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职高数学一轮复习立体几何

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职高新高一数学知识点

职高新高一数学知识点

职高新高一数学知识点一、函数与导数1. 函数的概念及表示方法2. 函数图像的基本性质3. 导数的概念及计算方法4. 导数的几何意义与应用二、一元二次函数1. 一元二次函数的概念及表示方法2. 一元二次函数的图像和性质3. 一元二次函数的最值及其应用4. 解一元二次方程的方法与步骤三、直线与平面几何1. 直线的方程及其不同形式2. 直线的特殊情况与相关概念3. 平面的方程及其特征4. 直线与平面的位置关系与相交情况四、立体几何1. 空间几何体的定义与特征2. 立体几何体的表面积与体积计算3. 球体的性质及相关定理4. 空间几何体的投影与旋转五、概率与统计1. 概率的基本概念与计算方法2. 事件的排列与组合问题3. 统计相关概念及统计图表的制作4. 概率与统计在实际生活中的应用六、三角函数1. 三角函数的定义与基本关系2. 三角函数的性质与计算方法3. 三角函数在几何中的应用4. 解三角函数方程的方法与步骤七、数列与数学归纳法1. 数列的概念及基本性质2. 等差数列与等比数列的特点与求和公式3. 数学归纳法的原理与应用4. 数列与数学归纳法在实际问题中的应用八、平面向量与坐标系1. 平面向量的定义与表示2. 平面向量的线性运算3. 平面向量应用于平面几何问题4. 坐标系的概念与性质以上是职高新高一数学课程的主要知识点概述。

在学习和掌握这些知识点的过程中，应注重理论与实践结合，注重基本概念的理解和应用能力的培养。

通过不断的练习和实践，掌握数学知识，提高数学思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。

同时，也要意识到数学知识在实际生活中的重要性和应用价值，努力培养数学素养，将数学知识应用于解决实际问题中。

相信通过努力学习与实践，你一定能够在数学学习中取得优异的成绩！。

职高数学——立体几何

职高数学——立体几何

平面的基本性质一、高考要求:理解平面的基本性质、二、知识要点:1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、2、平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α、(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论:推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ 、3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、三、典型例题:例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内、证明:∵a ∥b ∴a 、b 可以确定一个平面α、∵m ∩α=A,m ∩β=B, ∴A ∈α,B ∈α又A ∈m,B ∈m∴m ⊂α、 ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内、四、归纳小结:1、证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都就是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上、2、共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件、五、基础知识训练:(一)选择题:1、下列说法正确的就是( )A 、平面与平面只有一个公共点B 、两两相交的三条直线共面C 、不共面的四点中,任何三点不共线D 、有三个公共点的两平面必重合2、在空间,下列命题中正确的就是( )A 、对边相等的四边形一定就是平面图形B 、四边相等的四边形一定就是平面图形C 、有一组对边平行的四边形一定就是平面图形D 、有一组对角相等的四边形一定就是平面图形3、过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数就是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或3个4、空间四点,其中三点共线就是这四点共面的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件(二)填空题:5、空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面、6、检查一张桌子的四条腿的下端就是否在同一个平面内的方法就是 、(三)解答题:7、已知A 、B 、C 就是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线、8、已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面、直线与直线的位置关系一、高考要求:1、掌握两直线的位置关系、掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;2、了解异面直线概念、了解异面直线的夹角、垂直与距离的概念、二、知识要点:1、两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内、2、平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行、3、异面直线的夹角、垂直与距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角、成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b、与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离、三、典型例题:例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH就是平行四边形、思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状就是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状就是 ;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是、例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E就是AA1的中点、(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1与BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1与BD1间的距离、四、归纳小结:1、平行线的传递性就是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变、2、两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解、五、基础知识训练:(一)选择题:1、在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹就是圆;(3)有三个角就是直角的四边形就是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条、A、0个B、1个C、2个D、3个2、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行、A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列关于异面直线的叙述错误的个数就是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线就是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线就是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的任意直线就是异面直线;(4)分别与两条异面直线同时相交的两条直线一定就是异面直线、A、0个B、1个C、2个D、3个4、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A、1个B、2个C、3个D、4个5、教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A、垂直B、平行C、相交D、异面6、设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系就是( )A、异面B、相交C、不相交D、相交或异面7、设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系就是( )A、平行B、平行或相交C、平行或异面D、平行或相交或异面8、(2002高职-4)已知m,n就是异面直线,直线 平行于直线m,则 与n( )A、不可能就是平行直线B、一定就是异面直线C、不可能就是相交直线D、一定就是相交直线(二)填空题:9、平行于同一直线的两直线的位置关系就是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系就是、10、若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为、11、空间两个角α与β,若α与β两边对应平行,当α=50º时,则角β= 、(三)解答题:12、、已知A、B与C、D分别就是异面直线a、b上的两点,求证:AC与BD就是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证与证明过程)13、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离、14、已知空间四边形OABC的边长与对角线长都为1,D、E分别为OA、BC 的中点,连结DE、(1)求证:DE就是异面直线OA与BC的公垂线;(2)求异面直线OA与BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离、直线与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握直线与平面的位置关系、2.了解直线与平面平行的判定与性质,理解平行投影概念、掌握空间图形在平面上的表示方法、3.掌握直线与平面垂直的判定与性质、理解正射影与三垂线定理及其逆定理、掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念、二、知识要点:1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点、2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α、直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线就与交线平行、用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b、3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍就是按或线段;(2)平行线的平行射影仍就是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比、4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图、画直观图通常用斜二测画法、5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面、用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行、用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b、6.斜线及其在平面内的射影:一条直线与一个平面相交但不与它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线与平面的交点称为斜足、从平面外一点向平面引垂线与斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足与垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影、这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离、斜线与它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角、定理:从平面外一点向平面引垂线与斜线、(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长、(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长、7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也与这条斜线垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA、三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果与在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也与这条斜线在平面内的射影垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO、三、典型例题:例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别就是AB、PC的中点、(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD、例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长、例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明、四、归纳小结:1、在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2、平行射影的性质就是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的、如果平行于投射线,则线段或直线的像就是一个点、3、由直线与平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个就是,到两点距离相等的点的轨迹就是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个就是,三垂线定理及其逆定理、这个定理就是判定空间线线垂直的一个重要方法,就是计算空间中两条直线的夹角与线段长度等有关问题的重要基础、它的证明的思想方法十分重要、4、在直线与平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2、在公式的基础上得到了“斜线与它在平面内的射影所成的角就是斜线与这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论、直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º、五、基础知识训练:(一)选择题:1、如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的就是( )A 、 AB ⊥PD B 、 AB ⊥PCC 、 OD ⊥PC D 、 AB ⊥PO2、直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围就是( )A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C 、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3、由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形就是( )A 、半径为34cm 的圆B 、半径为24cm 的圆C 、半径为334cm 的圆 D 、半径为22cm 的圆 4、设a 、b 就是两条异面直线,在下列命题中正确的就是( )A 、有且仅有一条直线与a 、b 垂直B 、有一个平面与a 、b 都垂直C 、过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D 、过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5、下列命题中正确的就是( )A 、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B 、若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6、两条直线a 、b 与平面α成的角相等,则a 、b 的关系就是( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上三种情况都有可能7、PA,PB,PC 就是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都就是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A 、21 B 、36 C 、33 D 、23 8、直线a 就是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角就是( )A 、60ºB 、45ºC 、90ºD 、135º9、矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A 、513B 、517 C 、921 D 、12951 10、在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A 、5B 、52C 、53D 、5411、在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 就是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离就是( )A 、25B 、27C 、211D 、419 12、已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 就是△ABC 的外心,则( )A 、 SA=SB=SCB 、 SA ⊥SB,且SB ⊥SCC 、∠ASB=∠BSC=∠CSAD 、 SA ⊥BC(二)填空题:13、如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 、14、在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系就是 、15、两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能就是 、(三)解答题:16、证明直线与平面平行的判定定理、17、从平面外一点P 向平面引垂线PO 与斜线PA,PB 、(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长、18、一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P 、(1)P 到三角形三顶点的距离都就是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都就是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离、19、已知直角△ABC 在平面α上, D 就是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长、20、如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β、求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB 、21、已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ、求证:cos α=cos βcos γ、22、 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1、(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD 、平面与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握平面与平面的位置关系、2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质、二、知识要点:1.平面与平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线、2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行、用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β、平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行、用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b、3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面、在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角、二面角的大小可用它的平面角来度量、平面角就是直角的二面角叫做直二面角、4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直、用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β、三、典型例题:例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、例2:已知二面角α- -β的平面角就是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值、例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α、四、归纳小结:1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2.二面角θ满足0º≤θ≤180º、求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角、五、基础知识训练:(一)选择题:1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA、①与②B、③与④C、②D、④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面就是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边就是否与这个面密合就可以了、这种检查方法的依据就是( )A、平面的基本性质B、三垂线定理C、平面与平面垂直的判定定理D、直线与平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β、其中正确的两个命题就是( )A、①与②B、③与④C、②与④D、①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α与m⊥γ,那么必有( )A、α⊥γ且 ⊥mB、α⊥γ且m∥βC、 m∥β且 ⊥mD、α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β与直线 、m,则α⊥β的一个充分条件就是( )A、 ⊥m, ∥α,m∥βB、 ⊥m,α∩β= ,m⊂αC、 ∥m, m⊥β, ⊂αD、 ∥m, ⊥α,m⊥β6.若异面直线a、b, a⊂α, b⊂β,则平面α、β的位置关系一定就是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行或相交或重合7.下列命题中,正确的就是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A、(1)(2)B、(2) (3)C、(3)(4)D、(2)(3)(4)8.过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个4,PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C的大小为( ) 9.设正方形ABCD的边长为6A 、3πB 、4πC 、2πD 、32π (二)填空题:10. 已知二面角就是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都就是a,则两个垂足间的距离就是 、11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离就是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数就是 、12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件就是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件就是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件就是β内有一条直线与直线a 平行、 其中正确命题的序号就是 、13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β,则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m,则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β,且α∥β,则m ∥ 、其中正确的命题就是(只写序号) 、14. 已知直线 与平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出您认为正确的一个命题 、15. α、β就是两个不同的平面,m 、n 就是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出您认为正确的一个命题: 、16. 设X,Y,Z 就是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的就是 、①X,Y,Z 就是直线; ②X,Y 就是直线,Z 就是平面; ③X,Y 就是平面,Z 就是直线; ④X,Y,Z 就是平面、设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系就是 、17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长就是 ,EF 的长就是 、18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= 、(三)解答题:19. 已知一个二面角就是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都就是3,求两个垂足间的距离、20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B,AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长、翻折问题一、高考要求:掌握立体几何中图形翻折问题的解法、二、知识要点:解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题、三、典型例题:例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º、(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值、例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离、四、归纳小结:1、折叠前一般就是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后就是立体图形,要用立体几何知识解答;2、未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答、五、基础知识训练:(一)选择题:1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A 、30ºB 、45ºC 、60ºD 、90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离就是( ) A 、a B 、a 26 C 、a 33 D 、a 415 3. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A 、a 22B 、a 23C 、a 23 D 、a 2 (二)填空题:4. E 、F 分别就是正方形ABCD 的边AB 与CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= 、5. 如图,ABCD 就是正方形,E 就是AB 的中点,如将△DAE 与△CBE 分别沿虚线DE 与CE 折起,使AE 与BE重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD所成的二面角为 度、(三)解答题:6.一个直角三角形的两条直角边各长a与b,沿其斜边上的高h折成直二面角,试求此时a与b两边夹角α的余弦、7.把长宽各为4与3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,试求顶点B与D的距离、8.已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成90º的二面角,求B、D两点之间的距离、空间图形性质的应用一、高考要求:掌握空间图形的性质在测量与实际问题中的应用、二、知识要点:1、空间图形的性质在测量中的应用;2、空间图形的性质在实际问题中的应用、三、典型例题:例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果您手中只有测角器与皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离、请说出您的测量方法,并求出该距离、例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结:空间图形的性质在测量与实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题、五、基础知识训练:(一)填空题:1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离就是、2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线与CP垂直、(二)解答题:3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达、在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度、。

