高考数学考点33立体几何中的综合问题试题解读与变式

考点33：立体几何中的综合问题

【考纲要求】

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

【命题规律】

立体几何综合问题是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体．【典型高考试题变式】

（一）构造函数在导数问题中的应用

例1.【2015广东卷（理）】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

A.至多等于3

B.至多等于4

C.等于5

D.大于5

【答案】B

在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；

若n ＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，

第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，

由三角形的两边之和大于三边，故不成立；

同理n ＞5，不成立．

故选：B ．

【方法技巧归纳】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．

【变式1】【改编例题条件】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）

A. 25

B.

2

2

C. 1

D.

6

3

【答案】A

【解析】设P在平面ABCD上的射影为',

P M在平面

11

BB C C上的射影为'

M，平面

1

D PM与平面ABCD和平面11

BCC B成的锐二面角分别为,B

α，则1

11

'

'

cos,cos PM C

DP M

D PM D PM

S

S

B

S S

α∆

∆

∆∆

==，

1

''

cos cos,

DP M PM C

B S S

α

∆∆

=∴=，设P到

1

'

C M距离为d，则

1125

512,

225

d d

⨯⨯=⨯⨯=，即点P在与直线

1

'

C M平行且与直线距离为

25

5

的直线上，P

∴到

1

C的最短距离为

25

5

d=，故选A.

【变式2】【改编例题条件和问法】【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如

图，直三棱柱

111

ABC A B C

-中，

1

2

AA=，1

AB BC

==，90

ABC

∠=︒，外接球的球心为O，点E是侧棱1

BB上的一个动点.有下列判断：

① 直线AC与直线1C E是异面直线；② 1A E一定不垂直1

AC；

③ 三棱锥

1

E AAO

-的体积为定值；④

1

AE EC

+的最小值为22.

其中正确的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】如图，

∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ,而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ,∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；

当E 与B 重合时,AB 1⊥A 1B ,而C 1B 1⊥A 1B ,∴A 1B ⊥平面AB 1C 1,则A 1E 垂直AC 1，故②错误； 由题意知,直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点,则△AA 1O 的面积为定值,由BB 1∥平面AA 1C 1C ，

∴E 到平面AA 1O 的距离为定值,∴三棱锥E −AA 1O 的体积为定值，故③正确；

设BE =x ,则B 1E =2−x ,∴()2

21112AE EC x x +=++-由其几何意义,即平面内动点(x ,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为22

∴正确命题的个数是3个。

本题选择C 选项.

（二）立体几何中的体积问题

例2.【2014江西卷（理）】如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .

（1）求证：;PD AB ⊥

（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？

并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.

【解析】

试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD

试题解析：（1）证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ，

又平面PAD ⊥平面ABCD

平面PAD 平面ABCD=AD

所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD

（2）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG.