图中可以观察到, 当初始条件为2/10=y 时, 这个微分方程的解介于1-和1之间, 且当x 趋向于-∞或∞时, )(x y 分别趋向于1-与1.下面求解这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}]; Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解xxe e x y 2211)(++-=,以及解曲线与方向场的图形. 从中可以看到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve 命令求解微分方程例2.1 求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解. 输入Clear[x,y];DSolve[y '[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x] 则输出微分方程的通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→--]1[C e x e 21]x [y 22x 2x其中C[1]是任意常数.例2.2 求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解.输入Clear[x,y];DSolve[{x*y ' [x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2 E},y[x],x]则输出所求特解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x e e ]x [y x 例2.3 求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解.输入DSolve[y ''[x]-2y '[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2 x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++→])x 2[Sin ])1[c 4x (2]x 2[Cos ])2[c 81((e 81]x [y x例2.4 求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线. 输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形.例2.5 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.输入Clear[x,y,t];DSolve[{x' [t]+x[t]+2 y[t]==Exp[t], y'[t] -x[t]- y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→→])t [Sin ]t [Cos e (21]t [y ],t [Cos ]t [x t例2.6 求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y' [x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[C )x 1()x 1(32]x [y 22/7下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设),3,2,1,0,1,2,3---=C 输入t=Table[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01, PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形.用NDSolve 命令求微积分方程的近似解例2.7 求初值问题:1,0)1()1(2.1=='-++=x y y xy y xy 在区间[1.2,4]上的近似解并作图. 输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},< >]}}用Plot 命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate, 输入 Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}] 则输出近似解的图形.如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值, 例如8.1=x y ,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.8 求范德波尔(Van der Pel)方程5.0,0,0)1(02-='==+'-+''==x x y yy y y y在区间[0,20]上的近似解. 输入Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5},y,{x,0,20}]; Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形.例2.9 求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y 的数值解, 并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}]Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形例2.10 洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t]-4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];则输出所求数值解的图形. 从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子, 这个吸引子紧紧地把解的图形“吸”在一起. 有趣的是, 无论把解的曲线画得多长, 这些曲线也不相交.改变初值为,10)0(,10)0(,6)0(=-==z y x 输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形. 从图中可以看出奇异吸引子又出现了, 它把解“吸”在某个区域内, 使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验习题1. 求下列微分方程的通解:(1) ;0136=+'+''y y y (2) ();024=+''+y y y (3) ;2sin 52x e y y y x =+'-''(4) .)1(963x e x y y y +=+'-'' 2. 求下列微分方程的特解:(1) ;15,0,029400='==+'+''==x x y y y y y (2) .1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y3. 求微分方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 在初始条件10==x y下的特解.分别求精确解和数值解)10(≤≤x 并作图.4. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++t te y x dt dye y x dt dx235的通解.5. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧==+-==-+==4,081,0300t t y y x dt dyx y x dt dx的特解.6. 求欧拉方程组324x y y x y x =-'+''的通解.7. 求方程5,0,011='==+'+''==x x y y y y x y 在区间[0,4]上的近似解.实验3 抛射体的运动（综合实验）实验目的通过微分方程建模和Mathematica 软件,在项目一实验5的基础上,进一步研究在考虑空气阻力的情况下抛射体的运动.问题根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km 的前方有一敌军的坦克群正以每小时50km 向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题. 假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s 至0.5km/s 之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明本节我们研究受到重力和空气阻力约束的抛射体的射程. 用))(),((t y t x 记抛射体的位置, 其中x 轴是运动的水平方向, y 轴是垂直方向. 通过在0=y 的约束下最大化x , 可以计算出使抛射体的射程最大的发射角. 假设0=t 时抛射体(炮弹)在原点(0,0)以与水平线夹角为,α初始速度为0v 发射出去. 它受到的空气阻力为.,⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt dy dt dx k kv F r (3.1)重力为).,0(mg F g -= (3.2) 在推导)(t x 和)(t y 所满足的微分方程之前, 补充一点说明:虽然我们将位置变量),(t x )(t y 仅写作t 的函数,但实际上位置变量还依赖于几个其它的变量或参数. 特别是,x 和y 也依赖于发射角α、阻力系数k 、质量m 及重力加速度g 等.