2011年陕西高考理科数学试题及答案详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-

【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。 【解】选D 原命题的条件是a b =-，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =-”，故选D ．

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）2

8y x =- （B ）2

8y x = （C ）2

4y x =- （D ）2

4y x = 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选B 由准线方程2x =-得22

p

-=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴）

，所以228y px x ==．

3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ）

【分析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 【解】选B 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对

称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．

4．6

(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20

【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.

【解】选C 62(6)1231666(4)(2)2

22r x r x r r x r xr r

x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以4

5615T C ==，故选C ．

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283

π- （B ）83

π

-

（C ）82π- （D ）23

π

【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．

【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体， 即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是

3218222833

V π

π=-⨯⨯⨯=-

.

6．函数()cos f x x x =

-在[0,)+∞内 （ ）

（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点

【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。

【解】选B （方法一）数形结合法，令()cos f x x x =-0=，则cos x x =，设函数y x

=和cos y x =，它们在[0,)+∞的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x x =

-在[0,)+∞内有且仅有一个零点；

（方法二）在[,)2

x π∈+∞上，1x >，cos 1x ≤，所以()cos f x x x =-0>；

在(0,

]2

x π

∈，1()sin 02f x x x

'=

+>，所以函数()cos f x x x =-是增函数，又因为

(0)1f =-，()02

2

f ππ

=

>，所以()cos f x x x =-在[0,]2x π

∈上有且只有一个零点．

7．设集合22

{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||2N x x i

=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，

则M

N 为（ ）

（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]

【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。 【解】选C 2

2

|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =； 因为1

||2x i

-<

，所以||2x i +<，即|()|2x i --<，又因为

x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M

N =，故选

C.

8．右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评

分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（ ） （A ）11 （B ）10 （C ）8 （D ）7

【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件3132||||x x x x -<-是否成立是解答本题的关键．

【解】选C 16x =，29x =,12||3

2x x -=不成立,即为“否”，所以再输入3x ；由绝对值

的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式3132||||x x x x -<-知，点3x 到点1x 的距离小于点3x 到2x 的距离，所以当37.5x <时，3132||||x x x x -<-成立，即为“是”，此时23x x =，所以132x x p +=

，即3

68.52

x +=，解得311x =7.5>，不合题意；当37.5x 时，3132||||x x x x -<-不成立，即为“否”，此时13x x =，所以322x x p +=，即39

8.52

x +=，解

得38x =7.5>，符合题意，故选C ．

9．设1122(,),(,)x y x y ，…，33(,)x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （B ）x 和y 的相关系数在0到1之间

（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 （D ）直线l 过点(,)x y

【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选D 选项 具体分析

结论

A

相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜

程度；它们的计算公式也不相同

不正确 B 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在1-到0之间时，两个变量负相关

不正确

C

l 两侧的样本点的个数分布与n 的奇偶性无关，也不一定是平均分布

不正确