宁波市高一期末数学试题及答案
浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。
如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。
浙江省宁波市2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【解析】
【分析】
化简不等式 ，分离常数 ，根据 的取值范围，求得 的取值范围.
【详解】
原命题等价于存在 ,使得 成立,
即存在 ,使得 成立，即 ,因此 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.
【答案】 (1). 2 (2). 1
【解析】
分析】
根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.
【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为 ，由扇形的面积公式得 .
(Ⅰ)当 时,求 , ;
(Ⅱ)若 ,求实数m的取值范围.
【答案】(Ⅰ) , ; (Ⅱ)
【解析】
【分析】
（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合 ，由此求得 , .
（II）根据 列不等式组，解不等式组求得实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 时,得 ,
由 ,得 ,
于是 ,
;
（Ⅱ）若 ,
1.设全集 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集的概念和运算，求得 .
【详解】根据补集的概念和运算可知 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.
2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在 上单调递增的是( )
浙江省宁波市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷含答案
镇海2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（）A.2B.C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =.故选：C .2.若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +-构成基底的向量是（）A.aB.2a b+C.2a c+D.c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +-表示即可得.【详解】由{,,}a b c 是空间中的一组基底，故,,a b c两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c ⎡⎤=++-⎣⎦，故A 错误；对B ：设()()22a b m a c n a c +=++- ，则有()()22a b m n a m n c +=++-，该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +-构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c ⎡⎤+=+--⎣⎦，故C 错误；对D ：有()()123c a c a c ⎡⎤=+--⎣⎦，故D 错误.故选：B.3.l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（）A.l 平行平面α内的无数条直线B.l 平行于平面α的法向量C.l 垂直于平面α的法向量D.l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误；对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行.所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确.故选：D4.己知 (2,2,1)(1,1,0)a b ==，，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念求解即可.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b bb⋅⋅⨯==，故选：C5.点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的位置关系是（）A.相交B.平行C.重合D.不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;若直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交；故选：A.6.如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈ ，则||AP的最小值为（）A.4B.3C.62D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈，则()()111AP AA x AB AA y AD AA -=-+- ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以111BD DA A B ===，所以三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以1223323A H ==⨯=，所以3AH ===，所以||AP的最小值为3AH =.故选：B .7.实数,x y 满足2222x y x y +=-，则|3|x y -+的最小值为（）A.3B.7C. D.3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=【详解】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=倍，圆心()1,1-到直线距离为d =则|3|x y -+的最小值为3-=.故选：A8.在棱长为2的正四面体O ABC -中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（）A.2,33⎡⎢⎣⎦B.2,33⎡⎢⎣⎦C.,33⎣⎦D.,33⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到3sin sin θϕ+=最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E O F O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC -为正四面体，所以13O A =，13O F =，13O O =，()10,0,0O，1,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,3O O ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设230,3M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,03N b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，则(),MN b a =，由题意得1O O uuu r可以作为平面ABC 的一个法向量，则113sin a MN O O MN O Oθ⋅==，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，033033m OB x y z m OC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，则0x =，令y =4z =，所以4m ⎛= ⎝⎭ ，33332sin a m MNm MNϕ--⋅==33sin sin θϕ-+=因为0,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，所以[]2332,3a -+∈，[]20,1b ∈，⎤⎦，3sin sin ,33θϕ+=⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,FF ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆C 的离心率为53B.12F PF △的周长为3C.12F PF ∠不可能是直角D.当1260F PF ∠=︒时，12F PF △的面积为3【答案】AD【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上，由245a -=3a ⇒=.所以椭圆的离心率3c e a ==，故A 正确；根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误；如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=-⋅--=-<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误；如图：当1260F PF ∠=︒时，设11PF t =，22PF t =，则1222121262cos6020t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒12221212620t t t t t t +=⎧⎨+-=⎩⇒12163t t =，所以12121116343sin 6022323F PF S t t =︒=⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ．则下列选项正确的是（）A.直线12C C 恒过定点(3,0)B.当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C.若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D.当13a =时，圆1C 与圆2C 相交弦的弦长为2【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ，可知()()121,2,4,C a C a -，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=--，即()3y a x =--，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确；对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R 即()()222:44,C x y a a -++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++==；同理求得当43a =-时，max ||10PQ =，B 正确；对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C -<<+，即15<<，解得4433a -<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交，2212:(1)(93C x y -+-=，()2221:443C x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将两方程相减可得公共弦方程596203x y --=，则121,3C ⎛⎫⎪⎝⎭到596203x y --=4=，则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为2=，D 正确，故选：ABD11.埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n -=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D -''''的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45︒，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n n n n n A B C D A B C D n ''''-=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）A.在图5中，1322A P E P ⊥B.在图5中，直线12Q A 与平面122A E P 所成角的正弦值为63C.在图10中，设点nA '的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D.在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===，则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()13221111,1,1,,,222A P E P ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⎛⎫⋅=--⋅-=-+=≠ ⎪⎝⎭ ，13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q -，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()20,1,0P 则()121,1,1Q A = ，()120,0,1A P =-，22111,,222E P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z =，则122200n A P n E P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01110222z x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1y =得，01z x ==，，即()01,1n =，，又由121212cos ,3Q A nQ A n Q A n⋅==，所以直线12Q A 与平面122A E P所成角的正弦值为3，故B 正确；对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45︒，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A '的坐标为(1,0,2,点2A '的坐标为(0,1,2,-点3A '的坐标为)2,0,1,-则()()()()322211212129n n n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D ，由图知：)22,1,0A -，)22,1,0B ，(22C ,(20,2D -,)32,0,1A ,则()2301,1A A =，，由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈，所以())222222220,2,02,0,22,2,2D E D C C E D C C B λλλλ=+=+=+-=-，则22322322223222cos ,44221D E A A D E A A D E A A λλλλ⋅--==⋅+⋅+2t λ=，22t ∈，则()223222cos ,322121221212333t D E A A tt tt ==⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭，由1221,2t ⎤∈⎥⎣⎦，得2212221,32318t ⎛⎛-≥-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即22322cos ,=211121232318333D E A A t=≤⎛⎫⨯+-+⎪⎝⎭ 所以异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)-，则点A 到平面α的距离是_______．【答案】62【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果.【详解】由题知(2,1,1)AB =-，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =-，所以点A 到平面α的距离为62AB n d n ⋅==，故答案为：2.13.已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______．【答案】34##0.75【解析】【分析】结合切线的性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠，设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==-，由()()22:114C x y -+-=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sin MC PCPC α==，又min PC ==，则()max min 2sin 4PC α===，则()22min 23cos 12sin 1244MPN α⎛⎫∠=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：34.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】①.12##0.5②.5【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ，由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =，又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =，由椭圆定义可知122NF NF a +=，即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==；则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =--=-，即12NF m =+，4NM m =-，则有()()()22222111442πcos 32224m m MF MN NF MF MN m +--++-==⨯⋅⨯⨯-，计算可得45m =，则()11π24sin 235MNF S m =⨯⨯-= ，又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有45r =，即5r =.故答案为：12；5.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15.已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1．（1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)-，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +-=（2）10，1515,77P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)-关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =，此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11=，解得158k =-，即得15604088x y --++=，即158920x y +-=，故直线l 的方程为4x =或158920x y +-=；【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =，故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ，连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥==，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立，即||||PBPC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=-+-，联立y x =，解得157x y ==，即151577P ,⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D A B =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小.