中职对口升学考高分-高三数学第一轮复习：柱、锥、球及其简单的组合体(立体几何)

中职对口升学考高分-高三数学第一轮复习：柱、锥、球及其简单的组合体(立体几何)

知识点四 圆锥
1．圆锥的定义
如图9-21所示，以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周，
其余各边旋转而形成的曲面(或平面)所围成的几何体称为圆锥.旋
转轴称为圆锥的轴，另一条直角边旋转而形成的圆面称为底面，
斜边旋转而形成的曲面称为圆锥的侧面，无论旋转到任何位置，
斜边都称为圆锥的母线，母线与轴的交点称为圆锥的顶点，顶
3
πr =
3
3
3
= ，
1
熟练掌握球的表面积公式与体积公式.
π.
同学们！再见！
的斜高．
(2)正棱锥的全面积：正棱锥所有面的面积之和，记
为S正棱锥全.
其中S底表示正棱锥的底面的面积．
(3)正棱锥的体积：
5．棱柱、棱锥的体积公式
(1)棱柱的体积：
V棱柱=S底h．
(2)棱锥的体积：
1
V棱锥= S底h．
3
知识点三 圆柱
1．圆柱的定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的
高都称为正棱锥的斜高．
(3)顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高．
(4)正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影组成一个直角三
角形．
(5)正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的射影也组成一个直角
三角形．
4．正棱锥的面积及体积计算公式
(1)正棱锥的侧面积：正棱锥所有侧面的面积
之和，记为S正棱锥侧，且
其中C表示正棱锥底面的周长，h′表示正棱锥
由体积公式可得正三棱柱的高h=

81
=
底 9 3
3
2
=9 3，
=3表=S侧+2S底= 54 3 +2×9
3 =72 3 ，故答案为72 3.

浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题

浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题

常考知识点及相应习题汇总一、棱锥1、正三棱锥定义：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

性质：1． 底面是等边三角形。

2． 侧面是三个全等的等腰三角形。

3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。

4.常构造以下四个直角三角形（见图）：说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。

在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。

其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。

练习1：1、三棱锥A —BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为( )(A)63 (B)23 (C)633 (D)212、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( )A ．B ．2CD ．3、侧棱长为2a 的正三棱锥其底面周长为9a ，则棱锥的高为 （ ）A 、 aB 、 2aC 、D 、4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：①11//BC AB ； ②1AC 与BC 是异面直线； ③1AB 与BC 所成的角的余弦为42；④1BC 与C A 1垂直. 其中正确的判断是_______.5、在正三棱锥P ABC -中，6,5AB PA ==。

（1）求此三棱锥的体积V ；（2）求二面角P AB C --的正弦值。

6、正三棱锥V-ABC 的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。

求（1）棱锥的侧棱长 （2）侧棱与底面所成的角的正切值。

2、正四面体定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面，6条棱，4个顶点。

正四面体是最简单的正多面体。

正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。

高职高考数学课程初步立体几何

高职高考数学课程初步立体几何

第四编 立体几何初步第九章立体几何初步第一节 简单几何体的表面积和体积1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下：2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式： 名 称 表面积S体积V棱 柱 底侧S S 2+ h S 底棱 锥 底侧S S + h S 底31棱 台 下底上底侧S S S ++h S S S S )(31下底上底下底上底⋅++ 球 24R π334R π 圆 柱 )(2r l r +πh r 2π圆 锥 )(r l r +πh r 231π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ)(31222121r r r r h ++π第二节 三视图1. 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体.（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体.（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l rrπ2rlrπ2l'r r'2r πrπ2rls π2=侧rlS π=侧()lr r S '+=π侧（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2. 空间几何体的三视图和直观图：（1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）（2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法.①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45︒︒='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面.②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半.第三节 空间几何体的平行问题1. 线线平行的判断：①平行于同一条直线的两条直线互相平行。

职高数学——立体几何97083教学提纲

职高数学——立体几何97083教学提纲

平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ.3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m ⊂α. ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1λ∥2λ∥3λ,且m ∩1λ=A 1,m ∩2λ= A 2,m ∩3λ=A 3,求证: 1λ、2λ、3λ、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 ;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 .例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线λ平行于直线m,则λ和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系是 .10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为 .11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β= . （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a⊄α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果λ⊥a,λ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么λ⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P∉α、λ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥λ,PA⊥α,PB⊥λ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点. 3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ=cos θ1cos θ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO ⊥平面ABC,O 为垂足,OD ⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥PCC. OD ⊥PCD. AB ⊥PO2.直线λ与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线λ异面,则λ与a 所成角的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21B.36C.33D.23 8.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角是( )A.60ºB.45ºC.90ºD.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A.513B.517C.921 D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A.5B.52C.53D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( )A.25B.27 C.211 D.419 12.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△ABC 的外心,则( )A. SA=SB=SCB. SA ⊥SB,且SB ⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA ⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 .14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P.(1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC 在平面α上, D 是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β.求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB.21.已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cos α=cos βcos γ.22. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1.(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α-λ-β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线λ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒λ⊥m;②λ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒λ∥m;④λ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4.如果直线λ,m与平面α、β、γ满足:λ=β∩γ,λ∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且λ⊥mB.α⊥γ且m∥βC. m∥β且λ⊥mD.α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β和直线λ、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A.λ⊥m,λ∥α,m ∥βB.λ⊥m,α∩β=λ,m ⊂αC.λ∥m, m ⊥β,λ⊂αD.λ∥m,λ⊥α,m ⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( ) A.3π B.4π C.2π D.32π （二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、λ为直线,α、β为平面,给出下列命题: ①λ垂直于α内的两条相交直线,则λ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若λ⊥α,α∥β，则λ⊥β;④若m ⊂α,λ⊂β,且λ⊥m ，则α⊥β;⑤若m ⊂α,λ⊂β，且α∥β，则m ∥λ.其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线λ和平面α、β,给出三个论断:①λ⊥α,②λ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是 .①X,Y,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y,Z 是平面. 设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α-λ-β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= .（三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题 一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A.30ºB.45ºC.60ºD.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26C.a 33D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A.a 22B.a 23C.a 23 D.a 2 （二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度.（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路λ旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚λ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与λ垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚λ成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是 .2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达.在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度.。

