3第3章力系的平衡方程及其应用
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建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
重庆大学出版社
建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
重庆大学出版社
建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
重庆大学出版社
建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程
10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
x
xC
x
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5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
理论力学-3-力系的平衡
z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0
理论力学：第3 章 力系的平衡
第 3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
工程力学第3章习题解答
解：ΣZ=0
NB=Q
Σmx=0 NB·BDsin30°－Q· Sc=0.144Q ΣmY =0 －NB·BDsin60°+Q· NA =0.039Q ΣY=0 －SBcos60°+Sc=0 SB=0.288Q
1 BDsin30°－Sc ·BDtg60°=0 2
1 BDsin60°+NA ·BDtg60°=0 2
3－１３
第三章 力系的平衡方程及其应用
3－１４
45 时，AB=BD。求此时能保持系统
3－１２
第三章 力系的平衡方程及其应用
3－19 如图所示，A 块重 500N，轮轴 B 重 1000N，A 块与轮轴的轴以水平绳连接。在轮轴外 绕以细绳，此绳跨过一光滑的滑轮 D，在绳的端点系一重物 C。如 A 块与平面间的摩擦系数 为 0.5，轮轴与平面间的摩擦系数为 0.2，不计滚动摩阻，试求使系统平衡时物体 C 的重量 P 的最大值。
d1
ΣMx = 0， M 1 FAy d 3 FAz d 2 0 ， M 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d3 d M3 2 M2 d1 d1
3－13 在图示转轴中，已知：Q=4KN，r=0.5m，轮 C 与水平轴 AB 垂直，自重均不计。试求平 衡时力偶矩 M 的大小及轴承 A、B 的约束反力。
解：ΣmY =0， ΣY=0， Σmx=0，
3－14 平面悬臂桁架所受的载荷如图所示。求杆 1，2 和 3 的内力。
3－１０
第三章 力系的平衡方程及其应用
3－15 平面桁架的支座和载荷如图所示。ABC 为等边三角形，E ，F 为两腰中点，又 AD=DB 。 求杆 CD 的内力 FCD 。
ED 为零杆，取 BDF 研究，FCD =-0.866F 3－17 平面桁架的支座和载荷如图所示，求杆 1，2 和 3 的内力。
第3章力系平衡方程
FR
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
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（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
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【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
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工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
F x0:F A xq b0
P a A
q
b
F y0:F A yP0
P
MA(F)0:
MA
MAPa12q b2 0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
MAPa 1 2qb 2
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
F y 0 ; M O ( F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A ( F ) 0 ; M B ( F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例5] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)， 尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q 2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝ FPlxs＋ iF nQ2 l＝ 2FlWxFQ
FAx F TBco ＝ s0
Fy＝0
F A ＝ x 2 F W x l F Q l co＝ s3 3 F lW 0xF 2 Q
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
理论力学第3章
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
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7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
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22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
第3章力系平衡方程
M M1 M 2 M n M
（2）平面力偶系的平衡 ∑M=0
2016/12/14
【例3-6】如图3-12所示，某物体受三个共面力偶作 用，已知F1=25kN，d1=2m，F2=50kN，d2=1.5m，M3=－ 20kN·m，试求其合力偶。