【小问1详解】如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()3,0C ，()13,2C ，1,0,23D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,1E ，所以4,0,23AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，113,03DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,1EC =--.设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，由1n ADn DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()4,,,0,2031,,3,003x y z x y z ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒460330x z x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取()6n =-.因为()()16EC n ⋅=--⋅-9360=-++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D .【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos ,n AE n AE n AE ⋅===⋅5=.17.已知圆C 的圆心在x轴上，且过(-．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P -的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在，且()4,0A -【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【小问1详解】设圆C 为()222x a y r -+=，则有()()2222212a r a r ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，解得24a r =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =-，()11,E x y ，()22,F x y ，联立2214x my x y =-⎧⎨+=⎩，有()221230m y my +--=，2224121216120m m m ∆=++=+>，12221my y m +=+，12231y y m -=+，设(),0A t ，1t ≠-，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，即()1221120y x y x t y y +-+=，()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +-+=-+--+()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +--+-=-++=-==+++，即()()621240m m t m t ++=+=，则当4t =-时，0AE AF k k +=恒成立，故存在定点()4,0A -，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB ==，点E 是线段AB 的中点，（i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得14PB PB +=且1PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）（i ）10；（ii ）存在，(2,0,0)P -【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,联立（∗），解出即可【小问1详解】如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥= ，,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz .122BB ==,点E 是线段AB 的中点，则2AB BC CA ===1OA OB OC ===．1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,22A B C B C E --，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =-=-=- .设平面1ECC 法向量(,,)m x y z = ，则100m CE m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1102220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩解得012x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故(0,1,2)m = ；同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n = .则cos ,2510m n m n m n ⋅==⋅ ，设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则310cos 10θ=．（ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若15PCPC =222215(2)1x z x z ++=--++，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,3a c b ===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,与（∗）联立方程组.2222560334x z x z x ⎧+++=⎪⎨=-⎪⎩，解得120x z =-⎧⎨=⎩，22180)x z =-<（，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)-．19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值；（3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．【答案】（1）212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭（2）1m =-（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥，1l β⊥ ，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =- ，根据p γ⊥ ，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取2x =，则(2,1,2)l =-- ，所以直线l 的单位方向向量为212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭．【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，所以4103105210a a b c a b c +=⎧⎪+-+=⎨⎪-+++=⎩，解得14140a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，即2:4x y α+=，所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p =-，所以p γ⊥ ，即()1210p m m m m γ⋅=-+++=+= ，解得1m =-．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =⨯⨯⨯=正四棱锥，3244461283S V =⨯⨯+⨯=，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +-=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n = ，平面:40ECD y z +-=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n = ，所以121cos cos ,2n n θ== ，所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含解析)
高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合[]2,2A =-，集合{}230B x x x =-≥，则()RA B ⋂=ð（）A.[]2,0-B.[]2,3-C.(]0,2 D.(][),23,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R A Bð【详解】()2330x x x x -=-≥，解得0x ≤或3x ≥，所以{|0B x x =≤或}3x ≥，所以{}R |03B x x =<<ð，所以()R A B ⋂=ð(]0,2.故选：C2.函数()3log 5f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在()0,∞+上单调递增，()()3310,4log 410f f =-<=->，所以()f x 的零点在区间()3,4.故选：B3.已知a ，b 为非零实数，则“01ab<<”是“a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】当01ab<<时，,a b 同号且非零，则01a b <<，所以a b <.当a b <时，如1,2a b =-=，则0b a<，无法得到01a b <<.所以“01ab<<”是“a b <”的充分不必要条件.故选：A4.函数π2tan 36y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（）A.ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ B.ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.ππ,Z 63k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D.ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由ππ3π62x k +≠+，解得ππ93k x ≠+，所以函数的定义域是ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：D5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，则()2022f =（）A.-1 B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()()()()2111f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()202200f f ==.故选：B6.已知tan 3α=，则()()sin π2cos ππ3πsin cos 22αααα-++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.12-B.14C.54D.12【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()()sin π2cos πsin 2cos tan 2321π3πcos sin 1tan 134sin cos 22αααααααααα-++---====+++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知,x y ∈R ，221x y xy ++=，则（）A.22x y+的最大值为23且x y +的最大值为3B.22x y +的最大值为23且x y +的最小值为0C.22x y +的最小值为23且x y +的最大值为3D.22x y+的最小值为23且x y +的最小值为0【答案】C 【解析】【分析】利用222x y xy +≥可求出22xy +的最小值，利用2()4x y xy +≥可求出x y +的最大值.【详解】利用222x y xy +≥，则22222212x x y xy x y y ++++=≤+，整理得2223x y +≥，当且仅当x y =，即2213x y ==时取得等号，即22x y +的最小值为23；利用2()4x y xy +≥，2221()x y xy x y xy ++==+-，即22()()14x y xy x y +=+-≤，整理得24()3x y +≤，即33x y -≤+≤，当且仅当3x y ==时取得等号，故x y +的最大值为3.故选：C 8.若关于x 的方程()()2221161x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则()12311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为（）A.-6B.-4C.-3D.-2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知0x ≠，由()()2221161x m x x x +-+=+整理得114201x m m x x x++--⋅=+①，即关于x 的方程恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，令1t x x=+，则2t ≤-或2t ≥，则①转化为1420t m m t+--⋅=，即()()222420,48160t m t m m m m +--=∆=-+=+>，根据对勾函数的性质可知1112t x x =+=-是方程()2420t m t m +--=的一个根，所以()()()224220,3m m m -+-⨯--==，所以260t t --=，解得2t =-或3t =，所以23,x x 是方程13x x+=的根，即2310x x -+=的根，所以233x x +=，所以()()12311236x x x x ⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的有（）A.若θ是锐角，则θ是第一象限角B.π1rad 180︒=C.若sin 0θ>，则θ为第一或第二象限角D.若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】ABD 【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A 选项，θ是锐角，即π02θ<<，所以θ是第一象限角，A 选项正确.B 选项，根据弧度制的定义可知π1rad 180︒=，B 选项正确.C 选项，当π2θ=时，πsin 12=，但θ不是象限角，C 选项错误.D 选项，θ为第二象限角，即πππ2π2ππ,ππ,Z 2422k k k k k θθ+<<++<<+∈，所以2θ为第一或第三象限角，D 选项正确.故选：ABD10.关于函数()11cos f x x=+，下列说法正确的是（）A.函数()f x 定义域为RB.函数()f x 是偶函数C.函数()f x 是周期函数D.函数()f x 在区间()π,0-上单调递减【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于cos π1,1cos π0=-+=，所以()f x 的定义域不是R ，A 选项错误.由1cos 0x +≠得cos 1x ≠-，所以2ππ,Z x k k ∈≠+，所以()f x 的定义域是{}|2ππ,Z x x k k ≠+∈，()f x 的定义域关于原点对称，()()()111cos 1cos f x f x x x-===+-+，所以()f x 是偶函数，B 选项正确.()()()112π1cos 2π1cos f x f x x x+===+++，所以()f x 是周期函数，C 选项正确.当2ππ,Z x k k ∈≠+时，1cos 0x +>恒成立，1cos y x =+在()π,0-上单调递增，所以()11cos f x x=+在区间()π,0-上单调递减，D 选项正确.故选：BCD11.已知0a >且1a ≠，函数()()0axf x x ax =->的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意0a >且1a ≠，0010a a -=-<，B 选项错误.()11f a=-当10,01a a -><<时，()10f >，且()=-axf x x a 在()0,∞+上递增，A 选项符合题意.当10,1a a -<>时，()10f <，在CD 选项中，C 选项错误，则D 选项正确.故选：AD12.已知实数a ，b 满足33log log 3log log 4b a a b +=+，则下列关系式可能正确的是（）A.(),0,a b ∃∈+∞，使1a b ->B.(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =C.(),1,a b ∀∈+∞，有2b a b <<D.(),0,1a b ∀∈，有2b a b <<【答案】ABCD 【解析】【分析】由原方程可得333411log log log log b a b a-=-，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令1ab =，代入原方程转化为判断2ln 3ln12(ln )2b ⋅=是否有解即可判断B ，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出,a b 大小，判断CD ，【详解】对于A ，由33log log 3log log 4b a a b +=+得333411log log log log b a b a-=-，令331()log log f x x x =-，则()f x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，令341()log log g x x x=-，则()g x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，当(0,1)x ∈时，()f x 的值域为R,当(2,)x ∈+∞时，()g x 的值域为3(log 22,)-+∞，所以存在(0,1),(2,)b a ∈∈+∞，使得()()f b g a =；同理可得，存在(2,),(0,1)b a ∈+∞∈，使得()()f b g a =，因此,(0,)a b ∃∈+∞，使1a b ->，A 正确；对于B ，令1ab =，则方程33log log 3log log 4b a a b +=+可化为3log 3log 42log b b b +=，由换底公式可得2ln 3ln12(ln )02b ⋅=>，显然关于b 的方程在(0,)+∞上有解，所以(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =，B 正确；对于C ，当(),1,a b ∈+∞时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-，所以()()f b f a <，又()f x 在()1,+∞上单调递增，所以b a<.