高考数学一轮复习立体几何多选题知识归纳总结附解析

高考数学一轮复习立体几何多选题知识归纳总结附解析

高考数学一轮复习立体几何多选题知识归纳总结附解析一、立体几何多选题1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆【答案】BC 【分析】对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=，3ND =，可知N 的轨迹是以D 为圆心，33为半径的圆周； 【详解】对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的18，其面积214182S ππ=⨯⨯=，故A 错误；对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简整理得：2234y x -=，即221443y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3MND π∠=，在直角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 3D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -22222262213⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.3．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为23的等边三角形，侧棱长为43，则（ ）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()000000230x x y y zzx x y y zz⎧-+--=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x=-设直线1A C与直线1BB之间距离为d，则220011222200009||||zA B nd dx zn x z==∴=++2209x d≥∴≤，即3d≤，故A正确；对于B：若1A在底面ABC上的投影恰为ABC∆的中心，则()11,3,211A底面法向量()()10,0,1,1,3,211m AA==，设直线1AA与底面所成角为θ，则：121133sin|cos,|6143AA nθ===⨯，故B错误；对于C：三棱柱的侧棱垂直于底面时，则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC==-设异面直线AB与1A C所成的角为θ，则1115cos|cos,|||||||23215AB ACAB ACAB ACθ====⨯,故C错误；对于D：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O为上下底面中心DD1连线的中点,所以外接球的半径()222324R=+=，所以2464S Rππ==.故D正确故选：AD【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.4．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A ．AEF 是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83【答案】AC 【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH ===，O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，OH ∴⊥平面ABCD ，在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，()0,,AF a a =，由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-， 设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-，由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--， ()22111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，6cos ,23CG m CG m a CG m⋅<>===⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 63θ=，23cos 1sin θθ=-=，所以，sin tan 2cos θθθ==，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.5．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）A ．点A '到平面BCED 的距离为3B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C ．A 'D ⊥BDD ．四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD 【分析】作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，DN =DA'=4,A'N =A'M ,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,==,∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=-+=,解得23x =-,舍去；故O 在平面BCED 下方，如图②所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=++=, 解得23x =,∴244371699R ⨯=+=,R ∴=故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.6．在正方体1111ABCD A B C D 中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1【答案】BC【分析】取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.【详解】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=，连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==， NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ， 则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.做出线段BC 的另一个三等分点P '，做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.7．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D DB ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，1AC B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA mDA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±因此，过点1A与异面直线AD与1CB成60角的直线有2条，D选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．8．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为20 3C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN所成角的正弦值为2 2【答案】BCD【分析】A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF AB⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为22PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。

中职数学单招一轮总复习《立体几何》复习课件

中职数学单招一轮总复习《立体几何》复习课件

典例精讲
第 13 页
例1 下列说法中，正确的是（ ）． A．一个平面长8 cm，宽3 cm B．2个平面叠在一起比1个平面要厚 C．空间中任意三点可以确定一个平面 D．一个矩形长4 cm，宽2 cm
解析 根据平面的概故选D．
【名师点睛】 本题考查学生对于平面概念的理解，即平面是没有大小、没有厚薄、 光滑的、可以无限延展的图形．
2．用集合符号语言表示“直线 l 与平面 α 交于一点A”：__________________．
活学活练
二、填空题
第 22 页
3．两个相交平面可以将空间分成__________部分，三个两两相交的平面最多可将空间分 成__________部分．
典例精讲
变式训练1 下列说法中，正确的是（ A．空间任意三点都能确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．三角形一定是平面图形 D．梯形不一定是平面图形
）．
第 14 页
典例精讲
第 15 页
例2 三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定_____________个平面．
解析 由推论3可知，经过两条平行直线，可以确定一个平面．本题中三条直线两两 平行，故可以确定3个平面，即答案为3．
活学活练
一、单项选择题
第 20 页
3．若点A在直线α上，直线α又在平面α内，则对点A、直线α与平面α之间的位置
关系表述正确的是（ ）．
A．A a
B．A a
C．A a
D．A a
4．下列不能确定一个平面的是（ A．一条直线和这条直线外一点 C．空间中两条相交的直线
）．
B．空间中的三个点 D．空间中两条平行的直线
第 17 页
证明 因为 m∥n ，所以直线 m，n 可以确定一个平面α，从而有m ，n ． 因为 Am，B n，所以 A，B ，又因为 Al，Bl，所以直线 l ，从而有 直线 m，n，l 共面．

职高数学第一轮复习教案-7立体几何

职高数学第一轮复习教案-7立体几何

平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ .3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m⊂α.∴a、b、m三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G ,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1 ∥2 ∥3 ,且m∩1 =A 1,m∩2 = A 2,m∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是.例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆; (3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线 平行于直线m,则 和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关系是.10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为.11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β=. （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA 在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点.3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥PCC. OD ⊥PCD. AB ⊥PO2.直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21B.36C.33D.238.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a与α所成的角是( ) A.60º B.45º C.90º D.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A.513 B.517C.921D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( ) A.5 B.52 C.53 D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( ) A.25 B.27 C.211 D.41912.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△ABC 的外心,则( ) A. SA=SB=SC B. SA ⊥SB,且SB ⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA ⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 . 14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 . （三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长; (3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P. (1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离; (2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC在平面α上, D是斜边AB的中点, DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β.求证:(1)CD⊥平面EAB;(2)CD⊥直线AB.21.已知PO⊥平面ABO,PB⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cosα=cosβcosγ.22. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求直线DA1与AC1的夹角;(2)求证:AC1⊥平面A1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α- -β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α ④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4. 如果直线 ,m 与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且 ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC. m ∥β且 ⊥mD.α∥β且α⊥γ5. 对于平面α、β和直线 、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α,m ∥βB. ⊥m,α∩β= ,m ⊂αC. ∥m, m ⊥β, ⊂αD. ∥m, ⊥α,m ⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行 (3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直 (3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行 其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( )A.3πB.4πC.2πD.32π（二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直;②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β，则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m ，则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β，且α∥β，则m ∥ .其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线 和平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y ,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y”为真命题的是 .①X,Y ,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y ,Z 是平面.设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A´B´C´, △ABC 的面积为S,则△A´B´C´的面积S´= . （三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC边上的高AD为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C到平面ABD的距离;③求平面ABD与平面ABC所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成60º的二面角,求B、D两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1.以等腰直角△ABC斜边BC上的高AD为折痕,折叠时使二面角B-AD-C为90º,此时∠BAC 为( ) A.30º B.45º C.60º D.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26 C.a 33 D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC的长为( )A.a 22 B.a 23 C.a 23 D.a 2（二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度. （三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是.2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：。

高考数学一轮复习立体几何多选题知识归纳总结含答案

高考数学一轮复习立体几何多选题知识归纳总结含答案

高考数学一轮复习立体几何多选题知识归纳总结含答案一、立体几何多选题1．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故2252OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为35435V R ππ==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.2．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.3．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒B ．点A 到平面BCD 的距离为3C ．四面体ABCDD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,AF ==即点A 到平面BCD 的距离为3,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即2=6OF AO =,所以四面体ABCD 的外接球体积334433V R OA ππ===,故C 正确；建系如图：,A C ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则,,0,,333AP x y AC →→⎛⎛=-=- ⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以241392y +=，83y +，平方化简可得：22400399y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD 【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a ，023a ⎡⎤∈⎣⎦，，(2,23,)Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到(22,3,22)R λλλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；1(22,23,2)D R λλλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则1(2,23,22)(2,23,2)412440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时122328232(,,)(,,)0555555AR D R---⋅=⋅=，1AR D R⊥，C正确；113AC A R=，则4234(,,)333R，14232(,,)333D R=-，设平面1BDC的法向量为(,,)n x y z=，则1n BDn DC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,1,3)n=-，故1n D R⋅=，故1//D R平面1BDC，D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.5．如图四棱锥P ABCD-，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为26的正三角形，底面ABCD为矩形，23CD=，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（）A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC22C．三棱锥B ACQ-的体积为62D．四棱锥Q ABCD-外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD【分析】取AD的中点O，BC的中点E，连接,OE OP，则由已知可得OP⊥平面ABCD，而底面ABCD为矩形，所以以O为坐标原点，分别以,,OD OE OP所在的直线为x轴，y轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(2QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则36022260n AQ xz n AC⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos 3θ=，所以B正确； 三棱锥B ACQ-的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，所以()()()222222632363a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为234243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.6．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQB ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=， ∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上， ∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立，故C 错误；对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ，记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数，则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQR V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅，又13sin23PSR S PS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQ S PS PQ PS PQ π=⋅=⋅，13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQ PR PS α++=为常数，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.7．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 的最小值为355B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +170 【答案】AD【分析】 DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-，所以2170 42222()105 AC'=+-⨯⨯⨯-=.故选：AD.【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．8．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为20 3C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN2【答案】BCD【分析】A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF AB⊥，90ABF∠=︒，但六边形ABFPQH为正六边形，120ABF∠=︒，矛盾，所以A错；对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为22PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。

高中数学一轮复习(九)立体几何

高中数学一轮复习(九)立体几何

高中数学一轮复习（九）立体几何第一部分立体几何初步一、柱、锥、台、球的结构特征1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

中职数学基础模块知识点、典型题目系列---9.立体几何(适合打印,经典)

中职数学基础模块知识点、典型题目系列---9.立体几何(适合打印,经典)

第九章立体几何第1节平面及其基本性质一、平面的概念平面：平坦、光滑并且可以无限延展的图形．平面的表示方法：（1）平面αβγ、、、（2）平面ABCD （3）平面AC或平面BD．平面的画法：①水平面画成平行四边形，锐角画成45,横边是邻边的2倍长②竖直面画成长方形③平面有时也表示成三角形、圆、多边形等2.平面的基本性质平面的性质1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内．此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l．记作lα⊆平面的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线。

记作lαβ=【说明】“确定一个平面”的意思是有且只有一个平面平面的性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（举例：照相机的三脚架）推论： 1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面.2．两条相交直线可以确定一个平面． 3．两条平行直线可以确定一个平面【试说明】工人常用两根平行的木条来固定一排物品；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒．【练习】 1．说明梯形是平面图形。

2．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点．判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．第2节空间中的平行一、线线平行2.判定：平行于同一条直线的两条直线平行．图9−51.位置关系平行共面相交异面：既不平行，也不相交二、线面平行2.判定：线(平面外)线(平面内)平行则线面平行。