【解】
M1=F1· d1=25×2=50kN· m
（3）求合力的方向
tan FRy FRx 112.35 0.869 129.25
α=40.99º 由于FRx和FRy均为正，故α应在第一象限，合力FR的 作用线通过力系的汇交点O，如图3-5所示。
2016/12/14
3.平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合 力FR等于零。即：
按其作用线所在的位置:平面力系和空间力系。 平面力系:力系中各力的作用线都在同一平面内。 空间力系:力系中各力的作用线不在同一平面内。 平面力系：平面汇交力系、平面平行力系和平面一般力系。 平面汇交力系：在平面力系中，各力的作用线均汇交于一 点的力系。
1.力在直角坐标轴上的投影
F在x轴上的投影，以Fx表示；F在y轴上的投影，以Fy表示。
作用在刚体上A点的力F，可以平移到同一刚体上的 任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力 F对新作用点O之矩。
图3-16
力的平移定理
2016/12/14
【例3-8】如图3-17（a）所示，柱子的A点受到吊 车梁传来的集中力F=120kN。求将该力F平移到柱轴上O 点时应附加的力偶矩，其中e=0.4m。 【解】 M=MO（F）=－Fe =－120×0.4=48kN· m 负号表示该附加力 偶的转向是顺时针的。
arctan
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
3章力系的平衡方程及应用
D
A
FAx
3m
P
1m
2m
由： 解得：
3 3FAy 3P 4 P 0 1
l
P1
FT 17.33kN FAx 15.01kN FAy 5.33kN
• 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 • 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
限制条件：A、B、C矩心不能在同一直线上（共线）。
y
C B A O
FR
因为平衡方程
满足，但不能排除图 示不平衡的情形。
x
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
• 以上三种形式的平衡方程均为平衡的 必要与充分条件。
F X 0
x
F Y 0
y
•两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程 2. 空间平行力系的平衡方程
z
F1 F2
O x
y
F
iz
0
M x ( Fi ) 0
M y ( Fi ) 0
可以求解三个未知数。
F3
Fn F4
平面平行力系的平衡方程
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 由平衡条件导出的方程称为平衡方程的基本形式。 • • 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立 式、五矩式和六矩式。
平衡方程，解6个未知数，任何多于6个的方程都
是这些方程的线性组合。
y
(Fi ) 0
A
FAx
3m
P
1m
2m
由： 解得：
3 3FAy 3P 4 P 0 1
l
P1
FT 17.33kN FAx 15.01kN FAy 5.33kN
• 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 • 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
限制条件：A、B、C矩心不能在同一直线上（共线）。
y
C B A O
FR
因为平衡方程
满足，但不能排除图 示不平衡的情形。
x
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
• 以上三种形式的平衡方程均为平衡的 必要与充分条件。
F X 0
x
F Y 0
y
•两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程 2. 空间平行力系的平衡方程
z
F1 F2
O x
y
F
iz
0
M x ( Fi ) 0
M y ( Fi ) 0
可以求解三个未知数。
F3
Fn F4
平面平行力系的平衡方程
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 由平衡条件导出的方程称为平衡方程的基本形式。 • • 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立 式、五矩式和六矩式。
平衡方程，解6个未知数，任何多于6个的方程都
是这些方程的线性组合。
y
(Fi ) 0
第3章力系的平衡条件和平衡方程
1第3章 力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程若是一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都别离等于零，即 110()0i nR i nO O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式： 11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或00()0x y OF F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和别离等于零，和各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：2平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒知足()0OMF ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC 为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：一、电动机处于任意位置时，钢索BC 所受的力和支座A 处的约束力；二、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并肯定其数值。
3解：一、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并成立图示坐标系。
成立平衡方程取A 为矩心。