为了推导x 和y 的方程, 按照牛顿定律,ma F =并结合重力的公式(3.2)和空气阻力的公式(3.1), 得到微分方程0)()(='+''t x k t x m (3.3)0)()(=+'+''mg t y k t y m (3.4)根据前面所述假设知, ),(t x )(t y 满足下列初始条件0)0(,0)0(==y x ,.sin )0(,cos )0(00ααv y v x ='=' (3.5)先求解)(t x ,由方程(3.3),令,x v '=可将其化为一阶微分方程.0=+'kv v m易求出其通解 .)(t m k Ce t v -=由,cos )0()0(0αv x v ='= 得αcos 0v C =,所以 .cos )(0t m k e v t v -=α从,x v '=通过积分得到x , 即 .cos )(0D e v k m t x t m k+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-α 由,0)0(=x 得,cos 0αv k m D ⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以 )1(cos )(0t m ke v k m t x --⎪⎭⎫ ⎝⎛=α (3.6) 类似地,可从方程(3.4)解出y . 令,y v '= 方程化为一阶微分方程, 两端除以m ,得.g v m k v -=+' 再在上述方程两端乘以积分因子.t m k e 得,t m k t m k t m k ge v e mk v e -=+' 即 ,)(t m k t m k ge ve dtd -= 两端积分得 .Ce kgm ve t m k t m k +-= 所以 .t m k Ce kgm v -+-= 利用初始条件αsin )0()0(0v v y =='确定其中的常数C 后, 积分v 得到y ,再次利用初始条件0)0(=y 确定任意常数后,则得到.sin )1(0αt m kt m k e v k m e k m t k m k gm y ---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (3.7) 下面我们利用公式(3.6)与(3.7)来描绘炮弹运行的典型图形. 假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 55, 输入Clear[a,t,x,y,g,m,k]x[v_,a_,t_]:=(m/k)*v*Cos[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])y[v_,a_,t_]:=(g*m/k)((m/k)-t-(m/k)*Exp[-(k/m)*t])+(m/k)*v*Sin[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])g=9.8;m=5.0;k=0.01;炮弹飞行的时间由炮弹落地时的条件0y所确定. 输入=FindRoot[y[350,55,t]==0,{t,50}]则输出炮弹飞行的时间{t->57.4124}α时, 输入当发射角=65x[350,55, 57.4124]//N则输出炮弹的最大射程为10888.5现在我们可以画出炮弹运行的典型轨迹了. 输入ParametricPlot[{x[350,55,t],y[350,55,t]},{t,0,57.4124},PlotRange->{0,11000},AxesLabel->{x,y}]图3-1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的典型轨迹.(2) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克?画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角?从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案?注:在研究过程中,还要包括适当改变阻力系数k与炮弹的质量m所带来的变化.实验4 蹦极跳运动（综合实验）实验目的利用Mathematica软件,通过微分方程建模,研究蹦极跳运动.问题在不考虑空气阻力和考虑空气阻力等多种情况下,研究蹦极跳运动中,蹦极者与蹦极绳设计之间的各种关系.说明蹦极绳相当于一根粗橡皮筋或有弹性的绳子. 当受到张力使之超过其自然长度,绳子会产生一个线性回复力, 即绳子会产生一个力使它恢复到自然长度, 而这个力的大小与它被拉伸的长度成正比. 在一次完美的蹦极跳过程中, 蹦极者爬上一座高桥或高的建筑物, 把绳的一头系在自己身上, 另一头系在一个固定物体如桥栏杆上, 当他跳离桥时, 激动人心的时刻就到来了. 这里要分析的是蹦极者从跳出那一瞬间起他的运动规律.首先要建立坐标系. 假设蹦极者的运动轨迹是垂直的, 因此我们只要用一个坐标来确定他在时刻t 的位置. 设y 是垂直坐标轴, 单位为英尺, 正向朝下, 选择0=y 为桥平面, 时间 t 的单位为秒, 蹦极者跳出的瞬间为,0=t 则)(t y 表示t 时刻蹦极者的位置. 下面我们要求出 )(t y 的表达式.由牛顿第二定律, 物体的质量乘以加速度等于物体所受的力. 我们假设蹦极者所受的力只有重力、空气阻力和蹦极绳产生的回复力. 当然, 直到蹦极者降落的距离大于蹦极绳的自然长度时, 蹦极绳才会产生回复力. 为简单起见, 假设空气阻力的大小与速度成正比, 比例系数为1, 蹦极绳回复力的比例系数为0.4. 这些假设是合理的, 所得到的数学结果与研究所做的蹦极实验非常吻合. 重力加速度./322s ft g =现在我们来考虑一次具体的蹦极跳. 假设绳的自然长度为,200ft L = 蹦极者的体重为 160lb ①,则他的质量为532/160==m 斯②. 在他到达绳的自然长度(即)200-=-=L y 前, 蹦极者的坠落满足下列初值问题:,1v mg dt dy --= .0)0(=v 利用Mathematica 求解上述问题. 输入g=32; m=5; L=200;{{v1[t_],y1[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m,y'[t]==v[t],v[0]==0,y[0]==0},{v,y},t]则输出)}}t e e 55(e 160),e 1(e 160{{5/t 5/t 5/t 5/t 5/t +--+----蹦极者坠落L 英尺所用的时间为t1=t/.FindRoot[y1[t]==-L,{t,2}]4.00609现在我们需要找到当蹦极绳产生回复力后的运动初始条件. 当1t t >时, 蹦极者的坠落满足方程)(4.01y L mv m g dt dv +---= 初始条件为).1(1)1(,)1(t v t v L t y =-=解初值问题:{{v2[t_],y2[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m-0.4*(L+y[t])/m,y'[t]==v[t],v[t1]==v1[t1],y[t1]==-L},{v,y},t]则输出所求解, 这个解是用复指数函数来表示的.现在蹦极者的位置由命令bungeey[t_]=If[t<t1,y1[t],y2[t]]给出, 输入命令Plot[bungeey[t],{t,0,40},PlotRange->All]则输出位置-时间图形(图4-1)图4-1从上图可以看出, 蹦极者在大约13s内由桥面坠落770ft, 然后弹回到桥面下550ft, 上下振动几次, 最终降落到桥面下大约600ft处.实验报告1.在上述问题中(),=wL求出需要多长时间蹦极者才能到达他运动轨迹上的,200=160最低点, 他能下降到桥面下多少英尺?2.用图描述一个体重为195lb, 用200ft长绳子的蹦极者的坠落. 在绳子对他产生力之前, 他能做多长时间的“自由”降落?3.假设你有一根300ft长的蹦极索, 在一组坐标轴上画出你所在实验组的全体成员的运动轨迹草图.4.一个55岁, 体重185lb的蹦极者, 用一根250ft长的蹦极索. 在降落过程中, 他达到的最大速度是多少? 当他最终停止运动时, 他被挂在桥面下多少英尺?5.用不同的空气阻力系数和蹦极索常数做实验, 确定一组合理的参数, 使得在这组参数下, 一个160lb的蹦极者可以回弹到蹦极索的自然长度以上.6.科罗拉多的皇家乔治桥(它跨越皇家乔治峡谷)距谷底1053ft, 一个175lb的蹦极者希望能正好碰到谷底, 则他应使用多长的绳子?7.假如上题中的蹦极者体重增加10lb, 再用同样长的绳子从皇家乔治桥上跳下, 则当他撞到乔治峡谷谷底时, 他的坠落速度是多少?参考文献[1] 吴赣昌等. 高等数学多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[2] 吴赣昌等. 线性代数多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[3] 吴赣昌等. 概率论与数理统计多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[4] A.D.Andrew, G.L.Cain, S.Crum, T.D.Morley. 用Mathematica 做微积分实验. 俞正光, 章纪民译. 清华大学出版社, 2003[5] 章栋恩,许晓革. 高等数学实验, 高等教育出版社, 2004[6] 上海市教育委员会组编. 高等数学. 科学出版社, 1998[7] 赵静等. 工科数学实验. 高等教育出版社, 1999[8] 乐经良, 向隆万, 李世栋. 数学实验. 高等教育出版社, 1999[9] 李尚志, 陈发来等. 数学实验. 高等教育出版社, 1999[10] 梁浩云. Mathematica 软件与数学实验. 华南理工大学出版社. 2001[11] 张韵华. 符号计算系统Mathematica 教程. 科学出版社. 2001[12] 邓建松. Mathematica 使用指南. 彭冉冉译. 麦格劳－希尔出版社. 2002。