性质：线面平行则线线(交线)平行。

三、面面平行2.判定：性质：面面平行则线．（交线）线．（交线）平行 【习题】1.如图，M,N 分别为AB,AD 的中点，说明MN//平面BCD 。

B例1.垂直于同一直线的两条直线，下列说法不正确的是 ( )A 、垂直于同一直线的两条直线互相平行B 、垂直于同一直线的两条直线互相垂直C 、垂直于同一直线的两条直线或异面或相交D 、垂直于同一直线的两条直线或平行或异面或相交第3节 空间角一、线线角 两条异面直线所成的角:平移使两条直线相交后形成的最小正角。

中职教育《立体几何(第一轮复习)》课件

中职教育《立体几何(第一轮复习)》课件

l
a
Ma
b a
b
M
l
b
la
线不在多，重在相交
l b
2.直线和平面垂直的性质定理：
知识梳理
性质1
如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直 线垂直于平面的任意一条直线.
性质2
如果两条平行线中的一条与平面垂 直,那么另一条也与这个平面垂直.
a‖ b .
abຫໍສະໝຸດ ab知识梳理例1.空间四边形ABCD， AB AC，DB DC， 求证：BC AD.
第九章 立体几何
总复习
• 2015: 9分（选择题和填空题各一道） • 2016：10分（2道选择题） • 2017：13分（1道大题） • 2018：13分（1道大题） • 2019：13分（1道大题） • 2020：13分（1道大题）
知识结构
一.平面的基本性质 二.空间两直线的位置关系 三.直线和平面平行的判定和性质 四.直线和平面垂直的判定和性质 五.两个平面平行的判定和性质 六.两个平面垂直的判定和性质
第九章 立体几何
9.1 平面与直线
知识梳理
1 平面的基本性质
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
线上所有的点都在这个平面内．
.
A, B
Al, Bl
A
直线l
Bl
知识梳理
1 平面的基本性质
公理2
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过这个公共点的直线．
P . l且P l
第九章 立体几何
9.3 直线和平面垂直的 判. 定和性质定理
1.直线和平面垂直的判定
1.直线和平面垂直的定义：
如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂 直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。