按照 ()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin 30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+ 由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2QP P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=4122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽可能选在两个或多个未知力的交点上，这样成立的力矩平衡方程中将不包括这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽可能与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数量。
空间力系的平衡方程及其应用
（即图中的Dyz平面）的夹角=30°时，
求三个轮子A、B、C对地面的压力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【解】 取起重机连同重物为研究对
象，作用于其上的力有起重机的重力W 和重物的重力F，以及地面对三个轮子的 反力FA、FB、和FC，这五个力组成一个 空间平行力系。列出平衡方程
Mx 0
FAa
2
F1
W 0 5
得 F1
5W 2
F2
1 2
F3
1 2
0
得 F2
F3
F3
1 2
F2
1 2
F1
1 0 5
Hale Waihona Puke 得F2F3
F1 5
2 W 2 22
负号表示F2、F3实际上是拉力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【例4.3】图示一起重机简图，机身 重W=100kN，重力作用线通过E点；三 个轮子A、B、C与地面接触点之间的连 线构成一等边三角形；CD=BD， DE=AD/3；起重臂FGD可绕铅垂轴GD 转动。已知a=5m，l=3.5m。载重 F=30kN位于起重臂的铅垂平面GDF内， 当该平面与起重机机身的对称铅垂面
sin
60
W
a 3
sin
60
Fl
cos
30
FA 0
得
FA=12.3kN
My 0
FB
a 2
FC
a 2
F
l
sin
30
0
Z=0 FB+ FC+ FAWF=0
W F
FB FC
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 联立求解上两式，并将FA=12.3kN代入，得
求三个轮子A、B、C对地面的压力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【解】 取起重机连同重物为研究对
象，作用于其上的力有起重机的重力W 和重物的重力F，以及地面对三个轮子的 反力FA、FB、和FC，这五个力组成一个 空间平行力系。列出平衡方程
Mx 0
FAa
2
F1
W 0 5
得 F1
5W 2
F2
1 2
F3
1 2
0
得 F2
F3
F3
1 2
F2
1 2
F1
1 0 5
Hale Waihona Puke 得F2F3
F1 5
2 W 2 22
负号表示F2、F3实际上是拉力。
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
【例4.3】图示一起重机简图，机身 重W=100kN，重力作用线通过E点；三 个轮子A、B、C与地面接触点之间的连 线构成一等边三角形；CD=BD， DE=AD/3；起重臂FGD可绕铅垂轴GD 转动。已知a=5m，l=3.5m。载重 F=30kN位于起重臂的铅垂平面GDF内， 当该平面与起重机机身的对称铅垂面
sin
60
W
a 3
sin
60
Fl
cos
30
FA 0
得
FA=12.3kN
My 0
FB
a 2
FC
a 2
F
l
sin
30
0
Z=0 FB+ FC+ FAWF=0
W F
FB FC
目录
空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 联立求解上两式，并将FA=12.3kN代入，得
《工程力学》项目3 力系的平衡
• 求解空间力系作用下的平衡问题，其步骤与求解平面力系的平衡问题 一样：首先选取研究对象，进行受力分析，画受力图；其次建立合适 的坐标系，根据力系的特点选择对应的方程组，列方程，求出未知量 。需要指出的是，要根据力系的特点建立坐标系，尽可能地使方程中 的未知量最少，以方便计算，另外根据实际问题的需要，方程组中的 方程可以不必都列出，只要求出所有未知量即可。
项目三 力系的平衡
• 【项目目标】 • 【知识目标】：
• 1．掌握平面力系的平衡方程及应用。 • 2．掌握空间力系的平衡平衡方程及应用。 • 3．理解摩擦的概念及应用。 • 4．了解摩擦角、自锁的概念。
• 【能力目标】：
• 1．能进行平面平衡力系分析计算。 • 2．能进行空间平衡力系的计算。 • 3．能正确区分摩擦的类型。
3.1 平面汇交力系的平衡方程及应用
平衡力系是工程实际中较为常见的一种力系。许多结构和构件都处于 平衡状态，例如，建筑物、桥梁、机器构架等处于静力平衡状态；以 一定速度运转的转轴则处于动平衡。本章只研究在力系作用下的平衡 方程及其应用。
3.1.1平面汇交力系平衡的几何条件
由项目2的讨论可知，平面汇交力系的简化结果是一个合力。当这一 合力等于零时，刚体处于平衡状态，所以平面汇交力系平衡的充分必 要条件是：该力系的合力等于零。即
• 【解】（1）此题要求解的未知量共有六个，最少需要选择两个研究 对象。
• 【提示】【例 3-6】中的均布荷载作用在梁的两跨上，当梁拆开时， 荷载也被分成两部分，当取其中的一部分为研究对象时，就只考虑作 用在其上的均布荷载，而不能考虑整个均布荷载。
• 【提示】通过前面的学习，可总结出应用平衡方程求解问题的步骤： • （1）确定研究对象，且画出其隔离体。 • （2）对研究对象受力分析并画受力图。 • （3）根据力系的类型及特点确定坐标系及矩心位置。坐标轴最好与
项目三 力系的平衡
• 【项目目标】 • 【知识目标】：
• 1．掌握平面力系的平衡方程及应用。 • 2．掌握空间力系的平衡平衡方程及应用。 • 3．理解摩擦的概念及应用。 • 4．了解摩擦角、自锁的概念。
• 【能力目标】：
• 1．能进行平面平衡力系分析计算。 • 2．能进行空间平衡力系的计算。 • 3．能正确区分摩擦的类型。
3.1 平面汇交力系的平衡方程及应用