又334344111log log log log log log b a a b a a -=->-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a >，所以34log log b a >，从而可得4233log log log log b a >=>，所以b >．综上所述可得2b a b <<，C 正确；对于D ，当(),0,1a b ∈时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=->-，所以()()f b f a >，又()f x 在()0,1上单调递增，所以b a>.又333444111log log log log log log b a a b a a -=-<-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a <，所以34log log b a <，从而3423log log log log b a <=<，所以b <．综上所述可得2b a b <<，所以D 正确．故选：ABCD【点睛】关键点点睛：对于CD 选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出34log ,log b a 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简求值：()439log 3log 2log 2⨯+=______.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.【详解】()4394332311log 3log 2log 2log 3log 2log 2log 3log 22⎛⎫⨯+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭3221lg3lg 13log 22lg 2lg324=⨯⨯=⨯=.故答案为：3414.已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，当[]2,2x ∈-时，值域为[]22-,，且在[]22-,上有两个零点，请写出一个满足上述条件的()f x =______.【答案】22x -（答案不唯一，如22x -亦可）【解析】【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.【详解】根据函数自变量[]2,2x ∈-时，函数值域为[]22-,，可考虑二次函数2()2f x x =-，根据二次函数性质可知[]2,2x ∈-时，min ()(0)2f x f ==-，max ()(2)(2)422f x f f ==-=-=，令()0f x =，解得x =[]22-,上有两个零点.故答案为：22x -（答案不唯一，如22x -亦可）15.炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为22100πcm ，则当该纸叠扇的周长最小时，AB 的长度为______cm.【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，根据扇形ABC 的面积得到rl ，纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，则扇形面积12S rl =.由题意得21100π2rl =，所以2200πrl =.所以纸叠扇的周长240πC r l =+≥==，当且仅当22,200π,r l rl =⎧⎨=⎩即10πr =，20πl =时，等号成立，所以此时AB 的长度为10πcm .故答案为：10π16.已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则实数ω的最大值是______.【答案】173【解析】【分析】化简函数解析式，先求出π6x ω+整体的范围，由在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点得出不等式，解出ω的范围，再结合k 的取值，即可求解.【详解】()πcos 2sin(6f x x x x ωωω=+=+，由ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得ππππ36626x ωωπω+<+<+，又()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点，则()πππ36,ππ1π26k k k ωω⎧≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得6165,23k k k ω-+≤≤∈Z ，又6165236102k k k -+⎧≤⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得11366k <<，又k ∈Z ，所以1k =或2k =，当1k =时，51123ω≤≤；当2k =时，111723ω≤≤；综上：ω的最大值为173.故答案为：173.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①x A ∈是x B ∈的充分不必要条件；②A B ⊆；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}11A x m x m =-≤≤+，集合{}2B x x =≤.（1）当2m =时，求A B ⋃；（2）若______，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[]2,3A B =-U （2）答案见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.（2）通过选择的条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】222x x ≤⇔-≤≤，所以[]2,2B =-.当2m =时，[]1,3A =，所以[]2,3A B =-U .【小问2详解】由（1）得[]2,2B =-，选①，x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩且等号不同时成立，解得11m -≤≤.选②，A B ⊆，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得11m -≤≤.选③，A B ⋂=∅，则12m ->或12m +<-，解得3m >或3m <-.18.已知函数()sin cos f x x x =+，且()15f α=-，()0,πα∈.（1）求()f α-的值；（2）若()1cos 3αβ-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β.【答案】（1）75-（2）415【解析】【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问1详解】由题意()1sin cos 5f ααα=+=-，()0,πα∈，由于sin 0α>，所以cos 0α<，故由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩可解得3sin 5α=，4cos 5α=-.所以()7sin cos 5f ααα-=-+=-.【小问2详解】由（1）可知：π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,παβ-∈因为()1cos 3αβ-=，所以()sin 3αβ-==，所以()()()()624cos cos cos cos sin sin 15βααβααβααβ-=--=⋅-+⋅-=.19.已知函数()()2213f x ax a x a =-+-+，a ∈R .（1）若()()()213g x f x a x a =--+-在()0,3上有零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求实数a 的值.【答案】（1）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）12a =或1a =【解析】【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围.（2）根据()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得a 的值.【小问1详解】()()()22121g x x a x x x a =-+=-+⎡⎤⎣⎦在()0,3上有零点，所以()()3210,3,10,2x a a ⎛⎫=+∈+∈ ⎪⎝⎭，所以11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验即可：①若172224f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴167a =.()f x 的图象开口向上，对称轴2316x =，而231162>，不成立，舍.②若()3232f a =-=-，∴12a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴3x =，成立.③若111122f a a a ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，∴12a =或1a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴11x a =+，而此时111,32a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，成立.综上可知，12a =或1a =.20.已知函数()()()1sin 03f x x ωϕω=+>的图象如图所示.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象.若()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z （2）[]0,1【解析】【分析】（1）根据函数图象求得()f x 的解析式，然后利用整体代入法求得()f x 的对称中心.（2）利用三角函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，根据()g x 在区间5π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域转化不等式()1g x t -≤，由此求得t 的取值范围.【小问1详解】由图可知：πππ23124T =-=，所以π2π2T ω==，所以4ω=，()()1sin 43f x x ϕ=+，又π1π1πππsin ,sin 1,2π12333332f k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π6k ϕ=+，k ∈Z .所以()1π1πsin 42πsin 43636f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π4π6x k +=，k ∈Z ，则ππ424k x =-，k ∈Z .所以()f x 的对称中心为ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z .【小问2详解】由题()ππ5sin 2sin 2π366g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当5π5π5π,0,20,1266x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()[]0,1g x ∈.因为()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()()max min11g x t g x t ⎧≤+⎪⎨≥-+⎪⎩.所以[]0,1t ∈.21.近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()f x （单位：元）与时间x （单位：天）()*130,N x x ≤≤∈的函数关系满足()10kf x x=+（k 为常数，且0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x 15202530()g x 105110105100设该文化工艺品的日销售收入为()M x （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()g x ax b =+；②()g x a x m b =-+；③()xg x a b =⋅；④()log b g x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()g x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()g x ，求()M x 的最小值.【答案】（1）1k =（2）选择函数模型②()g x a x m b =-+，()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N（3）961【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k 的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得,,a b m ，从而求得()g x 的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以()()()15151510105105715k M f g ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =.【小问2详解】由表中的数据知，当时间x 变化时，()g x 先增后减.而函数模型①()g x ax b =+；③()x g x a b =⋅；④()log b g x a x =都是单调函数，所以选择函数模型②()g x a x m b =-+.由()()()()152515*********g g g a b g b ⎧=⎪=+=⎨⎪==⎩，解得1a =-，110b =，20m =.所以日销售量()g x 与时间x 的变化关系为()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N.【小问3详解】由（2）知()**90,120,N 20110130,2030,Nx x x g x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩所以()()()()**110(90),120,110130,2030,x x x x M x f x g x x x x x ⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 即()**9010901,120,130101299,2030,x x x x M x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩N N .当120x ≤≤，*x ∈N 时，由基本不等式得，()9010901901961f x x x =++≥+=当且仅当9010x x=，即3x =时，等号成立.当20x 30<≤，*x ∈N 时，()130101299f x x x=-++单调递减，所以()()133********f x f ≥=+>.综上所述：当3x =时，()f x 取得最小值，最小值为961.22.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()()21f x f x =，则称函数()f x 是“()V k 型函数”.（1）判断()21f x x =+是否为“()1V -型函数”?并说明理由；（2）若存在实数k ，使得函数()()22log 1g x x ax =++始终是“()V k 型函数”，求k 的最小值；（3）若函数()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩，是“()1V 型函数”，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）1（3）1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“()V k 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.（2）根据()g x 的定义域求得a 的范围，结合“()V k 型函数”的定义以及函数的单调性求得k 的取值范围.（3）对a 进行分类讨论，根据“()V k 型函数”的定义列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】()21f x x =+是偶函数，且在(),0∞-递减，()0,∞+递增.当[)1,x ∈-+∞时，()[)1,f x ∈+∞；当(),1x ∈-∞-时，()(),2f x ∈-∞.若取10x =，则不存在()2,1x ∈-∞-，使得()()211f x f x ==.所以()21f x x =+不是“()1V -型函数”.【小问2详解】首先函数()()22log 1g x x ax =++定义域为R ，则240a ∆=-<，解得22a -<<.由复合函数单调性可知：()g x 在,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭a 单调递减，在,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 单调递增.所以只需2a k >-对()2,2a ∀∈-恒成立即可.所以1k ≥，即k 的最小值为1.【小问3详解】由题()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”.当1a <时，()h x 在[)1,+∞上单调递增，()[)1,h x a ∈+∞.而()[)20,h x ∈+∞，要使2x 存在且唯一，则有01a a a≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥.所以1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.当1a ≥时，()h x在(递减，)+∞递增，()11,h x ⎡∈-+∞⎣.而()()21,h x a ∈-+∞，要使2x 存在且唯一，则有11a -<-，解得4a <.所以[)1,4a ∈.综上可知：1,42a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.。