职高数学_立体几何.doc

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平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法 : 平面是无限延展的 , 是没有边界的 . 通常用平行四边形表示平面 , 平面一般用希腊字母α、β、γ、来命名, 还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2. 平面的基本性质:(1) 如果一条直线上的两点在一个平面, 那么这条直线上的所有点都在这个平面. 这时我们说, 直线在平面或平面经过直线. 用符号语言表示为: 如果 A∈ a,B ∈ a, 且 A∈α ,B ∈α , 则 a? α.(2)经过不在同一条直线上的三点 , 有且只有一个平面 . 也可简单地说成 , 不共线的三点确定一个平面 . 它有三个推论 :推论 1: 经过一条直线和直线外的一点, 有且只有一个平面;推论 2: 经过两条相交直线, 有且只有一个平面;推论 3: 经过两条平行直线, 有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点 , 那么它们就有另外的公共点 , 并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线. 这时我们称这两个平面相交.用符号语言表示为: 如果A∈α ,A ∈β , 则α∩β = , 且 A∈.3.有关概念: 如果空间的几个点或几条直线都在同一平面, 那么我们就说它们共面; 如果构成图形的所有点都在同一平面 , 则这类图形叫做平面图形 ; 如果构成图形的点不全在同一平面 ,则这类图形叫做立体图形. 直线和平面都是空间的子集, 直线又是平面的子集.三、典型例题：例 1: 已知 E、 F、 G、 H 分别是空间四边形 ABCD各边 AB、 AD、 BC、CD上的点 , 且 EF 与 GH相交于点 P. 求证 : 点 B、 D、 P 在同一直线上 .证明 :∵ E∈ AB, F∈AD又AB∩ AD=A∴E、 F∈平面 ABD∴E F? 平面 ABD同理 GH? 平面 CBD∵E F 与 GH相交于点 P∴P∈平面 ABD,P∈平面 CBD, 又平面 ABD∩平面 ABD=BD∴P∈ BD即点 B、 D、P 在同一直线上 .例 2: 如图 , 已知直线 a∥ b, 直线 m与 a、b 分别交于点 A、B,求证 :a 、 b、 m三条直线在同一平面 .证明 : ∵ a∥b∴ a、b可以确定一个平面α.∵m∩α =A,m∩β =B,∴ A∈α ,B∈α又A∈ m,B∈ m∴m? α .∴ a、b、m三条直线在同一平面.四、归纳小结：1. 证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点 :(1) 确定平面 ;(2) 证明其余点、线在确定的平面 , 解题中应注意确定平面的条件 .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列说确的是( )A. 平面和平面只有一个公共点C. 不共面的四点中, 任何三点不共线B.D.两两相交的三条直线共面有三个公共点的两平面必重合2. 在空间, 下列命题中正确的是( )A. 对边相等的四边形一定是平面图形C. 有一组对边平行的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形D. 有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线 , 则这三条直线确定的平面个数是 ( )A.1 个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点 , 其中三点共线是这四点共面的 ( )A. 充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5. 空间三条直线互相平行 , 但不共面 , 它们能确定个平面 , 三条直线相交于一点, 它们最多可确定个平面 .6. 检查一桌子的四条腿的下端是否在同一个平面的方法是.（三）解答题：7.已知 A、 B、C 是平面α外三点 , 且 AB、 BC、 CA分别与α交于点 E、 F、 G,求证 :E 、F、 G三点共线 .8. 已知 1 ∥ 2 ∥ 3 ,且m∩1=A1,m∩ 2 = A2,m∩3 =A3,求证: 1 、2、3、m四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系 . 掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念 . 了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种 :(1) 平行 : 没有公共点 , 在同一平面 ;(2) 相交 : 有且仅有一个公共点 , 在同一平面 ;(3) 异面 : 没有公共点 , 不同在任何一个平面 .2.平行直线的传递性 : 空间三条直线 , 如果其中两条直线都平行于第三条直线 , 那么这两条直线也互相平行 .3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念 : 经过空间任意一点 , 分别作与两条异面直线平行的直线, 这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角. 成 90o 角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线 , 异面直线 a 与 b 垂直 , 记作 a⊥ b. 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 , 对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段, 公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例 1: 已知空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA的中点 , 求证 :EFGH是平行四边形 .思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是; 如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状是.例 2: 如图 , 长方体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知 AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是 AA1的中点 .(1)求证 :AC1、 BD1、 CA1、DB1共点于 O,且互相平分 ;(2)求证 :EO⊥ BD1,EO⊥ AA1;(3)求异面直线 AA1和 BD1所成角的余弦值 ;(4)求异面直线 AA1和 BD1间的距离 .四、归纳小结：1. 平行线的传递性是论证平行问题的主要依据; 等角定理表明角在空间平行移动, 它的大小不变 .2.两条异面直线所成的角θ满足 0o ＜θ≤ 90o , 且常用平移的方法化为相交直线所成的角 , 在三角形中求解 .五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中 , 以下命题中真命题的个数为 ( )(1) 垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形 ; (4) 自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0 个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中 , 结论正确的个数是 ( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等 ;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直, 那么这两个角相等或互补 ;(4)如果两条直线同平行于第三条直线, 那么这两条直线互相平行 .A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3. 下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1) 不同在任何一个平面的两条直线是异面直线;(2) 既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3) 连结平面一点与平面外一点的直线和这个平面不经过该点的任意直线是异面直线;(4) 分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.下列命题中 , 结论正确的个数是 ( )(1) 若 a∥ b, a ∥ c, 则 b∥ c; (2) 若 a⊥ b, a ⊥ c, 则 b∥c;(3) 若 a∥ b, a ⊥ c, 则 b⊥ c; (4) 若 a⊥ b, a ⊥ c, 则 b⊥c;A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.教室有一直尺 , 无论怎样放置 , 在地面总有这样的直线 , 它与直尺所在直线 ( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面6. 设 a、 b、 c 为空间三条直线, a ∥ b, a 、 c 异面 , 则 b 与 c 的位置关系是 ( )A. 异面B. 相交C. 不相交D. 相交或异面7.设 a、 b、 c 为空间三条直线 , 且 c 与 a、 b 异面 , 若 a 与 c 所成的角等于 b 与 c 所成的角 , 则 a 与 b 的位置关系是( )A. 平行B.8.(2002高职-4)已知A. 不可能是平行直线平行或相交 C.m,n 是异面直线 , 直线B.一定是异面直线平行或异面 D.平行或相交或异面平行于直线m,则和n()C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9. 平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关系是.10. 若 a∥ b,c ⊥ a,d ⊥ b, 则 c 与 d 的关系为.11. 空间两个角α和β, 若α和β两边对应平行, 当α=50o时 , 则角β = .（三）解答题：12.. 已知A、B 和C、D 分别是异面直线a、 b 上的两点, 求证:AC 和BD是异面直线( 要求画出图形 , 写出已知, 求证和证明过程)13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1.(1) 求直线 DA1与 AC的夹角 ;(2) 求直线 DA1与 AC的距离 .14.已知空间四边形 OABC的边长和对角线长都为 1,D、 E 分别为 OA、 BC的中点 , 连结 DE.(1) 求证 :DE 是异面直线 OA和 BC的公垂线 ;(2) 求异面直线 OA和 BC的距离 ;(3) 求点 O到平面 ABC的距离 .直线与平面的位置关系一、高考要求：1. 掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质, 理解平行投影概念 . 掌握空间图形在平面上的表示方法.3. 掌握直线与平面垂直的判定和性质. 理解正射影和三垂线定理及其逆定理. 掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1) 直线在平面 : 有无数个公共点 ;(2) 直线与平面相交 : 有且只有一个公共点;(3) 直线与平面平行: 没有公共点.2.直线与平面平行的判定: 如果平面外一条直线与平面一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为: 如果a∥ b,b ? α ,a α, 那么a∥α .直线与平面平行的性质: 如果一条直线平行于一个已知平面, 且过这条直线的平面和已知平面相交 , 那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为: 如果 a∥α ,a ? β , α∩β =b, 那么 a∥ b.3.当直线或线段不平行于投射线时, 平行射影具有下述性质 :(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线 ;(3) 在同一直线或平行直线上, 两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形 , 叫做空间图形的直观图 . 画直观图通常用斜二测画法 .5.直线与平面垂直的判定 : 如果一条直线垂直于平面两条相交直线, 那么这条直线就垂直于这个平面 .用符号语言表述为: 如果⊥a,⊥ b, a ?α ,b ?α ,a∩b=P,那么⊥α .直线与平面垂直的性质: 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线互相平行 .用符号语言表述为: 如果 a⊥α , b ⊥α , 那么 a∥ b.6.斜线及其在平面的射影: 一条直线和一个平面相交但不和它垂直, 这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足 . 从平面外一点向平面引垂线和斜线 , 从这点到斜足间的线段长 , 称为从这点到平面间的斜线的长, 斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离. 斜线和它在平面的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理 : 从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1) 如果两斜线的射影的长相等, 那么两斜线的长相等, 射影较长的斜线也较长.(2) 如果两斜线长相等 , 那么射影的长也相等 , 斜线较长的射影也较长 .7.三垂线定理及其逆定理 :三垂线定理 : 平面的一条直线, 如果和一条斜线在这个平面的射影垂直这条斜线垂直.用符号语言叙述为: 如果 PO和 PA分别是平面α的垂线和斜线上的射影 , 而直线 a? α , 且 a⊥AO,那么 a⊥ PA.三垂线逆定理: 平面的一条直线, 如果和在这个平面的一条斜线垂直条斜线在平面的射影垂直.用符号语言叙述为: 如果 PO和 PA分别是平面α的垂线和斜线上的射影 , 而直线 a? α , 且 a⊥PA, 那么 a⊥ AO., 那么这条直线也和,AO 是斜线 PA在平面α, 那么这条直线也和这,AO 是斜线 PA在平面α三、典型例题：例 1: 已知 PA⊥矩形 ABCD所在平面 ,M、 N分别是 AB、 PC的中点 .(1)求证 :MN∥平面 PAD;(2)求证 :MN⊥ CD;(3)若∠ PDA=45o , 求证 :MN⊥平面 PCD.例 2: AD 、 BC分别为两条异面直线上的两条线段=8cm,AB⊥ BC,DC⊥ BC,求线段 BC的长 ., 已知这两条异面直线所成的角为30o , AD例 3:(99高职-22)(本题满分10 分 ) 已知平面α ,A ∈α、 B∈α、 Pα、? 关系中 :AB ⊥,PA ⊥α ,PB ⊥, 以其中的两个作为条件, 余下的一个作为结论命题 ( 用文字语言表述, 不得出现字母及符号, 否则不得分 ), 并予以证明 . α , 在以下三个, 构造一个真四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中 , 注意掌握通过“线线平行” 去判定“线面平行” ，反过来由“线面平行”去判定“线线平行” ; 通过“线线垂直”去判定“线面垂直” ，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直” .2. 平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的. 如果平行于投射线, 则线段或直线的像是一个点.3. 由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质, 其中最重要的有两个 : 一个是 , 到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是 ,三垂线定理及其逆定理 . 这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法, 是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础. 它的证明的思想方法十分重要 .4. 在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ =cosθ1cos θ2. 在公式的基础上得到了“斜线和它在平面的射影所成的角是斜线和这个平面所有直线所成的角中最小的角”的结论. 直线与平面所成的角θ满足0o ≤θ≤ 90o .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 如图 ,PO⊥平面 ABC,O为垂足 ,OD⊥ AB,则下列关系式不成立的是 ( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥ PCC. OD⊥ PCD. AB ⊥ PO2. 直线与平面α成的角 , 直线 a 在平面α , 且与直线异面,则与 a 所成角的取值围是3( )2B. , 2, D. ,A. 0, C.3 33 3 3 2 23.由距离平面α为 4cm 的一定点 P 向平面α引斜线 PA与平面α成 30o 的角 , 则斜足 A 在平面α的轨迹图形是 ( )A. 半径为 4 3 cm的圆B. 半径为 4 2 c m的圆C. 半径为 4 3cm的圆 D. 半径为 2 2 cm 的圆34.设 a、 b 是两条异面直线 , 在下列命题中正确的是 ( )A. 有且仅有一条直线与a、 b 垂直B.有一个平面与a、 b 都垂直C. 过直线 a 有且仅有一个平面与 b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a、 b 都相交5.