平衡力系是工程实际中较为常见的一种力系。许多结构和构件都处于 平衡状态，例如，建筑物、桥梁、机器构架等处于静力平衡状态；以 一定速度运转的转轴则处于动平衡。本章只研究在力系作用下的平衡 方程及其应用。
3.1.1平面汇交力系平衡的几何条件
由项目2的讨论可知，平面汇交力系的简化结果是一个合力。当这一 合力等于零时，刚体处于平衡状态，所以平面汇交力系平衡的充分必 要条件是：该力系的合力等于零。即
• 【解】（1）此题要求解的未知量共有六个，最少需要选择两个研究 对象。
• 【提示】【例 3-6】中的均布荷载作用在梁的两跨上，当梁拆开时， 荷载也被分成两部分，当取其中的一部分为研究对象时，就只考虑作 用在其上的均布荷载，而不能考虑整个均布荷载。
• 【提示】通过前面的学习，可总结出应用平衡方程求解问题的步骤： • （1）确定研究对象，且画出其隔离体。 • （2）对研究对象受力分析并画受力图。 • （3）根据力系的类型及特点确定坐标系及矩心位置。坐标轴最好与
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
工程力学 第2版 第3章 平面力系的平衡方程及其应用
3.2 物系的平衡问题
物体系统:由若干个物体通过约束联系所组成的系统，简称为 物系。
系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也都 平衡。因此研究这类问题时，既可以取系统中的某一个物体为 分离体，也可以取几个物体的组合或者取整个系统为分离体。
1 静定和超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
注意：不能漏画固定端的约束反力偶MA，力偶只参与力矩方程，将力偶矩的大小直接代入方程， 而不参与投影方程。
在需同的样不求建要的平的一的立指矩衡，样结平定心方求，果矩位程解但是衡心置是过最一方，列不程终样程不出一也所，时，的在们的不正结这 要 选 同 确果个 意 择 ， 的就过 识 所 但 道是程 到 经 只 路正中 ， 历 要 ，确同 不 的 选 最的学 同 就 择 后。
Fx 0
Fy
0
➢ 平面平行力系的平衡方程
Fx 0( Fy 0)
M0(F) 方程组，皆可解与其平衡方程数对 应的未知数。应用力系平衡方程可以确定工程中构件在平衡时 的未知力。
2 平面力系平衡方程的应用
步骤
1）确定研究对象，画受力图 2）建立直角坐标系，确定各力与坐标轴的夹角 3）确定该平面力系的种类，列出相应的平衡方程求解未知力。
第3章 平面力系的平衡方程及其应用
平面力系的平衡方程及其应用
单个物体的平衡问题 物系的平衡问题
考虑摩擦时物体的 平衡问题
3.1 单个物体的平衡问题 1 平面力系的平衡条件
平面力系平衡的充要条件是：合力为零
➢ 平面一般力系的平衡方程 ➢ 平面汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
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1、分析思路及解题步骤：
2、注意要点：
（二）物体系统的平衡问题 1、静定和静不定（超静定）的概念
2、分析思路及解题步骤：
3、注意要点：
3
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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4
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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第 ３ 章 力系的平衡方程及其应用
本章学习要求： 推导任意力系的平衡条件和平衡方程；利用平面力系平衡方程解决单个物体
2、平面平行力系 一矩式：
二矩式：（附加条件）Leabharlann （三）力偶系 1、空间力偶系
2、平面力偶系
（四）平面任意力系 1、一矩式：
2、二矩式及附加条件：
3、三矩式及附加条件：
三、平面力系平衡方程的应用 （一）单个物体的平衡问题
2
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
专业班级 学号 姓名 花名册序号
及物体系统的平衡问题；理解静定和静不定问题的概念。 主要知识点： 一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平衡条件：
2、平衡方程：
二、平衡方程的几种特殊形式 （一）汇交力系 1、空间汇交力系
2、平面汇交力系
（二）平行力系 1、空间平行力系
1
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
专业班级 学号 姓名 花名册序号
2、注意要点：
（二）物体系统的平衡问题 1、静定和静不定（超静定）的概念
2、分析思路及解题步骤：
3、注意要点：
3
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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4
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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第 ３ 章 力系的平衡方程及其应用
本章学习要求： 推导任意力系的平衡条件和平衡方程；利用平面力系平衡方程解决单个物体
2、平面平行力系 一矩式：
二矩式：（附加条件）Leabharlann （三）力偶系 1、空间力偶系
2、平面力偶系
（四）平面任意力系 1、一矩式：
2、二矩式及附加条件：
3、三矩式及附加条件：
三、平面力系平衡方程的应用 （一）单个物体的平衡问题
2
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
专业班级 学号 姓名 花名册序号
及物体系统的平衡问题；理解静定和静不定问题的概念。 主要知识点： 一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平衡条件：
2、平衡方程：
二、平衡方程的几种特殊形式 （一）汇交力系 1、空间汇交力系
2、平面汇交力系
（二）平行力系 1、空间平行力系
1
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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