2024届浙江省宁波市鄞州中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届浙江省宁波市鄞州中学高一数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC 中，已知6845a b C ===︒，，，则ABC 的面积为（ ） A ．242B ．122C ．62D ．822．己知ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3，7BC =， 则tan A 的值为（ ）A ．33B ．1C ．3D ．23．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝04．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．3C ．52D ．65．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．35-D ．45-6．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ）A ．3，13，23，33，43，53B ．2，14，26，38，42，56C ．5，8，31，36，48，54D ．5，10，15，20，25，307．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ） A ．15B ．16C ．30D ．318．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知下列条件，ABC 只有一个解的是( )A ．6a =，8b =，30A ︒=B ．6a =，8b =，60A ︒=C ．6a =，8b =，120A ︒=D ．6a =，8b =，10c =9．已知圆锥的表面积为29cm π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 A ．322cm B ．32cm C ．3cm D ．23cm （）10．已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则 （ ）A ．1,6πωϕ== B ．1,6πωϕ==-C ．2,6πωϕ==D ．2,6πωϕ==-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
宁波数学高一期末考试卷
宁波数学高一期末考试卷1. 宁波数学高一期末考试卷一、选择题（共80分）1. 已知直角三角形的斜边长为5，其中一个锐角的正弦值是0.6，则另一个锐角的余切值为（）。
A. 0.8B. 1.0C. 1.2D. 1.52. 若a+2b=4，且a>b>0，则a、b的取值范围是（）。
A. a>2，0<b≤2B. a>2，b≥2C. 0<a<2，b>0D. 0<a<2，b≥23. 一个立方体的表面积是54平方厘米，其对角线的长为3√6cm，求该立方体的体积是（）。
A. 9√2cm³B. 18cm³C. 27cm³D. 54√2cm³4. 若函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点（1，2），且a+b+c=0，则f(2)的值为（）。
A. 2B. 4C. 6D. 85. 设二次函数f(x)=ax²+bx+c的顶点为（1，4），则f(2)-f(0)的值为（）。
A. 10B. 9C. 8D. 76. x的取值范围为[-∞, +∞]，若不等式2-3x>5的解集为（）。
A. x<－1B. x>－1C. x>1D. x<17. 在有理数-5和-3之间插入一个有理数X，则不等式-5<x<-3的解集为（）。
A. X<-5B. -5<X<-3C. -5<X<3D. -5<X<-38. 已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，则（）。
A. a>0B. a<0C. c>0D. b<09. 一条铁路上，两个火车A、B，分别从同一地点向同一方向开出，火车A的速度是每小时40公里，火车B每小时比火车A快20公里，当火车B开出1小时后，两火车相距多少千米（）？A. 40B. 60C. 80D. 10010. 若甲数比乙数大86，乙数比丙数大13，则甲数比丙数大（）。
【数学】浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，选择题（共8小题,每题4分,共32分）.1．下面直线方程纵截距为2地选项为（ ）A．x+y+2＝0B．C．x﹣y+2＝0D．y＝x﹣2【结果】C【思路】对于A：令x＝0,解得：y＝﹣2,不合题意,对于B：令x＝0,解得：y＝4,不合题意,对于C：令x＝0,解得：y＝2,符合题意,对于D：令x＝0,解得：y＝﹣2,不合题意,故选：C．2．与直线x＝2相切于点（2,0）且半径为1地圆地方程为（ ）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1【结果】D【思路】如图所示,由图形知,与直线x＝2相切于点（2,0）且半径为1地圆地圆心为（1,0）或（3,0）,所以圆地方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1．故选：D．3．已知A（m,﹣6）,B（﹣2,m）,P（0,﹣2）,Q（﹣5,m）,则下面选项中是AB⊥PQ地充分不必要款件地是（ ）A．m＝﹣12B．m＝2C．m＝﹣2D．m＝﹣2或m＝﹣11【结果】C【思路】∵A（m,﹣6）,B（﹣2,m）,P（0,﹣2）,Q（﹣5,m）,∴＝（﹣2﹣m,m+6）,＝（﹣5,m+2）,∵AB⊥PQ,∴﹣5（﹣2﹣m）+（m+6）（m+2）＝0,∴m＝﹣2或m＝﹣11,∵{﹣2}⊆{﹣2,﹣11},∴m＝﹣2符合题意．故选：C．4．已知空间三点A（﹣2,0,8）,P（m,m,m）,B（4,﹣4,6）,若向量与地夹角为60°,则实数m＝（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【结果】B【思路】∵＝（﹣2﹣m,﹣m,8﹣m）,＝（4﹣m,﹣4﹣m,6﹣m）,∴•＝（﹣2﹣m）（4﹣m）+（﹣m）（﹣4﹣m）+（8﹣m）（6﹣m）＝3m2﹣12m+40,||＝＝,||＝＝,由•＝||||cos60°得：3m2﹣12m+40＝（3m2﹣12m+68）×,整理得：m2﹣4m+4＝0,解得：m＝2．故选：B．5．等腰直角△ABC,直角边为2,沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C,则三棱锥A ﹣BCD外接球地体积为（ ）A．B．4πC．D．6π【结果】A【思路】如图,由等腰直角△ABC地直角边为2,可得DA＝DC＝DB＝,把三棱锥A﹣BCD放置在正方体中,则三棱锥地外接球与正方体地外接球相同,外接球地半径R＝,∴三棱锥A﹣BCD外接球地体积为×＝．故选：A．6．镇海植物园有两块地,从A,B,C,D四种树木中任选2种树木种植在一块地中,余下2种树木种植在另一块地中,则A,B种植在同一块地地概率为（ ）A．B．C．D．【结果】B【思路】从A,B,C,D四种树木中任选2种树木种植在一块地中,余下2种树木种植在另一块地中,基本事件总数n＝＝6,A,B种植在同一块地包含地基本事件个数m＝＝2,则A,B种植在同一块地地概率P＝＝＝．故选：B．7．以下四个命题正确地为（ ）A．在空间中,与不共面地四点A,B,C,D距离相等地平面有4个B．正方体12款棱中有48对异面直线C．平行同一个平面地两款直线平行D．假如两个相交平面同时和第三个平面垂直,则它们地交线垂直第三个平面【思路】对于A：在空间中,与不共面地四点A,B,C,D距离相等地平面有7个,故A错误。
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}，则∁U A =( )A. φB. {x|x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|x ≥0}2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C.D.3. 若点M 在△ABC 的边AB 上，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数f (x )=(12)x−x +2的零点所在的一个区间是( )A. (2,3)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)5. 在圆0中，长度为√2的弦AB 不经过圆心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 12B. √22C. 1D. √26. 不等式−2x −1<3的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)7. 函数 f(x)=|x|+1的图象是 ( )A.B.C.D.8. 在△ABC 中，5sinAcosA +1=0，则sinA −cosA 的值为( )A. −√357B. √357C. −√355D. √3559. 已知函数f(x)=sin x ·|sin x|，给出下列结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是奇函数；③[− π 2, π 2]是函数f(x)的一个单调递增区间；④若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=kπ(k ∈Z)；⑤不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|的解集为则正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①②③④C. ②③D. ①②③⑤10. 已知函数f(x)=mx 2+mx −1.若对于任意的x ∈[1,4]，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,27)B. (−∞,1)C. (1,5)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 圆的半径是12，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________． 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω=______，φ=_____．13. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________．14. 设函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ≥1，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，则x 的值为 ．16. 若sin(α−π)=35，α为第四象限角，则tanα= ______ ． 17. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像与直线y =2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x =π3对称. (1)求y =f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x 取值范围.21. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ．(1)试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB =3，AD =2，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}； ∴∁U A ={x|0≤x <1}． 故选：C ．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的应用，属于基础题．根据函数图象关于原点对称的是奇函数、函数图象关于y 轴对称的是偶函数即可判断，注意判断函数的定义域是否关于原点对称．解：选项A 中的函数图象关于原点或y 轴均不对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的函数图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，选项C ，D 中的函数图象所表示的函数定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除． 故选B ．3.答案：D解析：【分析】如图，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加减法运算法则，属于中档题．【解答】解：如图，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先得出函数的单调性，根据函数零点的存在定理判断即可．解：易知函数f(x)=(12)x−x +2为单调递减函数，∵f(2)=(12)2−2+2=14>0，f(3)=(12)3−3+2=−78<0， ∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)， 故选A ．5.答案：C解析：解：取AB 的中点为C ，由圆的性质可得OC ⊥AB ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(√22)2+0 =1 故选：C取AB 的中点为C ，可得OC ⊥AB ，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．6.答案：C解析：解：不等式−2x−1<3，可得x>−2．不等式−2x−1<3的解集为(−2,+∞)．故选：C．直接利用不等式化简求解即可．本题考查一次不等式的解法，考查计算能力．7.答案：D解析：本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象特征，属于基础题．由函数f(x)的解析式可得，当x=0时，函数f(x)取得最小值，结合所给的选项可得结论．解：由于函数f(x)=|x|+1，故当x=0时，函数f(x)取得最小值．结合所给的选项，只有D满足条件，故选D．8.答案：D解析：此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题，应注意判断所求式子的符号，先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sin A cosA的值，并根据其值得到A的范围，进而得到sinA−cosA的符号，然后把所求的式子平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将2sin A cosA的值代入即可求出值，根据sinA−cosA的符号，开方即可得到sinA−cosA的值．，解：5sinAcosA+1=0，则sinAcosA=−15可知，，则．故选D ．9.答案：D解析：本题考查三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式，属于较难题． 解题时依据三角函数的三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式逐一验证即可求解．解：对于①，∵f (x +2π)=f (x )，∴f(x)=sin x ·|sin x|为周期函数，①正确；对于②∵f (−x )=−f (x )，∴f (x )为奇函数，②正确； 对于③，当x ∈[0,π2]时，在区间[0,π2]单调递增，又f(x)为奇函数且过原点，∴[−π2,π2]是函数f(x)的一个增区间，③正确；对于④，由②③可画出函数f(x)在[−π2,π2]的图象， ∵f(π2+x)=f (π2−x)，∴f(x)的图象关于直线x =π2对称， 可画出函数f(x)在区间[π2,3π2]上的图象，即得到函数f(x)在[−π2,3π2]上的图象，即一个周期的图象，在[−π2,3π2]上的对称中心为(0,0),(π,0)，∴在整个定义域上的对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )．即若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=2kπ(k ∈Z)，④不正确；对于⑤，先求不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|在一个周期内的解集.取区间[0,2π]，∵sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|⇔f (2πx )>f (2πx +π2),{2πx >π42πx +π2<7π4, 在整个定义域上{2πx >π4+2kπ2πx +π2<7π4+2kπ(k ∈Z), 解得k +18<x <k +58,k ∈Z ，⑤正确．综上可知，正确结论的序号为①②③⑤． 故选D ．10.答案：A解析：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题． 利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,4]上的最小值，即可求m 的取值范围． 解：由题意，f(x)<5−m ，可得m(x 2+x +1)<6． ∵当x ∈[1,4]时，x 2+x +1∈[3,21]， ∴不等式f(x)<5−m 等价于m <6x 2+x+1．∵当x =4时，y =x 2+x +1取得最大值21，则6x 2+x+1的最小值为621=27， ∴若要不等式m <6x 2+x+1恒成立， 则必须m <27，因此，实数m 的取值范围为(−∞,27). 故选A ．11.答案：38解析：本题考查扇形面积公式，是基础的计算题． 直接利用扇形的面积公式得答案． 解：由r =12，圆心角的弧度数α=3，得 扇形面积S =12αr 2=12×3×(12)2=38．故答案为38．12.答案：2；π6 解析：解：由图象可得，解得ω=2， 故， 把点(0,1)代入可得， 解得故答案为：2；π6由图象可得，可得ω，把点(0,1)代入解析式可得φ值本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属中档题．13.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 14.答案：解析： 本题考查函数定义域与值域，分段函数，函数的单调性与单调区间，属于基础题，先由f(f(a))=2f(a)，根据分段函数式判断f(a)≥1，再由分段函数的单调性和每一段的值域可知3a −1≥1，解得即可．解：∵函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ⩾1， ∴f(f(a))=2f(a)，得f(a)≥1，又∵x <1，f(x)=3x −1，单调递增，且f(x)<2，x ≥1，f(x)=2x ，单调递增，且f(x)≥2，∴由f(a)≥1，得3a −1≥1，解得a ≥23，∴a 的取值范围是． 故答案为．15.答案：52解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦的定义即可求解．解： 因为角α终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，所以cosα=x r =22=−513，解得x =52．故答案为52．16.答案：−34解析：解：sin(α−π)=35，α为第四象限角，sin(α−π)=−sinα=35，∴sinα=−35，cosα=√1−sin 2α=45． tanα=sinαcosα=−34．故答案为：−34．利用诱导公式求出sinα，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查． 17.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4．故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，故A =(0,1)，所以∁R A =(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀．综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，求出A =(0,1)，由此能求出∁R A .(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀.由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：−1解析：解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 化为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ(λ+2)+1=0，解得λ=−1．故答案为：−1．由|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，利用数量积的运算性质可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，再利用数量积的坐标运算即可得出．本题考查了数量积的运算性质、数量积的坐标运算，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知可得， ， ∴， 又的图象关于 对称， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 所以(2)由(1)可得， ∴， 由得 ， 的单调递增区间为， ． ∵， ∴， ∴， ∴解析：本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．(1)利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；(2)利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。