二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告

二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告1.选题背景与意义常微分方程是数学中重要的研究对象，它是描述自然现象的基础模型之一。

在实际应用中，很多问题可以转化为常微分方程，因此研究常微分方程的性质对于解决实际问题具有重要意义。

而边值问题是研究常微分方程时经常遇到的问题，它是在给定区间的边界条件下求解方程的一种方法。

在边值问题中，一般需要求解的是在一个区间上满足某些边界条件的方程解。

二阶常微分方程无穷多点边值问题是边值问题的一个重要分支，在许多实际问题中都具有重要应用，例如物理学中的波动方程、量子力学中的定态薛定谔方程等。

研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。

2.研究目的和内容本文旨在研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，并探讨其求解方法。

具体包括以下内容：（1）介绍二阶常微分方程无穷多点边值问题的基本概念和相关理论。

（2）研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的唯一性和存在性。

（3）讨论二阶常微分方程无穷多点边值问题解的逼近方法及其误差估计。

（4）探讨边值问题的数值解法及其算法实现。

3.研究方法和步骤本文将主要采用以下方法和步骤：（1）理论分析：运用函数分析、微分方程理论等数学方法，推导二阶常微分方程无穷多点边值问题的一般形式、适定性条件及解的逼近方法。

（2）算法设计：基于上述理论分析，设计求解边值问题的数值方法，并探讨其算法实现。

（3）数值实验：通过典型例子的数值实验，验证所提出的求解方法和算法的正确性和可行性。

4.预期研究结果本文预期得到以下研究结果：（1）建立二阶常微分方程无穷多点边值问题的数学模型，研究其唯一性和存在性。

（2）提出求解二阶常微分方程无穷多点边值问题的逼近方法及误差估计，并进行数值验证。

（3）探讨边值问题的数值解法及其算法实现，并通过数值实验验证其正确性和可行性。

5.研究意义及参考价值本文研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。

无穷级数实验报告

一、实验目的1. 理解无穷级数的概念及其在数学和工程中的应用。

2. 掌握MATLAB软件在求解无穷级数中的应用。

3. 通过实际操作，加深对无穷级数收敛性、收敛域的理解。

二、实验原理无穷级数是数学中一种重要的数学工具，它将无限多个数按照一定的规律排列起来，形成一种表达形式。

在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

无穷级数分为收敛级数和发散级数，其中收敛级数是指当项数无限增加时，级数的和趋于某一固定值。

傅里叶级数是无穷级数的一种，它将周期函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

通过傅里叶级数，我们可以了解周期函数的频谱特性以及各个频率分量对函数形状的贡献程度。

三、实验内容1. 实验一：求解e的近似值（1）原理：利用e的泰勒级数展开式 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...，通过计算前n项的和来逼近e的值。

（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项泰勒级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。

2. 实验二：求解π的近似值（1）原理：利用π的莱布尼茨级数展开式π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...，通过计算前n项的和来逼近π的值。

（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项莱布尼茨级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。

3. 实验三：求解无穷级数收敛性（1）原理：判断无穷级数的收敛性，可以通过比值法则、根值法则等方法。

（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算级数的通项；b. 利用比值法则或根值法则，判断级数的收敛性；c. 分析级数的收敛域。

四、实验结果与分析1. 实验一：计算e的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，e的近似值为2.71828，与实际值相差很小。

随着n的增加，近似值越来越接近实际值。

2. 实验二：计算π的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，π的近似值为3.14159，与实际值相差很小。

高等数学数学实验报告无穷级数

高等数学数学实验报告实验人员：院（系） _电子科学与工程学院_ 学号_06211623_ 姓名_吴晓锋_ 实验地点：计算机中心机房实验一一、实验题目观察∑∞=1!n n n n 的部分和序列的变化趋势，并求和二、实验目的和意义学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。

三、计算公式∑∞=1!n n n n四、程序设计（1）逼近（2）求和五、程序运行结果N[Sum[n!/n n,{n,Infinity}],50]Output= 1.87985386217525853349六、结果的讨论和分析通过利用mathematics可以直观的看出逼近图像，利用Table命令可以生成部分和的序列的数据点，同时控制点的疏密程度以利于观测。

利于软件求部分和十分快速，精确，不失为一种求和的好方法。

实验二一、实验题目观察函数,0()1,0x xf xxππ--≤<⎧=⎨≤<⎩展成的Fourier级数的部分和逼近()f x的情况。

二、实验目的和意义本实验的目的是用Mathematica显示级数部分和的变化趋势；学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算；展示Fourier级数对周期函数的逼近情况。

三、计算公式⎰=ππ-f(x )dx π1a ⎰=ππ-nx dx x )cos (f π1n a ⎰=ππ-nx dx x )sin (f π1n b四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析如初值对结果的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改进；整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出现的问题及其处理等广泛的问题，以此扩大知识面和对实验环节的认识。

数学中的无穷奥秘无穷级数的探索

数学中的无穷奥秘无穷级数的探索数学中的无穷奥秘：无穷级数的探索数学是一门广泛且深奥的学科，包含了许多深入研究的领域。

其中，无穷级数是数学中的一个重要概念，它引发了许多数学家的探索和研究。

本文将围绕无穷级数展开，介绍其定义、性质、应用以及相关的数学奥秘。

一、无穷级数的定义无穷级数是由一系列无穷多个数相加或相减而得到的数学表达式。

一般情况下，无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各个项。

级数的和S可以是有限的或者无限的，取决于各个项的取值和相加的方式。

二、无穷级数的性质无穷级数具有许多有趣的性质，其中包括收敛性和发散性。

1. 收敛性当无穷级数的部分和有极限存在时，称该无穷级数是收敛的。

换句话说，如果存在一个有限数L，使得当n趋近于无穷大时，级数的部分和Sn趋近于L，那么该无穷级数收敛，表示为：lim⁡(n→∞)⁡Sn = L其中，Sn表示级数的第n项部分和。

2. 发散性当无穷级数的部分和没有极限存在时，称该无穷级数是发散的。

也就是说，如果无论n取多大，级数的部分和Sn都不趋近于任何有限数，那么该无穷级数发散。

三、无穷级数的应用无穷级数在数学中有着广泛的应用，尤其是在微积分、概率论、数理统计等领域。

1. 泰勒级数泰勒级数是一种特殊的无穷级数，用于近似表示函数。

利用泰勒级数可以将复杂的函数表示为无穷级数的形式，从而方便计算和分析函数的性质。

2. 级数求和在实际计算中，无穷级数可以通过部分和的计算来逼近其和。

通过截取级数的前n项，可以得到一个与无穷级数足够接近的有限数值结果。

3. 概率论与统计学在概率论和统计学中，无穷级数被广泛应用于计算概率分布和统计模型的性质。

无穷级数的收敛性质和数值结果可为概率分布的计算和统计推断提供重要依据。

四、无穷级数的奥秘无穷级数背后存在许多数学奥秘，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想认为，任何一个大于2的偶数都可以被表示为两个素数之和。

