奇异值分解定理

奇异值分解定理：设，则存在m 阶正交矩阵U 和n 阶正交矩阵V ，使得

，其中为矩阵A 的全部非零奇

异值，满足0r 21>≥≥⋯≥≥，σσσ，前几个值比较大，它们包含了矩阵A 的大部分信息。U 的列向量（左奇异向量）是

的特征向量，V 的列向量（右奇异向量）是的特征

向量。

奇异值分解的性质：

1. 奇异值的稳定性

定理1：假设, A 和 B 的SVD 分别为和

,其中p =min ( m , n) ,则有。 定理1表明当矩阵A 有微小扰动时,扰动前后矩阵奇异值的变化不会大于扰动矩阵的-2范数。这个性质表明,对于存在灰度变化、噪声干扰等情况的图像,通过SVD 后,图像的特征向量不会出现大的变化。这一性质放宽了对图像预处理的要求, 并使匹配结果的准确性得到了保证。

2. 奇异值的比例不变性

因此，为了消除幅度大小对特征提取的影响，所进行的归一化处理不会从本质改变奇异值的相对大小。

3. 奇异值的旋转不变性

图像奇异值特征向量不但具有正交变换、旋转、位移、镜像映射等代数和几何上的不变性,而且具有良好的稳定性和抗噪性，广泛应用于模式识别与图像分析中。对图像进行奇异值分解的目的是：得到唯一、稳定的特征描述；降低特征空间的维数；提高抵抗干扰和噪声的能力。

欧氏距离（Euclidean distance ）

欧氏距离定义：欧氏距离（Euclidean distance）是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。欧氏距离看作信号的相似程度，距离越近就越相似。

设x，y是M× N 维的两幅图像，那么其在图像空间中可以表示为：

式中为图像x，y的第（k，l）个像素点。则图像的欧氏距离定义为

根据上述定义，一幅M×N 的图像可以看作M×N 维欧氏空间中的一点，每个坐标对应于一个像素的灰度值。

特征匹配算法

采用遍历搜索法，计算特征向量两两间的欧氏距离，确定向量之间的最近邻距离（MD）第二近邻距离（SMD），并计算二者的比值：MD/ SMD。设定阈值s，当MD/ SMD