2024届浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学数学高一下期末综合测试试题含解析
2024届浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学数学高一下期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于直线6x π=对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 2．已知函数()211sinsin (0)222x f x x ωωω=+->，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ C ．50,8⎛⎤⎥⎝⎦ D ．][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭3．若实数,x y 满足26403xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则41x y +的最小值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．324．已知A 、B 是球O 的球面上的两点，AOB 90∠=，点C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为43，则球O 的表面积为( ) A ．16πB ．36πC ．64πD ．144π5．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔m ，速度为km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为，经过80s 后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为 A ．2B ．-2C ．2±D ．37．已知一组正数123,,n x x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则12321,21,21,21n x x x x ++++的平均数与方差分别为（ ）A ．221,21x S ++B ．21,4x S +C ．221,4x S +D ．21,2x S +8．已知12log 3a =，0.32b =，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<9．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是 ( )A ．()53，B ．()43，C ．()83，D ．()01-，10．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
宁波市2020学年第一学期期末高一数学试卷答案
宁波市2020学年第一学期期末试题高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案A B A C D C B D第8题提示：令12111)(+-=+-=x x x x h ，由)(x h 函数性质及题意知，),0()(),1,0(a x h a ∈∈，则⎩⎨⎧=+=a a h r )2(1，解得12-=a .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号9101112答案ABCACDBCAD第12题提示：2)22cos(12)22cos(122cos 1)(βα+-++-+-=x x x x f ))2sin 2(sin 2sin )2cos 2cos 1(2(cos 2123αββα+⋅-++⋅-=x x 由题意，⎩⎨⎧=+-=+02sin 2sin 12cos 2cos αββα，两式平方得：21)22cos(-=-βα，所以，.,2322322223)(Z k k k x f ∈+-+=-=ππππβα或，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.653314.)44sin(2ππ+x 15.216.(74,1-第16题提示：（1）当491≤<a ，80)9(10)()1()()(max 2max 1≥+==aa a f f x f x f ，解得(]74,1-∈a ；（2）当449<<a ，80)494(10)4()1()()(max 2max 1≥+⋅==f f x f x f ，不符.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，12log 3=x ，得32=x ，得31031322=+=+-x x.……5分（Ⅱ）ααππα2sin )2cos()3cos(--21cos sin 2sin cos -=-=αααα.……10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，1,5-是方程05422=-+m mx x 的两根，……2分由韦达定理得：⎩⎨⎧-=--=-55442m m ，解得1=m ，经检验符合条件.……5分（Ⅱ）由题意，}41|{<<-=x x A ，BA ⊆……7分因为0>m ,则}5|{m x m xB <<-=，……9分由B A ⊆得，⎩⎨⎧≥-≤-415m m ，解得4≥m .……12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，α在第一象限，,552sin =α……3分所以.53sin 212cos 2-=-=αα……6分（Ⅱ）由题意，2tan =α，则)2tan()tan(αβαβα--=-……9分31tan )2tan(1tan )2tan(-=-+--=αβααβα.……12分20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）212cos 2sin 21)(++=x x x f 2142sin 22++=）（πx ，……2分所以，周期为π……3分令,,224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ……4分得,,883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ所以，函数)(x f 的单调递增区间为：.,883Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ，……6分（Ⅱ）由题意，21)44sin(22)(+-=πx x g ，……9分22)44sin(1)(≥-⇔≥πx x g ，得Z k k x k ∈+≤-≤+,2434424πππππ，……11分解得满足条件的x 的集合为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,2428|ππππ……12分21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，当1.00≤≤x 时，可设kx y =，因k 0.11=，解得10.=k ……2分又由a-=1.0)161(1，解得10.a =，……4分所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=-.1.0,)161(1.00,101.0x x x y x ，……6分（Ⅱ）令25.0)161(1.0<-x ，解得6.0>x ，所以，至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室.……12分22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1=a 时，⎩⎨⎧<-≥+-=1,121,122)(2x x x x x x f ，（1）当,112212≤+-≥x x x 时，解得1=x ；（2）当,1121≤-<x x 时，解得1<x .所以，不等式的解集为{}1|≤x x .……3分（Ⅱ）⎩⎨⎧<-+≥++-=ax a x a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2（1）当31,41==+a a a 即时，符合条件；……4分（2）当31,41><+a a a 即时，函数在R 上为增函数，符合.……6分（3）当31,41<>+a a a 即时，需满足：241-≤+a ，解得9-≤a ；……8分所以，.931-≤≥a a 或（Ⅲ）解法1：（1）当.931-≤≥a a 或，则上单调递增，，在]22[)(-x f 所以|2|4)2()(a f a g -+==；（2）当a x a x x f a ++-=-≤<-)1(2)(,292则，又对称轴|2|4)2()(,041-+==<+=a f a g a x 所以；（3）当12-<<-a 时，|2|4|}2|4|,2|34max{)}2(),2(max{)(a a a f f a g -+=-++-=-=；（4）当311<≤-a 时，|}2|4,max{)}2(),(max{)(2a a f a f a g -+==，因0)2)(3(6|)2|4(22<-+=-+=-+-a a a a a a 所以|2|4)2()(a f a g -+==.综上，，|2|4)2()(a f a g -+==……11分当.4)(2min==a g a 时，……12分解法2:（1）当2-≤a 时|2|4)2()}2(),2(max{)(a f f f a g -+==-=；（2）当22<<-a 时)}(),2(max{)}()2(),2(max{)(a f f a f f f a g =-=，，又06|)2|4()2()(22<-+=-+-=-a a a a f a f ，所以，|2|4)2()(a f a g -+==；（3）当2≥a 此时，a x a x f -+=)1()(，所以，|2|4)2()(a f a g -+==.综上，，|2|4)2()(a f a g -+==当.4)(2min==a g a 时，……12分。
浙江省宁波市高一下学期期末考试数学试题
宁波市2008学年度第二学期期末试卷高一数学1、本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共22道题.试卷满分120分,考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器.2、参考公式：4 3.” ， 2球的表面积公式S球二4 \R ,球的体积公式V球R ,其中R表示球的半径.31锥体的体积公式V锥体Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.3 -第I卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、直线l经过原点和点(1, 3)，则直线i的倾斜角为A. 30B. 45C. 60D. 1202、在空间直角坐标系中，已知两点P(—1,3,5),巳(2,4, —3)，则PP2| =A. . 74B. 3 10C. 14D.、、533、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，则这个几何体可能是A.圆柱B.圆锥C.圆台D.棱台4、点P(x, y)在直线x + y _4 =0上，O是原点，则OP的最小值是一A.苗0B. 2逅 C 76D. 2.5、已知点P (3, 2)与点Q (1 , 4)关于直线I对称，则直线l的方程为A. x-y1=0B. x-y = 0C. x y1=0D. x y = 06、m, n是两条不同直线，,■,是三个不同平面，下列命题中正确的是A.若m|| ,n|| ,则m|| nB.若〉-,一：—,则:• || -C. 若mIH',mH :,贝U ：D. 若m 一〉，n 一〉,贝UmH n7、 圆O i : x 2 y 2 _2x =0和圆O 2 : x 2 y 2 —4y =0的位置关系是A .相离B .相交C.外切D .内切8、 已知直线l 过直线2x y -5二0和直线x • 2y - 4 = 0的交点，且在两坐标轴上的截距互 为相反数，则直线l 的方程为 A . x-y-1=0B. x y-3 = 0 或 x-2y=011、已知平面内三点 A(2,-3), B(4,3), C(5,a)共线，则a = ▲.12、 圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为13、 已知三角形的三个顶点是 A(0,0), B(4,0), C(0,3)，则△ ABC 的 \/外接圆方程为 ▲ • _ '、/14、 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的棱长_ 正视圈' /侧视图为2,则该球的体积为一▲.“15、一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等腰直角三角形(如图所示)，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个C. x-y-1=0 或 x-2y=0D . x y 「3 = 0 或 x _y _1=09、 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的序号是 A .①、②、③ B .②、④ C.③、④D .②、③、④10、 如图，在长方体 ABCDA 1BQD 1中，AB=BC=2,AA 1=1,贝U BC 1 与平面 BB 1D 1D 所成角的正弦值为2.6 B.5D.5C V5第u 卷(非选择题共80分)、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.俯视图几何体的体积为 ▲2 216、 已知直线丨：x _ y • 4 =0与圆C: x -1 - y -12，贝y圆C 上点到丨距离的最大值为 ▲.17、 在平面几何里，我们知道，正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2:1 .拓展到空间，研究正四面体(四个面均为全等的正三角形的四面体)的外接球和内切球的半径关系 ,可以得出的正确结论是：正四面体的外接球和内切球的半径之比是▲.三、解答题：本大题共 5小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤18、(本题满分10分)已知三角形的三个顶点是 A(0,0), B(6,0), C(2,2).(1) 求BC 边所在直线的方程；⑵ 设三角形两边 AB,AC 的中点分别为 D,E ，试用坐标法证明:19、(本题满分10 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是正方形，侧棱 PD 丄底面ABCD , PD =DC . E 是PC 的中点.(1) 证明PA //平面EDB ; (2) 证明：DE 丄平面PBC .20、(本题满分10分)已知一个圆锥的底面半径为R ,高为H ,在其中有一个高为 x 的内接圆柱•如图所示•(1)若设圆柱底面半径为r ,求证:r = R(1 x);H⑵ 当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值•21、(本题满分10分)一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为 r(r 0) km 的圆形区域•轮船的航行 方向为西偏北45 •且不改变航线，假设台风中心不移动 •如图所示，试问:(1) r 在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？DE // BC 且 DE =丄 |BC2(2) 当r =60km时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km ?| MA | 1 22、(本题满分12分)已知A (-1 , 0), B (2, 0),动点M ( x, y)满足J --------------------- =_ ,|MB | 2设动点M的轨迹为C.(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值；(3)设直线l:y=x・m交轨迹C于P,Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A ？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由•高一数学参考答案一、选择题： 1-5 CACBA 6-10 DBCCD二、填空题： 11. 6 12. 213. 2 2x y 「4x 「3y 二 014. 4 3二 15.1 16.3 2 17. 3:1三、解答题：618. (1) x 2y -6 =0 4 分(2) D(3,0), E(1,1) |DE =^,|BC | =V 20,|DE =3 BC| •7 分 1k BC = k DE, BC, DE 不重合. DE / /BC . 10 分219. (1)记BD 中点为O,连OE,由O,E 分别为AC,CP 中点，.OE//PA 又OE 平面EDB,PA 二平面EDB ,. PA//平面EDB . 5分⑵由 PD _ 平面 ABCD . PD _ BC 又CD _ BC ,BC _平面PCD, D E_ B C由 PD 二 DC,E 为PC 中点，故 DE _ PC .DE _平面PCD.21.如图，以台风中心为原点建立直角坐标系 (1)轮船在直线l : x • y -80 =0上移动, 原点到丨的距离d =40&.-0 r - 40 2时，轮船在途中不会受到台风影响20.(1)记轴截面为 SAB ，EFGH 为内接矩形，F 在SB 上.x BF r SF x rx 、——= -- --- =— 则 ——+ — = 1, r = R(1 _——).R H , ，则—H SB R SB Hx(2) S ^ = 2二 rx =2~ xR(1 -HH 2 2汗-(x-与一 2丿4ymax4分 6分8分10分10分2 2⑵6040、2 会受到台风影响航程为 2. 602 -(40 .'2)2 = 40km.10),'(x 1)2 y 2 _ 1).(x-2) y2化简可得(x ■ 2尸■ y 2 = 4.轨迹C 是以(一2,0)为圆心，2为半径的圆3分⑵ 设过点B 的直线为y 二k(x - 2).圆心到直线的距离 d ——2[ v - x 亠 m⑶ 假设存在，联立方程 22得2x 2 2(m - 2)x m^ 0l (x + 2)2+y 2=42设 P(X i ,yJ,Q(X 2, y 2)则洛 x ?二-m-2“X 2 = m .9 分2PA_ QA,. (% 1)(x 2 1) y i y 2 = (% 1)(x 2 1) (% m)(x 2 m) = 0 2x 1x 2 (m 1)(% x 2) m 2 1 = 0 得m -3m -1 = 0 ,—13且满足:0.12分。
2019-2020学年浙江省宁波市高一下学期期末数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中可得 ，从而求得 ，在 中，由余弦定理求 ．
【详解】
在 中， ， ， ，
，
，
．
在 中， ， ， ，
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．记 ，设函数 ，若对于任意x∈R，都有 成立，则实数t的取值范围为________.