求极限的有关方法开题报告

近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助。
[4] 郝梅：求函数极限的方法源自福建教育学校学报..[5] 曹学锋, 孙幸荣. 无穷小量在求极限中的应用[J]. 数学学习与研究(教研版), 2008, (01)
[6]华东师范大学数学系.数学分析.下册.北京:高等教育出版社,2006；
[7] 陈璋：朱学炎等.《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社.2006
[8] 郝涌：卢士堂等.《数学考研精解》.华中理工大学出版社.2004
指导教师审核意见
签名：
年月日
教研室主任（签名）教学学院院长（签名）
2013年月
xxxx大学数学与信息科学学院09级
学生毕业论文（设计）开题报告
学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学生姓名：xxx班级：09数xxx学号：
论文题目：求极限的有关方法指导教师：xxx
本题目研究的现状
作为研究函数最基本的方法——极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。

数学中的无穷级数理论研究

数学中的无穷级数理论研究数学是一门优美的学科，其背后有着严谨的理论和深刻的洞察力，在几乎所有领域都占有重要地位，其中无穷级数理论是数学中的一个重要分支。

无穷级数是一种重要的数学对象，它可以被看作是无限多个数的和，通常是无数个实数或复数之和。

无穷级数的研究在数学史上是非常重要的，无限集合的概念，以及无穷小量的概念都是从无穷级数的研究中发展而来的。

最初，无穷级数的研究主要是以收敛和发散问题为主，其中收敛的无穷级数可以被看做是一个数序列的极限，而收敛的性质则在分析学中得到了完美的阐述。

在分析学中，Cauchy收敛准则和Weierstrass M测试给出了许多应用广泛的无穷级数的判别标准。

在数学史上，无穷级数的研究可以追溯到十七世纪初期，初期的研究主要集中在发散的无穷级数以及收敛的无穷级数的和的估计。

但是，到了十九世纪末，无穷级数理论的研究重点从判别转移到了求和的问题。

这时，用于求和的方法成为了无穷级数理论中的又一个重要的问题，例如，Euler在18世纪50年代发现了一个神奇的级数，称为调和级数，它收敛到一个无穷大，但是调和级数的极限对数学领域的研究是非常重要的，这启发了人们研究无穷级数的更深奥的理论问题。

在20世纪初，人们开始研究特殊的无穷级数，其中一些无穷级数的和是依赖于一些特殊类型的数学函数，例如Dirichlet级数、交替级数和Zeta函数等。

无穷级数的和问题在20世纪初被一些精通复分析和调和分析的数学家开始研究，他们使用了一些新的高深工具，比如黎曼切换方法、柯西主值等等，来研究一些最为困难的问题。

在21世纪，人们对无穷级数的研究仍在继续，一些新的理论和方法得到了广泛应用，无穷级数理论在数学分析、代数、微积分和几何中达到了高峰，成为了现代数学的重要组成部分。

无穷级数理论的实践应用无穷级数理论不仅是一种理论工具，而且还有着广泛的应用。

无穷级数的和求解是一种非常基础的算法，它在地球物理、工程学、计算机科学、等各个领域中应用广泛。

《高等数学》第十章无穷级数(电子讲稿)

380 第十章无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑，（2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性．解部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑．（3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---．当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -；当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散．例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的．二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ．证设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=．性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性．性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变．应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散．习题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑；（2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数．在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1）的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界．由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证（1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式）设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的．证因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性．解（1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散．（2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散．（3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭．由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛．综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑．（2）称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解（1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =）从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰　d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =），故数列{}n s 有界，所以级数（2）收敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑；（2）1111n nn∞+=∑；（3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）21e n n n ∞-=∑．解（1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛．（2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散．（3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性．解因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证（1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）．即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3）或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法）如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤．因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤．因为 21221n n n s s u ++=+，所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解令1n u n =, 显然有（1） 1111n n u u n n +=>=+，（1,2,n =），（2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==．由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛．证因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知：当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散；当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑；（7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项．当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2）而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++，（3）或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理）如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ．因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间．由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果（1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知：（1）当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛．对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛；当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ．相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）．（2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰．逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数．解因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-．设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑，逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +．对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数：（1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和．第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1）其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项．这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2）来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3）幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。

求函数极限的开题报告

本科毕业论文（设计）选题报告书院系：理学院••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

懒洋洋的幸福。

顶 3 收藏 2•【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。

阳光很好，温暖，柔和。

漫天的安静。

顶7 收藏7•【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。

一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。

轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。

落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。

顶11 收藏9•【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。

顶0 收藏 2•【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。

河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。

顶 3 收藏 4•【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。

在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。

顶0 收藏 2•【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。

顶 1 收藏 3•【唯美句子】世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。

数学报告_精品文档

工科数学分析报告-浅析无穷级数一.引言无穷级数理论是高等数学的一个重要组成部分，无穷级数是数或函数的无限和表现形式。

它是进行数值计算的有效工具，计算函数值，造函数值表以及积分运算都可以借助它，利用无穷级数可以研究函数的性质，求解微分方程。

因为无穷级数中包含许多非初等函数，固无穷级数理论在现代数学方法中占有重要地位，在自然科学和工程技术里，也常常用无穷级数来解决问题，如谐波分析等。

总之，无穷级数是分析学的重要组成部分，在理论上，计算上和实际应用中都有重要意义。

二.正项级数相关性质解题思路及方法1.（1）设k ≠0，则1n An ∞=∑与1n kAn ∞=∑敛散性一致，且若1n An ∞=∑收敛，则1n kAn∞=∑=k 1n An ∞=∑。

（2）若1n An ∞=∑，1n Bn ∞=∑均收敛，则1()n An Bn ∞=±∑也收敛。

（3）级数增加或减少有限项不影响其收敛性。

（4）收敛的级数满足结合律。

（5）若1n An ∞=∑收敛，则lim0x An →∞=。

2.定理1：正项级数1n An ∞=∑收敛⇔其部分和有上界定理2：设1n An ∞=∑，1n Bn ∞=∑为正项级数，从某项以后有An ≤Bn（1）若1n An ∞=∑收敛，则1n Bn ∞=∑收敛。

（2）若1n Bn ∞=∑发散，则1n Bn ∞=∑发散。

比较法作参照：等比级数（1n n r ∞=∑，p-级数，1p n n ∞-=∑）。

推论：若 1n An ∞=∑，1n Bn ∞=∑均为正项级数，且从某项后，1An An +≤1Bn Bn+，则（1）. 若1n Bn ∞=∑收敛，则1n An ∞=∑收敛。