下列命题中正确的是 ( )A. 若一条直线垂直于一个平面的两条直线, 则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面的无数条直线, 则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面 , 则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面 , 则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6. 两条直线a、 b 与平面α成的角相等，则a、 b 的关系是 ( )A. 平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从 P 引出的三条射线, 每两条的夹角都是60o , 则直线 PC与平面 PAB所成角的余弦值为 ( )A.1B.6C.3D.3 233 28. 直线 a 是平面α的斜线 ,b ? α, 当 a 与 b 成 60o 的角 , 且 b 与 a 在α的射影成 45o 角时 ,a 与α所成的角是 ( )A.60 oB.45o C.90o D.135 o 9. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且 PA=1, P 到对角线 BD 的距离为 ( )A.13B.17 C.1 9 D.1 129 552510. 在△ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离为 ( ) A. 5 B. 2 5C.3 5D.4 511. 在直角三角形 ABC 中 ,∠B=90o , ∠ C=30o ,D 是 BC 边的中点 ,AC=2,DE ⊥平面 ABC,且 DE=1,则 E 到斜边 AC 的距离是 ( )5 B.7 C.11 D.19A.224212. 已知 SO ⊥平面α , 垂足 O, △ ABC? α , 点 O 是△ ABC 的外心 , 则 ( )A. SA=SB=SCB. SA⊥ SB, 且 SB ⊥ SCC. ∠ ASB=∠ BSC=∠ CSAD. SA⊥ BC（二）填空题：13. 如图 ,C 为平面 PAB 外一点 , ∠ APB=90o , ∠ CPA=∠CPB=60o , 且 PA=PB=PC=1,则 C 到平面 PAB 的距离为 .14. 在空间四边形ABCD 中 , 如果 AB ⊥ CD,BC ⊥ AD, 那么对角线 AC 与 BD 的位置关系是.15. 两条直线 a 、 b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16. 证明直线与平面平行的判定定理 .17. 从平面外一点 P 向平面引垂线 PO 和斜线 PA,PB.(1) 如果 PA=8cm,PB=5cm,它们在平面的射影长OA:OB=4: 3 , 求点 P 到平面的距离 ;(2) 如果 PO=k,PA 、 PB 与平面都成 30o 角 , 且∠ A PB=90o , 求 AB 的长 ;(3) 如果 PO=k,∠ OPA=∠ OPB=∠ A PB=60o , 求 AB 的长 .18. 一个正三角形的边长为 a, 三角形所在平面外有一点 P.(1)P到三角形三顶点的距离都是2 3a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面3成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P到三角形三条边的距离都是6a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面6成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19. 已知直角△ ABC在平面α上 , D是斜边AB的中点, DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm, 求 EA,EB,EC 的长 .20.如图 , 平面α∩β =CD,EA⊥α ,EB ⊥β , 且 A∈α ,B ∈β .求证 :(1)CD ⊥平面 EAB;(2)CD⊥直线 AB.21. 已知 PO⊥平面 ABO,PB⊥ AB,又知∠ PAB=α , ∠ PAO=β , ∠ OAB=γ .求证 :cos α=cos β cosγ .22.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.(1) 求直线 DA1与 AC1的夹角 ;(2) 求证 :AC1⊥平面 A1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1. 掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质 , 理解二面角概念 , 掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1) 平行 : 没有公共点 ;(2) 相交 : 有一条公共直线 .2. 平面与平面平行的判定: 如果一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面互相平行 .用符号语言表述为: 如果 a∩ b≠Φ , a ? α,b ? α , 且 a∥β ,b ∥β , 那么α∥β .平面与平面平行的性质: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 则它们的交线平行 .用符号语言表述为: 如果α∥β , γ∩α =a, γ∩β =b, 那么 a∥ b.3. 二面角 : 由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角, 这条直线称为二面角的棱 , 构成二面角的两个半平面称为二面角的面. 在二面角的棱上任取一点, 过这点在二面角的两个半平面分别作棱的垂线, 这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角. 二面角的大小可用它的平面角来度量. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.4. 平面与平面垂直的判定: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直 .用符号语言表述为: 如果直线 AB? 平面α ,AB⊥β , 垂足为 B, 那么α⊥β .平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直 , 那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 .用符号语言表述为: 如果α⊥β , α∩β =CD,AB? α , AB⊥ CD,B为垂足 , 那么 AB⊥β .三、典型例题：例 1: 试证明 : 如果两个平面垂直 , 那么在一个平面 , 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例 2: 已知二面角α - - β的平面角是锐角θ离为 4, 试求 sin2 θ的值 . , 若点C∈α ,C 到β的距离为3,C 到棱AB 的距例 3: 已知平面β⊥平面α, 平面γ⊥平面α, 且平面β∩平面γ=a, 求证 :a ⊥α .四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中 , 注意掌握通过“线面 ( 或线线 ) 平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”; 通过“线线垂直”去判定“线面垂直” ，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2. 二面角θ满足0o ≤θ≤ 180o . 求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设 a、 b、 c 表示直线 , α、β、γ表示平面 , 下面四个命题中 ,;①若a⊥ c, b ⊥ c, 则 a∥ b ②若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥β③若a⊥ c, b ⊥α , 则a∥α④若a⊥α , a ⊥β , 则α∥βA. ①和②B. ③和④C. ②D. ④2.如图 , 木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时, 常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上 , 另一边在工件的另一个面上转动一下, 观察尺边是否和这个面密合就可以了. 这种检查方法的依据是( )A. 平面的基本性质B. 三垂线定理C. 平面和平面垂直的判定定理D. 直线和平面垂直的判定定理3.已知直线⊥平面α , 直线 m? 平面β，有下面四个命题 :①α∥β? ⊥ m;②∥ m ? α⊥β; ③α∥β? ∥ m;④⊥ m? α∥β. 其中正确的两个命题是( )A. ①与②4. 如果直线A. α⊥γ且B.③与④C.,m 与平面α、β、γ满足: =β∩γ⊥m B.α⊥γ且m∥β C. m②与④ D., ∥α ,m? α和∥β且⊥ m①与③m⊥γ , 那么必有 (D.α∥β且α⊥γ)5. 对于平面α、β和直线、 m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α ,m∥βB. ⊥ m,α∩β=,m? αC. ∥ m, m⊥β , ? αD. ∥ m, ⊥α ,m⊥β6. 若异面直线 A. 平行a、 b, a ?B.α , b ?相交β , 则平面α、β的位置关系一定是( )C.平行或相交D.平行或相交或重合7.下列命题中 , 正确的是 ( )(1)平行于同一直线的两平面平行(2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行(4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8.过平面外一点 P,(1) 存在无数个平面与平面α平行(2)存在无数个平面与平面α垂直(3) 存在无数条直线与平面α垂直(4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有 ( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个9. 设正方形 ABCD的边长为4 6 ,PA ⊥平面 AC,若 PA=12,则二面角 P-BD-C 的大小为 ( )A. B. C. D. 24 2 33（二）填空题：10. 已知二面角是 60o , 在它的部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a, 则两个垂足间的距离是.11. 在二面角的一个面有一个已知点A, 它到棱的距离是它到另一个面的距离的 2 倍, 则这个二面角的度数是.12. 有如下几个命题 : ①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α有一条直线与β垂直;②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α有无数条直线与β平行;③直线 a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β有一条直线与直线 a 平行 .其中正确命题的序号是.13.设 m、为直线 , α、β为平面 , 给出下列命题 : ①垂直于α的两条相交直线 , 则⊥α ;②若 m∥α , 则 m平行于α的所有直线; ③若⊥α ,α∥β，则⊥β ;④若m?α ,? β ,且⊥ m，则α⊥β ; ⑤若m? α , ? β，且α∥β，则m∥. 其中正确的命题是( 只写序号).14.已知直线和平面α、β , 给出三个论断 : ① ⊥α , ② ∥β , ③α⊥β , 以其中的二个论断作为条件 , 余下的一个作为结论, 写出你认为正确的一个命题.15. α、β是两个不同的平面 ,m、n 是平面α及β之外的两条不同直线 , 给出四个论断 : ① m ⊥n；②α⊥β；③ n⊥β；④m⊥α , 以其中三个论断作为条件 , 余下一个论断作为结论 , 写出你认为正确的一个命题:.16.设 X,Y,Z 是空间不同的直线或平面 , 对下面四种情形 , 使“ X⊥ Z 且 Y⊥Z? X∥ Y”为真命题的是.① X,Y,Z 是直线 ; ② X,Y 是直线 ,Z 是平面 ; ③X,Y 是平面 ,Z 是直线 ; ④X,Y,Z 是平面 .设两个平面α、β相交于m,且直线 a∥α ,a ∥β则直线 a 与 m的关系是.17. 如图 , 直线 AC、 DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3, 则 AB的长是,EF 的长是.18. 二面角α - - β的度数为θ (0 ≤θ≤), 在α面有△ ABC, △ ABC 在β的正射影为△A′2B′C′, △ABC的面积为 S, 则△ A′ B′C′的面积 S′ =.（三）解答题：19. 已知一个二面角是60o , 在它的部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离 .20. 已知 : 在 60o 二面角的棱上 , 有两个点A、B，AC、BD分别在这个二面角的两个面, 且垂直于线段 AB,且 AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求 CD的长 .翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求: ①根据题意作出折叠前、后的图形;②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化, 哪些未发生变化; ③寻找解决问题的方法并正确解答问题. 三、典型例题：例 1: 已知△ ABC中 ,AB=AC=2,且∠ A=90o ( 如图 (1) 所示 ), 以 BC边上的高 AD为折痕使∠ BDC=90o .( 如图 (2) 所示 )①求∠ BAC;②求点 C 到平面 ABD的距离 ;③求平面ABD与平面 ABC所成的二面角的正切值.例 2: 已知等腰梯形ABCD,AB∥ CD,上底 =4, 下底 =6, 高 =3, 沿它的对角线求 B、 D 两点之间的距离. AC折成60o 的二面角,四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形 , 用平面几何知识解答即可 , 折叠后是立体图形 , 要用立体几何知识解答 ;2. 未发生变化的量可在折叠前的图形中解答, 发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△A BC斜边 BC 上的高 AD 为折痕 , 折叠时使二面角B-AD-C 为 90o , 此时∠ BAC 为( )A.30 oB.45oC.60oD.90o2.把边长为 a 的正△ ABC沿高 AD折成 60o 的二面角 , 则点 A 到 BC的距离是 ( )A. aB. 6a C.3D.15 2a a3 43. 已知边长为 a 的菱形 ABCD,∠ A=60o , 将菱形沿对角线 BD 折成 120o 的二面角 , 则 AC 的长为( )A. 2aB.3 a C.3 a D.2a222（二）填空题：4. E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点 ,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方形折成直二 面角 , 则∠ BOD=.5. 如图 ,ABCD 是正方形 ,E 是 AB 的中点 , 如将△ DAE 和△ CBE 分别沿虚线 DE 和 CE 折起 , 使 AE 与 BE 重合 , 记 A 与 B 重合后的点为 P, 则面 PCD 与面 ECD 所成的二面角为（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与 b, 沿其斜边上的高 h 折成直二面角b 两边夹角α的余弦 .度 ., 试求此时 a 与7. 把长宽各为 4 与 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 , 试求顶点 B 与 D 的距离 .8. 已知等腰梯形 ABCD,AB ∥ CD,上底 =4, 下底 =6, 高 =3, 沿它的对角线 AC 折成 90o 的二面角 ,求 B 、 D 两点之间的距离 .空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2. 空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例 1: 如图 , 道路旁有一条河米尺 ), 不渡河能否测量出塔顶, 对岸有一铁塔C与道路的距离CD高 a 米 , 如果你手中只有测角器和皮尺 . 请说出你的测量方法 , 并求出该距离.( 刻度例 2: 斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚, 且成 30o 的小路上坡 , 每前进 100 米升高多少米?如果沿一条与坡脚么高 , 前进了多少米? 的二面角 , 在平面α沿一条与垂直成 45o 角的小路上坡, 仍升高这四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用, 重点在于理解题意, 画好能正确表示题意的图形 , 并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1. 正方体的棱长为a, 有一小虫 , 在正方体的表面上从顶点A爬到顶点 C′ , 则小虫爬行的最短距离是.2.在一长方体形的木块的面 A1C1上, 有一点 P, 过点 P 在平面 A1C1画一条直线和 CP垂直 .（二）解答题：3.如图 , 所测物体 BB′垂直于水平面α于点 B′ , 底端 B′不能到达 . 在α取一点 A, 测得∠ BAB′ =θ1, 引基线 AC,使∠ B′AC=θ2, 在 AC上取一点 D, 使 BD⊥ AC,又测得 AD=a,求物体 BB′的高度 .。