【答案】
【解析】对于任意x∈R，都有 成立，根据函数定义知：当A： 时必有B： ，当A： 时必有B： ，求解集后必有 ，由此即可求t的范围
【详解】
由题意，对于任意x∈R，都有 成立
(1)若 ，有 成立
∴当 时， ，即 ，有
∴ 解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用两直线垂直的关系，根据已知直线方程可设另一条直线的方程，结合题设条件可求相关的点坐标，由它们构成的三角形中应用余弦定理及已知角的范围求参数范围
三、双空题
14．设直线 ，直线 .当a=________时， ；当a=________时， .
【答案】
当 时， 不包含于 ，不合题意
当 时， ，即 ，有
(2)若 ，有 成立
当 时， ，有
当 时，不等式不成立，不合题意
当 时， ，有
综上，有：
故答案为：
【点睛】
本题考查了绝对值不等式，依据函数不等式恒成立列绝对值不等式组求解，并根据充分条件判断解集的包含关系，进而确定参数的范围
13．已知直线 与x轴交于点A，直线 ，且 的交点为P，O为坐标原点.若直线 在y轴上截距为b(b> 0)，且∠APO≤45°，则b的取值范围为________.
浙江省宁波市2020学年高一数学上学期期末考试试卷（含解析）
浙江省宁波市2020学年⾼⼀数学上学期期末考试试卷（含解析）浙江省宁波市2020学年第⼀学期期末考试⾼⼀数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐⾓，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利⽤诱导公式变形，结合平⽅关系把根式内部的代数式化为完全平⽅式，开⽅得答案．【详解】为锐⾓，∴．故选：D．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式的应⽤，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利⽤，进⾏排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利⽤函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进⾏排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最⼩正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B根据三⾓函数的周期性，单调性以及对称性分别进⾏判断即可．【详解】函数的最⼩正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三⾓函数有关的命题的真假判断，结合三⾓函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满⾜，，且，则，的夹⾓为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平⽅计算，再代⼊夹⾓公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹⾓为．故选：A．【点睛】本题考查了平⾯向量的数量积运算，向量的夹⾓公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满⾜任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满⾜任意恒有，则函数关于中⼼对称，由此可得结论．【详解】满⾜任意恒有函数关于中⼼对称的对称中⼼为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】根据条件判断函数的奇偶性，利⽤奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从⽽得出，的值，进⽽得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两⾓和的正切求，由同⾓三⾓函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式的应⽤及两⾓和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数⼀部分图象如图所⽰，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利⽤五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进⾏求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三⾓函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知⼀个扇形的弧长为，其圆⼼⾓为，则这扇形的⾯积为______．【答案】2【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的⾯积公式求⾯积即可.【详解】扇形的半径为，圆⼼⾓为，弧长 ,这条弧所在的扇形⾯积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的⾯积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满⾜对任意实数，，都有【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利⽤分段函数的单调性列不等式组，从⽽求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成⽴，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应⽤问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满⾜，向量满⾜，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的⽅程，则表⽰点点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满⾜，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的⽅程为，表⽰点点到线段AB上点的距离，，最⼤值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的⼏何意义，属于中档题．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74.0分）18.已知集合，．2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最⼩正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）⾸先利⽤平⾯向量的数量积运算和三⾓函数关系式的恒等变换，把三⾓函数的关系式转换为正弦型函数，进⼀步求出函数的最⼩正周期．（2）利⽤函数的关系式和函数的图象的平移变换的应⽤求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最⼩正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应⽤，函数图象的平移变换和伸缩变换的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．20.如图所⽰，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且，．1求的值；2求的最⼩值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利⽤等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表⽰为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最⼩值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运⽤、基本不等式求最值；关键是正确表⽰所求，利⽤基本不等式求最⼩值．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⾓，的顶点与原点重合，始边与x轴⾮负半轴重合，⾓，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三⾓函数的定义求出，和，的值，利⽤两⾓和差的余弦公式进⾏求解2先求出的三⾓函数值，结合两⾓和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．．【点睛】本题主要考查三⾓函数值的计算，结合三⾓函数的定义求出对应⾓的三⾓函数值，以及利⽤两⾓和差的公式进⾏求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合⼆次函数的性质进⾏求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建⽴⽅程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成⽴．当时，即时，，即，即，即或或，或满⾜条件，综上或或或成⽴．【点睛】本题主要考查函数值域的应⽤，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．。
2022-2023学年浙江省宁波市镇海中学高一年级上册学期期末考试 数学
浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷1. 化为弧度是( )A. B. C. D.2. 已知角的终边经过点，且，则( )A. 8B.C. 4D.3. 已知，，则下列不等关系中必定成立的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A. 向左平行移动B. 向右平行移动C. 向左平行移动D. 向右平行移动5. 在区间上满足的x的取值范围是( )A. B. C. D.6. 在中，，则的最小值为( )A. B. C. D.7. 已知，为锐角，且，，则( )A. B. C. D.8. 已知函数，若函数恰有2个零点，，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.9. 下列函数中，周期为1的函数是( )A. B.C. D.10. 对于任意向量，，，下列命题中不正确的是( )A. 若，则与中至少有一个为B. 向量与向量夹角的范围是C. 若，则D.11. 下列各式中值为1的是( )A. B.C. D.12. 已知函数，若存在实数a，使得是奇函数，则的值可能为( )A. B. C. D.13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是__________.14. 在平行四边形ABCD中，，，，M为BC的中点，则__________用，表示15. 如图，在半径为1的扇形AOB中，，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是__________.16. 已知函数恰有3个零点，则m的取值范围是__________.17. 已知，且求的值；求的值．18. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点求的值；若角满足，求的值．19. 已知，，求的值；求与的夹角.20. 已知函数的某一周期内的对应值如下表：x131根据表格提供的数据求函数的解析式；根据的结果，若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.21. 在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：设，求的值；若，且，求的最小值及此时的夹角22. 已知函数，其中设，，求的值域；若对任意，，，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查弧度制的定义，属于基础题．根据已知条件，结合弧度制的定义，即可求解．【解答】解：故选2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．【解答】解：角的终边经过点，且，，解得故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查诱导公式的运用，属于基础题.由，化简即可．【解答】解：因为，所以，即；又因为，所以，即故选4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的平移，属于基础题．假设将函数的图象平移个单位得到，根据平移后，求出进而得到答案．【解答】解：假设将函数的图象平移个单位得到，，应向右平移个单位.故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数不等式的求解.利用单位圆三角函数线，求出结果即可.【解答】解：在上满足，由三角函数线可知，满足的解，在图中阴影部分，故选6.【答案】D【解析】【分析】设中，A、B、C对的边分别为a、b、c，由得a、b、c关系，代入，再结合基本不等式可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理，考查数学运算能力，属于中档题．【解答】解：设中，A、B、C对的边分别为a、b、c，由得得，由余弦定理得，整理得，代入，得，当且仅当即时等号成立，的最小值为故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．直接利用三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．【解答】解：已知，为锐角，且，，则，整理得，故，①；，②；①+②得：，故故选：8.【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的性质，结合二次函数的性质，函数零点的定义，分类讨论进行求解即可．本题考查利用分类讨论思想，结合二次函数的性质解题，属中档题．【解答】解：当时，，当时，，当时，当时，函数单调递增，即，当时，函数单调递增，即，当时，函数单调递增，且函数单调递增，且当时，，当时，，因此函数有一个零点，不符合题意，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故函数有最小值，最小值为，当时，函数单调递减，而，当，因为，所以有，这时函数有两个零点，且，，设，，显然，有，，，，即，而，即，，或，又，或，由，，，，而，，，故应舍去，，当时，因为，，即，当时，因为，所以，此时，，，，因此有，而，，综上所述：故选：9.【答案】AB【解析】【分析】直接利用函数的关系式求出函数的最小正周期，进一步判定A、B、C、D的结论．本题考查三角函数的周期性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【解答】解：对于A：的最小正周期为，故A正确；对于B：函数的最小正周期为，故B正确；对于C：函数的最小正周期为，故C错误；对于D：函数，故函数的最小正周期；故D错误．故选：10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的数量积以及向量垂直的有关知识，属于基础题.利用向量的有关知识逐一判断即可.【解答】解：A，若，则当时，与中都可以不为，故A不正确；B，向量与向量夹角的范围是，故B不正确；C，若，则，故C正确；D，因为，故D正确.