（2）.若1n An ∞=∑发散，则1n Bn ∞=∑发散。

定理3：设1n An ∞=∑，1n Bn ∞=∑均为正项级数，若lim n →∞AnBn =c >0，则1n An ∞=∑，1n Bn ∞=∑敛散性一致。

定理4：设1n An ∞=∑为正项级数，若limn →∞1An An+=r ≥0，则（1）r <1时,则1n An ∞=∑收敛；（2）r >1时，则1n An ∞=∑发散；（3）r=1时，无法判断。

无穷级数的应用【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学无穷级数的应用一、选题的背景、意义无穷级数思想的起源可以延续到公元前,但是级数最早被发现并研究于中世纪(14至16世纪)的印度,之后由造访印度的传教士带到了欧洲,并和牛顿的微积分紧密的结合在一起,随着欧洲数学的不断发展,无穷级数的内容也不断增加,研究的方向也从级数本身的性质延伸到应用中来,从最简单的正数项级数和性质开始，渐渐囊括了一般项级数及其性质,再和函数结合在一起,发展出了函数项级数,幂级数和傅里叶级数,之后就是级数思想的发展,从函数项级数和幂级数延伸来的函数的幂级数展开,发展到定积分,不定积分的概念,再发展到无穷逼近等等领域。

无穷级数的研究推进了微积分的建立，作为一种研究数学的工具和思想，级数的诞生更推进了世界数学的发展由于级数的发展经过近百年的时间,并和牛顿的理论一起构成了微积分学的两大支柱,级数的重要性由此可见，由于级数的普遍性，所以在中学以及高等教育学校中便有提及，现今级数的研究方向大致都放在了级数求和,函数表达以及无穷分割求近似的应用方面,国内的学者在理论上趋向于研究幂级数,函数的幂级数展开以及泰勒展式上,在实际中很多需要求近似的地方也用到了级数,比如国防工业弹道,火箭飞行轨迹与回收等领域。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题基本内容是:1，级数的背景和研究状况,包括数项级数,函数列级数,幂级数的敛散性等基础知识；2，函数的幂级数展开以及积分和数列的转换。

拟解决的主要问题:1、无穷级数在积分计算和级数求和方面的应用；2、用无穷级数逼近连续函数；3、用无穷级数构造处处连续且处处不可导的函数。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标1，研究方法与技术路线:主要是通过搜集并阅读文献中有关无穷级数及其延伸的资料，包括它的背景意义、性质及应用的现状和发展方向等内容。

然后对资料进行整理归纳构成级数知识的完整结合，形成论文的主要内容，并补充自己的想法，使之成为一个整体。

无穷积分收敛开题报告

无穷积分收敛开题报告1、选题的背景及意义：无穷积分是定积分将积分区间推广到无穷区间后得到的一类积分，有很多实际的应用背景，同时在复变函数、实变函数及概率论中也有广泛应用，因而研究其算法对实际问题及对后续学习课程都有一定的意义。

无穷积分的计算最基本的是定义法，即通过变上限或者变下限积分的极限的计算而得，但是定积分的算法是有限的，很多定积分都没有办法直接计算出来，因此很多广义积分无法用定义法计算，例如Possion积分等，所以必须借助于新的理论和方法来求无穷积分的算法，从而有效地解决这类问题。

由MathWorks公司开发的计算型软件Matlab具有很强的科学计算能力，因此我们可以借助Matlab软件来实现无穷积分的数值计算，从而验证无穷积分一般算法的准确性。

2、国内外研究状况：由于无穷积分在许多实际问题和科学领域都有着相当重要的应用，几百年来，世界。

上著名的数学大师如拉格朗日、罗尔、柯西、华罗庚等都对积分进行了深入系统的研究。

经管积分理论相对完善，但是在无穷积分的计算上，还有一些值得研究的问题，例如，近年来，顾建雄和雷正红用帕斯瓦尔关系、北京大学吴崇试、万海兵用留数法等方法来探索无穷积分计算方法。

另外，Matlab软件是一个功能非常强大的科学计算软件，现在已经发展为一个集数值处理、图形处理、图像处理、符号计算、文字处理、数学建模、实时控制、动态逼真、信号处理为一体的数学应用软件。

因此，利用Matlab来计算无穷积分是一种有效的无穷积分数值计算方法，同时也可验证无穷积分一般算法的准确性。

3、本选题的研究目标：在研究近年来无穷积分最新算法和经典的算法的基础上，总结出无穷积分的各种算法，并利用Matlab软件实现无穷积分的数值计算。

总结出无穷积分的各种算法，并利用Matlab软件的图像系统来分析并形象直观地展示无穷积分的各种算法。

无穷积分收敛开题报告

无穷积分收敛开题报告无穷积分收敛开题报告一、引言无穷积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。

本次研究的目标是探讨无穷积分的收敛性质，即在何种条件下无穷积分可以收敛。

通过研究无穷积分的收敛性，我们可以更好地理解它在实际问题中的应用，并且为进一步的研究打下基础。

二、基本概念1. 无穷积分的定义无穷积分是指积分上限为无穷大的积分，常用符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx为微元。

无穷积分的定义可以通过极限的概念来表达，即当积分上限趋向于无穷大时，积分的极限存在。

2. 无穷积分的收敛与发散无穷积分的收敛与发散是指在积分过程中，积分结果是否有限。

如果积分结果有限，则称该无穷积分收敛；如果积分结果无限大或不存在，则称该无穷积分发散。

三、收敛性判定方法1. 收敛性判定准则常见的收敛性判定准则有比较判别法、绝对收敛判别法、正项级数判别法等。

比较判别法是指通过与已知的收敛或发散的函数进行比较，来判断无穷积分的收敛性。

绝对收敛判别法是指若被积函数的绝对值函数在积分区间上收敛，则原函数也收敛。

正项级数判别法是指若被积函数为正函数，并且与正项级数具有相同的收敛性，则无穷积分收敛。

2. 常见函数的收敛性常见的函数在无穷积分中的收敛性可以通过判别法来判断。

例如，幂函数在区间(0, +∞)上的无穷积分收敛的条件是指数大于-1；指数函数在区间(0, +∞)上的无穷积分收敛的条件是指数小于0；对数函数在区间(0, 1]上的无穷积分收敛。

四、应用举例1. 概率密度函数与累积分布函数概率密度函数和累积分布函数是统计学中常用的函数，它们在无穷积分中的收敛性质对于概率论的研究具有重要意义。

通过研究概率密度函数和累积分布函数的收敛性，可以得到随机变量的性质与分布。

2. 物理学中的应用无穷积分在物理学中的应用广泛，例如在力学中，通过对物体受力的积分可以求得物体的位移和速度；在电磁学中，通过对电场和磁场的积分可以求得电势和磁通量等。