职业高中高考强化训练——立体几何

职业高中高考强化训练——立体几何

职业高中高考强化训练立体几何单元测试题一选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，把正确选项写在表格中.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案题号9 10 11 12 13 14 15 16答案1. 下列命题中不正确．．．的是（）；A．在空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．如果两个平面相交，那么它们的交点不一定在交线上C．经过一条直线的平面有无数多个D．梯形一定是平面图形2．经过一条直线和一个点的平面（）；A．有且只有一个B．有无数多个C．有一个或无数多个D．无法判断3．给出下面三个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②在空间，平行于同一条直线的两条直线互相平行；③在空间，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中，真命题的个数是（）；A．0个B．1个C．2个D．3个4．异面直线是指（）；A．空间中没有公共点的两条直线B．分别位于不同平面内的两条直线C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线5．空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）；A．相交B．平行C．异面D．以上三种情况都有6．直线a和平面α不垂直，则在α内与a垂直的直线（）；A．没有B．有一条C．有无数条D．不确定7．正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（）；A．1: 2 B．1:2 C. 2:1 D．2:18．如果直线l∥平面α，则l平行于α内的（）；A．任意一条直线B．唯一确定的一条直线C．无数条相交的直线D．无数条互相平行的直线9．一个长方体密封玻璃容器（如图）里面装着水．从容器里面量，容器长20厘米，宽12厘米，高10厘米，水深8厘米．如果把长方体的右侧面作为底面，放在桌子上，容器中水深是（）；第9题A．16cm B．8cm C．12cm D．9. 8cm10．若正方体的体积是27cm3，则它的表面积等于（）；A．27cm2B．54cm2C．36cm2D．18cm211．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面（）；A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直12．下列命题正确的是（）；A．一直线与平面α内的两条直线分别垂直，则这条直线必垂直于αB．一直线垂直于一条斜线在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线C．如果一条直线和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直D．如果直线l垂直于α内的两条相交直线，则l垂直于α内的任一条直线13．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线旋转，可以形成（）；A．锥面B．曲面C．直线D．平面14．若两个球的体积之比为1:8，那么这两个球的面积之比为（）；A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:815．平面α的一条斜线段等于它在α上射影的2倍，那么斜线与平面所成的角为（ ）；A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°16．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则圆柱的全面积与侧面积的比为（ ）．A. 1＋2π2πB. 1＋4π4πC. 1＋2ππD. 1＋4π2π二 填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上． 1．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′与AC 所成角的大小是 ； 2．两条异面直线所成的角的取值范围是 ；3．在45°的二面角的一个面内有一点到棱的距离等于 4cm ，则这个点到另一个平面的距离等于 cm ；4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BC 与平面ABCD 所成的角是 度； 5．学校餐厅里有10根底面周长为3. 6m ，高为5m 的圆柱形柱子，现在要刷上油漆，每平方米用油漆0. 5kg ，则刷这些柱子需要油漆 kg ；6．若三棱锥的棱长都是 3cm ，则它的表面积为 cm 2； 7．圆柱的底面直径是4，母线长是5，则它的侧面积等于 ； 8．已知一个半球的表面积是27πcm 2，则这个半球的体积等于 cm 3. 三 解答题：本大题共5小题，第1～4小题每小题5分，第5小题8分，共28分．解答应写出推理、演算步骤．1. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A1B 与B 1C 所成的角．2．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且 AC =BC . 求证：四边形 EFGH 是菱形．3．如图，已知AB ，CD 是圆O 的直径，点P 是圆O 所在平面α外的一点，且PA =PB ，PC =PD . 求证：PO ⊥α.4．正四棱锥的底面积是24cm 2，侧面等腰三角形的面积为 18cm 2，求正四棱锥侧棱的长度．5．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =9，AA 1=5，一条绳子沿着长方体的表面从点A 拉到点C 1，求绳子的最短长度．。

中职数学对口升学复习第九部分《立体几何》基础知识点归纳及山西历年真题汇编

中职数学对口升学复习第九部分《立体几何》基础知识点归纳及山西历年真题汇编

第九部分立体几何【知识点1】平面及其表示方法1.定义：平面是指光滑并且可以无限延展的图形。

可以画出平面的一部分来表示平面。

2.表示方法：通常画平行四边形来表示平面，并用小写希腊字母αβγ、、等表示，也可以用平行四边形四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来表示。

如平面ABCD ，或平面AC,平面BD.3.点、线、面的表示方法立体几何中，通常用大写字母A,B,C,......表示点，小写字母a,b,c,...,l,m,n...,表示直线。

点、线、面之间的位置关系可以用集合语言来描述如下：l l =l ;l ;;;;;A l A l A A l l l l m A l m A l A l A l l l l AB αααααβαβαααααααααααβαβαβαβα∈∉∈∉⋂⊂⊄⋂=⋂=⊥⊥ 点在直线上：A ;点不在直线上：A ;点在平面上：A ;点不在平面上：A ;平面与平面交线是l：;直线在平面内：直线不在平面内：直线与直线相交于点：直线与平面相交于点：直线与平面平行：直线与平面垂直：两平面与平行：；两平面垂直：；棱为，面为，的二面角：-AB -l .βαβ--或【知识点2】几何图形的直观图画法--斜二测画法1.几何图形的直观图几何图形可以用具有立体感的平面图形来表示，这种平面图形通常叫做直观图。

2.画平面图形直观图的步骤：(1)在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°。

(2)原图形中平行于x轴的线段，直观图中画成平行于x′轴的线段且长度不变．(3)原图形中平行于y轴的线段，直观图中画成平行于y′轴的线段且长度为原来的一半．(4)连接有关线段。

例：【注意】：画两个平面相交的图形时，一定要画出交线，图形中被遮住的线段，要画成虚线或者不画。

如下图：图2【知识点3】平面的基本性质性质及推论内容图形性质1如果直线1上的两个点都在平面a 内，那么直线l 上的点都在平面内性质2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线性质3不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面推论1直线与这条直线外的一点可以确定一个平面推论2两条相交直线可以确定一个平面推论3两条平行直线可以确定一个平面【知识点4】空间中的直线与平面1.空间两条直线的位置关系①相交直线：在一个平面内，有且只有一个公共点②平行直线：在一个平面内，没有公共点平行线的性质：平行与同一直线的两条直线平行，如果直线,,a b b c a c 则.αABαβAlBAαCαAααβ③异面直线：不在同一个平面，没有公共点2.异面直线：①定义：不同在任何一个平面内的两条直线②判定：连接平面内一点与平面外一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线③异面直线的画法：αAαabαab④异面直线所成的角：αA'a 空间中两条异面直线a,b ，经过空间中任意点O 做直线'',a a b b ，''b a 与所成的锐角(或直角)，叫作直线a,b 所成的角或夹角.【注意】：①如果两条直线平行，则它们所成的角(或称“夹角”)为0︒②如果两条异面直线所成的角是直角，则这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.③异面直线所成角的范围:(0,90]︒︒【知识点5】空间中直线与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系：(1)直线在平面内：有无数个公共点.(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点'b O(3)直线与平面平行：没有公共点.2.直线与平面垂直：(1)线面垂直的定义:一条直线和平面内任何一条直线都垂直。

中职数学立体几何部分重要题型练习

中职数学立体几何部分重要题型练习

第 1 页共 3 页 2020-1-14 SZM例1:已知正三棱锥 A 一 BCD , AB = 4 , BC = 6 , E 为CD 中点 ①求证：CD _平面ABE例2:在正三角形ABC 中，AD_ BC 于D ，如图所示，沿AD 折成二面角B-AD-C1 后,BC 6AB，求二面角B "D — C 的大小*例3:已知SA_正方形ABCD 所在平面，0为AC 与BD 的交 点，AB = 2,2，SC = 5 （1）求证：BD _ SC立体几何重点例题⑤ 求：AB 与平面BCD 所成角的余弦值②求证：平面ACD _平面ABE③ 求：二面角A-CD-B 的余弦值④求：点A 到平面BCD 的距离D ECC第 2 页 共 3 页 2020-1-14 SZM(6)求：直线SB 与平面ABCD 所成角的正切值(7)求：平面SAB 与平面SAC 所成的二面角的度数例4:已知正方体 ABCD - ABQQ ,中，E 是AB 的中点(1)求BA 与CG 夹角的度数;(5)求：直线SC 与AB 所成角的余弦值(3)求：点S 到平面ABCD 的距离(4)求：点S 到直线BC 的距离(2)求证：平面SBC_平面SAB(2)求BA i与CB i夹角的度数; 例5:已知正方体ABCD - AB i C i D i中，0是底面ABCD对角线的交点(1) 求证：CO/ /平面AB1D1(2) 求证：A1C _ 平面AB1D1(3)求AE与CB1夹角的余弦第3 页共 3 页2020-1-14 SZM第 4 页 共 3 页 2020-1-14 SZM立体几何重点例题答案例1 已知正三棱锥 A — BCD ,AB=4 ,BC=6 , E 为CD 中点①求证：CD _平面ABE. 连接BE , AE ，因为E 为CD 中点，在正三棱锥中 AC = AD ，BC 二BD所以 AE _ CD , BE _ CD 且 AE 门 BE 二 E可得 BF BE 3丿3= 2'. 3 , AF = ■- AB - BF = , 16- 12= 2 3 3 所以所求点 A 到平面BCD 的距离为2.⑤ 求：AB 与平面BCD 所成角的余弦值 —解：由上题可知,AF _平面BCD故BF 为AB 在平面BCD 内的射影 所以.ABF 即AB 与平面BCD 所成的角2 1 所以可知sin . ABF = 4 2所以所求二面角 A - CD - B 的余弦值为7④求：点A 到平面BCD 的距离.解：过点A 作AF _ BE 于点F由CD _平面ABE ，得CD _ AF ，又因为BEp|CD =E 所以AF _平面BCD 所以AF 即所求点A 到平面BCD 的距离 由正三棱锥的定义可得，F 是 BCD 的中心，也是重心所以CD _平面ABE.所以.ABF 二 30 ,cos_ ABF 二cos30②求证：平面ACD 丄平面ABE. 证明：由上题可知， CD _平面ABE 又CD 二平面ACD 所以平面 ACD 丄平面ABE. ③ 求：二面角A-CD-B 的余弦值. 解：由 AE _CD , BE _CD 例2:在正三角形ABC 中，AD_ BC 于D ，如图所示，沿AD 折成二面角B-AD-C1后，BC = AB ，求二面角B-AD-C 的大小.2解：由已知可得BD _ AD ,CD _ AD所以.BDC 即二面角B-AD-C 的平面角 由正三角形ABC 可得，所以.AEB 即二面角A-CD -B 的平面角 在 Rt ACE 中，可求得 AE hJ AC ? -CE ? f -9 »7 ,在BCD 中，可求得BE 6 = 33所以 cos AEB 二AE 2 BE 2 - AB 2 2UAE_BE=7 27-16 21 2 、7 3.3 711 BD = DC AB ，又因为 BC AB22所以BD = DC = BC ，所以厶BDC 为等边三角形 故 BDC =60所以所求二面角B - AD - C 为60 .例3:已知SA_正方形ABCD 所在平面，O 为AC 与BD 的交点，AB = 2 2 , SC =5(1)求证：BD _ SC.证明：因为SA_正方形ABCD 所在平面所以SA_ BD又四边形ABCD 为正方形所以 BD _ AC ，又 SA! AC 二 A 所以BD _平面SAC 所以BD — SC(2)求证：平面 SBC 丄 平面SAB.证明：因为SA_正方形ABCD 所在平面证明:所以SA_BC，又因为BC_AB , ABp|BC=B所以BC _平面SAB又BC 平面SBC，所以平面SBC _平面SAB. (3)求：点S到平面ABCD的距离.解：因为SA_正方形ABCD所在平面所以SA即所求点S到平面ABCD的距离在Rt SBC 中，SB 二SC2 - BC?二•. 25二8 二.17所以在Rt SAB 中，SA 二、SB2 - AB2二.17 -8 二3因此所求点S到平面ABCD的距离为3.(4)求：点S到直线BC的距离.解：由前面所证可知BC _平面SAB，所以BC _ SB 所以SB即所求点S到直线BC的距离由前可知SB = 17所以点S到直线BC的距离为.17 .(5)求：直线SC与AB所成角的余弦值.解：因为AB//CD所以.SCD即SC与AB所成的角由前可知SD=：』32• 2*2彳=、、17(7)求：平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数解：因为SA 止方形ABCD所在平面所以SA_ AC ,SA_ AB所以.CAB即二面角C - SA- B的平面角因为ABCD为正方形，所以.CAB = 45即所求平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数为45 .例4:已知正方体ABCD - AB1C1D1中，E是AB的中点(1)求BA1与CG夹角的度数；(2)求BA1与CB1夹角的度数；(3)求A1E与CB1夹角的余弦.解：(1)因为BB1 //CC1所以.B1BA1即所求BA1与CC1的夹角因为四边形BAA1B1为正方形所以.B1BA^ 45即所求BA1与CG夹角的度数为45(2)连接CD1, B1D1所以cos SCD 二S C2严］®22LSCJCD 25 8-17 2、2 2 5 2.2 52x12因此所求直线SC与AB所成角的余弦值为 J兰.5(6)求：直线SB与平面ABCD所成角的正切值.解：因为SA_正方形ABCD所在平面所以AB即为SB在平面ABCD内的射影所以• SBA即所求的直线SB与平面ABCD所成的角Q A O Q IQ Q / Q 在Rt SAB中，tan• SBA二——二—=—，即所求角的正切值为—.AB 22 4 4因为AD1 //BC且AD1 二BC所以四边形A1D1CB为平行四边形所以BA1/ /CD1所以• B1CD1即所求BA1与CB1所成的角易证B1D1 = CD1 = B1C所以• B1CD1=60，即所求的BA1与CB1所成的角为60A1 DC1A1D第5 页共 3 页2020-1-14 SZM所以OC i 与平面AB i D i 没有公共点第 6 页 共 3 页 2020-1-14 SZM(3)连接 A i D , ED ，易证 AD //BQ所以.DA i E 即所求的AE 与CB i 所成的角 设正方体的棱长为 2 则 ED = ,i222 —、5 ,AD 二 22 2^^ 2 ,AE 二 I 2 22所以cos DA E2 2 2AD AE -DE _ _8_5二5_ _ _I0 2 AD A I E 2 2 ~2 .55即所求角的余弦为io 5（1）求证：GO//平面 AB 1D 1.D i（2）求证：AC 丄平面AB i D i . A i证明：（1）连接BC i ，DC i:D /一 _/ _二因为 DD i =BB i 且 DD i //BB iz例5:已知正方体ABCD -A i BQ i D i 中，O 是底面ABCD 对角线的交点所以四边形 BB 1D 1D 为平行四边形 iC所以 D 1B 1//DB又因为 D i C i 二 AB 且 D i C i //AB 所以四边形AD i C i B 为平行四边形 所以 AD i //BC i所以可得平面 AB i D i //平面BDC i 所以两平面没有公共点 又因为00 平面BDC i所以OC i 〃平面AB i D i （2）连接A i D由已知可知正方形 ADD i A I 中，A0 _ AD 又因为CD _平面ADD i A i ，所以AQ _ CD 所以AD i _平面A i DC ，所以AD i _ AC 同理，连接A 1C 1可以证得 B 1D^ AC 1 , _ CC 1所以B 1D^平面A6C所以B 1D^ AC 所以AC _平面AB 1D 1.。