故选：11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查两角和差的三角函数公式及倍角公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．【解答】解：，选项A正确；，选项B错误；，选项C正确；，选项D正确．故选12.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的求值，属于中档题．根据是奇函数，可得，由此可求出，，，对k进行取值，由此即可求出结果．【解答】解：根据题意，函数，，若存在，使得为奇函数，即，又，所以，即，所以且，，所以，，，所以，，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以的值可能为，，1，故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．设这个扇形中心角的弧度数为，半径为利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：设这个扇形中心角的弧度数为，半径为一个扇形的弧长与面积的数值都是5，，，解得故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.由查平面向量的线性运算即可求解.【解答】解：由，即，又，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属于中档题．根据题意，可以得到为等边三角形，则，设，则，利用向量的线性运算，将向已知向量转化，即可得到关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：，，为等边三角形，则，设，则，，，，，当时，取得最小值为故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系的应用，属于较难题.先分段求出函数在区间上的零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案.【解答】解：令，得；令，得或，即或，又所以或或或，因为恰有3个零点，所以，当时，有3个零点，，；当时，有3个零点，，；所以m的取值范围是故答案为：17.【答案】解：由，得，即，，又，，可得；，，即，，解得或【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把等式左边变形，结合倍角公式及角的范围即可求的值；由中求得的，利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．18.【答案】解：的终边过点，则点P在单位圆上，，，；由，得，则当时，；当时，【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角差的余弦公式，属于基础题．由已知直接利用任意角的三角函数的定义求得，的值，则答案可求；由已知求得，再由两角差的余弦公式求解的值．19.【答案】解：由，得，因为，，所以，所以，所以设与的夹角为，因为，故，所以，因为，所以【解析】本题考查了向量的运算以及求向量的模的方法；根据向量的平方等于向量模的平方，要求向量的模，一般的先求其平方，再开方求模．属于中等题.要求向量的模，根据向量的平方等于模的平方，先求平方再开方求值．将已知等式展开，利用向量的数量积公式以及模的平方等于向量的平方求夹角.20.【答案】解：设的最小正周期为T，得，由，得，又，解得，令，即，，解得，函数的周期为，又，，令，，，由，得，故的图象如图：若在上有两个不同的解，则即，解得，方程在恰有两个不同的解时，即实数m的取值范围是【解析】本题考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查作图能力，属于中档题．根据表格提供的数据，求出周期T，解出，利用最小值、最大值求出A、B，结合对称轴求出，可求函数的解析式．函数周期为，求出n，，推出的范围，画出图象，数形结合容易求出m的范围．21.【答案】解：因为，，所以，所以，，所以设，，则，所以，当时，取得最小值，为，又，所以，所以，所以的最小值为，此时，为【解析】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算法则和数量积的运算法则是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．由向量的减法法则知，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，得解；设，，，根据平面向量加法法则和平面向量共线定理可得，再结合平面向量数量积，可将表示成关于的函数，然后根据二次函数和余弦函数的性质，即可得解.22.【答案】解：得，，，在时是单调递增函数，而，，故的值域为；令，，则，则，，即为，，所以其图象对称轴为，故，，，对任意，，，等价于，当时，，，令，解得或，与矛盾，故不符合题意；当时，，此时，，令，整理得，，故该式无解，不符合题意；当时，，此时，，令，整理得，解得，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为【解析】本题考查三角函数的最值，以及二次函数的最值的求法，属中档题．求函数的导函数，根据导数的正负判断其单调性，求出函数的值域；采用换元法，将，变换为再根据在给定区间上二次函数的最值问题的求解方法，求得的最大值，解不等式求得结果．。
2019-2020学年宁波市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年宁波市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设f(x)=x 2+bx +1且f(−1)=f(3)，则f(x)>0的解集为( )A. {x|x ∈R}B. {x|x ≥1}C. {x|x ≠1,x ∈R}D. {x|x ≤1}2.P 是双曲线x 24−y 2=1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,18)C. (0,14)D. (0,12)3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，且b +acosC +ccosA =2√2R ，则B =( )A. π6或B. π4或C. π3D. 2π34.已知关于x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，则ba 的取值范围( )A. (−1,−12)B. (−1,0)C. (−2,+∞)D. (−2,−12)5.函数f(x)=cos(π2−x)cosx 是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π2的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π2的偶函数6.若a >0，b >0，a +b =2，给出下列四个结论：①ab ≤1②√a +√b ≤√2③a 2+b 2≥2④1a +1b≥2，其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ②③④C. ③④D. ①③④7.数列前项和为，若，则=( )A.B.C.D.8.如图所示，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C =36°，则∠ABD 的度数是( )A. 72°B. 63°C. 54°D. 36°9.已知数列：11,21,12,31,22,13,41,32,23,14, …，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010满足()A. 0<a2010<110B. 110≤a2010<1 C. 1≤a2010≤10 D. a2010>1010.已知数列{a n}的前n项和S n，若a1=1,S n=13a n+1，则a7=()A. 47B. 3×45C. 3×46D. 46+1二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b−c)cosA=acosC，则cosA=．12.已知函数f(2x+1)=3x−2，且f(t)=4，则t=______ ．13.若直线3x−y+1=0和直线6x−my−3=0垂直，则m=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.若直线11：x+2y=0与直线l2：2x+my+1=0垂直，则m=(1)；若将直线l2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2√3个单位后回到原来的位置，则直线12的倾斜角α=(2).(用弧度表示)15.已知2sinx−cosx=√5，则sinx=(1)，tan2x=(2)．16.已知数列{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，a1，a3，a6成等比数列，则数列{a n}的公差d等于(1)；前n项和S n等于(2)．17.已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则当且仅当a=(1)时，ab取得最小值(2)四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知直角坐标系中的点A(−1,0)，B(3,2)，写出求直线AB的方程的一个算法．19.已知．(I)求的最小正周期和最小值；(II)若，求的值．20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=6，b=5，cosA=−45(1)求角B的大小(2)求三角形ABC的面积．21. 已知函数f(x)=|x+2|+|x−1|．(1)证明：f(x)≥f(0)；(2)若∀x∈R，不等式2f(x)≥f(a+1)恒成立，求实数a的取值范围．)2，设b n=20−a n(n∈N∗) 22. 已知数列{a n}的各项为正数，其前n项和S n满足S n=(a n+12(1)求证：数列{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)求数列{|b n|}的前n项和B n．【答案与解析】1.答案：C解析：解：对于f(x)=x2+bx+1有f(−1)=f(3)，可得二次函数对称轴x=−1+32=1．∴− b2=1，∴b=−2∴f(x)=x2−2x+1，则f(x)>0的解集为{x|x≠1,x∈R}．故选：C．根据f(−1)=f(3)，可得对称轴，求得b，即可求解．本题考查了二次函数的对称性、解一元二次不等式，属于中档题．2.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．设点P(x,y)，(x>0,y>0)，利用斜率公式化简，即可得出结论．解：设点P(x,y)，(x>0,y>0)，则∵双曲线x24−y2=1中，A1(−2,0)，A2(2,0)，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，∴k1k2k3=yx+2⋅yx⋅yx−2=y3x(x2−4)=y3x⋅4y2=14⋅yx<14⋅12=18．故选：B．3.答案：B解析：利用正弦定理进行化简，结合两角和的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查正弦定理的应用、两角和的正弦公式，还考查了三角函数的诱导公式，属于中档题．解：由正弦定理得asinA =bsinB=csinC=2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由b+acosC+ccosA=2√2R，得2RsinB+2RsinAcosC+2RsinCcosA=2√2R，即sinB+sinAcosC+sinCcosA=√2，则sinB+sin(A+C)=√2，即sinB +sin(π−B)=sinB +sinB =2sinB =√2， 则sinB =√22，则B =π4或，故选：B ．4.答案：D解析：解：令f(x)=x 2+(a +1)x +a +b +1， ∵关于x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，∴x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1， ∴f(0)>0，f(1)<0，∴a +b +1>0，1+a +1+a +b +1<0， 即a +b +1>0，2a +b +3<0， 设ba =k ，即b =ka ，联立{a +b +1=02a +b +3=0，解得P(−2,1)．∴−2<k <−12，故选：D ．令f(x)=x 2+(a +1)x +a +b +1，由于关于x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，可得f(0)>0，f(1)<0，再利用线性规划的有关知识即可得出．本题考查了二次函数的性质、线性规划的有关知识、一元二次方程有实数根的条件，属于中档题．5.答案：A解析：解：f(x)=cos(π2−x)cosx =sinxcosx =12sin2x ， 则函数的周期T =2π2=π，为奇函数，故选：A根据三角函数的公式进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角的正弦公式是解决本题的关键．6.答案：D解析：根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案．本题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质．解：∵a>0，b>0，a+b=2，∴ab≤(a+b2)2=1，∴(√a+√b)2=a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b=4，∴√a+√b≤2，∴a2+b2=(a+b)2−2ab≥2×2−2×1=2，∴1a +1b≥(1a+1b)⋅ab=b+a=2．故正确的序号为①③④．故选D．7.答案：B解析：试题分析：根据题意，由于数列前项和为，且，故可知=，选B．考点：数列的求和点评：主要是考查了裂项法求和的运用，属于基础题。
2020-2021学年浙江省宁波市高一下学期期末数学试题