[项目管理]项目四无穷级数与微分方程

（项目管理）项目四无穷级数与微分方程项目四无穷级数与微分方程实验1无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近.掌握用Mathematica求无穷级数的和,求幂级数的收敛域,展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.数项级数例1.1(教材例1.1)(1)观察级数的部分和序列的变化趋势.(2)观察级数的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=T able[s[n],{n,100}];ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)中级数部分和的变化趋势图1.3.图1.3级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4.图1.4例1.2(教材例1.2)画出级数的部分和分布图.输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形（图1.5）,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.图1.5例1.3求的值.输入Sum[x^(3k),{k,1,Infinity}]得到和函数例1.4(教材例1.3)设求.输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=T able[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出的散点图（1.6）,从图中可观察的变化趋势.输入Sum[a[n],{n,l,Infinity}]则输出所求级数的和.图1.6求幂级数的收敛域例1.5(教材例1.4)求的收敛域与和函数.输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity]则输出这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值.因此上式的绝对值小于1时,幂级数收敛;大于1时发散.为了求出收敛区间的端点,输入ydd=Solve[steptwo==1,x]zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出由此可知,当时,级数收敛,当或时,级数发散.为了判断端点的敛散性,输入Simplify[a[n]/.x->(49/16)]则输出右端点处幂级数的一般项为因此,在端点处,级数发散.再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)]则输出左端点处幂级数的一般项为因此,在端点处,级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数.输入Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}]则输出函数的幂级数展开例1.6(教材例1.5)求的6阶麦克劳林展开式.输入Series[Cos[x],{x,0,6}]则输出注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.例1.6(教材例1.6)求在处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}]则输出例1.7(教材例1.7)求的5阶泰勒展开式.输入serl=Series[ArcT an[x],{x,0,5}];Poly=Normal[serl]则输出的近似多项式通过作图把和它的近似多项式进行比较.输入Plot[Evaluate[{ArcT an[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形（图1.7）,图中虚线为函数,实线为它的近似多项式.图1.7例1.9求在处的8阶泰勒展开,并通过作图比较函数和它的近似多项式.输入Clear[f];f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2];poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]}]则得到近似多项式和它们的图1.8.图1.8例1.10求函数在处的阶泰勒展开,通过作图比较函数和它的近似多项式,并形成动画进一步观察.因为所以输入Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!,{j,0,k}],Sin[x]},{x,-40,40},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]则输出为的3阶和91阶泰勒展开的图形.选中其中一幅图形,双击后形成动画.图1.9是最后一幅图.图1.9例1.11利用幂级数展开式计算(精确到).因为根据在处的展开式有故前项部分和为输入命令s[n_]=3(1-1/(5*3^4)-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/(5^kk!3^(4k)),{k,2,n-1}]);r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5^n/n!3^(4n-5)/80;delta=10^(-10);n0=100;Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];If[r[n]<delta,Break[]];If[n==n0,Print["failed"]],{n,n0}]则输出结果为傅里叶级数例1.12(教材例1.8)设是以为周期的周期函数,它在的表达式是将展开成傅里叶级数.输入Clear[g];g[x_]:=-1/;-Pi<=x<0g[x_]:=1/;0<=x<Pig[x_]:=g[x-2Pi]/;Pi<=xPlot[g[x],{x,-Pi,5Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}];则输出的图形(图1.10).图1.10因为是奇函数,所以它的傅里叶展开式中只含正弦项.输入b2[n_]:=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;fourier2[n_,x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];tu[n_]:=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]},{x,-Pi,5Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFuncti on->Identity];(*tu[n]是以n为参数的作图命令*)tu2=T able[tu[n],{n,1,30,5}];(*tu2是用T able命令作出的6个图形的集合*)toshow=Partition[tu2,2];(*Partition是对集合tu2作分割,2为分割的参数*)Show[GraphicsArray[toshow]](*GraphicsArray是把图形排列的命令*)则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行.可以看到越大,的傅里叶级数的前项和与越接近.图1.11实验2微分方程（基础实验）实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica求微分方程及方程组解的常用命令和方法.用Dsolve命令求解微分方程例2.1(教材例2.1)求微分方程的通解.输入Clear[x,y];DSolve[y'[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]则输出微分方程的通解:其中C[1]是任意常数.例2.2(教材例2.2)求微分方程在初始条件下的特解.输入Clear[x,y];DSolve[{x*y'[x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2E},y[x],x]则输出所求特解:例2.3(教材例2.3)求微分方程的通解.输入DSolve[y''[x]-2y'[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2x],y[x],x]//Simplify 则输出所求通解:例2.4(教材例2.4)求解微分方程,并作出其积分曲线.输入g1=T able[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5, 5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形（图2.3）.图2.3例2.5(教材例2.5)求微分方程组在初始条件下的特解.输入Clear[x,y,t];DSolve[{x'[t]+x[t]+2y[t]==Exp[t],y'[t]-x[t]-y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:例2.6验证是微分方程的通解.输入命令<<Graphics`PlotField`<<Graphics`ImplicitPlot`sol=(-5x^3-30y+3y^5)/15==C;g1=ImplicitPlot[sol/.T able[{C->n},{n,-3,3}],{x,-3,3}];g2=PlotVectorField[{1,x^2/(y^4-2)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];g=Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g2,g}]];则分别输出积分曲线如图2.4(a),微分方程的方向场如图2.4(b).以及在同一坐标系中画出积分曲线和方向场的图形如下图2.4(c).(a)(b)(c)图2.4从图2.4(c)中可以看出微分方程的积分曲线与方向场的箭头方向吻合,且当时,无论初始条件是什么,所有的解都趋向于一条直线方程.例2.7(教材例2.6)求解微分方程并作出积分曲线.输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y'[x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设输入t=T able[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y ,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.1 6,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFun ction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$ DisplayFunction];则输出积分曲线的图形（图2.5）.图2.5例2.8求解微分方程并作出其积分曲线.输入命令<<Graphics`PlotField`DSolve[1-2*x*y[x]*y'[x]==x^2+(y[x])^2-2,y[x],x]则得到微分方程的解为我们在时作出积分曲线,输入命令t1=T able[(3+Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];t2=T able[(3-Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];gg1=Plot[Evaluate[t1],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];gg2=Plot[Evaluate[t2],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g1=ContourPlot[y-x^3/3-x*(-2+y^2),{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->{ -3,3},Contours->7,ContourShading->False,PlotPoints->50,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2+y^2-2)/(1-2*x*y)},{x,-3,3},{y,-3,3}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];Show[gg1,gg2,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出微分方程的向量场与积分曲线,并输出等值线的图2.6.