职高立体几何知识点优秀版

职高立体几何知识点优秀版

职高立体几何知识点优秀版㈠点、直线、平面之间平面的位置关系1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化图形语言文字语言符号语言点A在直线a上点B在直线a外A∈a B a点A在平面α内点B在平面α外A∈αBα直线a在平面α内直线b在平面α外aαbα直线a与平面α相交于点A a∩α=A直线a与直线b相交于点A a∩b=A平面α与平面β交于直线a α∩β=a★2 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理二：不共线的三点确定一个平面。

推论一：直线与直线外一点确定一个平面。

推论二：两条相交直线确定一个平面。

推论三：两条平行直线确定一个平面。

公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。

空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。

即：a∥b，b∥c a∥c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3 异面直线⑴定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。

1.4 异面直线所成的角⑴异面直线成角的范围：(0°，90°].⑵作异面直线成角的方法：平移法。

注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)图2-2 直线与平面的位置关系1 线面平行1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。

1.2 判定定理：1.3 性质定理：1 线面垂直1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

1.2 线面垂直的判定定理：1.3 线面垂直的性质定理：⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

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立体几何第1讲 空间几何体的三视图和直观图1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图K13－1－1，则该几何体的俯视图为( )图K13－1－12．(2010年广东惠州调研)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图K13－1－2所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )图K13－1－2A ．6B ．7C ．8D ．93．如图K13－1－3的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )图K13－1－3A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋4 2) cmD ．(2＋2 3) cm4．(2010年广东惠州调研)如图K13－1－4，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )图K13－1－4A.32π B ．2π C ．3π D ．4π 5．如图K13－1－5，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是()A．①④B．②③C．②④D．①②图K13－1－5图K13－1－66．如图K13－1－6，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()A．2 B. 3 C. 5 D.77．(2010年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K13－1－7，则其侧面积等于()A. 3 B．2 C．2 3 D．6图K13－1－7 图K13－1－88．如图K13－1－8，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为____________．9．如图K13－1－9，图(1)是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有(2)，(3)，(4)，(5)的木块．图K13－1－9(1)我们知道，正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(2)，(3)，(4)，(5)的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图号顶点数棱数面数(1)812 6(2)(3)(4)(5)(2)观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系；(3)看图(6)中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确？10．(2010年广东揭阳调研)如图K13－1－10(1)为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)如图K13－1－10(2)所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积；(3)求证：BE∥平面PDA.(1) (2)图K13－1－10第2讲 空间几何体的表面积和体积1．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为( )A ．9 3B ．18 3C ．9(3＋6) D.9 322．(2011年湖南)设图K13－2－1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图K13－2－1A.92π＋12B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18 3．(2011年辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 3，它的三视图中的俯视图如图K13－2－2所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )图K13－2－2A ．4B ．2 3C ．2 D. 34．如图K13－2－3是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )图K13－2－3A.4 33πB.12πC.33πD.36π5．圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，则圆锥的体积为( ) A.2 2π81 B.8π81 C.4 5π81 D.10π816．(2011年福建)三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于__________．7．(2011年天津)一个几何体的三视图如图K13－2－4所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.图K13－2－48．如图K13－2－5，已知球O 面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 点体积等于________________________________________________．图K13－2－59．如图K13－2－6，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且tan θ＝32.(1)证明：平面ACD ⊥平面ADE ；(2)记AC ＝x ，V (x )表示三棱锥A －CBE 的体积，求V (x )的表达式．图K13－2－610．(2010年广东广州调研)如图K13－2－7，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．图K13－2－7第3讲 点、直线、平面之间的位置关系1．(2010年山东)在空间中，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 2．已知m ，n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，α∩β＝l ，则l ( ) A ．与m ，n 都相交 B ．与m ，n 中至少一条相交 C ．与m ，n 都不相交 D ．至多与m ，n 中的一条相交 3．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC4．(2011年浙江)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内存在直线与l 异面 B ．α内存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交5．AB ，CD 是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β，若M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则有( )A ．MN ＝12()AC ＋BDB ．MN >12()AC ＋BDC ．MN <12()AC ＋BD D ．MN ≤12()AC ＋BD6．如图K13－3－1，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是( )图K13－3－1A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1四点共面C ．A ，O ，C ，M 四点共面D ．B ，B 1，O ，M 四点共面7．如图K13－3－2是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图K13－3－2①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．(2011年全国)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成角的余弦值为__________．9．如图K13－3－3，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．图K13－3－310．如图K13－3－4是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M－NPQ的体积与正方体的体积之比．图K13－3－4第4讲直线、平面平行的判定与性质1．已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是()A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥α，n∥α，则l⊥nC．若l⊥m，m∥n，则l⊥n D．若l∥α，n∥α，则l∥n2．(2010年广东惠州调研)已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个3．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内4．如图K13－4－1，已知l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()图K13－4－1A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C15．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．7．(2010年湖北)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题，正确的有()①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.A．①②B．②③C．①④D．③④8．如图K13－4－2的甲，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值．其中正确说法的序号是________．图K13－4－29．如图K13－4－3，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若MN＝BC＝4，P A＝4 3，求异面直线P A与MN所成的角的大小．图K13－4－310．(2011年山东)如图K13－4－4，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.图K13－4－4第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．对于直线m，n和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，n⊥α，m⊥β2．如图K13－5－1，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()图K13－5－1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直4．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m∥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线，给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个为条件，余下1个为结论，写出你认为正确的一个命题____________________．8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平面BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．9．(2011年广东肇庆测试)图K13－5－2为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC，(1)求证：BE∥平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB.图K13－5－210．如图K13－5－3，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．图K13－5－3。

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