宁波市2020学年第二学期期末试题高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数12z i =-（i 为虚数单位），则1z=（）．A.12i 55+ B.12i 55- C.12i- D.12i+【答案】A2.已知ABC 中，2AB =，且sin sin A B C +=，则ABC 周长为（）．A.4+B.2+C. D.4【答案】B3.如图，水平放置的矩形ABCD ，3AB =，1AD =，则其直观图的面积为（）．A.34B.32C.4D.2【答案】C4.已知向量(a =，13,22e ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，则向量a 在向量e上的投影向量为（）．A.e-B.eC.a-D.1-【答案】A5.给出下列4个命题，其中正确的命题是（）．①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．A.①②B.③④C.②③D.①④【答案】C6.在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1AB =，5AC =，PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为（）．A.24πB.36πC.72πD.144π【答案】B7.已知在ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，13AD AB =，12BE BC =，若12DE AB ACλλ=+ （1λ，2λ为实数），则12λλ+的值为（）．A.13-B.23-C.13D.23【答案】D8.某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（）．A.0.45B.0.62C.0.7D.0.76【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（）．A.若甲、乙两组数据的平均数分别为1x ，2x ，则12x x >B.若甲、乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定【答案】AD10.对任意向量a，b，c，下列关系式中恒成立的是（）．A.a b a b ⋅≤B.()()a b c a b c⋅=⋅ C.()22a ba b +=+ D.()()22a b a b a b+⋅-=- 【答案】ACD11.已知复数122i z =-（i 为虚数单位），复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（）．A.1z 在复平面内所对的点在第四象限B.21z z -在复平面内对应的点在第一象限C.12z z -1+D.12z z +1-【答案】AC12.已知α，β，γ是三个不同平面，a ，b ，c 为三条不同直线，且a αβ⋂=，b αγ= ，c βγ= ，则（）．A.α，β，γ可以把空间最多分成7部分B.若a b O ⋂=，则a ，b ，c 交于一点O C .若//a b ，则//a c ，//b cD .若αβ⊥，αγ⊥，βγ⊥，则a b ⊥r r，a c ⊥，b c ⊥【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()1,2a =- ，()3,1b = ，则⋅= a b ______．【答案】114.如图，三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，记三棱锥111C A B B -体积为1V ，三棱台111ABC A B C -的体积为2V ，则12V V =______．【答案】1715.已知ABC ，π3A =，2BC =，则AB 的最大值为______．【答案】43316.已知P 为ABC 内一点，2350PA PB PC ++=，则APC △，BPC △的面积之比为______．【答案】32四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（Ⅰ）在复数范围内解方程：2450x x ++=；（Ⅱ）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，求AE FB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）方程的根为2i -+或2i --；（Ⅱ）2-.18.某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A 、B 、C 、D 四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD 中，AD BC CD ===AB =千米．（Ⅰ）求证：61cos cos 24C A =-；（Ⅱ）现要在A 、C 两处连接一根水下直管道，已知6cos 4A =，问最少应准备多少千米管道．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）32.19.已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，PAC △是以PC 为斜边的等腰直角三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，F 为PC 上一点，E 为PB 上一点，且AE PB ⊥．（Ⅰ）现给出两个条件：①EF PC ⊥；②F 为PC 中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：PC ⊥平面AEF ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEF ，直线AC 与平面AEF 所成角和直线AC 与平面PAB 所成角相等，且2PA =，求三棱锥P ABC -的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.20.首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中a 的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．【答案】（Ⅰ）0.003a =，66%；（Ⅱ）120；（Ⅲ）众数为100，平均为99.6.21.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++⋅=．（1）求角C ；（2）若5a b +=，点D 为线段AB 的中点，30ACD ∠=︒，求a ，b ．【答案】（1）2π3C =；（2）53a =，103b =．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD =．（Ⅰ）判断M 点在PB 的位置并说明理由；（Ⅱ）记直线DM 与平面PAC 的交点为K ，求DKKM的值；（Ⅲ）若异面直线CM 与AP 所成角的余弦值为77，求二面角M CD A --的平面角的正切值．【答案】（Ⅰ）M 为PB 中点，理由见解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）13或539.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宁波市2008学年度第一学期期末试卷高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22道题．试卷满分120分，考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、若{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3,5,()I I A B C A B ====则A ．{}1 B ．{}3,4,5 C ．{}3,5 D ． ∅2、已知角θ的终边经过点1(),2那么tan θ的值是A.12B.3-C. 3-D.2-3、已知向量1(,),(1,4),2a kb k ==-若a ∥b ，则实数k 的值为 A.1-或2 B.19 C.17- D.24、函数2()21f x x ax =-+有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a 的取值范围是 A.11a -<< B.1a <-或1a > C.514a << D. 514a -<<- 5、已知2,1,a b ==a 与b 的夹角为3π,那么4a b -等于A.2B.C.6D.12 6、333sin,cos ,888πππ的大小关系是 A.333sin cos 888πππ<< B.333sin cos 888πππ<<C.333cos sin 888πππ<<D.333cos sin 888πππ<<7、函数()cos tan f x x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象为A ．B ．C ．D ．8、设函数()12102()(0)x x f x xx ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩ ,若0()2,f x >则0x 的取值范围是 A. )4,1(- B.(1,)-+∞ C.),4(+∞ D.),4()1,(+∞--∞ 9、已知向量(cos ,sin ),a θθ= (1,3),b =其中[]0,,θπ∈则a b ⋅的取值范围是A.[]1,2- B.[]1,1- C. []2,2- D. ]2,3[-10、不等式log sin 2(01)a x xa a >>≠且 对于任意0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立，则实数a 的取值范围是A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.,14π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.,11,42ππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. )2,4(ππ第Ⅱ卷（非选择题 共80分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、函数3y x =与函数2ln y x x =在区间(0,)+∞上增长速度较快的一个 是 ▲ .12、函数44()cos sin f xx x =-的最小正周期是 ▲ . 13、函数y 的定义域是 ▲ .14、在边长为2的正三角形ABC 中,AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 ▲ . 15、已知1sin cos ,(0,),5θθθπ+=∈则tan θ= ▲ .16、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售量减少20个．为了获得最大利润，售价应定为每个 ▲ 元. 17、给出下列命题：（1）函数3()xy x R =∈与函数x y 3log = )0(>x 的图象关于直线y x = 对称;（2）函数sin y x =的最小正周期2T π=; （3）函数)32tan(π+=x y 的图象关于点)0,6(π-成中心对称图形;（4）函数[]12sin(),2,232y x x πππ=-∈-的单调递减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.其中正确的命题序号是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18、(本题满分10分)已知tan()74πα+=，5cos 13β=，,αβ均为锐角. （1）求tan α； （2）求cos()αβ+.19、(本题满分10分)已知向量(1,1),OA =(2,3),OB = (1,1)OC m m =+-.（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 的取值范围; （2）若在△ABC 中，∠B 为直角，求∠A. 20、(本题满分10分) 已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间 t (024)t ≤≤（单位：时）的函数关系记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：t /时0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，函数()y f t =可近似地看成是函数b t A y +=ωcos ．（1）根据以上数据，求出函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T 及函数表达 式(其中0,0>>ωA ); （2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？ 21、(本题满分10分)已知函数()sin ,f x x =x R ∈（1）函数()2sin (sin cos )1g x x x x =⋅+-的图象可由()f x 的图象经过怎 样的平移和伸缩变换得到;（2）设)2(4)22()(πλπ-+-=x f x f x h ，是否存在实数λ，使得函数)(x h在R 上的最小值是23-？若存在，求出对应的λ值；若不存在，说明理由.22、(本题满分12分)已知定义在[]1,1-上的奇函数()f x ， 当(]0,1x ∈时，2()41xx f x =+．（1）求函数()f x 在[]1,1-上的解析式;（2）试用函数单调性定义证明：()f x 在(]0,1上是减函数;（3）要使方程()f x x b =+，在[]1,1-上恒有实数解，求实数b 的取值范围.2008学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案一、选择题：CBACB DCDAB二、填空题：11、3y x = 12、π 13、[)1,+∞14、-3 15、43- 16、95 17、(1)、（3）、（4） 三、解答题： 18、（1）713tan tan[()]441714ππαα-=+-==+ 4分或 tan 171tan αα+=-,得3tan 4α=（2）(0,),(0,)22ππαβ∈∈34125sin ,cos ,sin ,cos 6551313ααββ∴====分 16cos(+)=cos cos sin sin =1065αβαβαβ--分19、（1）(1,2),(,2)AB AC m m ==- 2分,,A B C 不共线，22m m ∴≠- 即2m ≠-4分（2）(1,2)BA =-- (1,4)B C m m =-- 0BA BC = 3m ∴=7分(1,2),(3,1A B A C==,cos2510AB AC A AB AC=== 4A π∠=10分20、（1）112,cos 126Ty t π==+ 4分 （2） 13cos 1264t π+≥ 1cos 62t π≥-6分 即 124124k t k k Z -≤≤+∈8分由719t ≤≤，得816t≤≤.该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放.10分21、（1）2()2sin sin 21sin 2cos 2g x x x x x =+-=-)4x π=- 2分先将()f x 的图像向右平移4π个单位长度得到sin()4y x π=-的图像；再将sin()4y x π=-图像上各点的横坐标变为原来的12倍,得到函数sin(2)4yx π=-的图像；最后将曲线上各点的纵坐标变为倍得到函数()g x 的图像. 5分（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1h x x x x x λλ=-=-- 7分12λ∴=±。
10分22、（1）()2(01)41()0(0)21041xx x x x f x x x ⎧<≤⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎪+⎩3分（2）证：设1201x x <<≤ 则 ()f x ∴在(]0,1上是减函数.7分（3）方程()b f x x =-在[]1,1-上恒有实数解，记()()g x f x x =-，则()g x 为(]0,1上的单调递减函数.由于()g x 为[]1,1-上奇函数，故当[)1,0x ∈-时13(),25g x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦而(0)0g =33(),55g x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦ 即 33,55b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.12分。