图2.6用NDSolve命令求微积分方程的近似解例2.9(教材例2.7)求初值问题:在区间[1.2,4]上的近似解并作图.输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y ,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},<>]}}用Plot命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate,输入Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}]则输出近似解的图形（图2.7）.图2.7如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值,例如,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.10(教材例2.8)求范德波尔(VanderPel)方程在区间[0,20]上的近似解.输入Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5} ,y,{x,0,20}];Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形（图2.8）.图2.8的数值解,并作出数值解的图形.输入命令<<Graphics`PlotField`sol=NDSolve[{x*y'[x]-x^2*y[x]*Sin[x]+1==0,y[1]==1},y[x],{x,1,4}];f[x_]=Evaluate[y[x]/.sol];g1=Plot[f[x],{x,1,4},PlotRange->All,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2*y*Sin[x]-1)/x},{x,1,4},{y,-2,9},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];g=Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g}],DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出所给微分方程的数值解及数值解的图2.9.图2.9例2.11(教材例2.9)求出初值问题的数值解,并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}] Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形（图2.10）.图2.10例2.12(教材例2.10)洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单,也没有包含复杂的函数,但它的解却很有趣和耐人寻味.试求解洛伦兹方程组并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t] -4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->N one];则输出所求数值解的图形（图2.11(a)）.从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子,这个吸引子紧紧地把解的图形“吸”在一起.有趣的是,无论把解的曲线画得多长,这些曲线也不相交.(a)(b)图2.11改变初值为输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->N one];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形（图2.11(b)）.从图中可以看出奇异吸引子又出现了,它把解“吸”在某个区域内,使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验3抛射体的运动（续）（综合实验）实验目的通过微分方程建模和Mathematica软件,在项目一实验5的基础上,进一步研究在考虑空气阻力的情况下抛射体的运动.问题根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km的前方有一敌军的坦克群正以每小时50km向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群.为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题.假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s至0.5km/s之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明本节我们研究受到重力和空气阻力约束的抛射体的射程.用记抛射体的位置,其中x轴是运动的水平方向,y轴是垂直方向.通过在的约束下最大化x,可以计算出使抛射体的射程最大的发射角.假设时抛射体(炮弹)在原点(0,0)以与水平线夹角为初始速度为发射出去.它受到的空气阻力为(3.1)重力为(3.2)在推导和所满足的微分方程之前,补充一点说明:虽然我们将位置变量仅写作t的函数,但实际上位置变量还依赖于几个其它的变量或参数.特别是,x 和y也依赖于发射角、阻力系数k、质量m及重力加速度g等.为了推导x和y的方程,按照牛顿定律并结合重力的公式(3.2)和空气阻力的公式(3.1),得到微分方程(3.3)(3.4)根据前面所述假设知,满足下列初始条件,(3.5)先求解,由方程(3.3),令可将其化为一阶微分方程易求出其通解由得,所以从通过积分得到x,即由得所以(3.6)类似地,可从方程(3.4)解出y.令方程化为一阶微分方程,两端除以m,得再在上述方程两端乘以积分因子得即两端积分得所以利用初始条件确定其中的常数C后,积分v得到y,再次利用初始条件确定任意常数后,则得到(3.7)下面我们利用公式(3.6)与(3.7)来描绘炮弹运行的典型图形.假定炮弹发射的初速度为0.25km/s,发射角为,输入Clear[a,t,x,y,g,m,k]x[v_,a_,t_]:=(m/k)*v*Cos[aPi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])y[v_,a_,t_]:=(g*m/k)((m/k)-t-(m/k)*Exp[-(k/m)*t])+(m/k)*v*Sin[aPi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t]) g=9.8;m=5.0;k=0.01;炮弹飞行的时间由炮弹落地时的条件所确定.输入FindRoot[y[350,55,t]==0,{t,50}]则输出炮弹飞行的时间{t->57.4124}当发射角时,输入x[350,55,57.4124]//N则输出炮弹的最大射程为10888.5现在我们可以画出炮弹运行的典型轨迹了.输入ParametricPlot[{x[350,55,t],y[350,55,t]},{t,0,57.4124},PlotRange->{0,11000},AxesLabel->{x,y }]则输出图3.1.图3.1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1)选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的典型轨迹.(2)假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克?画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3)假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角?从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4)在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案?注:在研究过程中,还要包括适当改变阻力系数k与炮弹的质量m所带来的变化.实验4蹦极跳运动（综合实验）实验目的利用Mathematica软件,通过微分方程建模,研究蹦极跳运动.问题在不考虑空气阻力和考虑空气阻力等多种情况下,研究蹦极跳运动中,蹦极者与蹦极绳设计之间的各种关系.说明蹦极绳相当于一根粗橡皮筋或有弹性的绳子.当受到张力使之超过其自然长度,绳子会产生一个线性回复力,即绳子会产生一个力使它恢复到自然长度,而这个力的大小与它被拉伸的长度成正比.在一次完美的蹦极跳过程中,蹦极者爬上一座高桥或高的建筑物,把绳的一头系在自己身上,另一头系在一个固定物体如桥栏杆上,当他跳离桥时,激动人心的时刻就到来了.这里要分析的是蹦极者从跳出那一瞬间起他的运动规律.首先要建立坐标系.假设蹦极者的运动轨迹是垂直的,因此我们只要用一个坐标来确定他在时刻t的位置.设y是垂直坐标轴,单位为英尺,正向朝下,选择为桥平面,时间t的单位为秒,蹦极者跳出的瞬间为则表示t时刻蹦极者的位置.下面我们要求出的表达式.由牛顿第二定律,物体的质量乘以加速度等于物体所受的力.我们假设蹦极者所受的力只有重力、空气阻力和蹦极绳产生的回复力.当然,直到蹦极者降落的距离大于蹦极绳的自然长度时,蹦极绳才会产生回复力.为简单起见,假设空气阻力的大小与速度成正比,比例系数为1,蹦极绳回复力的比例系数为0.4.这些假设是合理的,所得到的数学结果与研究所做的蹦极实验非常吻合.重力加速度现在我们来考虑一次具体的蹦极跳.假设绳的自然长度为蹦极者的体重为160lb①,则他的质量为斯②.在他到达绳的自然长度(即前,蹦极者的坠落满足下列初值问题:利用Mathematica求解上述问题.输入g=32;m=5;L=200;{{v1[t_],y1[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m,y'[t]==v[t],v[0]==0,y[0]==0},{ v,y},t]则输出蹦极者坠落L英尺所用的时间为t1=t/.FindRoot[y1[t]==-L,{t,2}]4.00609现在我们需要找到当蹦极绳产生回复力后的运动初始条件.当时,蹦极者的坠落满足方程初始条件为解初值问题:{{v2[t_],y2[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m-0.4*(L+y[t])/m,y'[t]==v[t],v[t1]==v1[t1],y[t1]==-L},{v,y},t]则输出下列结果这个解是用复指数函数来表示的.现在蹦极者的位置由命令bungeey[t_]=If[t<t1,y1[t],y2[t]]给出,输入命令Plot[bungeey[t],{t,0,40},PlotRange->All]则输出位置-时间图形(图4.1)图4.1从上图可以看出,蹦极者在大约13s内由桥面坠落770ft,然后弹回到桥面下550ft,上下振动几次,最终降落到桥面下大约600ft处.实验报告1.在上述问题中(求出需要多长时间蹦极者才能到达他运动轨迹上的最低点,他能下降到桥面下多少英尺?2.用图描述一个体重为195lb,用200ft长绳子的蹦极者的坠落.在绳子对他产生力之前,他能做多长时间的“自由”降落?3.假设你有一根300ft长的蹦极索,在一组坐标轴上画出你所在实验组的全体成员的运动轨迹草图.4.一个55岁,体重185lb的蹦极者,用一根250ft长的蹦极索.在降落过程中,他达到的最大速度是多少?当他最终停止运动时,他被挂在桥面下多少英尺?5.用不同的空气阻力系数和蹦极索常数做实验,确定一组合理的参数,使得在这组参数下,一个160lb的蹦极者可以回弹到蹦极索的自然长度以上.6.科罗拉多的皇家乔治桥(它跨越皇家乔治峡谷)距谷底1053ft,一个175lb的蹦极者希望能正好碰到谷底,则他应使用多长的绳子?7.假如上题中的蹦极者体重增加10lb,再用同样长的绳子从皇家乔治桥上跳下,则当他撞到乔治峡谷谷底时,他的坠落速度是多少?感谢阅读。

