2016-2017年安徽省亳州市涡阳四中高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2016-2017学年安徽省亳州市涡阳四中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．32．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣104．（5分）“p∨q为真”是“¬p为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．（5分）已知x＞0，y＞0且x+y=xy，则x+y的取值范围是（）A．（0，1]B．[2，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）7．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）A．4B．8C．12D．168．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（）A．S4B．S5C．S6D．S710．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）A．B．C．D．211．（5分）若变量x，y满足约束条件，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，2）B．[﹣，]C．[﹣1，]D．[﹣，+∞）12．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为．14．（5分）若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．15．（5分）如果数列{a n}的前n项之和为S n=3+2n，那么a12+a22+a32+…+a n2=．16．（5分）已知（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的范围．三．解答题（共70分）17．（10分）设命题p：方程4x2+4（a﹣2）x+1=0无实数根；命题q：函数y=ln （x2+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=，b2+c2﹣bc=3．（1）求角A；（2）设cosB=，求边c的大小．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+）x+1，（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若对于任意x∈（1，3），f（x）+x＞﹣3恒成立，求a的取值范围．20．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？21．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（14分）已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k AM和k AN，求证：k AM+k AN为定值．2016-2017学年安徽省亳州市涡阳四中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，∴其逆否命题也为真命题．原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），∴原命题的否命题也是假命题．∴真命题的个数是2．故选：C．2．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．D．【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选：C．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．4．（5分）“p∨q为真”是“¬p为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“¬p为假”，所以p为真，所以“p∨q为真”，反之“p∨q为真”可知，p、q至少一个为真，即“¬p为假”不一定为真，故选：B．5．（5分）在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：将﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，利用正弦定理化简得：﹣ab＜a2+b2﹣c2＜﹣ab，由余弦定理得：cosC=，即a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：﹣ab＜2abcosC＜﹣ab，∵ab≠0，∴﹣＜2cosC＜﹣1，即﹣＜cosC＜﹣，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形，故选：A．6．（5分）已知x＞0，y＞0且x+y=xy，则x+y的取值范围是（）A．（0，1]B．[2，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）【解答】解：由x＞0，y＞0且x+y=xy，可得x+y=xy≤，化简可得（x+y）2﹣4（x+y）≥0，解得x+y≤0（舍去），或x+y≥4，故x+y的取值范围是[4，+∞），故选：D．7．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：∵Q点到焦点的距离为10，∴，解得p=8．∴焦点到准线的距离=p=8．故选：B．8．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，当x＜0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（）A．S4B．S5C．S6D．S7【解答】解：等差数列{a n}中，∵a3+a8＞0，且S9＜0，∴a5+a6=a3+a8＞0，S9==9a5＜0，∴a5＜0，a6＞0．∴S1、S2、…S9中最小的是S5．故选：B．10．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵S=bcsinA=×1×c×=△ABC∴c=4根据余弦定理有：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×=13所以，a=根据正弦定理==，则：==故选：A．11．（5分）若变量x，y满足约束条件，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，2）B．[﹣，]C．[﹣1，]D．[﹣，+∞）【解答】解：ω=的几何意义为动点P（x，y）到点D（﹣1，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由图象可知当P位于点A（1，0）时，AD的斜率最小，此时ω===，当过D的直线和2x﹣y﹣2=0平行时，此时斜率最大为2，但取不到，故ω∈[﹣，2），故选：A．12．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为36．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示：由图可得，图中阴影部分面积为：S=×12×6=36，故答案为：36．14．（5分）若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于﹣4．【解答】解：∵不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），∴∴a=﹣4故答案为：﹣415．（5分）如果数列{a n}的前n项之和为S n=3+2n，那么a12+a22+a32+…+a n2=．【解答】解：因为数列{a n}的前n项之和为S n=3+2n，a1=5，a2=2，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，又S n=2n+3，所以a n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1所以，a n2=4n﹣1是从第二项起是等比数列；设A n=a12+a22+a32+…+a n2，由等比数列前n项和a12+a22+a32+…+a n2=a12+，q=4．解得a12+a22+a32+…+a n2=25+=．故答案为：．16．（5分）已知（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的范围．【解答】解：①当m2+4m﹣5=0时，得m=1或m=﹣5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意当m=﹣5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；∴m=1；②m2+4m﹣5≠0时即m≠1，且m≠﹣5，∵（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立∴有解得1＜m＜19…（5分）综上得1≤m＜19…（2分）三．解答题（共70分）17．（10分）设命题p：方程4x2+4（a﹣2）x+1=0无实数根；命题q：函数y=ln （x2+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则△=16（a﹣2）2﹣16=16（a﹣1）（a﹣3）＜0恒成立…（2分）解得1＜a＜3 …（3分）若q为真命题，则△=a2﹣4≥0恒成立，…（5分）解得a≤﹣2或a≥2 …（6分）又由题意知命题p或q为真命题，p且q为假命题∴p和q有且只有一个是真命题，若p真q假，∴，∴a的范围为：1＜a＜2…（8分）若p假q真，∴，a的范围为：a≤﹣2或a≥3 …（10分）综上所述：a∈（﹣∞，﹣2]∪（1，2）∪[3，+∞）…（12分）18．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=，b2+c2﹣bc=3．（1）求角A；（2）设cosB=，求边c的大小．【解答】解：（1）∵a=，由b2+c2﹣bc=3得：b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∴A=．（2）由cosB=＞0，知B为锐角，所以sinB=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．由正弦定理得：c==．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+）x+1，（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若对于任意x∈（1，3），f（x）+x＞﹣3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式，a＞0，当0＜a＜1时，有，∴不等式的解集为；当a＞1时，有，∴不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为x∈{1}．（2）任意x∈（1，3），＞﹣3恒成立，即x2﹣ax+4＞0恒成立，即恒成立，所以，x∈（1，3），所以a＜4．20．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：（1）依题意，y==≤，当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，∴y max=（千辆/时）．∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h 且小于64km/h．当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）由条件得＞10，整理得v2﹣89v+1600＜0，即（v﹣25）（v﹣64）＜0．解得25＜v＜64．21．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d ＞0，∴a3=5，a5=9，公差．∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．（3分）又当n=1时，有∴当，∴．∴数列{b n}是首项，公比等比数列，∴．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则（1）∴=（2）（10分）（1）﹣（2）得：=化简得：（12分）22．（14分）已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k AM和k AN，求证：k AM+k AN为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得，．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣3），由得（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k4﹣4（1+2k2）（18k2﹣6）=24（1﹣k2）＞0，解得﹣1＜k＜1．设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）．所以=（1+k2）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]==．因为﹣1＜k＜1，所以．故的取值范围为（2，3]．（Ⅲ）由（Ⅱ）得k AM+k AN=====．所以k AM +k AN 为定值﹣2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。