非线性微分方程对称和无穷级数解的符号计算研究的开题报告

非线性微分方程对称和无穷级数解的符号计算研究的开题报告一、选题背景和意义在物理、化学、生物、工程等领域中，许多现象和系统都可以用非线性微分方程来描述。

尤其是对于涉及到相变、非线性波动、混沌现象等复杂系统，非线性微分方程的重要性更加凸显。

然而，常常由于方程的复杂性和难以求解的问题，研究人员在实际问题中往往无法直接解决这些方程。

在这种情况下，对于非线性微分方程的对称性进行研究显得尤为重要。

利用对称性可以有效地简化方程求解的难度，获得更多有用的信息和结论，提高求解效率。

此外，采用无穷级数解来描述非线性微分方程的解也是一种十分常见和有效的方法。

因此，对于非线性微分方程的对称和无穷级数解进行符号计算的研究具有重要的理论和应用价值。

二、主要研究内容本文的研究旨在针对一些常见的非线性微分方程，如Korteweg-de Vries方程、Burgers方程、Sine-Gordon方程等，进行对称和无穷级数解的符号计算研究。

具体研究内容如下：1. 对称分析方法研究：介绍经典的对称分析方法，如Lie方法和Kovalevskaya 方法，并探讨如何应用这些方法找到非线性微分方程的对称性。

2. 非线性微分方程的对称性研究：应用上述对称分析方法，找到几个常见的非线性微分方程的对称性，并根据对称性获得其精确或近似解。

3. 无穷级数解法研究：介绍一些常用的无穷级数求解方法，如Painleve展开和Frobenius方法，并利用这些方法求解一些常见的非线性微分方程。

4. 数值方法和计算求解研究：介绍一些计算求解方法，如有限元法和谱方法，并利用Mathematica等数学软件对上述研究结果进行计算验证。

三、预期结果预期研究结果如下：1. 建立非线性微分方程的对称性分析方法，并应用该方法找到几个常见非线性微分方程的对称性。

2. 发现非线性微分方程中的无穷级数解，并探究该类无穷级数解在实际应用中的作用和意义。

3. 发现非线性微分方程的符号计算方法，并能够以计算的方式验证得到的结果。

无穷维系统的参数辨识的开题报告

无穷维系统的参数辨识的开题报告一、选题背景无穷维系统是研究自然界和工程技术问题的重要数学模型，其广泛应用于各个领域，如电子信息、化工、航空航天、生物医学等。

无穷维系统的参数辨识是其中的重要问题之一，它的目的是根据观测数据确定系统的未知参数。

参数辨识的研究对于掌握无穷维系统的特性和提高系统性能具有重要意义。

二、研究内容本研究将从以下几个方面展开：1. 无穷维系统的参数辨识方法学习本研究将综合讨论经典的系统辨识方法，如频域方法、时域方法、自适应方法、线性最小二乘法等，以及在无穷维系统参数辨识中的应用。

2. 无穷维系统的参数辨识算法实现本研究将针对无穷维系统参数辨识的特点，设计有效的辨识算法，如权重衰减法、前向-后向滤波算法等，同时编制MATLAB程序进行实现和仿真。

3. 参数辨识的应用本研究将着重讨论无穷维系统的参数辨识在实际工程中的应用，例如在环境监测中的应用、在控制系统辨识中的应用、在机器学习中的应用等方面。

三、研究意义1. 提高无穷维系统的控制性能无穷维系统的控制性能受到参数精度的影响，通过对无穷维系统的参数辨识可以精确地获取系统参数，从而提高系统的控制性能。

2. 促进无穷维系统的发展参数辨识的研究可以促进无穷维系统的发展和应用，为相关领域提供更加准确和可靠的数学模型和分析方法。

3. 充分发挥MATLAB的优势本研究将充分发挥MATLAB的优势，使用其方便的编程和仿真环境，为无穷维系统参数辨识提供更高效、更准确的解决方案。

四、研究方法本研究将采取文献综述、理论分析和编程实现等方法，以图、表、文字等方式展现研究成果，论述无穷维系统参数辨识的实现步骤和相关应用，同时进行较完整的仿真实验，对参数辨识的有效性和应用效果进行分析和评价。

五、预期成果1. 无穷维系统参数辨识的理论分析和总结；2. 基于MATLAB的无穷维系统参数辨识算法的实现和仿真分析；3. 无穷维系统参数辨识在实际应用中的检测效果评估。

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